2018年七宝中学高三第一学期期中考试
一、填空题（54分=6×4分+6×5分）
1、集合{}2018,1,0=A 的真子集有 个。
2、设全集U=R ，{
}{
}
13,42
≥=>=x
x N x x M ，则右图中阴影部 分所表示的集合是 （用区间表示）
3、命题“若实数a 、b 满足5≤+b a ，则32≤≤b a 或”是 命题（填“真”或“假”）
4、某个时钟时针长6cm ，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是 2cm
5、函数()1
1log ---=x ax
x x f 是奇函数，则实数a 的值为 6、函数x
a
x y +
=在（1,2）上单调递增，则实数a 的取值范围为 在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3
,2,3π
===A c a ，则?ABC 的
面积为
8、已知函数4
3
)(x x f =，则)1()13(2
x f x f +-＜的解集是 。
9、若关于x 的不等式12＞x a x +-在]2,0[上恒成立，
则正实数a 的取值范围为 。 10、已知常数0＞a ，函数ax x f x x +=22)(的图像经过点)5
1,(),56,(-q Q p P ，若pq q
p 162
=+，则=a 。
11、已知函数33333)(3
+-+--=-x x
x x x f ，若6)1()3(22=-+b f a f ，则21b a +的
最大值是 。
12、已知函数???
??≤≤-=10),2(2
12
1,2)(x x f x x x f ＜＜，如果函数)1()()(--=x k x f x g 恰有三个不同
的零点，那么实数k 的取值范围是 。
二、选择题（满分20分）
13、“函数))((R x x f ∈存在反函数”是“函数)(x f 在R 上为单调函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14、若函数)(x f 的反函数为)(1
x f
-，则函数)1(-x f 与)1(1--x f 的图像可能是（ ）
15、在?ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出四个命题： （1）若B A 2sin 2sin =，则?ABC 为等腰三角形； （2）若B A cos sin =，则?ABC 为直角三角形； （3）若
c
C
b B a A cos sin cos =
=，则?ABC 为等腰直角三角形； （4）若()()()1cos cos cos =---A C C B B A ，则?ABC 为正三角形； 以上正确命题的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
16、()x f 是定义在D 上的函数，且D ∈3。若()x f 的图像绕原点逆时针旋转6
π
后与原图像重合，则在以下各项中，()3f
的可能值只能是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D.3
三、解答题（满分76分） 17.（14分=7分+7分）
已知锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B 两点，其中A 点坐标??
? ??5453，。
（1）求α
α
2cos 2sin 1+的值；
（2）若()13
5
sin -=+βα，求B 点坐标。
18、如图，某公园有三个警卫室C B A ,,有直道相连，2=AB 千米，
4=AC 千米，32=BC 千米。
（1）保安甲沿CA 从警卫室C 出发行至点P 处，此时1=PC ，求PB 的直线距离；
（2）保安甲沿CA 从警卫室C 出发前往值班室A ，同事保安乙沿AB 从警卫室A 出发前往警卫室B ，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 19.
学习上述解法并解决下列问题：
（1）若实数a 、b 、x 、y 满足22
221x y a b
-=，试比较22a b -和2()x y -的大小，并指明
等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数()232f t t t =---的值域.
20、（16分=4分+6分+6分）
定义区间()[](][),,,,,,,m n m n m n m n 的长度均为n m -，已知不等式7
16x
≥-的解集为A . （1）求A 的长度；
（2）函数()()
()2
21,0a
a x f x a R a a x
+-=
∈≠的定义域与值域都是[](),m n n m >，求区间
[],m n 的最长长度;
（3）关于x 的不等式()22log log 32x tx t ++<的解集为B ，若A B I 的长度为6, 求实数t 的取值范围.
问题：正数a 、b 满足1a b +=，求
12
a b
+的最小值. 其中一种解法是：12122()()12322b a
a b a b a b a b
+=++=+++≥+，当且仅当
2b a
a b
=且1a b +=时，即21a =-且22b =-时取等号.
21、（18分=4分+6分+8分）
已知定义在D 上的函数()f x 满足：
()()1212122x x f x f x f +??
+≤?? ?????
对任意的实数12,x x D ∈当且仅当12x x =时取等号，则称函数()f x 是D 上的S 函数. 已知S 函数具有性质：
()()()()
12121,2n n x x x f x f x f x f n N n n n *+++??
??+++≤∈≥ ?????
L L 对任意的实数
()
i x D i N *∈∈ 都成立，当且仅当12n x x x ===L 时取等号.
（1）试判断()()log 0,1a f x x a a =>≠是否是()0+∞，
上的S 函数，说明理由. （2）求证：()sin f x x =是()0π，上的S 函数，并求sin sin sin A B C ++的最大值（其中A B C 、、是ABC ?三个内角）
（3）若()f x 定义域为R ，
（i ）()f x 是奇函数，证明()f x 不是R 上的S 函数.
（ii ）()f x 最小正周期为T ，证明()f x 不是R 上的S 函数， 答案： 一. 填空题
1. 7
2. [1,2]
3. 真
4. 5π
5. 1-
6. 1a ≤
7.
8. 1
(,1)(2,)3
+∞U
9. 1a <-或2a > 10. 4 11. 12. 11
(,]715
--
二. 选择题
13. B 14. A 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）7-；（2）5633
(,)6565
-
.
18.（1）BP =2.
19.（1）2
2
2
()a b x y -≤-，22221x y a b -=且4242
b x a y =等号成立；（2）)+∞.
20.（1）7；（2）
233；（3）2
(0,]27
.
21.（1）1a >，是S 函数；01a <<，不是S 函数；（2）略，最大值2
；（3）略.