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高考数学常见陷阱大搜索
上海市七宝中学李广学
在高考中，为了考查考生思维的严谨性和深刻性，常常需要设计一些具有陷阱的试题，以期扩大考试梯度、提高信度。由于高考时间非常紧迫，来不及对问题深思熟虑，如果学生对知识和方法的掌握有缺陷，那么将毫无意识地纷纷落入陷阱，等到考试后，脑子清醒下来又会恍然大悟，影响情绪，打击信心。为了解决这个问题，现将常见的陷阱进行暴光，防止解题失误，提升高考数学成绩．
1．集合A、，A?B=?时，必须注意到“极端”情况：A=?或B=?；A?B=A?A?B,必须注意到A=?。例如：已知，A=x x2 2 范围。 由条件知道，A?B,必须讨论a≤0时的A=?的情况。 2．函数的两个性质： （1）如果函数y=f (x)对于一切x∈R，都有f(a+x)=f(a-x)，那么函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. （2）函数y=f (a+x)与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=0对称. 这两感个问题是有本质区别的，（1）是研究一个函数的图象性质，（2）是研究两个函数的图象性质 3．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，必须注意函数的定义域。例如：求函数f(x)=x2-1(x≥1)的反函数。正确答案为f-1(x)=x+1(x≥0)。 4．原函数y=f(x)在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数y=f(x)也单调 ?x,x≥0 ? 递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．例如：函数y=?1存在反函数， ,x∈(-1,0)此函数不具备单调性． 5．函数的定义域关于原点对称是这个函数具有奇偶性的必要非充分条件。 例如：函数 y= 1 + sin x + cos x y= 1 sin θ +cos θ = 1 ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是 0, ?,[0, ],[0,π ] . π π ,当 x= 时函数值为 1，当 x=- 时函数没有意义，所以不具备 1 + sin x - cos x 2 2 奇偶性，没有必要进行化简。 6． 在处理与正（余）切、正（余）割有关的问题时，必须考虑他们本身的定义域。例如：求函数 π 的定义域。必须考虑 2x ≠ k π + , k ∈ Z . 1 - tg 2 x 2 7． 三 角 函 数 求 值 时 ， 要 注 意 范 围 的 压 缩 ， 否 则 容 易 产 生 增 解 。 例 如 ： 已 知 3 4 , θ ∈ (0,π ) ,求 ctg θ 的值。两边平方后用万能公式，可以得到 ctg θ =- 或者- ， 5 4 3 ? π 3π ? 3 把范围压缩到 , ? ，就知道解为- 。 ? 2 4 ? 4 8． 对数函数有关的问题，必须注意真数与底数的限制条件，真数大于零，底数大于零且不等于1， 字母底数还需要讨论。例如：求函数 f(x)=log 0.5 (x 2 -5x-6)单调区间。必须在定义域内进行，正确 答案为（6，+ ∞ ） 9． “实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有实数解”转化为“ ? = b 2 - 4ac ≥ 0 ”，必须注意 a ≠ 0 ；当 a=0 时，“方程有解”不能转化为 ? = b 2 - 4a c ≥ 0 ．若原题中没有指出是“二次” 方程、函数或不等式，需要考虑到二次项系数可能为零的情形。 例如：函数 f(x)=(a 2 -1)x 2 +2(a-1)x+1 的图象恒在 x 轴的上方，必须考虑 a=1 的情形。 10． 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，必须注意到它们各自的 取值范围。 ? π ? π ? 2 ? 2 ②直线的倾斜角、 l 到 l 的角、 l 与 l 的夹角的取值范围依次是[0,π ),[0,π ),[0, 1 2 1 2 π 2 ] ． ③向量的夹角的取值范围是[0，π] 11．在立体几何的图形分析时，要考虑各种方位所带来的各种可能的情形。例如：与四面体四个顶 点距离相等的平面有几个？应该考虑平面的一旁 1 个点另外一旁 3 个点，以及两旁都是两个点 的情况，所以共有 7 个平面。 12．现在研究一元二次方程时，应该分清系数是实数还是虚数，即使是系数是实数还应该分是实根 ? a + b ? 2 , k , x+ 4 , x ∈ (0,π ) y ≥ 2 sin 2 x ? 4 = 4, 所以y 的最小值为4。但是 sin 2 x = ? sin 4 x = 4。这 是 不 , , ( ) 1 1 还是虚根，因为两者的处理方法不同。例如：若α, β 为方程 x 2 +4x+m=0(m ∈ R)的两个根，并 且 α - β ＝２，求 m 的值得。本题应该分α, β 为实根还是虚根两种情况分别解决，正确答案 为 m=3 或５。 13．对于一个与无理方程、分式方程、对数方程或者不等式有关的问题，必须进行结论的检验。例 如：已知向量 a = {2,-3,0}b = { ,0,3}若a 与b 所成角为120o , 则k = __ 。 容易求出 k = ± 39, 但是验证后知， k = 39为增根，所以 k = - 39. 14．换元和消元时必须注意参数的取值范围，保证变化前后的等价性。例如：若关于 x 的方程 25 - x +1 - 4 ? 5 - x +1 = m 有实根，求实数 m 的取值范围。通常是用换元法，令 t = 5 - x +1 。命题等 价变化为：方程 t 2 - 4t - m = 0 在 (0,1 ] 内有实根。而不是新方程有实根。 15．用重要不等式 a + b ≥ 2 ab 以及变式 ab ≤ ? 等求函数的最值时，要注意到 a ，b ∈ R + ? 2 ? （或 a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积 ab 或和 a ＋b 其中之一应是定值。例如：求 y=sin 2 sin 2 x 的 最 小 值 。 有 这 样 一 种 做 法 ， 4 sin 2 x sin 2 x 可能成立的。正确的方法应该是令 t= sin 2 x ∈ (0,1 ] 这样 y=t+ 4 ,t ∈ (0,1 ] 然后利用奈克函数的 t 性质可以求出 y 的最小值为 5。 16．利用数形结合解题时，必须注意变量的范围对图形的影响。例如：已知 A = {x, y) kx - y = 0}， { } B = ( x , y) y = x - 1 ，若 A B = Φ ，求实数 k 的取值范围。问题可以转化为直线 y=kx 与半抛物线 y 2 =x-1(y ≥ 0)不相交时 k 的取值范围。不能认为是整个抛物线。 17．在进行曲线平移时，必须准确确定平移的方向与平移的单位。例如：曲线 y=2lg(3x-1)经过怎样 的平移时，就能得到 y=2lg3x 的图象？首先变形为 y=2lg3(x- 1 3 )，就可以从符号与数值上确定向 左平移 1 3 个单位。容易误认为向向左平移 1 个单位。 18．在 解 决 与 范 围 有 关 的 问 题 时 ， 对 区 间 的 端 点 要 引 起 特 别 关 注 。 例 如 ： 已 知 A= ( - 5 - 2 x ,1 + 5 - 2 x , A ? Z = {}，求 x 的范围。因为 A 中有唯一的整数，所以 5 - 2 x ” n = 2 n , 得到a = ? ?2 n -1 , n ≥ 2 a {} a ? ，且被圆 x 2 + y 2 = 25 截得的弦长为 8，求此弦所在直 ? 的直线有几条？如果用截矩式 x . 应该介于 0 与 1 之间，0 和 1 能否取得呢，要专门讨论，当 5 - 2 x =1 时，A=(0,2),适合要求； 当 5 - 2 x =0 时，A= Φ ,不适合要求。所以 0< 5 - 2 x ≤ 1,答案为 2 ≤ x < 5 2 。 19．在分类讨论时，首先确定分类标准，然后要既不重合也不遗漏的全方位进行讨论。例如： 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． 20．在应用等比数列求前 n 项和时，需要分类讨论．q = 1 时，S = na ；q ≠ 1 时，S = n 1 n a (1 - q n ) 1 1 - q 。 21．用 a = S - S n n n -1 求数列的通项公式时，必须注意到 a = S 的特殊情形。 1 1 例如：在数列 { }中，由 S n n ?2, n = 1 22． q n 有极限时，则 q < 1 或 q = 1 ，在求数列 q n 的极限时，你注意到 q ＝1 时，q n = 1 这种特例 了吗？例如：数列的通项公式为a = (3x - 1)n ，若{ n 案为 0 < x ≤ 2 . 3 n }的极限存在，求 x 的取植范围. 正确答 23．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优 先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．特别 要分清是排列还是组合问题，只要你交换两个元素的顺序解不变是组合问题，如果解改变则是 排列问题。 24．设直线方程时，一般可设直线的斜率为 k ，你是否注意到直线垂直于 x 轴时，斜率 k 不存在的 情况？例如：一条直线经过点 - 3,- ? 3 ? 2 ? 线的方程。该题就要注意，不要漏掉 x+3=0 这一解. 25．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式的局限性例 如：经过点 A(2,3)并且与原点距离等于 2 的直线方程。如果用点斜式时，只能求出 5x-12y+26=0, 还有一条斜率的直线 x=2 容易被忽视。 26．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.例如：经过点 P(1,2),在两个坐标轴上的截矩相等 y + = 1 只能求出一条，另外通过原点的一条直线 y=kx 在两条 a a 坐标轴上的截距都是 0，也是截距相等，它容易被遗忘。本题有两个解 x+y-3=0 和 y=2x. 27．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别 式?≥0的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在?>0下进行）.另外在 使用“点差法”时，千万不要忘记验证判别式。例如：双曲线x2y2 -=1中，被点P(2,1)平94 分的弦的所在直线方程是————（） (A)8x-9y-7=0(B)8x+9y-25=0(C)4x-9y-6=0(D)不存在 如果用“点差法”获得8x-9y-7=0，再演算判别式发现?<0，所以选择(D)。 高考中的陷阱是因人而异的，有的同学知识与方法掌握得心应手，做起题目来一马平川。有的同学知识与方法掌握得不够全面，可能会防不胜防，不知不觉落入陷阱。因为数学中陷阱无法一一列举，这篇文章的目的是抛砖引玉，敲响警钟，希望大家能够辨析有关概念，关注公式与法则的适用范围，把握各种方法的使用条件等，争取不犯低级错误，获得满意成绩 【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期 期中考试数学试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 集合的真子集有________个 2. 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示） 3. 命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”） 4. 某个时钟时针长6，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是 ________ 5. 函数是奇函数，则实数的值为________ 6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为________ 7. 在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________ 8. 已知函数，则的解集是________ 9. 若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________ 10. 已知常数，函数的图象经过点， ．若，则______． 11. 已知函数，若，则 的最大值是________ 12. 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________ 二、单选题 13. “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 14. 若函数的反函数为，则函数与的图象可能是 A．B．C．D． 15. 在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形； （2）若，则△为直角三角形； （3）若，则△为等腰直角三角形； （4）若，则△为正三角形； 以上正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 16. 是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题 17. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标 . （1）求的值； （2）若，求点坐标. 18. 如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米. （1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发 前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多 长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 19. 问题：正数、满足，求的最小值. 其中一种解法是：，当且仅当 2019学年七宝中学高一年级下学期期中考试 数学试卷 1、函数的最小正周期是 【答案】 XXXXX： 【解析】 XXXXX： 2、函数的对称轴方程是 【答案】 ， 【解析】 XXXXX：， 3、在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则 【答案】 【解析】 XXXXX： 4、若锐角、满足，，则 【答案】 【解析】 5、函数的单调递减区间为 【答案】 ， 【解析】 XXXXX： 6、已知（），则（用反正弦表示） 【答案】 【解析】 XXXXX： 7、方程的解是 【答案】 或， 【解析】 XXXXX：先用辅助角公式 8、在△中，角、、的对边分别为、、，面积为，且，则 【答案】 【解析】 XXXXX：， 9、若将函数（）的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是 【解析】 XXXXX： 10、已知函数，对任意，都有不等式恒成立，则的最小值为 【答案】 【解析】 XXXXX：比较的大小1 1、已知函数（），下列命题：① 函数是奇函数；② 函数在区间上共有13个零点；③ 函数在区间上单调递增；④函数的图像是轴对称图形、其中真命题有（填所有真命题的序号）【答案】 ②④ 【解析】 为的对称轴，故①错④对；所以区间有共计13个零点，故②对；在区间不可能单调，故③错。 12、已知是正整数，且，则满足方程的有个 【答案】 11 【解析】 只有当除外等式两边都等于0才成立。有正弦函数的性质可知在时有两解，所以二、选择题 13、“”是“”的（） 【A】 充分非必要条件 【B】 必要非充分条件 【C】 充要条件 【D】 既非充分条件又非必要条件 【答案】 B 【解析】 前面不能推后面，后面可以推前面 14、将函数图像上的点向左平移（）个单位，得到点，若位于函数的图像上，则（） 【A】 ，的最小值为 【B】 ，的最小值为 【C】 ，的最小值为 【D】 ，的最小值为 1 2016学年第一学期七宝中学高一新生入学摸底考试数学试卷 一、选择题（每小题有仅一个正确答案，每题 3 分） 1. 已知0a b ，则下列不等式不一定成立的是（ ）． （A ）2ab b （B ）a c b c （C ） 11 a b （D ）ac bc 2. 若不等式组21 13 x x a 的解集为2x ，则a 的取值范围是（ ）． （A ）2a （B ）2a （C ）2a （D ）2a 3. 若11,2M y ，21,4N y ，31,2P y 三点都在函数k y x （0k ）的图像上，则123 y y y 、、的大小关系为（ ）． （A ）213y y y （B ）231y y y （C ）312y y y （D ）321y y y 4. 已知22y x 的图像是抛物线，若抛物线不动，把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2 个单位， 那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）． （A ） 2 222y x （B ） 2 222y x （C ） 2222y x （D ） 2 222y x 5. 中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20个商标中，有 5 个商标牌的 背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖、参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会．某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）． （A ）14 （B ）16 （C ）15 （D ）3 20 6. 将水匀速注入一个容器，时间（t ）与容器水位（h ）的关系如图所示，则容器的形状是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 七宝中学高三月考数学卷 2016.10 一. 填空题 1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A = 4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ?=+(||)2π?<的图像关于点4(,0)3 π中心对称，则?= 6. 若12 2log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 7. 已知0x >，0y >，1211 x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||2AB =，||3AC =，若AP AB AC λ=+， 且AP BC ⊥，则实数λ的值为 9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红 包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的 最小值，则实数t = 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 12. 已知函数1,0()42,0 x x x x f x x --?+>?=?-≤??，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实 数a 的取值范围是 13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6 a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 2019年上海市闵行区七宝中学高考数学一模试卷 一、选择题（本大题共4小题） 1.设集合P1={x|x2+ax+1＞0}，P2={x|x2+ax+2＞0}，其中a∈R，下列说法正确的是（） A. 对任意a，P1是P2的子集 B. 对任意a，P1不是P2的子集 C. 存在a，使得P1不是P2的子集 D. 存在a，使得P2是P1的子集 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式的性质得：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0，由x2+ax+2＞0，不能推出x2+ax+1＞0，由集合间的关系得：P1P2，得解． 【详解】解：由x2+ax+1＞0，则有x2+ax+2=x2+ax+1+1＞0+1＞0， 由x2+ax+2＞0，则有x2+ax+1=x2+ax+2-1＞-1，不能推出x2+ax+1＞0， 即P1P2， 故选：A． 【点睛】本题考查了集合间的关系，不等式的性质，属简单题． 2.△ABC中，a2：b2=tan A：tan B，则△ABC一定是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知a2：b2=tan A：tan B，利用正弦定理及同角基本关系对式子进行化简，然后结合二倍角公式在进行化简即可判断. 【详解】解：∵a2：b2=tan A：tan B， 由正弦定理可得， ∵sin A sin B≠0 ∴ ∵sin A cosA=sin B cosB即sin2A=sin2B ∵2A=2B或2A+2B=π ∵A=B或A+B=，即三角形为等腰或直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理的应用，式子变形是解题的关键和难点． 3.抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长度为3，则点M的纵坐标的最小值为（） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长 与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值. 【详解】由题意设，，，直线的方程为， 联立方程，整理得 ，∵∵ 点M的纵坐标∵ 弦的长度为 ，即 ∵ 整理得，即 根据基本不等式∵，当且仅当∵时取等，即∵ ∵点的纵坐标的最小值为. 故选A. 【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用∵解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用. 2018年七宝中学高一下开学考试卷 2018.03 一. 填空题 1. 函数()lg(23)x x f x =-的定义域为 2. 已知集合{1,0,}A a =-，{||1|1}B x x =-<，若A B ≠?，则实数a 的取值范围是 3. 函数2 1 46 y x x = -+的值域为 4. 不等式33(1log )(log )0x a x +->的解集是1(,9)3 ，则实数a 的值为 5. 若函数()f x 的图像过点(1,2)，则1 ()1f x --的图像经过点 6. 设m R ∈，若43 ()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递减区间是 7. 关于x 的方程9(4)310x x a ++?+=有实数解，则实数a 的取值范围为 8. 已知函数1 ()ln(1) 1 a x f x x x ?≥? =? -且1a ≠，b R ∈），()1 g x x =+，若对任意实数x 均有 ()()0f x g x ?≤，则有 13 a b +的最小值为 11. 211 {|,1}k A y y kx x kx k ==+ ≤≤，其中2,3,,2018k =???，则所有k A 的交集为 12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =的值域是 D ， 函数(())y p q x =的值域是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”， 已知定义域为[,]a b 的函数2 ()|3| h x x = -，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是 ()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 2020届上海市七宝中学高三三模数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设a 、b 分别是直线a 、b 的方向向量，则“a ∥b ”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 2．某学校有2500名学生，其中高一600人，高二800人，高三1100人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本本数分别为a 、b ，且直线480ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于B 、 C 两点，且120BAC ∠=?，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)9x y -++= C ．22(1)(1)4x y -++= D ．22(1)(1)3x y -++= 3．函数2cos(2)26 y x π =+ -的图像按向量a 平移后所得图像的函数解析式为 ()y f x =，当函数()f x 为奇函数时，向量a 可以等于（ ） A ．(,26 )π - B ．(),26 π - C ．( 212 ,)π - D ．()212 ,π - 4．已知F 为抛物线2 4y x =的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点， 当0FA FB FC ++=时，则存在横坐标2x >的点A 、B 、C 有（ ） A ．0个 B ．2个 C ．有限个，但多于2个 D ．无限多个 第II 卷（非选择题） 上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期10月月 考数学试题 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 不等式的解集为________； 2. 已知集合，，则_________. 3. 设，则是成立的________条件； 4. 不等式的解集为________； 5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是____________. 6. 已知，若，则或”是_______命题（填“真”或“假”）. 7. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 __________ 8. 已知，，若，则实数的取值范围是________； 9. 已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是 ________； 10. 已知关于的方程的两个根，，且在区间上恰好有两个正整数解，则实数的取值范围是________. 11. 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，设，，其中表示不超过的最大整数， ．若用表示不等式解集区间的长度，则当 时，________； 12. 对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合．已知，，用 表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为________； 二、单选题 13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A．B． C．D． 14. 设集合A=若A B,则实数a,b必满足 A．B． C．D． 15. 已知函数，且，，集合 ，则下列结论中正确的是（） A．任意，都有B．任意，都有 C．存在，都有D．存在，都有 16. 设，，.记集合，，若、分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（） A．，B．， C．，D．， 三、解答题 17. 已知关于的不等式：． （1）当时，求此不等式的解集； （2）当时，求此不等式的解集． 18. 命题甲：关于的方程有两个相异负根；命题乙：不等式 对恒成立． （1）若这两个命题至少有一个成立，求实数的取值范围； （2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数的取值范围． 19. 若存在满足下列三个条件的集合，，，则称偶数为“萌数”： ①集合，，为集合的个非空子集，，，两两之间的交集为空集，且；②集合中的所有数均为奇数，集合中的所有数均为偶数，所有的倍数都在集合中；③集合，，所有元素的 和分别为，，，且．注：． （1）判断：是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合，，，若不是“萌数”，说明理由． （2）证明：“”是“偶数为萌数”成立的必要条件． 20. 已知集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围； 2019-2020年上海市七宝中学高一上期中 一. 填空题 1. 已知集合，，且，则实数的取值范围是{|2019}A x x =≤{|}B x x a =>A B =R U a 2. 若集合，，若，则实数 {1,3}M =-2{3,21,2}N a a a =-++{3}M N =-I a =3. 命题“若不为零，则、都不为零”的否命题是 a b ?a b 4. 科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会(,)a b 得到一个新的实数：，如把放入其中，就会得到，现将21a b +-(3,2)-23(2)13?+--=实数对放入其中，得到实数，则 (,3)m m -9-m =5. 设函数，若，则 211()211 x x f x x x ?+≤=?+>?0()3f x =0x = 6. 已知函数，则 () f x =() g x =()()f x g x ?=7. 已知不等式的解集中有且只有5个整数，则实数的取值范围是 |1|x m - 2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷 一、填空题 1.已知全集U R =，集合{} 12A x x =->，则U C A =_________. 2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1 (5)f -=_________. 3. () 2 14732lim n n n →∞ +++ +-=_________. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 5.设函数2 ()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________. 6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________. 7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________. 9.已知函数()x f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1 g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则 14 a b +的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6 f x A x A π ωω=- >>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：① 0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π?? ???? 上单调递增；③方 程1 ()2 f x A = 一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________. 11.函数11 ()22 f x x =- ≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________. 【市级联考】上海市七宝中学2018-2019学年高一 上学期数学期中考试 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、填空题 1. 函数的定义域为________ 2. 已知集合，，则________ 3. 不等式的解集是________ 4. “若且，则”的否命题是__________________． 5. 已知，则的取值范围是________ 6. 若，，且，则的取值范围是_ 7. 若关于的不等式对一切实数都成立，则实数a 的取值范围是_________________． 8. 若函数，则________ 9. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__ 10. 已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________ 11. 当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________ 12. 已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集 （）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号） 二、单选题 13. 如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） A．B． C．D． 14. 下列各组函数中，表示同一函数的是（） A．与 B．与 C．与 D．（）与（） 15. “若a，b∈R＋，a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的( ) A．充要条件B．必要不充分条件 C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件 16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 （） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 三、解答题 17. 设集合，集合. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若中只有一个整数，求实数的取值范围. 18. 练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法： （当且仅当时等号成立），∴. 2019届上海市七宝中学高三上学期摸底考试数学试题 一、单选题 1．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1 b a <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】【详解】 若“0＜ab ＜1”，当a ，b 均小于0时，b ＞1a 即“0＜ab ＜1”?“b ＜1 a ”为假命题； 若“b ＜ 1a 当a ＜0时，ab ＞1，即“b ＜1a ”?“0＜ab ＜1”为假命题，综上“0＜ab ＜1”是“b ＜1 a ”的既不充分也不必要条件，故选D 2．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54 ππ -上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[6,)+∞ C ．5(,2][,)2-∞-+∞U D ．15 (,][6,)2 -∞-+∞U 【答案】C 【解析】先根据x 的范围求出x ω的范围,根据函数()f x 在区间[,]54 ππ -上存在最小值2-,然后对ω大于 0和小于0两种情况讨论最值,即可求得非零实数ω的取值范围. 【详解】 Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54 ππ - ①当0>ω时,,54x ππωωω?? ∈- ??? ? Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54 ππ -上存在最小值2- ∴ 5 2 π π ω- ≤- 可得:52 ω∴≥ ②当0ω<时,,4 5x π πωωω??∈-? ??? Q 函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54 ππ -上存在最小值2- ∴ 4 2 π π ω≤- 可得:2ω≤- 上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷 一、单选题 1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 （） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集， 不属于集合S，属于集合S的补集 即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩?I S 故答案为：C． 【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合. 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. （）与（） 【答案】D 【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数； 对于B选项的定义域为 的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数． 对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数. 故答案为：D. 【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可. 3.已知，则“ ”是“ ”的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条 件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1” 则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2?b2， ∴（a+b）2＜（1+ab）2 ∴ab+1＞a+b． 若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立． 综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件． 故答案为：A． 【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可. 4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） 七宝中学高三数学试题 2019.3.25 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）． 1．已知集合{1,3,}, {3,5}A m B ==，且B A ?，则实数m 的值是___________． 2．函数2 ()1f x x =- 的定义域是_____________． 3．函数2(2)x y x =≥的反函数是_______________． 4．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为_____________． 5．二项式8 32x x ? ?- ?? ?的展开式中的常数项为_____________． 6．已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ?=+，则z =________． 7．如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱 柱的左视图面积为______________． 8．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运动会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率是____________（结果用最简分数表示）． 9．已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c 在满足 (3)(4)0a c b c +?-=时，均能使||c b k -≤成立，则k 的最小值是___________． 10．已知函数()5sin(2),0,,[0,5]2f x x x πθθπ?? =-∈∈ ?? ? ，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,, ,n x x x x ，且1231n n x x x x x -<< 2019-2020年上海市七宝中学高一上12月月考 一. 填空题 1. 关于x 的不等式2420x x -++>的解集为 2. 设函数()(2)()f x x x a =++为偶函数，则实数a = 3. 对数表达式1log (5)x x --中的x 的取值范围是 4. 已知函数()()2g x f x =+是奇函数，且(2)1f =，则(2)f -= 5. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时，2()2f x x x =-，则0x <时，()f x = 6. 函数y =的最大值为 7. 已知函数2()(2)m f x m m x =+是定义在[0,)+∞上的幂函数，则(45)f x x +≥的解集为 8. 函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式 2(3)(22)f x f x +>+的解集为 9. 已知函数2()3f x x x a =+--在区间[1,1]-上有零点，则实数a 的取值范围是 10. 函数531x y x =--有 个零点 11. 若函数231()21 x x f x x m x ?≤=?-+>?的值域为(,3]-∞，则实数m 的取值范围是 12. 已知函数()f x 满足22(1)(1)()()2f x f x f x f x +-++-=，则(1)(2020)f f +的最大值是 二. 选择题 13. 已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，那么“()f x 、()g x 都是奇函数”是 “()()f x g x 为偶函数”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 七宝中学高三 数学模拟试题（理科） 一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． １．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿． 2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿． 3．在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小值是＿＿． 4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的的值为6，那么运行相应程序，输出的的值为＿＿． 5．若，则方程的解为＿＿＿＿． 6．已知正方形的四个顶点分别为，，，，点 分别在线段上运动，且，设与交于点，则点 的轨迹方程是＿＿＿． 7．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表： 其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）. 8．已知数列{}的通项公式为，则 +++的最简表达式为_____. 9 ．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________. 10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、 与直线所围成的图形的面积为_______. 11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时， n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n－4)……5×3×1． 现有如下四个命题：①(2018!!)·(2018!!)=2018!；② 2018!!=21007·1007!；③2018!!的个位数是0；④2018!!的个位数不是5．正确的命题是________． 12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______. 13．已知是内部一点，，记、、 的面积分别为、、，则________. 14. 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与： ，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别 祝您成绩进步，生活愉快！ 1 2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期数学期中考试 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题 1．如图，为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集 合是 A ． B ． C ． D ． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．与 B ． 与 C ．与 D ．（）与 （ ） 3．已知 ，则“ ”是“ ”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 二、填空题 5．函数的定义域为________ 6．已知集合 ， ，则 ________ 7．不等式的解集是________ 8．“若且 ，则”的否命题是__________________． 9．已知 ，则 的取值范围是________ 10．若 ， ，且 ，则 的取值范围是_ 11．若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的 取值范围是____ 12．若函数 ，则 ________ 此卷只 装订不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 上海市七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．方程cosx =sin π 6的解集为________. 2．设{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28a a +=_____． 3．求值：2sin arccos 3????-= ??????? _____． 4．函数()arccos sin y x =，2,33x ππ??∈- ??? 的值域是_____． 5．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*11 02 n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____． 6．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212 n n n n N + ++?+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项． 7．若()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为_____． 8．设数列{}n a 的通项公式为 ,1?31,32n n n n a n ≤≤?? =???-> ???? ?，则()12lim n n a a a →∞ +++=_____． 9．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，12,21,n n n a n n -?=?-?为正奇数 为正偶数 ，则9S =_____. 10．对于正项数列{}n a ，定义12323n n n H a a a na =+++ +为{}n a 的“光阴”值，现知 某数列的“光阴”值为2 2 n H n = +，则数列{}n a 的通项公式为_____． 11．ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 12．关于x 的方程()2 2 4 arctan cos 0x x a π-+?=只有一个实数根，则实数a =_____． 13．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知()()3 222014220132sin 3 a a π -+-=，() ()3 201320132015220132cos 6 a a π -+-=，则2014S =_____． 七宝中学高一下期中数学试卷 ，‘ 中正确的是 ①了⑴的一个周期为-2";②"的图像关于”-苔对称; 、填空题 若cosa 二一吏,贝ij cos2a 2 1. 2. 已知 Sillx = G 、 ,则 COSZ = 已知｛a,J 是等比数列，首项为3,公比为!，则前4项的和为 2020.5 4. 若 Van a = 3 ,贝I] sin 2^ 等差数列｛%｝的前力项和为S… ,山二1 ,则S 6. 2/7 已知扇形的圆心角为半径为5,则扇形的面积为 在数列｛%｝中，缶=5,命1=2”(心N*),则数列｛%｝的通项％ = 7. 8. 我国南宋著名数学家泰九韶发现了从三角形三边求三角形而积的、、三斜公式、?，设 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,面积为S,则“三斜求积“公式为 ( 7 ? ■ ? Q ? +c -/r ，若c 2 sinA = 4sinC,I3 =-，则用??三斜求积”公式求得△ ABC 的而积为 [-71 '、 9 -函数 y = sin 2x + — 的图像向右平移生个单位后与函数的图像重合，则下列结论 10.已知函数f(z) = 3sina: + 4cos 匸冬,工2司0/],则/(^)-/(^2)的最大值是 H.在锐角△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为Q,b,c ,若尸+")_。由)=成=1 ,则 0 — b 的取值范围为 12.已知数列｛%｝满足％=4,% =2%|+2”3,2,心^),若不等式 2〃2_〃_3v (5-幻％ 对任意心N*恒成立，则实数4的取值范围是 ③J? 6 '71 5 兀、 12? 12 ;是孑3)的一个零点；④八工)在-詩行 单调递减【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期期中考试数学试题
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