2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. x 2>0是x >0的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也必要条件
2. 在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b (2sinB +sinA )+(2a +b )sinA =2csinC ，
则C =( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
3. 已知函数f(x)=3x (x ∈R)的反函数为g(x)，则g(1
2)=( )
A. ?log 32
B. log 32
C. ?log 23
D. log 23
4. 已知点A(?4,0)，P(a,a +4)，圆O ：x 2+y 2=4，直线PM ，PN 分别与圆O 相切，切点为M ，
N.若MR
?????? =RN ?????? ，则|AR|的最大值为( ) A. 4
B. 2√2
C. 3√2
D. 4√2
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 集合A ={x|y =12
x+3,x ∈N,y ∈Z}，则A =______． 6. 不等式?x 2+2x >0的解集是______ ．
7. 设幂函数f(x)=(m +3)x m ，则f(2)?f(?2)= ______ ． 8. 设sin2α=?sinα，α∈(π
2,π)，则tan2α的值是__________．
9. 已知函数f(x)=cosx ?√3sinx ，则其对称轴方程为______，若f(x)≥1，则x 的取值范围为
______．
10. 在等差数列{a n }中，若a 3=?5，a 9=1，则a 5的值为______ ． 11. 函数f(x)={2x ,x ≤0
?x 2+1,x >0
的值域为______ ．
12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=(x +1)e x ，则对任意m ∈R ，函数
F(x)=f(f(x))?m 的零点个数至多有________个．
13. 若集合A ={x ∈Z|x 2?(a +2)x +2?a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围
是 ．
14. 若偶函数f(x)对定义域内任意x 都有f(x)=f(2?x)，且当x ∈(0,1]时，f(x)=log 2x ，则
f(15
2)=__________．
15. 在数列0?,?14?,?13?,?38?,?…?,?
n?12n
?,?…中，3
7是它的第______项．
16. 已知f(x)满足f(x)?f(y)=f(x
y )，且f(2)=1，f(8)=3，即f(128)=___． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2)的部分图象如图所示．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)将函数y =f(x)的图象向左平移π
6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)+2sin2x 的单调递减区间．
18. 已知函数f(x)=a ?2x +b 的图象过点A(1,3
2)，B(2,5
2)．
(1)求函数y =f(x)的反函数y =f ?1(x)的解析式； (2)若F(x)=f
?1
(2x?1)?log 12
f(x)，求使得F(x)≤0的x 取值范围．
19. 今年年初，某微小企业开发某项新产品，先期投入5万元启动资金，计划两年内逐月增加投入，
已知今年1月份投入资金0.1万元，以后每月比上个月多投入资金0.1万元，若该产品每个月的利润组成数列{a n }，
a n =
{n
5, n ∈[1,12],n ∈N ?52
, n ∈[13,24],n ∈N
?
．
(Ⅰ)求前n 个月的利润总和； (Ⅱ)设第n 个月的利润率b n =
第n 月利润
前n?1个月投入的资金总和
，求两年内哪一个月的利润率最大？并求出
最大利润率．
20. 设{a n }是等差数列，{b n }是均为正的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13．
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
}的前n项和S n．
(2)求数列{a n
b n
(n∈N?)，f(n)=(1?a1)(1?a2)…(1?a n)，试通过计21.已知数列{a n}的通项公式a n=1
(n+1)2
算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：由x 2>0得到：x ≠0， 而x ≠0推不出x >0，不是充分条件， 由x >0能推出x ≠0，是必要条件， ∴x 2>0是x >0的必要不充分条件， 故选：B ．
根据x 2>0，得到x 的范围和x >0比较即可．
本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题． 2.答案：C
解析：解：∵b(2sinB +sinA)+(2a +b)sinA =2csinC ，
∴由正弦定理可得：b(2b +a)+(2a +b)a =2c 2，整理可得：b 2+a 2?c 2=?ab ， ∴由余弦定理可得：
，
故选C ． 3.答案：A
解析：解：函数f(x)=3x (x ∈R)的反函数为g(x)， 可知，1
2=3x ，解得x =?log 32.
故选：A ．
直接利用反函数的定义，求解即可．
本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力． 4.答案：C
解析： 【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，以及交点线段最值问题，属于中档题． 【解答】
解：因为P 在y =x +4上，P(a,a +4)，
所以MN ：ax +(a +4)y =4，恒过B(?1,1)， 因为PO 垂直于MN ，
所以，R 在以OB 为直径的小圆上，
所以r =√2
2
，B(?1,1)?O′(?12,1
2),
所以|AR |MAX =√(72
)2+(12
)2
+√22
=3√2，
故选C
5.答案：{0,1，3，9}
解析：解：由题意，集合A ={x|y =12
x+3,x ∈N,y ∈Z}中的元素满足 x 是自然数，且y 是整数，由此可得x =0，1，3，9； 此时y 的值分别为4，3，2，1， 故答案为：{0,1，3，9}
根据题意，集合中的元素满足x 是自然数，且12
x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，求出对应的A ． 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题． 6.答案：{x|0 解析：解：?x 2+2x >0化为x(x ?2)<0，解得0 ?x 2+2x >0化为x(x ?2)<0，解出即可． 本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 7.答案：0 解析：解：由幂函数f(x)=(m +3)x m ，则m +3=1，解得m =?2． ∴f(x)=x ?2． f(2)?f(?2)=1 22?1 (?2)2=0． 故答案为：0． 利用幂函数的定义可得m ，代入即可得出． 本题考查了幂函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8.答案：√3 解析： 【分析】 本题主要考查特殊的三角函数值与二倍角公式． 【解答】 解：∵sin2α=2sinαcosα=?sinα，α∈(π 2,π)， ∴cosα=?1 2，则sinα=√32， ∴tanα=?√3， 则tan2α=2tanα1?tan 2α=√3． 9.答案：x =kπ?π 3，k ∈Z [?2π3 +2kπ,2kπ]，k ∈Z 解析：解：∵f(x)=cosx ?√3sinx =2cos(x +π 3)， ∴令x +π 3=kπ，k ∈Z ，可得：x =kπ?π 3，k ∈Z ， ∴对称轴方程为：x =kπ?π 3，k ∈Z ， ∵f(x)=2cos(x +π 3)≥1，可得：cos(x +π 3)≥1 2， ∴x +π 3∈[?π 3+2kπ,π3+2kπ]，k ∈Z ， ∴x 的取值范围为：[? 2π3 +2kπ,2kπ]，k ∈Z ． 故答案为：x =kπ?π 3，k ∈Z ，[? 2π3 +2kπ,2kπ]，k ∈Z ． 原式可化简为：f(x)=2cos(x +π 3)，由余弦函数的图象即可计算得解． 本题主要考察了余弦函数的图象及其性质，考查了转化思想，属于基础题． 10.答案：?3 解析：解：∵等差数列{a n }中，a 3=?5，a 9=1， ∴{a 3=a 1+2d =?5a 9=a 1+8d =1 ， 解得a 1=?7，d =1， ∴a 5=?7+4×1=?3． 故答案为：?3． 利用等差数列的性质列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 5的值． 本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 11.答案：(?∞,1] 解析：解：∵x ≤0， ∴0 ∴f(x)=?x 2+1<1， 综上所述，f(x)≤1， 故答案为：(?∞,1]． 按分段函数分段求f(x)的取值范围，从而解得． 本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用． 12.答案：3 解析： 【分析】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查数形结合以及分类讨论思想，是较难题．当x<0时，利用导数判断函数的单调性，结合函数奇偶性画出函数图象，令t=f(x)分析图象得方程f(x)=t至多3个根，方程f(t)=m至多有一个根，t∈(?1,1)，从而得解． ，从而得解． 【解答】 解：当x<0时，f′(x)=(x+2)e x，由此可知f(x)在(?∞,?2)上单调递减，在(?2,0)上单调递增，f(?2)=?e?2，f(?1)=0，且f(x)<1.又f(x)是R上的奇函数，f(0)=0，而当x∈(?∞,?1)时，f(x)<0，所以f(x)的图象如图所示．令t=f(x)，则当t∈(?1,1)时，方程f(x)=t至多有3个根，当t?(?1,1)时，方程f(x)=t没有根，而对任意m∈R，方程f(t)=m至多有一个根t∈(?1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))?m的零点个数至多有3个． 13.答案：(1 2,2 3 ] 解析： 【分析】 本题考查集合中元素的个数问题，