2020届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件
2．若函数f(x)的反函数为f ?1(x)，则函数f(x ?1)与f ?1(x ?1)的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，给出四个命题： （1）若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； （2）若sinA =cosB ，则△ABC 为直角三角形； （3
）若
cosA a
=
sinB b
=
cosC c
，则△ABC 为等腰直角三角形；
（4）若cos(A ?B)cos(B ?C)cos(C ?A)=1，则△ABC 为正三角形； 以上正确命题的个数是
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
4．f(x)是定义在D 上的函数，且√3∈D ，若f(x)的图像绕原点逆时针旋转π
6后与原图像重合，则在以下各项中，f(√3)的可能取值只能是
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
二、填空题
5．集合A ={0,1,2018}的真子集有________个
6．设全集U =R ，M ={x|x 2>4}，N ={x|3x ≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）
7．命题“若实数a 、b 满足a +b ≤5，则a ≤2或b ≤3”是________命题（填“真”或“假”） 8．某个时钟时针长6cm ，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是________cm 2 9．函数f(x)=x ?log 1
2
1?ax x?1
是奇函数，则实数a 的值为________
10．函数y =x +a
x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________
11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a =√3，c =2，A =π
3，则△ABC 的
面积为________
12．已知函数f(x)=x 34
，则f(3x ?1) 13．若关于x 的不等式|2x ?a|+x >1在[0,2]上恒成立，则正实数a 的取值范围为________ 14．已知常数a >0，函数f(x)=2x 2x +ax 的图像经过点P(p,6 5)、Q(q,?1 5)，若2p+q =16pq ，则a =________ 15．已知函数f(x)=?3x 3?3x +3?x ?3x +3，若f(3a 2)+f(b 2?1)=6，则a√1+b 2的最大值是________ 16．已知函数f(x)={2?x 1 12 f(2x)0 零点，那么实数k 的取值范围是________ 三、解答题 17．已知锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，其中A 点坐标(35,4 5). （1）求 1+sin2αcos2α 的值； 此 卷 只装订 不 密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 （2）若sin(α+β)=?5 13 ，求B点坐标. 18．如图，某公园有三个警卫室A、B、C有直道相连，AB=2千米，AC=4千米，BC=2√3千米. （1）保安甲沿CA从警卫室C出发行至点P处，此时PC=1，求PB的直线距离； （2）保安甲沿CA从警卫室C出发前往警卫室A，同时保安乙沿AB从警卫室A出发前往警卫室B，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多长时间两人不能通话？（精确到0.01小时） 19．问题：正数a、b满足a+b=1，求1 a +2 b 的最小值. 其中一种解法是：1 a +2 b =(1 a +2 b )(a+b)=1+b a +2a b +2≥3+2√2，当且仅当b a =2a b 且a+ b=1时，即a=√2?1且b=2?√2时取等号. 学习上述解法并解决下列问题： （1）若实数a、b、x、y满足x 2 a2?y2 b2 =1，试比较a2?b2和(x?y)2的大小，并指明等号成立 的条件； （2）利用（1）的结论，求函数f(t)=√2t?3?√t?2的值域. 20．定义区间(m,n)、[m,n]、(m,n]、[m,n)的长度均为n?m，已知不等式7 6?x ≥1的解集为A. （1）求A的长度； （2）函数f(x)=(a 2+a)x?1 a x （a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m,n]（n>m），求区间 [m,n]的最大长度； （3）关于x的不等式log2x+log2(tx+3t)<2的解集为B，若A∩B的长度为6，求实数t的取值范围. 21．已知定义在D上的函数f(x)满足：1 2[f(x1)+f(x2)]≤f(x1+x2 2 )对任意的实数x1,x2∈D都成 立，当且仅当x1=x2时取等号，则称函数f(x)是D上的S函数，已知S函数f(x)具有性质： 1 n [f(x1)+f(x2)+???+f(x n)]≤f(x1+x2+???+x n n )（n∈N?,n≥2）对任意的实数x i∈D（i∈N?）都成 立，当且仅当x1=x2=???=x n时取等号. （1）试判断函数f(x)=log a x（a>0且a≠1）是否是(0,+∞)上的S函数，说明理由； （2）求证：f(x)=sinx是(0,π)上的S函数，并求sinA+sinB+sinC的最大值（其中A、B、C 是△ABC三个内角）； （3）若f(x)定义域为R， ①f(x)是奇函数，证明：f(x)不是R上的S函数； ②f(x)最小正周期为T，证明：f(x)不是R上的S函数 . 第3页（共4页）第4页（共4页） 第13页（共14页） 第14页（共14页） 2020届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题 数学 答 案 参考答案 1．B 【解析】函数()()f x x R ∈存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。 2．A 【解析】 【分析】 f （x ）和f ﹣ 1（x ）关于y=x 对称是反函数的重要性质；而将f （x ）的图象向右平移a 个单位 后，得到的图象的解析式为f （x ﹣a ）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴 也相应平移． 【详解】 函数f （x ﹣1）是由f （x ）向右平移一个单位得到， f ﹣ 1（x ﹣1）由f ﹣ 1（x ）向右平移一个单位得到， 而f （x ）和f ﹣ 1（x ）关于y=x 对称， 从而f （x ﹣1）与f ﹣ 1（x ﹣1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x ﹣1， 排除B ，D ； A ，C 选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反函数必过 点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得A 选项有可能，C 选项排除； 故答案为：A 【点睛】 本题主要考查函数与其反函数的关系，考查函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的 掌握水平和分析推理能力. 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键． 3．B 【解析】 【分析】 对每一个命题逐一分析得解. 【详解】 (1)若sin2A =sin2B ，则2A=2B 或2A+2B=π，所以A=B 或A+B=π 2,所以△ABC 是等腰三 角形或直角三角形，所以该命题是错误的. (2) 若sinA =cosB ，所以sinA=sin(π2 ?B),所以A =π2 ?B 或A +π2 ?B =π, ∴A +B =π2或A ?B =π 2,则△ABC 不一定为直角三角形,所以该命题是错误的. (3) 若 cosA a = sinB b = cosC c ，所以cosA sinA =sinB sinB = cosC sinC ，所以A=C=π 4，则△ABC 为等腰直角三角形，所以该命题是真命题. (4)若cos(A ?B)cos(B ?C)cos(C ?A)=1，所以cos (A ?B )=cos (B ?C )=cos (C ?A )=1，所以A=B=C,所以△ABC 是正三角形.所以该命题是真命题. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 4．C 【解析】 【分析】 直接利用定义函数的应用求出结果． 【详解】 由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π 6个单位后与下一个 点会重合． 我们可以通过代入和赋值的方法当f （√3）=0，1，3时， 此时得到的圆心角为0，π 6，π 3， 然而此时x=0或者x=√3时，都有2个y 与之对应， 而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ， 因此只有当f(√3)=2，此时旋转π 6， 此时满足一个x 只会对应一个y ， 故答案为：C 【点睛】 本题考查函数的定义的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．7 【解析】 【分析】 直接写出集合A的真子集即得解. 【详解】 集合A的真子集有?，{0}，{1}，{2018}，{0,1}，{0,2018}，{1,2018}，所以集合A的真子集个数为7,故答案为：7 【点睛】 本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 6．[0,2] 【解析】 【分析】 先化简集合M和N，再求M∩N,再求C N(M∩N)即得阴影部分所表示的集合. 【详解】 由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}， 所以C N(M∩N)={x|0≤x≤2}.所以阴影部分所表示的集合为[0,2]. 故答案为：[0,2] 【点睛】 本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 7．真 【解析】 【分析】 先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3则a+b＞5”的真假，即得原命题的真假. 【详解】 由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3则a+b＞5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真 【点睛】 （1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性. 8．6π 【解析】 【分析】 直接利用扇形的面积公式求解. 【详解】 由题得该时针扫过的面积为60 360 ?π?62=6π.故答案为：6π 【点睛】 本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 9．?1 【解析】 【分析】 化简f(-x)+f(x)=0即得a=±1，再检验得a=-1. 【详解】 由题得f(?x)+f(x)=?x?log1 2 1+ax ?x?1 +x?log1 2 1?ax x?1 =?log1 2 1+ax ?x?1 ?log1 2 1?ax x?1 =0， 所以?log1 2 1+ax ?x?1 =log1 2 1?ax x?1 ,∴?x?1 1+ax =1?ax x?1 , 所以(1?a2)x2=0,∴a=±1，经检验a=1不符合题意，所以舍去，故答案为：-1 【点睛】 本题主要考查奇函数的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 10．a≤1 【解析】 【分析】 先对函数求导得y′=1?a x2 ≥0在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围. 【详解】 由题得y′=1?a x2 ≥0在（1,2）上恒成立，所以a≤x2,∴a≤1. 故答案为：a≤1 【点睛】 (1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数f(x)在某个区间可导，f(x)在某个区间是增函数? f′(x)≥0 . 11．√3 2 【解析】 【分析】 第11页（共14页）第12页（共14页） 利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】 ∵a=√3，c=2，A=π 3 ， ∴a2=b2+c2﹣2bccosA， ∴3=4+b2﹣4b×cosπ 3 ，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1． ∴S△ABC=1 2bcsinA=1 2 ×1×2sinπ 3 =√3 2 ． 故答案为：√3 2 ． 【点睛】 本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力． 12．[1 3 ,1)∪(2,+∞) 【解析】 【分析】 由于函数f(x)=x 3 4是定义域在[0,+∞)上的增函数，所以{ 3x?1≥0 3x?1<1+x2,解不等式即得解. 【详解】 由于函数f(x)=x 3 4是定义域在[0,+∞)上的增函数， 所以{3x?1≥0 3x?1<1+x2∴x>2或1 3 ≤x<1. 故答案为：[1 3 ,1)∪(2,+∞) 【点睛】 (1)本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原则”，本题不要漏了3x-1≥0. 13．a>2 【解析】 【分析】 由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解. 【详解】 由题得|2x-a|>-x+1, 当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式|2x?a|+x>1恒成立. 当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或2x-a＜x-1， 所以a＜3x-1或a＞x+1在[0,1]上恒成立， 所以a<-1或a>2,因为a>0, 综合得a>2. 故答案为：a>2 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14．4 【解析】 【分析】 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值． 【详解】 函数f（x）=2 x 2x+ax 的图象经过点P（p，6 5 ），Q（q，?1 5 ）． 则：2 p 2p+ap +2q 2q+aq =6 5 ?1 5 =1， 整理得：2 p+q+2p aq+2q ap+2p+q 2p+q+2p aq+2q ap+a2pq =1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=16pq， 所以：a2=16， 由于a＞0， 故：a=4． 故答案为：4 【点睛】 本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 15．√3 3 【解析】 【分析】 设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由f(3a2)+f(b2?1)=6得 3a2+b2=1，再利用三角换元求函数a√1+b2的最大值. 【详解】 第13页（共14页）第14页（共14页） 设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=?3x3?3x+3?x?3x, 所以g(?x)=?3(?x)3+3x+3x?3?x,∴g(?x)+g(x)=0, 所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数， 由题得g′(x)=?9x2?3?3?x ln3?3x ln3<0， 所以函数g（x）是减函数， 因为f(3a2)+f(b2?1)=6， 所以f(3a2)?3+f(b2?1)?3=0， 所以g(3a2)+g(b2?1)=0, 所以g(3a2)=g(1-b2),所以3a2=1?b2,∴3a2+b2=1,设a=√3 3 cosθ,b=sinθ,不妨设cosθ>0， 所以a√1+b2=√3 3cosθ√1+sin2θ=√3 3 √(1+sin2θ)cos2θ=√3 3 √(1+sin2θ)(1?sin2θ) =√3 3√1?sin4θ≤√3 3 ，所以a√1+b2的最大值为√3 3 . 故答案为：√3 3 【点睛】 （1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由f(3a2)+f(b2?1)=6得3a2+b2= 1，其三是利用三角换元求函数a√1+b2的最大值. 16．(?1 7,?1 15 ] 【解析】 【分析】 先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得f(x)=k(x?1)有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围. 【详解】 当1＜x≤2时，f(x)=-x+2, 当1 2 2 f（2x)=1 2 (2?2x)=?x+1, 当1 4 2 时，1 2 ＜2x≤1，所以f(x)=1 2 f（2x)=1 2 (?2x+1)=?x+1 2 , 当1 8 4 时，1 4 ＜2x≤1 2 ，所以f(x)=1 2 f（2x)=1 2 (?2x+1 2 )=?x+1 4 , 当1 16 8 时，1 8 ＜2x≤1 4 ，所以f(x)=1 2 f（2x)=1 2 (?2x+1 4 )=?x+1 8 , ?? 所以函数的图像为： 其图像为线段PA,EB,GC,HD,??,(不包括上端点A,B,C,D,?) 直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系， 由题得C(1 8 ,1 8 ),D(1 16 ,1 16 ), 当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的 交点， 由题得k PC= 1 8 ?0 1 8 ?1 =?1 7 ,k PD= 1 16 ?0 1 16 ?1 =?1 15 . 所以k的取值范围为(?1 7 ,?1 15 ]. 故答案为：(?1 7 ,?1 15 ] 【点睛】 （1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考 查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解 析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法. 17．（1）?7；（2）(?56 65 ,33 65 ). 【解析】 【分析】 (1)先求出sinα,cosα,sin2α,cos2α，再求1+sin2α cos2α 的值.(2)由题得{ 3 5 y+4 5 x=?5 13 x2+y2=1 ，解方程组即得 点B的坐标. 【详解】 由题得sinα=4 5 ,cosα=3 5 ,∴1+sin2α=1+2sinαcosα=49 25 ， cos2α=1?2sin2α=1?2×16 25 =?7 25 ， 第11页（共14页）第12页（共14页） 第13页（共14页） 第14页（共14页） 所以 1+sin2αcos2α =-7. 由题设B(x,y), 45cosβ+35sinβ=?513,∴35y +45x =?5 13 ,∵x 2+y 2=1 因为β是钝角，所以x =?5665 ,y = 3365 ,所以点B 的坐标为(? 5665,3365 ). 【点睛】 本题主要考查三角函数的坐标定义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 18．（1）BP =√7；（2）8?√157. 【解析】 【分析】 (1)由解直角三角形可得∠C=30°，在△BPC 中由余弦定理可得BP 的值；（2）设甲出发 后的时间为t 小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA 上的位置为点M ，则AM=4﹣t ，讨论0≤t≤1时，当1≤t≤4时，分别在△AMQ 和△AMB 中，运用余弦定理和二次不等式的解法，即可得到所求结论． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，AB=2，BC=2√3， 所以∠C=30°， 在△PBC 中PC=1，BC=2√3， 由余弦定理可得 BP 2=BC 2+PC 2﹣2BC?PCcos30° =（2√3）2+1﹣2×2√3×1×√32=7， 即BP=√7； （2）在Rt △ABC 中，BA=2，BC=2√3，AC=4， 设甲出发后的时间为t 小时，则由题意可知0≤t≤4， 设甲在线段CA 上的位置为点M ，则AM=4﹣t ， ①当0≤t≤1时，设乙在线段AB 上的位置为点Q ，则AQ=2t ， 如图所示，在△AMQ 中， 由余弦定理得MQ 2=（4﹣t ）2+（2t ）2﹣2?2t?（4﹣t ）cos60°=7t 2﹣16t+16＞9， 解得t ＜ 8?√157 或t ＞ 8+√157 ， 所以0≤t≤ 8?√157 ； ②当1≤t≤4时，乙在警卫室B 处，在△ABM 中， 由余弦定理得MB 2=（4﹣t ）2+4﹣2?2t?（4﹣t ）cos60°=t 2﹣6t+12＞9， 解得t ＜3﹣√6或t ＞3+√6，又1≤t≤4，不合题意舍去． 综上所述0≤t≤ 8?√157 时，甲乙间的距离大于3千米， 所以两人不能通话的时间为8?√157 小时． 【点睛】 本题考查解三角形的实际问题的解法，注意运用余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于 中档题． 19．（1）a 2 ?b 2 ≤(x ?y)2 ，x 2 a 2?y 2 b 2=1且b 4x 2=a 4y 2等号成立；（2）[√2 2,+∞). 【解析】 【分析】 （1）先化简a 2 ?b 2 =(a 2 ?b 2 ) ?1=(a 2 ?b 2 )( x 2a 2 ? y 2b 2 )=x 2+y 2 ? b 2a 2x 2 ? a 2 b 2 y 2，再利用基本 不等式求最值即得解.(2) 令x =√2t-3,y =√t ?2,所以x 2 ?2y 2 =1,所以x 2 ?y 2 1 2 =1.再利用结论求 函数的值域. 【详解】 a 2 ?b 2 =(a 2 ?b 2 ) ?1=(a 2 ?b 2 )(x 2 a 2?y 2 b 2)=x 2 +y 2 ?b 2 a 2x 2 ?a 2 b 2y 2 =x 2+y 2?(b 2a 2x 2+a 2b 2y 2)≤x 2+y 2?2xy =(x ?y)2 当b 2a 2x 2=a 2b 2y 2即b 4x 2=a 4y 2且x 2a 2-y 2 b 2=1时取等. 令x =√2t-3,y =√t ?2,∴x 2?2y 2=1,∴x 2? y 2 1 2 =1. 由（1）得a 2?b 2≤(x ?y)2,∴(x ?y)2≥1?1 2=1 2,因为f(t)>0, 所以x ?y ≥ √22 ,∴x ?y ∈[√2 2,+∞) . 第11页（共14页） 第12页（共14页） 所以函数f(t)=√2t ?3?√t ?2的值域为[√2 2 ,+∞). 【点睛】 (1)本题主要考查常量代换和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题的解题关键是对“1”的常量代换，再利用基本不等式求函数的最小值. 利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可. 20．（1）7；（2）2√33 ；（3）(0,2 27]. 【解析】 【分析】 解不等式得其解集即得区间长度.(2) 由题意求出f （x ）的定义域并化简解析式，判断出 区间的范围和f （x ）的单调性，由题意列出方程组，转化为m ，n 是方程f （x ）的同号的相 异实数根，利用韦达定理表示出mn 和m+n ，由判别式大于零求出a 的范围，表示出n ﹣m 利用配方法化简后，由二次函数的性质求出最大值和a 的值．(3)先求出A∩B ?（0，6），再 转化为不等式组{ tx +3t ＞0 tx 2 +3tx ?4＜0 ，当x ∈（0，6）时恒成立. 分析两个恒成立问题即得t 的取值范围. 【详解】 解不等式 76?x ≥1得其解为-1≤x ＜6，所以解集A 区间长度为6-(-1)=7. (2) 由题意得，函数f （x ）的定义域是{x|x≠0}， ∵[m ，n]是其定义域的子集，∴[m ，n]?（﹣∞，0）或（0，+∞）． ∵f （x ）=(1+1 a )? 1a 2x 在[m ，n]上是增函数， ∴由条件得{f(m)=m f(n)=n ，则m ，n 是方程f （x ）=x 的同号相异的实数根， 即m ，n 是方程（ax ）2﹣（a 2+a ）x+1=0同号相异的实数根． ∴mn=1 a 2＞0，m+n= a 2+a a 2 = a+1a ， 则△=（a 2+a ）2﹣4a 2＞0，解得a ＞1或a ＜﹣3． ∴n ﹣m=√(n 2?4mn =√a 2+2a?3 a 2 =√?3 a 2+2 a +1 =√?3(1 a ?1 3)2+4 3， ∴n ﹣m 的最大值为 2√33，此时1 a =1 3，解得a=3. 即在区间[m ，n]的最大长度为 2√3 3 ． (3) 因为x>0,A=[-1,6），A ∩B 的长度为6，所以A∩B ?（0，6）. 不等式log 2x+log 2（tx+3t ）＜2等价于{ x ＞0 tx +3t ＞0 tx 2+3tx ?4＜0 又A∩B ?（0，6），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组{tx +3t ＞0tx 2+3tx ?4＜0 ， 当x ∈（0，6）时恒成立. 当x ∈（0，6）时，不等式tx+3t ＞0恒成立，得t ＞0 当x ∈（0，6）时，不等式tx 2+3tx ﹣4＜0恒成立，即t ＜4 x 2+3x 恒成立 当x ∈（0，6）时， 4x 2+3x 的取值范围为(227 ，+∞)，所以实数t ≤ 2 27 综上所述，t 的取值范围为(0，2 27] 【点睛】 本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的 题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.