1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案
1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx
C .S =??01(y2-y)dy
D .S =??01(y -y)dy [答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0
1(x -x2)dx.
2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A .a B .a C .c D .c [解读] a =??02xdx =1 2x2|02=2,b =??02exdx =ex|02=e2-1>2,c =??02sinxdx =- cosx|02=1-cos2∈(1,2), ∴c 3.(2010·理,7)由曲线y =x2,y =x3围成的封闭图形面积为( ) A. 112B.14C.13D.7 12 [答案] A [解读] 由? ?? ?? y =x2 y =x3得交点为(0,0),(1,1). ∴S =??0 1(x2-x3)dx = ? ??? ????13x3-14x401=112. [点评] 图形是由两条曲线围成的时,其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分,请再做下题: (2010·师大附中)设点P 在曲线y =x2上从原点到A(2,4)移动,如果把由直线OP ,直线y =x2及直线x =2所围成的面积分别记作S1,S2.如图所示,当S1=S2时,点P 的坐标是 ( ) A.? ????43,169 B.? ????45,169 C.? ????43,157 D.? ?? ??45,137 [答案] A [解读] 设P(t ,t2)(0≤t ≤2),则直线OP :y =tx ,∴S1=??0t(tx -x2)dx =t3 6;S2= ??t 2(x2-tx)dx =83-2t +t36,若S1=S2,则t =43,∴P ? ????43,169. 4.由三条直线x =0、x =2、y =0和曲线y =x3所围成的图形的面积为( ) A .4 B.43C.18 5D .6 [答案] A [解读] S =??0 2x3dx = ? ?? x4402=4. 5.(2010·省考试院调研)? ?1-1(sinx +1)dx 的值为( ) A .0 B .2 C .2+2cos1 D .2-2cos1 [答案] B [解读] ??1-1(sinx +1)dx =(-cosx +x)|-11=(-cos1+1)-(-cos(-1)-1)= 2. 6.曲线y =cosx(0≤x ≤2π)与直线y =1所围成的图形面积是( ) A .2π B.3π C. 3π 2 D .π [答案] A [解读] 如右图, S =∫02π(1-cosx)dx =(x -sinx)|02π=2π. [点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决,但若把积分区间改为 ? ?? ??π6,π,则对称性就无能为力了. 7.函数F(x)=??0 xt(t -4)dt 在[-1,5]上( ) A .有最大值0,无最小值 B .有最大值0和最小值-32 3 C .有最小值-32 3,无最大值 D .既无最大值也无最小值 [答案] B [解读] F′(x)=x(x -4),令F′(x)=0,得x1=0,x2=4, ∵F(-1)=-73,F(0)=0,F(4)=-323,F(5)=-25 3. ∴最大值为0,最小值为- 32 3 . [点评] 一般地,F(x)=??0 x φ(t)dt 的导数F′(x)=φ(x). 8.已知等差数列{an}的前n 项和Sn =2n2+n ,函数f(x)=??1x 1 t dt ,若f(x) 的取值围是( ) A.? ?? ?? 36,+∞B .(0,e21) C .(e -11,e) D .(0,e11) [答案] D [解读] f(x)=??1x 1 t dt =lnt|1x =lnx ,a3=S3-S2=21-10=11,由lnx<11得, 0 9.(2010·一中)如图所示,在一个长为π,宽为2的矩形OABC ,曲线y =sinx(0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC 随机投一点(该点落在矩形OABC 任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A. 1πB.2πC.3πD.π 4 [答案] A [解读] 由图可知阴影部分是曲边图形,考虑用定积分求出其面积.由题意得S =??0π sinxdx =-cosx|0π=-(cosπ-cos0)=2,再根据几何概型的算法易知所求概率P = S S 矩形OABC =22π=1 π . 10.(2010·质检)函数f(x)=???? ? x +2-2≤x<02cosx 0≤x ≤π 2的图象与x 轴所围成的图形面积 S 为( ) A.32B .1 C .4 D.1 2 [答案] C [解读] 面积S =∫π2-2f(x)dx =??0-2(x +2)dx +∫π 202cosxdx =2+2=4. 11.(2010·二十中)设函数f(x)=x -[x],其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[-1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数g(x)=-x 3,f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m ,f(x) 与g(x)的图象交点的个数记为n ,则??m ng(x)dx 的值是( ) A .-52 B .-43 C .-54 D .-76 [答案] A [解读] 由题意可得,当0 数有4个交点,所以m =1,n =4,则??m ng(x)dx =??14? ?? ??-x 3dx = ? ??-x2614=-5 2. 11.(2010·调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛,比赛规则如下:甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b 、c 可以相等),若关于x 的方程x2+2bx +c =0有实根,则甲获胜,否则乙获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( ) A.13 B.23 C.12 D.3 4 [答案] A [解读] 方程x2+2bx +c =0有实根的充要条件为Δ=4b2-4c ≥0,即b2≥c , 由题意知,每场比赛中甲获胜的概率为p = ??01b2db 1×1 =1 3 . 12.(2010·省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),曲 线y =x2(x ≥0)与x 轴,直线x =1构成区域M ,现将一个质点随机地投入正方形中,则质点落在区域M 的概率是( ) A.12 B.14 C.13 D.25 [答案] C [解读] 如图,正方形面积1,区域M 的面积为S =??01x2dx =13x3|01=13,故所求概率p =13 . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .23 B .2- 3 C.323D.35 3 [答案] C [解读] 图中阴影部分面积为 S =??-31 (3-x2-2x)dx =(3x -13x3-x2)|1-3=32 3. 3.??024-x2dx =( ) A .4π B.2π C .π D.π 2 [答案] C [解读] 令y =4-x2,则x2+y2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4 ×π×22=π. 4. 已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t1时刻,甲车在乙车前面 B .在t1时刻,甲车在乙车后面 C .在t0时刻,两车的位置相同 D .t0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解读] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t0,t1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分,即速度函数v(t)的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:在t0时刻,v 甲的图象与t 轴和t =0,t =t0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t =0,t =t0围成区域的面积,因此,在t0时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C ,D 错误;同样,在t1时刻,v 甲的图象与t 轴和t =t1围成区域的面积,仍然大于v 乙的图象与t 轴和t =t1围成区域的面积,所以,可以断定:在t1时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A. 5.(2012·日照模拟)向平面区域Ω={(x ,y)|-π4≤x ≤π 4,0≤y ≤1}随机投掷一点, 该点落在曲线y =cos2x 下方的概率是( ) A.π4 B.1 2 C.π2-1 D.2π [答案] D [解读] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是 π 2 ,在这个区 6. (sinx -cosx)dx 的值是( ) A .0 B.π 4 C .2 D .-2 [答案] D [解读] (sinx -cosx)dx =(-cosx -sinx) =-2. 7.(2010·模拟)??02(2-|1-x|)dx =________. [答案] 3 [解读] ∵y =??? ?? 1+x 0≤x ≤1 3-x 1 , ∴??02(2-|1-x|)dx =??01(1+x)dx +??12(3-x)dx =(x +12x2)|10+(3x -12x2)|21=32+32 =3. 8.(2010·十二中)已知函数f(x)=3x2+2x +1,若? ?1-1f(x)dx =2f(a)成立,则a = ________. [答案] -1或13 [解读] ∵??1-1f(x)dx =??1-1(3x2+2x +1)dx =(x3+x2+x)|1-1=4,??1- 1f(x)dx =2f(a),∴6a2+4a +2=4, ∴a =-1或1 3 . 9.已知a =∫π20(sinx +cosx)dx ,则二项式(a x -1 x )6的展开式中含x2项的系数 是________. [答案] -192 [解读] 由已知得a =∫π20(sinx +cosx)dx =(-cosx +sinx)|π20=(sin π2-cos π 2) -(sin0-cos0)=2, (2x - 1x )6的展开式中第r +1项是Tr +1=(-1)r×C r 6×26-r×x3-r ,令3-r =2得, r =1,故其系数为(-1)1×C 16×25=-192. 10.有一条直线与抛物线y =x2相交于A 、B 两点,线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4 3 ,求线段AB 的中点P 的轨迹方程. [解读] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ,a2),B(b ,b2),不妨设a b -a (x -a), 即y =(a +b)x -ab. 则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S =??a b[(a +b)x -ab -x2]dx =(a +b 2x2-abx - x33)|b a =16 (b -a)3, ∴16(b -a)3=4 3 , 解得b -a =2.设线段AB 的中点坐标为P(x ,y), 其中? ???? x =a +b 2,y =a2+b2 2.将b -a =2代入得??? ?? x =a +1, y =a2+2a +2. 消去a 得y =x2+1. ∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y =x2+1. 能力拓展提升 11.(2012·二测)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=??034xdx ,则公比q 的值为( ) A .1 B .-1 2 C .1或-12 D .-1或-1 2 [答案] C [解读] 因为S3=??034xdx =2x2|30=18,所以6q +6 q2+6=18,化简得2q2-q -1=0, 解得q =1或q =-1 2 ,故选C. 12.(2012·模拟)已知(xlnx)′=lnx +1,则??1elnxdx =( ) A .1 B .e C .e -1 D .e +1 [答案] A [解读] 由(xlnx)′=lnx +1,联想到(xlnx -x)′=(lnx +1)-1=lnx ,于是??1elnxdx =(xlnx -x)|e 1=(elne -e)-(1×ln1-1)=1. 13.抛物线y2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积为________. [答案] 18 [解读] 由方程组? ?? ?? y2=2x , y =4-x ,解得两交点A(2,2)、B(8,-4),选y 作为积分变量x =y2 2 、x =4-y , ∴S =??-42 [(4-y)-y22]dy =(4y -y22-y3 6)|2-4=18. 14. 已知函数f(x)=ex -1,直线l1:x =1,l2:y =et -1(t 为常数,且0≤t ≤1).直线l1,l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用S2表示.直线l2,y 轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示,其面积用S1表示.当t 变化时,阴影部分的面积的最小值为________. [答案] (e -1)2 [解读] 由题意得S1+S2=??0t(et -1-ex +1)dx +??t 1(ex -1-et +1)dx =??0t(et - ex)dx +??t 1(ex -et)dx =(xet -ex)|t 0+(ex -xet)|1t =(2t -3)et +e +1,令g(t)=(2t - 3)et +e +1(0≤t ≤1),则g′(t)=2et +(2t -3)et =(2t -1)et ,令g′(t)=0,得t =1 2, ∴当t ∈[0,12)时,g′(t)<0,g(t)是减函数,当t ∈(1 2,1]时,g′(t)>0,g(t)是增函数, 因此g(t)的最小值为g(12)=e +1-2e 1 2=(e -1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e - 1)2. 15.求下列定积分. (1)??1-1|x|dx 。 (2)??0πcos2x 2dx ; (3)∫e +121 x -1 dx. [解读] (1)??1-1|x|dx =2??01xdx =2×1 2x2|10=1. (2)??0πcos2x 2dx =??0π1+cosx 2dx =12x|π0+12sinx|π0=π 2. (3)∫e +121 x -1 dx =ln(x -1)|e +12=1. 16.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a ,b ∈R)的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为1 12 ,求a 的值. [解读] f ′(x)=-3x2+2ax +b ,∵f ′(0)=0,∴b =0, ∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x =0或x =a(a<0). ∴S 阴影=??a 0[0-(-x3+ax2)]dx =(14x4-13ax3)|0a =112a4=112, ∵a<0,∴a =-1. 1.(2011·质检)已知函数f(x)=sin5x +1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几 何意义,探求 f(x)dx 的值,结果是( ) A.16+π 2 B .π C .1 D .0 [答案] B [解读] f(x)dx =sin5xdx +1dx ,由于函数y = sin5x 是奇函数,所以sin5xdx =0,而 1dx =x|π2-π 2 =π,故选B. 2.若函数f(x)=???? ? -x -1 -1≤x<0,cosx 0≤x<π 2,的图象与坐标轴所围成的封闭图形的 面积为a ,则a 的值为( ) A. 2+π4 B.1 2 C .1 D.32 [答案] D [解读] 由图可知a =12+???0 π 2cosxdx =12+sinx|π20=32. 3.对任意非零实数a 、b ,若a ?b 的运算原理如图所示,则2???0 πsinxdx =________. [答案] 22 [解读] ∵??0πsinxdx =-cosx|π0=2>2, ∴2???0 πsinxdx =2?2=2-12=2 2. 4.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若??01f(x)dx =f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________. [答案] 33 [解读] ??01f(x)dx =??01(ax2+c)dx =(ax33+cx)|10=a 3+c ,故a 3+c =ax20+c ,即ax20= a 3,又a≠0,所以x20=13,又0≤x0≤1,所以x0=33.故填3 3 . 5.设n =??12(3x2-2)dx ,则(x -2 x )n 展开式中含x2项的系数是________. [答案] 40 [解读] ∵(x3-2x)′=3x2-2, ∴n =??12(3x2-2)dx =(x3-2x)|21 =(23-2×2)-(1-2)=5. ∴(x - 2 x )5的通项公式为Tr +1=Cr 5x5-r(-2 x )r =(-2)rCr 5x 5- 3r 2 ,令5-3r 2 =2,得r =2, ∴x2项的系数是(-2)2C25=40. 1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 1.6 微积分基本定理 一、教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学过程 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ?=3101|3x =33111033?-?=13 例2.计算下列定积分: 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 专题06 定积分与微积分基本定理 1.由曲线,直线轴所围成的图形的面积为() A.B.4C.D.6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点(4,2), 因此曲线y,直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为: S. 故选:A. 2.设f(x)=|x﹣1|,则=() A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示,根据定积分的几何意义可知,定积分等于阴影部分的面积,故定积分为 ,故选A. 3.曲线与直线围成的封闭图形的面积是() A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 令,则,所以曲线围成的封闭图形面积为 ,故选D 4.为函数图象上一点,当直线与函数的图象围成区域的面积等于时,的值为 A.B.C.1D. 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx = ∴ 故选:C 5.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A.B.1C.D. 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分,故选B. 6.如图,矩形中曲线的方程分别是,在矩形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积,根据用几何概型概率计算公式有所求概率为,故选A. 7.() A.B.-1C.D. 【答案】C 【解析】 解: . 故选:C. 8.,则T的值为 A.B.C.D.1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一,且圆的面积为π, ∴, ∴. 故选A. 9.下列计算错误 ..的是() A.B. C.D. 【答案】C 【解析】 在A中,, 在B中,根据定积分的几何意义,, 在C中,, 根据定积分的运算法则与几何意义,易知,故选C. 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 0 ()d b a f x x ? =1 lim ()n i n i b a f n ξ→∞ =-∑ . (2)在 ()d b a f x x ? 中,a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a ,b ]叫做积分区间,函数()f x 叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f (x )d x 叫做被积式. 4.定积分的性质 (1)()()d d b b a a kf x x k f x x =??(k 为常数); (2)[()()]d ()d ()d b b b a a a f x g x x f x x g x x ±=±? ??; (3) ()d =()d +()d b c b a a c f x x f x x f x x ? ??(其中a 定积分与微积分基本定理 基础热身 1.已知f (x )为偶函数,且 ??0 6f(x)d x =8,则? ?6-6f(x)d x =( ) A .0 B .4 C .8 D .16 2. 设f(x)=??? x 2,x ∈[0,1], 1 x ,x ∈1,e ] (其中e 为自然对数的底数),则??0 e f(x)d x 的值为( ) B .2 C .1 3.若a =??0 2x 2d x ,b =??0 2x 3d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A .a A .0 B .1 C .0或1 D .以上均不对 9.如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ,为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ,则力所做的功为( ) A . J B . J C . J D . J 10.设函数y =f(x)的定义域为R +,若对于给定的正数K ,定义函 数f K (x )=????? K ,fx ≤K ,fx ,fx >K , 则当函数f (x )=1x ,K =1时,定积分??214f K (x)d x 的值为________. (x -x 2)d x =________. 12. ∫π 20(sin x +a cos x)d x =2,则实数a =________. 13.由抛物线y 2 =2x 与直线x =12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________. 14.(10分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c 的图象如图K 15-2所示,直线y =0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4,求f(x)的解析式. 图K 15-2 15.(13分)如图K 15-3所示,已知曲线C 1:y =x 2与曲线C 2:y =-x 2+2ax(a>1)交于点O 、A ,直线x =t (0 1.6微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 21()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 21()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数,则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明:因为()x Φ=()x a f t dt ?与()F x 都是()f x 的原函数,故 ()F x -()x Φ=C (a x b ≤≤) 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ,且()a Φ= ()a a f t dt ?=0 即有C=()F a ,故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =,有()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用()|b a F x 表示()()F b F a -,即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1.计算下列定积分: (1)2 11dx x ?; (2)3211(2)x dx x -?。 解:(1)因为'1(ln )x x =, 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=?。 (2))因为2''211()2,()x x x x ==-, 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x x -=-??? 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习:计算 120x dx ? 解:由于313 x 是2x 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有微积分基本定理(17)
定积分与微积分基本定理练习题及答案
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
定积分及微积分基本定理练习题及答案
高中数学选修2-2公开课教案16微积分基本定理
高中数学~定积分和微积分基本原理
高中数学之定积分与微积分基本定理含答案
7.微积分基本定理练习题
2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理
专题13 定积分与微积分基本定理知识点
定积分与微积分含答案
§1.6微积分基本定理
(完整版)高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解()