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定积分和微积分基本定理知识梳理

定积分和微积分基本定理

【考纲要求】

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。【知识网络】

【考点梳理】

要点一、定积分的概念

定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<

()()n n

n i i i i b a

I f x f n

ξξ==-=?=∑∑

，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作

()b

f x dx ?

，即()b

f x dx ?＝1

lim ()n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-∑

，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.

要点诠释：

（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质（1）()()b

a a

kf x dx k f x dx =?

?（k 为常数），

（2）[]1212()()()()b

b b

a a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±?

??，

（3）

()()()b

c b

f x dx f x dx f x dx =+?

??（其中b c a <<），

（4）利用函数的奇偶性求积分：

若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则

()0b

b f x dx -=?

；若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则

0()2()b

f x dx f x dx -=?

定积分的概念

定积分的性质

微积分基本定理

定积分的几何意义及应用

要点三、微积分基本定理

如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则

()()()b

f x dx F b F a =-?

,其中()F x 叫做)(x f 的一

个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.

一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()

F x .因此，微积分基本定理可以写成形式：

()()

()()b

f x dx F x F b F a ==-?

要点诠释：

求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分

dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与

x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.

在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分

dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；

在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分

dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线

b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.

要点五、应用

（一）应用定积分求曲边梯形的面积

1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b

S f x dx f x g x dx =

=-?

?；

2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]b

b b

S f x dx f x dx g x f x dx =

=-=-?

??；

3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()b

b b

S f x dx f x f x dx f x dx =

-=-?

??.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()b

S v t dt =

②变力作功

物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到

x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =

()b

F x dx ?

【典型例题】

类型一：运用微积分定理求定积分例1. 运用微积分定理求定积分

（1）

-π

)cos (sin dx x x ；（2）dx x

x x ?

+-2

(；（3）?-+0)(cos πdx e x x .

【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，

∴

(sin cos )(cos sin )2-=--=?

x x dx x x π

π；

（2）∵2321

(ln )23'-+=-+x x x x x x

， ∴

232

()(ln )

ln 223

x x x x dx x x -+=-+=-?

（3）∵(sin )cos '+=+x

x e x e ，

∴

01(cos )(sin )

1x x x e dx x e e π

+=+=-

?；【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数

()F x 。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求()F x ，即利用求导函数与求原

函数互为逆运算。

举一反三：

【变式】计算下列定积分的值：

（1）

dx x x ?

+20

)sin (π

，（2）1

(8)x x dx -?

【解析】（1）2

2200

1(sin )(cos )

x x dx x x ππ

π+=-=

（2）91

01871

(8)()0ln893ln 29

x x

x x dx -=-=-?

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】

例2.

求

【解析】

2420

420

sin cos sin cos sin cos (cos sin )(sin cos )(sin cos )(cos sin )

112

x x dx x x dx x x dx

x x dx x x dx

x x x x π

ππ

==-=-+-=-+-=++--=--+=-?????

【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三：

【变式】计算下列定积分的值. （1）

[(4)]x x dx --?

；（2）2

(1)x dx -?；（3

）2

dx ?；【解析】（1）

33111

120[(4)](4)(2)33

x x dx x x dx x x ----=-=-=??，（2）223324322

111131(1)(331)()424

x dx x x x dx x x x x -=-+-=-+-=??.

（3

）

222211

1117(2)(2ln )|ln 222dx x dx x x x x =++=++=+?

例3.求定积分

3,[0,1]

()[1,2]2,[2,3]x x x f x x x ?∈=∈∈??

，求函数)(x f 在区间[]3,0上的积分；

【解析】

()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx =++?

2x x dx dx =++??

34212322

01243

ln 2x

x x =++

12ln 2

+. 【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。举一反三：【变式】求定积分：3

1x dx -?

；

【解析】

1x dx -?

＝1

1x dx -?＋3

1x dx -?

2 0

＝

(1)x dx -?

＋3

(1)x dx -?

＝2123

11()|()|22x x x x -

+- ＝15222

+= 类型二：利用定积分的几何定义

例4. （2016 河南商丘模拟）

求定积分：0

；

【解析】设y =

224x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示4

个圆，

由定积分的概念可知，所求积分就是4

圆的面积,

所以0144

ππ=?=?

举一反三：

【变式】求定积分：

【解析】设y =2

16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，

其面积2

S S S π?=+=+扇形

故

π=+?

类型三：利用定积分求平面图形面积例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的

阴影部分的面积为( )

212

x dx -?

B. ()2

dx -?

C. ()2

dx -?

()()1

2221

110

x dx x dx -+-?

【答案】A

【解析】由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的

面积相等，即

212

x dx -?

，选

【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：

（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；

（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；（5）计算各个定积分，求出所求的面积.

举一反三：

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】

【变式1】由直线12x =，2x =，曲线1

y x

=及x 轴所围图形的面积为( ). A ．154 B ．17

C ．1ln 22

D ．2ln 2

【解析】2

ln ln 2ln()2ln 22

S dx x x

==-=?

【答案】D

【变式2】(2015 江西宜春月考)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．

【解析】∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝3x 2－2x ＋1＝2，

∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .

y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图：

由22y x y x

?=?=?可得交点A (2,4)． ∴y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积

()223201842|433320S x x dx x x ?

?=-=-=-= ??

类型四：利用定积分解决物理问题

例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 1.8a =米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，

当0t =时，汽车速度032v =公里/小时＝

321000

3600

?米/ 秒≈8.88米/秒.

刹车后汽车减速行驶，其速度为0()8.88 1.8V t V at t =-=-. 当汽车停车时，速度()0V t =，故从()8.88V t =到()0V t =用的时间8.880

4.931.8

t -=

≈秒. 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是

4.93

()(8.88 1.8)S V t dt t dt ==-?

＝2 4.93

(8.88 1.8)|21.902

t t -?≈米.

即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.

【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.

举一反三：

【变式1】一物体在力()34F x x =+的作用下，沿着与F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处，求力F 所做的功。

【解析】4

0()(34)W F x dx x dx =

=+?

?24

03(4)|402

x x =+=.

【变式2】一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55

()51v t t t

=-+

+（单位：/m s ）紧急刹车至停止。求：

（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；（2）紧急刹车后火车运行的路程。【解析】（1）由55

()501v t t t

=-+

=+解得10t =，因此，火车经过10s 后完全停止；（2）10

55(5)1s t dt t =

-++?

=10

1555ln(1)2t t t ??

-++????55ln11()m =。

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c