定积分与微积分基本定理
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
● 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义，并能用定理计算简单的定积分.
● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.
重点难点：
● 重点：正确计算定积分，利用定积分求面积. ● 难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题.
学习策略：
● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念.
● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算.
二、学习与应用
常见基本函数的导数公式
（1）()f x C =（C 为常数），则'()f x =
（2）()n
f x x =（n 为有理数），则'()f x =
（3）()sin f x x =，则'()f x = （4）()cos f x x =，则'()f x =
（5）()x
f x e =，则'()f x =
（6）()x
f x a =，则'()f x =
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对
知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
（7）()ln f x x =，则'()f x = （8）()log a f x x =，则'()f x = 函数四则运算求导法则
设
()f x ，()g x 均可导
（1）和差的导数：[()()]'f x g x ±= （2）积的导数：[()()]'f x g x ?=
（3）商的导数：()[]'()
f x
g x = （()0g x ≠）
知识点一：定积分的概念
如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续，用分点b x x x x x a n n =<
1
()()n
n
i i i i b a
f x f n
ξξ==-?=∑∑
，当∞→n 时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做)(x f 在区间[,]a b 上的 .记作 .即()b
a f x dx ?＝ ，
这里， 分别叫做积分下限与积分上限， 叫做积分区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式. 说明：
（1）定积分的值是一个 ，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：
知识点二：定积分的几何意义
设函数)(x f 在区间[]b a ,()a b ≠上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以
及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的 ；
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID : #tbjx6#233073
在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示曲边梯形的 ；
在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，曲线)(x f y =的某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴下方，如果我们将在x 轴上方的图形的面积赋予正号，在x 轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分
?
b
a
dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线
b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的 .
知识点三：定积分的性质
（1）()b
a kf x dx =? （k 为常数）
（2）[]12()()b
a f x f x dx ±=?
（3）()b
a
f x dx =? （其中b c a <<）
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则()b
b f x dx -=? ；
若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则()b b
f x dx -=? .
知识点四：微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果)(x f 在[]b a ,上连续，且'()()F x f x =，则()b
a
f x dx =?
.
其中 叫做)(x f 的一个原函数. 注意：
（1）求定积分主要是要找到被积函数的 ，也就是说，要找到一个函数，它的 等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为 运算.
（2）由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的 函数，其中c 为常数.
知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积
（一）如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积S = ；
（二）如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积S = ；
（三）由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积S = .
（四）如图，由曲线11()
y f x
=
22
()
y f x
=
12
()()
f x f x
≥及直线x a
=，x b
=()
a b
<围
成图形的面积S= .
知识点六：定积分在物理中的应用
（一）变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S，等于其速度函数()(()0)
v v t v t
=≥在时间
区间[,]
a b上的，即S=.
（二）变力作功
物体在变力()
F x的作用下做直线运动，并且物体沿着与()
F x相同的方向从x a
=
移动到x b
=()
a b
<，那么变力()
F x所作的功W=.
类型一：利用定积分的几何定义求定积分
例1．说明定积分22
4x dx
-
?所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】由sin
y x
=，0
x=，
2
x
π
=以及x轴围成的图形的面积写成定积分是
；
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#233073
【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（不计算）
（1）（2）
【变式3】说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值.
（1）
4
(1)
x dx
+?；
（2）
4
3dx ?；
(3) (2010 广东模拟)
22
4x dx -
-
?
类型二：运用微积分定理求定积分例2．运用微积分定理求定积分
（1）
22
x dx
?，（2）0sin xdx
π
?，（3）
1
1e
dx
x
?
解：
总结升华： 举一反三：
【变式1】计算下列定积分的值：
（1）?-π
)cos (sin dx x x ；
（2）dx x
x x ?
+-2
1
2)1
(；
（3）?-+0
)(cos πdx e x x
.
【变式2】计算下列定积分的值：
（1）2
2
0(31)x x dx -+?，
（2）dx x x ?
+20
)sin (π
，
（3）1
8
0(8)x x dx -?
类型三：运用积分的性质求定积分
例3．求定积分：3
01x dx -?；
解：
总结升华： 举一反三：
【变式1】设()f x 是连续函数，若2
0()2f x dx =?，40()3f x dx =?，
则4
2
()f x dx =? ； 【变式2】已知函数2
,10,
(),0 1.
x x f x x x --≤
≤≤?，计算1
1
()f x dx -?.
例4．求定积分：1
32
1(cos )x x x dx -+?；
解：
总结升华： 举一反三：
【变式1】设()f x 是偶函数，若20
()2f x dx =?，则2
2
()f x dx -=? ；
【变式2】求定积分：2
22
2
cos
2
x dx π
π-?
类型四：利用定积分求平面图形面积
例5．求直线32+=x y 与抛物线2
x y =所围成的图形面积.
解：
总结升华： 举一反三：
【变式1】求由曲线214
y x =
（
x ≥），94y =，0x =围成的平面图形的面积.
【变式2】求由曲线x y x y x y 2,,2
===围成的平面图形的面积.
【变式3】求抛物线2
y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积.
类型五：利用定积分解决物理问题
例6．汽车以每小时36公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度
2a =米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】,A B 两地相距25千米，甲以速度1()3v t t =千米/小时从A 到B 直线行驶，
同时乙以速度2()(5)v t t =+千米/小时从B 到A 直线行驶，则甲、乙两人从出发到相遇所用的时间为（ ）
A ．60分钟 B.100分钟 C.120分钟 D.150分钟
【变式2】由截面积为22cm 的水管往外流水，打开水管时，水流速度
2()6(/)V t t t cm s =-，那么从0()t s =到6()t s =这段时间内流动的水量是
3
()cm .
【变式3】一质点在直线上从时刻0()t s =以速度2()43(/)V t t t m s =-+运动，则该质
点在时刻4()t s =时运动路程为（ ） A ．
4
3m B.83
m C.4m D.8m 三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）如何正确理解定积分的概念：
（二）()a b
f x dx ?、|()|b a
f x dx ?与|()|b
a
f x dx ?的几何意义：
（三）利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：
知识点：定积分与微积分基本定理
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID ：#cgcp0#233073 做基础达标部分ID ：#cgcp1#233073的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目ID ：#cgcp2#233073的测试。
总结规律和方法——强化所学
相关内容请参看网校资源ID ：#tbjx13#233073
成果测评
现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的
测试。
自我反馈
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理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。
我的收获
习题整理
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错题
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知识导学：定积分与微积分基本定理（#233073）
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