当前位置：
文档之家› 定积分和微积分基本定理知识梳理
定积分和微积分基本定理知识梳理
定积分和微积分基本定理
【考纲要求】
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。
2.正确计算定积分，利用定积分求面积。 【知识网络】
【考点梳理】
要点一、定积分的概念
定积分的定义：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<
1
1
()()n n
n i i i i b a
I f x f n
ξξ==-=?=∑∑
，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记作
()b
a
f x dx ?
，即()b
a
f x dx ?＝1
lim ()n
i n i b a
f n
ξ→∞
=-∑
，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式.
要点诠释：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 要点二、定积分的性质 （1）()()b
b
a a
kf x dx k f x dx =?
?（k 为常数），
（2）[]1
2
12()()()()b
b b
a a
a
f x f
x dx f x dx f x dx ±=±???，
（3）
()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??（其中b c a <<），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数()y f x =在区间[],b b -上是奇函数，则
()0b
b f x dx -=?
； 若函数()y f x =在区间[],b b -上是偶函数，则
0()2()b
b
b
f x dx f x dx -=?
?.
定积分的概念
定积分的性质
微积分基本定理
定积分的几何意义及应用
要点三、微积分基本定理
如果'()()F x f x =，且)(x f 在[]b a ,上连续，则
()()()b
a
f x dx F b F a =-?
,其中()F x 叫做)(x f 的一
个原函数.由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数.
一般地，原函数在[]b a ,上的改变量)()(a F b F -简记作()
b
a
F x .因此，微积分基本定理可以写成形式：
()()
()()b
b
a
a
f x dx F x F b F a ==-?
.
要点诠释：
求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
要点四、定积分的几何意义
设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续. 在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与
x 轴围成的曲边梯形的面积；如图（1）所示.
在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分
?
b
a
dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；
在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，定积分
?
b
a
dx x f )(的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线
b x a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的代数和. 在x 轴上方的面积积分时取正号，在x 轴下方的面积积分时，取负号.如图（2）所示.
要点五、应用
（一）应用定积分求曲边梯形的面积
1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b
b
a
a
S f x dx f x g x dx =
=-?
?；
2. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x = (0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]b
b b
a
a
a
S f x dx f x dx g x f x dx =
=-=-?
??；
3. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()0f x f x ≥≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积公式为：1212[()()]()()b
b b
a
a
a
S f x dx f x f x dx f x dx =
-=-?
??.
4.利用定积分求平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； （3）写出定积分表达式； （4）求出平面图形的面积. （二）利用定积分解决物理问题 ①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()b
a
S v t dt =
?
.
②变力作功
物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到
x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =
()b
a
F x dx ?
.
【典型例题】
类型一：运用微积分定理求定积分 例1. 运用微积分定理求定积分
（1）
?
-π
)cos (sin dx x x ； （2）dx x
x x ?
+-2
1
2
)1
(； （3）?-+0)(cos πdx e x x .
【解析】（1）∵(cos sin )sin cos '--=-x x x x ，
∴
00
(sin cos )(cos sin )2-=--=?
x x dx x x π
π；
（2）∵2321
(ln )23'-+=-+x x x x x x
， ∴
232
22
1
1
15
()(ln )
ln 223
6
x x x x dx x x -+=-+=-?
.
（3）∵(sin )cos '+=+x
x
x e x e ，
∴
01(cos )(sin )
1x x x e dx x e e π
π
π
--
+=+=-
?； 【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得()()F x f x '=的原函数
()F x 。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求()F x ，即利用求导函数与求原
函数互为逆运算。
举一反三：
【变式】计算下列定积分的值：
（1）
dx x x ?
+20
)sin (π
， （2）1
80
(8)x x dx -?
【解析】（1）2
2
2200
1(sin )(cos )
12
8
x x dx x x ππ
π+=-=
+?
（2）91
8
01871
(8)()0ln893ln 29
x x
x x dx -=-=-?
【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题四】
例2.
求
【解析】
2420
4
420
4
420
4
sin cos sin cos sin cos (cos sin )(sin cos )(sin cos )(cos sin )
112
x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx
x x x x π
π
π
ππ
π
ππ
π
π
==-=-+-=-+-=++--=--+=-?????
【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止. 举一反三：
【变式】计算下列定积分的值. （1）
3
1
[(4)]x x dx --?
； （2）2
3
1
(1)x dx -?； （3
）2
2
1
dx ?； 【解析】（1）
3
3
22
33111
120[(4)](4)(2)33
x x dx x x dx x x ----=-=-=??， （2）223324322
111131(1)(331)()424
x dx x x x dx x x x x -=-+-=-+-=??.
（3
）
2
222211
1117(2)(2ln )|ln 222dx x dx x x x x =++=++=+?
?.
例3.求定积分
3,[0,1]
()[1,2]2,[2,3]x x x f x x x ?∈=∈∈??
，求函数)(x f 在区间[]3,0上的积分；
【解析】
3
1
2
3
1
2
()()()()f x dx f x dx f x dx f x dx =++?
??
?1
3
3
1
2
2x x dx dx =++??
?
34212322
01243
ln 2x
x x =++
54
12ln 2
=-
+. 【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。 举一反三： 【变式】求定积分：3
1x dx -?
；
【解析】
3
1x dx -?
＝1
1x dx -?＋3
1
1x dx -?
2
2 0
＝
1
(1)x dx -?
＋3
1
(1)x dx -?
＝2123
01
11()|()|22x x x x -
+- ＝15222
+= 类型二：利用定积分的几何定义
例4. （2016 河南商丘模拟）求定积分：2
20
4x dx -?
；
【解析】设24y x =
-，则224x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示4
1
个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是4
1
圆的面积,
所以22
01444
x dx ππ-=?=?
举一反三： 【变式】求定积分：
2
20
16x dx -?
【解析】设216y x =-，则2
2
16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，
其面积2
233
S S S π?=+=+扇形, 故
2
20
2
16233
x dx π-=+?
.
类型三：利用定积分求平面图形面积 例5.(2015 山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的
阴影部分的面积为( )
A.
212
x dx -?
B. ()2
12
x
dx -?
C.
()2
12
0x
dx -?
D. ()()1222
1
110
x dx x dx -+-??
【答案】A
【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的
面积相等，即
212
x dx -?
，选A.
【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤
是：
（1）画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；
（2）找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间（即积分上下限）；
（3）确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；
（4）写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；
（5）计算各个定积分，求出所求的面积.
举一反三：
【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577 典型例题一】
【变式1】由直线
1
2
x=，2
x=，曲线
1
y
x
=及x轴所围图形的面积为( ).
A．15
4
B．
17
4
C．
1
ln2
2
D．2ln2
【解析】
22
11
22
11
ln ln2ln()2ln2
2
S dx x
x
===-=
?
【答案】D
【变式2】(2015 江西宜春月考)已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
【解析】∵(1,2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1,2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝3x2－2x＋1＝2，
∴过点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图：
由
2
2
y x
y x
?=
?
=
?
可得交点A(2,4)．
∴y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
()223201842|433320S x x dx x x ?
?=-=-=-= ??
??
类型四：利用定积分解决物理问题
例6. 汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度 1.8a =米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，
当0t =时，汽车速度032v =公里/小时＝
321000
3600
?米/ 秒≈8.88米/秒.
刹车后汽车减速行驶，其速度为0()8.88 1.8V t V at t =-=-. 当汽车停车时，速度()0V t =， 故从()8.88V t =到()0V t =用的时间8.880
4.931.8
t -=
≈秒. 于是在这段时间内，汽车所走过的距离是
4.93
4.93
()(8.88 1.8)S V t dt t dt ==-?
?
＝2 4.93
01
(8.88 1.8)|21.902
t t -?≈米.
即在刹车后，汽车需走过21.90 米才能停住.
【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.
举一反三：
【变式1】一物体在力()34F x x =+的作用下，沿着与F 相同的方向，从0x =处运动到4x =处，求力F 所做的功。
【解析】4
4
0()(34)W F x dx x dx =
=+?
?24
03(4)|402
x x =+=.
【变式2】 一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度55
()51v t t t
=-+
+（单位：/m s ）紧急刹车至停止。求：
（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程。 【解析】（1）由55
()501v t t t
=-+
=+解得10t =，因此，火车经过10s 后完全停止； （2）10
55(5)1s t dt t =
-++?
=10
20
1555ln(1)2t t t ??
-++????55ln11()m =。
【巩固练习】
1.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）
A ．
1
4
B ．
15
C ．
16
D ．
17
2．若函数f (x )，g (x )满足1-1?f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：
①()1sin
2f x x =， ()1
cos 2
g x x =； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.
其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3．1
0x m e dx =
?与11
e
n dx x
=?
的大小关系是（ ） A.m n > B.m n < C.m n = D.无法确定
4．下列结论中错误的是（ ） A ．[()()]b
a f x g x dx ±=
?()b
a
f x dx ?
±
()b
a
g x dx ?
B ．()()b
b a a
kf x dx k f x dx =??
C ．
()b
a f x dx ?
＝()c
a
f x dx ?＋()b
c
f x dx ?（其中)a c b <<
D ．[]2
()b
a f x dx ?＝2
()b a f x dx ??????
?
5．下列定积分值为0的有（ ） A.
?
-2
2
sin xdx x B. ?-2
22cos xdx x
C.
?
-+2
2
5
2)(dx x x D. ?-++2
2
53)15(2dx x x
6．已知)(x f 为偶函数且
8)(6
=?
dx x f ，则=?-6
6
)(dx x f （ ）
A.0
B.4
C.8
D.16 7．定积分=---?
dx x x 1
2))1(1(（ ）
A.
4
2-π B.
12-π C.
41-π D. 2
1
-π
8．曲线]2
3,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（ ） A ．4
.2B
C ．
2
5
D ．3
9．一辆汽车以速度2
3t v =的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（ ） A.
3
1
B.1
C.3
D.27 10．已知自由落体运动的速度gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为（ ）
A ．3
2
0gt 2
0.B gt
C ．2
2
0gt
D ．6
2
0gt
11．（2016 河北邯郸模拟）
2
1
1
(-)x dx x
=?
.
12．(2015合肥模拟)设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足??0a
f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________.
13．设2,01()2,12
x x f x x x ?≤≤=?-<≤?，则20
()f x dx ?＝ ；
14．（2016 江西师大模拟）已知2
(sin cos )a x x dx π
=+?
，在（1+ax ）6（1+y ）4的展开式中，xy 2项
的系数为 ．
15．求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积． 16.（2015春 长春校级月考）
已知由曲线y =
4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积为
S .
(1)画出图象 (2)求面积S. 【参考答案与解析】
1.C
【解析】31
22
01211)(),1326
0S x dx x x S ==-==?Q 正阴影,故16P =, 2．【答案】C
【解析】 对于①，1-1?sin
12x cos 12x d x ＝1-1?1
2
sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，1-1? (x ＋1)(x －1)d x ＝1-1? (x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，1-1?x ·x 2d x ＝1-1?x 3d x ＝0，所以③是一
组正交函数．选C.
3．A 【解析】1
110
x x
m e dx e
e =
==-?
，1
1
ln 11e
e n dx x x
===?
4．D 5．D
【解析】设35
12()2(5),()2f x x x f x =+=
则3535
12()2(51)2(5)2()()f x x x x x f x f x =++=++=+
∵12(),()f x f x 在区间[]2,2-上是奇函数， ∴
2
22
35
122
2
2
2(51)()()0x x dx f x dx f x dx ---++=+=?
??
6. D
【解析】)(x f 为偶函数，则6
6
6
()2()16f x dx f x dx -==?
?
7. D
【解析】
?
中的被积函数1)y x =≤≤恰是一个位于x 轴上方的半圆，
其面积为2
π，故2π=?，又1012xdx =?
∴=---?dx x x 102
))1(1(2
1-π
8．D 9．D
【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：3
3
23
33270
vdt t dt t ===?
?
10．C
11. 【答案】1﹣ln2 【解析】
2
2
11
1()(ln )2ln 21ln11ln 2x dx x x x
-=-=--+=-?
12.【答案】1 【解析】()()'0
0a f x dx f a ==?
，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a >0，故a ＝1.
13．
56
14．【答案】72 【解析】2
20
(sin cos )(cos sin )
112a x x dx x x π
π
=
+=-+=+=?
所以在（1+2x ）6（1+y ）4的展开式中，xy 2项为1222(2)726
4
C x C y xy =，所以系数为72．
15．【解析】首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x . 又易判断出在)0 , 1(-内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方， 所以所求面积为dx x x x A ?
-++--
=0
1
2
3)2(dx x x x ?
++-+
2
23)2(12
37
=
16.【解析】（1）图象如图所示：
（2）曲线2y x =
4y x =-的交点坐标()2,2A ，
32
200
12214222|2233
S xdx x ∴=+??=+=?
微积分基本定理
微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书（人教版）高二年级数学（选修2-2）第一章第六节内容，本节内容共设计两个课时，这是第一课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会求简单的定积分。 （2）过程与方法目标：通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。（根据教材内容特点及教学目标的要求） 难点：了解微积分基本定理的含义。（根据学生的年龄结构特征和心理认知特点） ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、
微积分基本定理(17)
1.6 微积分基本定理（ 2） 一、【教学目标】 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数． 能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
7.微积分基本定理练习题
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 111．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c 微积分基本定理 教案
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基 本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？ 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?
定积分及微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c微积分基本定理的应用
1.6.2微积分基本定理的应用 主编：徐其海 审核：张安永 一.学习目标 1.能理解导数于定积分的内在联系，掌握微积分基本定理，根据定积分的值解释其几何意义. 2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分. 3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分 二.重难点 1重点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 2难点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解. 三.知识链接. 1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解. 一般的，如果f(x)是区间[]b a ,上的连续函数，并且),()(|x f x F =那么)()()(a F b F x f a b -=?.这个结论叫微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式 （1） 计算定积分dx x f a b )(?的关键是找到满足函数)()(|x f x F =的函数)(x F . （2） 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出)(x F . 如cdx m n bxdx m n dx ax m n dx c bx ax m n ????++=++22)(， 分成各个简单的函数进行积分较简单，求导运算和求)(x F 的运算是互逆的运算. （3） ,|)(F )()(b a x a F b F 记成-即)()(|)()(a F b F x F dx x f a b b a -==? （4） 只有f(x)在区间[]b a ,上连续，定积分dx x f a b )(?才存在 （5） 实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同，故 dx x f a b )(?可以写成[][]c a F c b F +-+)()(，但结果与)()(a F b F -相同，故省略了c 2. 复合函数的定积分 求复合函数的定积分主要依据定积分的性质 （1） 有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和.即
微分学的基本定理
微分学的基本定理 【费马（Fermat）定理】 若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有 )(x f )(0x f ≤， 或者)(x f )(0x f ≥； （ii）函数)(x f 在0x 点可导， 则有 0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是 +'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ), 另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有 ≤--0 0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有 0)()(0 0≥--x f x f .再由极限性质得 )(0x f '=+'f （0x ）=lim 0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0 -→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0. 对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明. 这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线
)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线. 【拉格朗日（Lagrange）中值定理】 这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理. 若函数)(x f 满足 （i） 在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导， 则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使 )(ξf '=a b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是 = ?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明. 证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的. 由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明. (1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M 和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有 )) ()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得 0)(='ξf . 而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立. 对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】. (2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[] 1
§1.6微积分基本定理
1.6微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： （1）2 11dx x ?； （2）3211(2)x dx x -?。 解：（1）因为'1(ln )x x =， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 （2））因为2''211()2,()x x x x ==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算 120x dx ? 解：由于313 x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
微积分基本定理说课稿
《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：
知识讲解_微积分基本定理
微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
微积分基本定理
微积分基本定理(教案)(总4 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积 分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？ 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?？
解读定积分与微积分基本定理
解读定积分与微积分基本定理 一、知识点精析 知识点1 曲边梯形的面积 曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =，x b =和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形，求曲边梯形面积可分为四个步骤： （1）分割：将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形．从区间[]a b ，上看，用1n +个分点将区间[]a b ，分成n 个小区间（不一定相等）． （2）近似代替：在每个小区间1[](12)i i x x i n -=L ，， ，，内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤，以()i f ξ为高，1i i i x x x -?=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ?，用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值． （3）求和：将分割成的n 个矩形面积加起来，其和为1 ()n i i i f x ξ=?∑，它是所求曲边梯 形的面积的近似值． （4）取极限：将曲边梯形无限的细分（即分点越多），上面的近似值 1 ()i n i x i f ξ=? ∑就越 接近于曲边梯形的面积，当i x ?中的最大值{}max 0i x λ=?→时， 1 ()n i i i f x ξ=?∑的极限 1 lim ()n i i i i f x ξ→=?∑存在，则这个极限值就是曲边梯形的面积． 知识点2 定积分 设函数()y f x =定义在区间[]a b ，上，用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=L ，把 区间[]a b ，分成n 个小区间，其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +?=-=-L ， ，，，记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间的长度都趋近于0，在每个小区间内任取一点i ξ，作和式1 ()n n i i i I f x ξ-== ?∑．当0λ→时，如果和式的极限存在，我们把和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记作 ()b a f x dx ? ，即 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ-→==?∑? ．其中，()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限， ()f x dx 叫做被积式，此时称函数()f x 在区间[]a b ，上可积．
高中数学16微积分基本定理(教案)
三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
最新214定积分与微积分的基本定理-副本
214定积分与微积分的基本定理-副本
第十四节定积分与微积分基本定理 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解定积分的实际背 景，了解定积分的基本思 想，了解定积分的概念． 2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题． 2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等． 3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3， 山东T15，上海T13等． 4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等. [归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念 在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x ＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)． ②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数． (3)定积分的基本性质 ①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x. ②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x. ③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.
[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？ 提示：相等． 2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算． 3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？ 提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理 如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )， 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )． [自测·牛刀小试] 1.∫421x d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：选D ∫421x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( ) A.176 B.14 3 C.136 D.116 解析：选A S ＝∫21(t 2 －t ＋2)d t ＝ ???? ??13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：∫20x 2 d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：83 4．(教材改编题)∫101－x 2 d x ＝________.
微积分基本定理教案
微积分基本定理教案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
微积分基本定理 一：教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二：教学重难点 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含 义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点：了解微积分基本定理的含义 三：教学过程： 1、知识链接： 定积分的概念： 用定义计算的步骤： 2、合作探究： ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例： 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 设()()F x f x '=则在[,]a b 上，⊿y=()()F b F a - 将[,]a b 分成n 等份，在第i 个区间[x i-1,x i ]上，记⊿yi=F(x i )-F(x i-1),则 ⊿y=∑⊿y i 如下图，因为⊿h i =f(x i-1) ⊿x 而⊿y i ≈⊿h i 所以 ⊿y ≈∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x 故 ⊿y=lim ∑⊿h i =∑f(x i-1) ⊿x= ?b a dx x f )( 即?b a dx x f )(=()()F b F a -
数学：1.6 微积分基本定理(教案)
1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1()T T v t dt ?=12()() S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()() b a f x dx F b F a =-?若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()() b a f x dx F b F a =-?
