定积分与微积分基本定理复习讲义
[备考方向要明了
]
考什么怎么考
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．
2.考查简单定积分的求解．
3.考查曲边梯形面积的求解．
4.与几何概型相结合考查．
[归纳·知识整合]
1．定积分
(1)定积分的相关概念：在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．
(2)定积分的几何意义
①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等
于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质： ①∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x .
②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x .
③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x .
[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫b a f (t )d t 是否相等？
提示：相等．
2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．
3．定积分∫b a [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？
提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积．
2．微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F (b )－F (a )记成F (x )|b a ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．
课前预测：
1.∫421x
d x 等于( ) A ．2ln 2 B ．－2ln 2 C ．－ln 2
D ．ln 2 2．(教材
习
题改
编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
A.176
B.143
C.136
D.116 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．
4．(教材改编题)∫101－x2d x ＝________.
5．由y ＝1
x ，直线y ＝－x ＋5
2
所围成的封闭图形的面积为________
考点一 利用微积分基本定理求定积分
[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；
(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21?
????e2x ＋1x d x ； (5)20π? sin 2x 2d x . ———————————————————
求定积分的一般步骤：
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；
(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；
(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；
(5)计算原始定积分的值．
强化训练：
1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2) 20π?
1－sin 2x d x .
考点二 利用定积分的几何意义求定积分
[例2] ∫10－x2＋2x d x ＝________. 变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x 的值． ———————————————————
利用几何意义求定积分的方法
(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．
(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．
强化训练：
2．(2014·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．
考点三：利用定积分求平面图形的面积
[例3] (2014·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B ．4 C.163
D ．6 变式训练：
若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？
———————————————————
利用定积分求曲边梯形面积的步骤
(1)画出曲线的草图．
(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、
下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．
(4)计算定积分，写出答案．
强化训练：
3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，
x ＝1，y ＝14
所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A.23 B.13 C.12 D.14
考点四：定积分在物理中的应用
[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4
m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？
———————————————————
1．变速直线运动问题
如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .
2．变力做功问题
物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .
强化训练：
4．一物体在力F (x )＝
错误!(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为(
)
A ．44 J
B ．46 J
C ．48 J
D ．50 J
1个定理——微积分基本定理
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．
3条性质——定积分的性质
(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；
(3)积分可分段进行．
3个注意——定积分的计算应注意的问题
(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；
(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.
易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点
[典例] (2013·上海高
考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ? ??
??12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．
[易误辨析]
1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．
2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．
3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：
(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时
能正确分割图形；
(2)准确确定被积函数和积分变量．
变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为(
) A.112 B.14 C.13 D.712
2．(2014·山东高考)设a >0.若曲线y ＝
x
与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.
定积分与微积分基本定理检测题
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1.∫e 11＋ln x x d x ＝( )
A ．ln x ＋12ln 2x B.2e －1 C.32
D.12 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )
A.2π5
B.43
C.32
D.π2 3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若
∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )
A ．±1 B. 2 C ．±3 D ．2
4．设f (x )＝错误!则错误!错误!f (x )d x ＝( )
A.34
B.45
C.56
D ．不存在
5．以初速度40
m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )
A.1603 m
B.803 m
C.403 m
D.203
m 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.12 B ．1 C.32 D.3 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．
8．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23
，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．
9．(2013·孝感模拟)已知a ∈?
?????0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．计算下列定积分：
(1)20π
? sin 2
x d x ； (2)∫32? ?????x ＋1x 2d x ； (3)120?e 2x d x .
11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．
12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．
备选习题
1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12
s ～6 s 间的运动路程为________． 2．计算下列定积分：
(1)3
1-? (3x 2
－2x ＋1)d x ； (2)∫e 1? ????x ＋1x ＋1x2d x . 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13
x 所围成图形的面积． 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s )满足函数关系式v (t )＝
错误!某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7
673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选
的对象之一？
定积分与微积分基本定理复习讲义答案
前测：1.Ｄ ２.Ａ ３.83 ４.14π ５.158
－2ln 2 例１：(1)193. (2)2. (3)143. (4)12e 4－12e 2＋ln 2. (5)π－24
. 变式１：解：(1)|x －1|＝错误!故错误!错误!|x －1|d x ＝错误!错误!
(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x ＝? ????x －x22 |10＋? ??
??x22－x |21＝12＋1
2＝1. (2)
20
π?
1－sin 2x d x ＝
20
π?
|sin x －cos x |d x ＝
40
π?
(cos x －sin
x )d x ＋24
π
π? (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )40
π＋(－cos x －sin x ) 24
ππ
＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 例２：[自主解答]
∫10
－x2＋2x d x 表示y ＝
－x2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积由y ＝－x2＋2x
得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又
∵
0≤x ≤1，
∴
y ＝
－x2＋2x
与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π
4. ∴∫10
－x2＋2x d x ＝π
4.
互动：
解
：
∫
2
0－x2＋2x
d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 ∫20－x2＋2x d x ＝
π
2
. 变式２.
2－1 例３.Ｃ 互动：7
6
. 变式３.Ｄ
例４：[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t .令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)．设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，
则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |500 ＝20×50－0.2×502＝500(m)，
即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．变式４.46
典例：[解析] 由题意可得
f (x )＝
?
????
10x ，0≤x≤1
2，10－10x ，12 ? ???? 10x2，0≤x≤1 2，10x －10x2，12 与x 轴围成图形的面积为1 20 ?10x 2d x ＋112 ?错误！未找到引用源。 (10x －10x 2 )d x ＝103 x 3 1 20 ＋? ??? ?5x2－103x31 12 错误！未找到引用源。＝5 4 . [答案] 54 变式5. １.Ａ ２. 4 9 检测题答案 ＣＢＣＣＡＤ ７.4＋2ln 2 ８.2423 ９.π4 10.解：(1) π4. (2)92＋ln 32. (3) 12e －1 2 . 11.解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝∫10(x －x 2 )d x ＝? ????x22－13x3 |10＝1 6. 又? ?? ?? y ＝x －x2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4 ＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2 －kx )d x ＝? ?? ??1－k 2x2－13x3 |1－k 0＝16 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.6 微积分基本定理（ 2） 一、【教学目标】 重点：使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点：利用微积分基本定理求积分；找到被积函数的原函数． 能力点：正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩 证唯物主义观点，提高理性思维能力. 自主探究点：通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义. 易错点：准确找到被积函数的原函数，积分上限与下限代人求差注意步骤，以免符号出错. 考试点：高考多以填空题出现，以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义：如果函数() f x在区间[,] a b上连续，用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b，将区间[,] a b等分成n个小区间，在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n，作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分，记作() b a f x dx ?，即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[,] a b叫做积分区间，函数() f x叫做被积函数，x叫做积分变量，() f x dx叫做被积式. 2．定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥，那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==（a b ≠），0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程： 规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。 专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A. 3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝ ∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解： ． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C. 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1 11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________． 三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为 ＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c 专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . （2）在 ()d b a f x x ? 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做积分区间，函数()f x 叫做被 积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质 （1）()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??； （3） ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0定积分与微积分基本定理练习题及答案
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