2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷
一、填空题
1.已知全集U R =，集合{}
12A x x =->，则U C A =_________.
2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1
(5)f
-=_________.
3. ()
2
14732lim
n n n
→∞
+++
+-=_________.
4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.
5.设函数2
()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.
6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.
7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.
8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.
9.已知函数()x
f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1
g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则
14
a b
+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6
f x A x A π
ωω=-
>>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①
0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π??
????
上单调递增；③方
程1
()2
f x A =
一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.
11.函数11
()22
f x x =-
≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.
12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得
[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.
二、选择题
13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）
A.2611x x x x +<++与26x x <+
B.2
(2)(1)
0x x x x
-+<与(2)(1)0x x -+< C.
(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.22
321
11
x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）
A.M P =?
B.M 中至多有一个元素不属于P
C.P 中有不属于M 的元素
D. M 中有不属于P 的元素
16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6 三、解答题
17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.
（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.
18.已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.
（1）求
a
b
的值； （2）若3
cos ,24
C c ==，求ABC ?的面积.
19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万
枚）间的关系为：1
,04,62,4,3x x
p x ?<≤??-=??>??
，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品
亏损15元.
（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=
100%?次品数
产品总数
）.
20.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=
过点M ，且右焦点为(2,0)F .
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.
（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积
2310
QAB S ?>
；
21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.
（1）判断数列2
n a n n =-+和3()2
n n b =是否为“凸数列”?
（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有
n m m k
a a a a n m m k
--≥
--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n i
i
a a a n
n
++≤-+.
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷
一、填空题
1.已知全集U R =，集合{}
12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}
()
()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.
2.若函数2
()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1
(5)f -=_________.
【解析】令2
()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1
(5)5f
-=.
3. ()
2
14732lim
n n n
→∞
+++
+-=_________.
【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)
32lim 2
n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191
122
a a a =
+=-.
5.设函数2
()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.
6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.
【解析】令2,2a θb θ==，
则[]222sin 2,24a b ?
?+=
=+∈- ??
?πθθθ.
7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=， 故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,
πππ，所以23πa π≤<.
8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.
【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ?
?->?
>???-=
?
，所以2(1)x y x -=，
显然1x ≠，所以2
01
x y x =
>-，故1x >， 所以22[(1)1]1
124111
x x y x x x x -+=
==-++≥---，当且仅当2x =时取等号， 故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.
9.已知函数()x
f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1
g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ?≤，则
14
a b
+的最小值为_________.
【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，
则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，
因为0a >，所以0b >，
所以
1444b a b b
+=+≥，当且仅当1
,22a b ==时取等号，
故
14
a b
+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6
f x A x A π
ωω=-
>>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①
0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π??
????
上单调递增；③方
程1
()2
f x A =
一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω??+ ???-=?=
?=，
所以
1134662πx πωω???
?++ ? ?????≤<，即19251212
ω≤<，
①()0f x A =即0262
ππ
ωx k π-
=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；
②当0x =时，66ππωx -
=-，当819πx =时，81962πππ
ω?-≤，解得1912
ω≤，
又
19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π??????
上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ?
?=
?-= ??
?，而2[3,4)6ππωππ-∈，
所以6πωx -
可取51317,,,6666
ππππ，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是①②③.
11.函数11
()22
f x x =-
≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.
【解析】20,,3
3πππ????
??
??????
12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得
[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.
【解析】①当0,4πa ??∈????时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22
a a a πa M a M a ??
∈==????
， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以1
2cos k a
=
；
②当,42ππa ??∈????时，[0,][,2]2,,sin ,12
a a a π
a πM a M ??∈==???
?
，
由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；
③当,2
πa π??∈???
?
时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，
由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1
sin k a
=
； ④当5,
4πa π??
∈????
时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1
sin 2k a
=
， ⑤当5,+4πa ??
∈∞?
???
时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==
由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，
所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πa
πa πa
πa ???
∈??????
???∈??????????=∈?
????????
∈?
?????????∈+∞??????
，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12??
???. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.
对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,2
2a a a M M =?，则a
的值为_________.
【解析】①当0,4πa ??∈????时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22
a a a πa M a M a ??
∈==????
， 由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4
a =
，无解； ②当,42ππa ??∈????时，[0,][,2]2,,sin ,12
a a a πa πM a M ??
∈==???
?
，
由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =
③当,2
πa π??∈???
?
时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，
由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =
，34
πa =； ④当5,
4πa π??
∈????时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ??∈==????
，
由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =
98πa =；
⑤当5,+4πa ??
∈∞?
???时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ??∈==????
由[][]0,,2a a a M M =，得无解，
综上，34
πa =
或98π
a =.
【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.
用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .
【解析】①当0,4πa ??∈????时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22
a a a πa M a M a ??
∈==????
，
由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1
cos 4
a ≤
，无解； ②当,42ππa ??∈????时，[0,][,2]2,,sin ,12
a a a π
a πM a M ??∈==???
?
，
由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；
③当,2
πa π??∈???
?
时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，
由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤
，5,6πa π??∈????
； ④当5,
4πa π??
∈????时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ??∈==????
， 由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤
，13,12πa π??
∈????
；
⑤当5,+4πa ??
∈∞?
???时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ??∈==????
由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，
综上，513,612ππa ??
∈?
???
，故a 的最大值为1312π. 二、选择题
13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）
A.2611x x x x +<++与26x x <+
B.2
(2)(1)
0x x x x
-+<与(2)(1)0x x -+< C.
(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.22
321
11
x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）
A.M P =?
B.M 中至多有一个元素不属于P
C.P 中有不属于M 的元素
D.M 中有不属于P 的元素
16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.
法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，
对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a
中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，
同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.
法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，
同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.
三、解答题
17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -
中，AB
，BC =
1AA =.
（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.
【解析】（1）连接111,AD B D ，则1
1AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，
1AB =
=，
13AD =
=，
11B D =
=
在11B AD ?中，由余弦定理得22211111111cos 22
AB AD B D B AD AB AD +-∠==，
所以114πB AD ∠=
，即异面直线1AB 与
1BC 所成角的大小为4
π
； （2）1111322ABD S AB AD ?=
?==，
11222
ABC S AB BC ?=
?==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，
即1111
33
ABD ABC S S h DD ???=
?，所以h =
所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.
B 1
D 1
A 1D C 1
C
B
A
（1）求
a
b
的值； （2）若3
cos ,24
C c =
=，求ABC ?的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，
得sin()2sin()B C A C +=+，
因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，
由正弦定理得
2a
b
=； （2）因为3cos ,2,24a
C c b
=
==，
由余弦定理得
222324a b c ab +-=，即222(2)43
44
b b b +-=，解得b =，
所以2a b ==sin C ==
所以11sin 22ABC S ab C ?=
=?=.
20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率
p 与日产量x （万
枚）间的关系为：1
,04,62,4,3x x
p x ?<≤??-=??>??
，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品
亏损15元.
（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；
（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=
100%?次品数
产品总数
）.
【解析】（1）当4x >时，23p =
，所以12
3015033y x x =??-??=， 当04x <≤时，1
6p x
=
-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -?
?=-??-
??= ?---??， 所以()
21592,04
(6)0,4x x x y x x ?-?<≤=?-?
>?
；
（2）当04x <≤时，22)
15(96x x y x
-=-，
令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)18
15(152)t t y t t
t
??---??
=
=--
，
所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当18
2t t
=
，即3,3t x ==时取等号，
所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.
20.已知双曲线22
22:1x y C a b
-=
过点M ，且右焦点为(2,0)F .
（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.
（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积
2310
QAB S ?>
； 【解析】（1）由题意得
2
292
1,2c a b
-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2
213
x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，
由PA mAF =得11211m x m
t y m ?=??+??=
?+?
，又点A 在双曲线上，
所以2
221131m t m m ??
?+????-= ?
+??
，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得2
2
6330n n t ---=，
因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，
所以,m n 是方程22
6330x x t ---=的两根，
所以6m n +=，为定值；
法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，
所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，
由22
1
3(2)x y y k x ?-=???=-?
，得2222(31)121230k x k x k --++=，
所以2212122212123
,3131
k k x x x x k k ++==--，
由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，
所以1212211212(2)(2)
22(2)(2)
x x x x x x m n x x x x -+-+=
+=---- 221212222
12122()2242(123)6
642()4(31)241231
x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；
（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，
12121
22
QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ???=-=
?-=-， 所以()
()2
2
2221212124()44QAB
S k x x k x x x x ???=-=+-??
()2
2242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ????+-+-=?-?= ?--????-??
()
()
2222
2
2
2
2
1212
(1)
448
3131k k k k
k
k
++==--，
因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，
所以2212122212123
0,03131
k k x x x x k k ++==
--＞＞， 所以2
31
0t k =-＞， 所以()
()
222
2222111(1)48(1)(4)334848931QAB
t t k k t t S t t k ?++??
+ ?+++??===-
2
22
24854484519215139998t t t t t t ++????
==++=+- ? ???
??， 因为0t ＞，所以1
0t
＞，
所以()
2
2
2
1921519251633989
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＞， 所以23
2.31310
QAB S ?>
≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,
n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.
（1）判断数列2
n a n n =-+和3()2
n
n b =是否为“凸数列”?
（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，
有
n m m k
a a a a n m m k
--≥--；
（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n i
i
a a a n n
++≤-+
. 【解析】（1）因为22
2
212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+