5.1 任意角和弧度制
（基础知识+基本题型）
知识点一 任意角 1.角的概念
(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图
射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。
2.角的分类 名称
定义 图形
正角
一条射线按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
拓展：
（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0
360.
B
O
A
O
A
B
O
A
B
A
（B
O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角
（1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）象限角的集合表示
}360
90360,x k k Z <<+⋅∈
}90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈
}270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈
2.终边相同的角
（1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
（2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示
,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈
}180,k k Z ⋅∈
}90360,k k Z +⋅∈
}90
360,k k Z +⋅∈
终边落在y 轴上的角
{}90
180,x x k k Z =+⋅∈
终边落在坐标轴上的角
{}90,x x k k Z =⋅∈
注意：
（1）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。
（2）k Z ∈这一条件不能少。
（3）象限角、终边在坐标轴上的角以及终边相同的角的表达形式不唯一。 知识点三 弧度制 1.弧度制的相关概念
（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。 （2）弧度制
①定义：以弧度为单位来度量角的单位制。 ②记法：用符号rad 表示，读作弧度。
如图，AB 的长等于半径r ，AB 所对的圆心角AOB ∠就是1rad 的角。
2.圆心角与弧长的关系
若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=。
知识点四 角度和弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度 3602π=rad
2π360rad =
180π=rad π180rad =
r
O
B A
1rad r
1180
π
=
57.30≈
度数=度数一些特殊角的弧度数 15 30 45 60 90 120 135 1500
12 12 3 5
210 225 240 270 300 315 330 360 390
7 5 4 3 5 7 11 2
13知识点五 弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则 【拓展】
（1）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意她们的前提是α为弧度。
（2）在运用公式时，还应熟练德掌握这两个公式的变形运用：
①,l l R R αα
=
=； ②2
2S
R α=
(其中S 为扇形的面积）。 （3）比值l R 只反映弧所对圆心角的大小，不反应圆心角的方向，应注意l
R
α=中的绝对值符号，否则会漏解。
（4）扇形面积公式可以类比三角形的面积公式来记忆，1
2
S lR =扇，l 相当于三角形的底，R 对应为该底边上的高。
考点一 对任意角概念的理解
【例1】 下列说法正确的是 （ ）
A.终边相同的角一定相等
B.{|αα是锐角
C.第一象限角都是锐角
D.小于90的角都是锐角 解析：根据各种角的定义、范围逐项判断即可。 360的整数倍090α<<，故
{|090}ββ︒︒≤<
第一象限角指终边在第一象限的角，如390角的终边在
39090>，不是锐角。
一切负角和零角都小于90，但它们不是锐角答案：B
总结：（1）解题关键：解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90的角等概念。 （2）解题技巧：本题也可采用排除法，这时需掌握一定的技巧，判定说法为真，常需要证明；判定说法为假，只需举一反例即可。
考点二 象限角的判定
【例2】 如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且45AOx ∠=，点P 从点A 处出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。已知点P 在1 s 内转过的角度为(0180)θθ<<，经过2 s 第一次到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求θ，并判断其终边所在的象限。
解：由题意，得144536045()n n Z θ+=⋅+∈，① 所以180
()7
n n Z θ⋅=
∈。又因为180245270θ<+<，② 即67.5112.5θ<<，所以180
67.5112.57
n ⋅<
<，且n Z ∈。 所以3n =或4n =。所以540
7
θ=
或7207θ=。
易知540
0907
<
<，720901807<<， 所以θ的终边在第一象限或第二象限。
（1）终边相同的角必定满足两角相差360,k k Z ∈.
（2）在利用不等式确定角所在象限时，由于考虑不全面易漏掉某些情况，如本题3n =或4n =，又如是否包含等号等.
考点三 区域角的表示
【例3】写出如图所示阴影部分角的集合.
A
O
y
x
P
解：由题意，知{}
14536045360,S k k k Z αα=-+≤≤+∈
{}
2135360225360,S k k k Z αα=+≤≤+∈
{}
12452180452180,S S S k k k Z αα=⋃=-+≤≤+∈⋃
{}
45(21)18045(21)180,k k k Z αα-++≤≤++∈
{}
45
18045180,n n n Z αα=-+≤≤+∈
先由直线的斜率确定倾斜角，按逆时针方向得到区间的起始及终止边界，按由小到大写出最简区间，再加上360,k k Z ∈，最后还必须熟练的进行集合的合并.
【例4】已知集合{}
30180120180,A k k k Z αα=+<<+∈，集合
{}
45360135360,B k k k Z ββ=-+<<+∈.
（1）求A B ⋂；（2）若全集为U ，求()U A C B ⋂. 解：（1）如图所示
A B ⋂中的角的终边落在30和120角的终边之间，
{}
30360120360,A B k k k Z αα⋂=+<<+∈
（2）由（1),知{}
135360315360,U C B k k k Z γγ=+≤≤+∈ 故{}
()210360300360,U A C B k k k Z αα⋂=+<<+∈
利用数形结合思想，在平面直角坐标系中找出集合A 和集合B 所表示的区域，终边在这两个区域的公共部分的角的集合就是A B ⋂.
考点四 角度制与弧度制的运算
【例5】（1）把1480-写成2,k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤； （2）若[]4,0βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求β. 解：（1）741614801099
ππ
π-=-=-+
. 因为16029ππ<
<，所以1614802(5)9
π
π-=+⨯-. （2）因为β与α的终边相同，所以1622,9
k k k Z π
βαππ=+=+∈. 又因为[]4,0βπ∈-，所以1216216202,49999
ππππ
βπβπ=
-=-=-=-
. 快速准确地实现角度和弧度的互化在今后的学习中是必要的，而实现这两者之间互化的桥梁就是
180rad π=.
考点五 扇形面积、弧长公式的应用
【例6】已知一扇形的周长为40cm ，当它的半径和圆心角（正角）各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解:设扇形的圆心角为θ，半径为R ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2R ＝40,故l ＝40－2R .① 所以2211
(402)20(10)10022
S lR R R R R R =
=-=-=--+.② 故当半径R ＝10cm 时，扇形的面积最大，最大面积为100cm 2,此时40210
210
l R θ-⨯=
==(r ad). 有关扇形的弧长l 、圆心角α、面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解决此类问题的关键在于灵活运用211
,22
l R S lR R αα==
=这两个公式，采用消元思想或函数思想加以解决. 考点六 对称性问题
【例7】 已知角α的终边与120-︒角的终边关于y 轴对称，求α. 解：如图所示，300︒角与120-︒角的终边关于y 轴对称.
所以角α的终边与300︒角的终边重合. 所以300360,k k Z α=︒+︒∈.
(1) 若角θ的终边与角α的终边关于x 轴对称，则360k θα+=︒(k Z ∈)； (2) 若角θ的终边与角α的终边关于y 轴对称，则180360k θα+=︒+︒(k Z ∈)； (3) 若角θ的终边与角α的终边关于原点对称，则180360k θα-=︒+︒(k Z ∈)； (4) 若角θ的终边与角α的终边关于直线y x =对称，则90360k θα+=︒+︒(k Z ∈)； (5) 若角θ的终边与角α的终边关于直线y x =-对称，则90360k θα+=-︒+︒(k Z ∈)； (6) 若角θ的终边与角α的终边互相垂直，则||90360k θα-=︒+︒(k Z ∈).
任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.
二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？
任意角与弧度制知识与题型总结 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C ααα∠αx
4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与 58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ 的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180， -∈θ． )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ
任意角和弧度制测试题 一、单选题 1.在单位圆中，200∘的圆心角所对的弧长为( ) A. 7π 10B. 10π 9 C. 9π D. 10π 二、多选题 2.给出下列说法正确的有() A. 终边相同的角同一三角函数值相等； B. 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； C. 若sinα=sinβ，则α与β的终边相同； D. 若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角 3.下列说法错误 ．．的是．( ) A. 若角α=2rad，则角α为第二象限角 B. 将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30° C. 若角α为第一象限角，则角α 2 也是第一象限角 D. 若一扇形的圆心角为30°，半径为3cm，则扇形面积为3π 2 cm2 4.下列结论正确的是( ) A. 是第三象限角 B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C. 若角的终边过点，则 D. 若角为锐角，则角为钝角 三、填空题 5.(1)第三象限角的集合表示为(以弧度为单位)．(2)弧度数为3的角的终边落在 第象限．(3)−2π 3 弧度化为角度应为．(4)与880∘终边相同的最小正角是. (5)若角α的终边经过点A(−2,3)，则tanα值为．(6)已知扇形的圆心角α=2π 3 ，半径r=3，则扇形的弧长l为． 6.下列说法中，正确的是.(填序号) ①第一象限的角必为锐角；②锐角是第一象限的角； ③终边相同的角必相等；④小于900的角一定为锐角； ⑤角α与−α的终边关于x轴对称；⑥第二象限的角必大于第一象限的角．
7.集合{α|k⋅180∘+45∘⩽α⩽k⋅180∘+90∘,k∈Z}中，角所表示的取值范围(阴影部分)正 确的是(填序号)． 8.−600°是第象限角，与−600°终边相同的最小正角为弧度． 9.线段OA的长度为3，将OA绕点O顺时针旋转120∘，得到扇形的圆心角的弧度数为， 扇形的面积为． 四、解答题 10.已知角β的终边在直线y=−x上． (1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360°<β<360°的元素．
高中数学总复习练习题 专题47 任意角和弧度制 一、选择题 1．（2019·广西高一期末（文））150o 化成弧度制为（ ） A. 56 π B. 4 π C. 23 π D. 3 π 【答案】A 【解析】由题意可得5150150180 6 π π =?= o ，故选：A. 2．把85 π - 化为角度是（ ） A.96-o B.144-o C.288-o D.576-o 【答案】C 【解析】由题意，根据角度制和弧度制的互化，可得88 18028855 π-=-?=-o o . 故选：C. 3．下列角的终边与37o 角的终边在同一直线上的是（ ） A.37-o B.143o C.379o D.143-o 【答案】D 【解析】与37o 角的终边在同一直线上的角可表示为37180k +?o o ，k Z ∈， 当1k =-时，37180143-=-o o o ，所以，143-o 角的终边与37o 角的终边在同一直线上. 故选：D ． 4．与468-o 角的终边相同的角的集合是（ ） A.{} 360456,k k Z αα=?+∈o o B.{}360252,k k Z αα=?+∈o o C.{}36096,k k Z αα=?+∈o o D.{}360252,k k Z αα=?-∈o o
【答案】B 【解析】因为4682360252-=-?+o o o ，所以252o 角与468-o 角的终边相同，所以与468-o 角的终边相同的角的集合为{ } 360252,k k Z αα=?+∈o o . 故选：B ． 5．如果角α的终边上有一点()0,3P -，那么α（ ） A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 【答案】D 【解析】因为点P 在y 轴的负半轴上，即角α的终边落在y 轴的非正半轴上，所以α不是象限角． 故选：D. 6．已知角α的终边落在x 轴的非负半轴上，则角2 α 的终边落在（ ） A.x 轴的非负半轴上 B.x 轴上 C.y 轴的非负半轴上 D.y 轴上 【答案】B 【解析】由题意，知()360 k k Z α=?∈o ，则 ()1802 k k Z α =?∈o . 当k 为偶数时，设()2k n n Z =∈，则 3602 n α =?o ，此时，角 2 α 的终边在x 轴的非负半轴上； 当k 为奇函数时，设()21k n n Z =+∈，则 ()()211801803602 n n n Z α =+?=+?∈o o o ， 此时，角2 α 的终边在x 轴的非正半轴上. 综上所述，角2 α 的终边在x 轴上. 故选：B ． 7．（2019·河南高一期末）已知一个扇形的圆心角为56 π ，半径为3．则它的弧长为（ ） A.53 π B. 23 π C. 52 π D. 2 π 【答案】C 【解析】由扇形弧长公式得：55362 L r ππα==?= 本题正确选项：C
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算． [基础梳理] 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝l r . (3)角度与弧度的换算： 360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180 π)°≈57°18′. (4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝1 2α·r 2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作
角α的正弦线、余弦线和正切线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． [三基自测] 1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9 答案：D 2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C 3．弧长为3π、圆心角为3 4π的扇形半径为________． 答案：4 4．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案：45 －35 －43 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ????α－π 4＝__________. 答案：72 10 [考点例题] 考点一 终边相同的角及象限角|易错突破 高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π 6(k ∈Z )，则α的终边一定在( ) A ．第一象限或第二象限或第三象限 B ．第一象限或第二象限或第四象限 C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
专题32 任意角和弧度制 知识点一任意角 1.中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是（） A．90° B．75° C．82.5° D．60° 【答案】C 【解析】根据钟面的特征可知12点15分时，分针指向3，而时针在12和1之间，而15分等于四分之一小时，故时针走了四分之一大格，根据每大格30°即可得到结果. ×30°＝82.5°. 中午12点15分时，钟表上的时针和分针所成的角是90°－1 4 2.如果时钟上的时针、分针和秒针都是匀速地转动，那么从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有（）A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】D 【解析】从3时整（3∶00）开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所成的角相等的情况有：
①当秒针转到大约45°的位置时，以及大约225°的位置时，秒针平分时针与分针. ②当秒针转到大约180°的位置时，时针平分秒针与分针. ③当秒针转到大约270°的位置时，分针平分秒针与时针. 综上，共4次. 3.如图，钟表中9点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（） A．90° B．105° C．120° D．135° 【答案】B 【解析】钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，钟表上9点30分，时针指向9.5，分针指向6，两者之间相隔3.5个数字. 3×30°＋15°＝105°，∴钟面上9点30分时，分针与时针所成的角的度数是105°. 4.400°角终边所在象限是（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限 【答案】A 【解析】400°＝360°＋40°， ∵40°是第一象限，∴400°角终边所在象限是第一象限. 5.给出下列四个命题： ①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角； 对于②：如图2所示，225°角是第三象限角； 对于③：如图3所示，475°角是第二象限角； 对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角.
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈ =+∈， 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角
α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈ 要点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π︒ = 1rad=0 180π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α==. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】 类型一：角的概念的理解 例1．下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。
1、任意角和弧度制 1．角 (1)角的概念：角可以看成平面内______________绕着____________从一个位置________到另一个位置所成的图形． 2. 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是__________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与______________的和． 4．角的单位制 (1)角度制：规定周角的_______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________． 5 6. 知识梳理 1．(1)一条射线端点旋转 (2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转 2．第几象限角 3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角 4．(1)1 360(2)半径长 1 rad(3)|α|＝l r终边的旋转方向正数负数0 5．2π360°π180° π 180⎝ ⎛ ⎭ ⎫ 180 π° 6.απR 180αR απR2 360 1 2 αR2 1 2lR
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 3.任意角的三角函数 (1)定义
(2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝ y r；cos α＝ x r，tan α＝ y x(x≠0). 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 诊断自测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.() (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()
(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角. 2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－12 13，则m 的值为( ) A.－5 B.5 C.±5 D.±8 答案 C 解析 由三角函数的定义可知cos θ＝ －12 （－12）2＋m 2 ＝－12 13，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°} 解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. 4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 答案 D 解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角 C.三角形的内角必是第一或第二象限角
、选择题 1.若a 是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 2.终边与坐标轴重合的角 a 的集合是 (B){ a|a =k 180 ° 90 ° k € Z} 5•将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 *6.已知集合A=｛第一象限角｝ , B=｛锐角｝, C=｛小于90 的角｝，下列四个命题: ①A=B=C ②AC ③C A ④A Q C=B,其中正确的命题个数为 二.填空题 三.解答题 11. 试写出所有终边在直线 y 3x 上的角的集合，并指出上述集合中介于 -180°和1800之 间的角.班级 §.1任意角和弧度制 姓名 学号 得分 (A) 90 -°a (B) 90 + a (C)360 -a (D)180 (A){ a 沪k 360 ° k € Z} (C){ a 沪k -180 °, k € Z} (D){ o| a =k 90 ° k € Z} 3.若角a 3的终边关于y 轴对称，则 3的关系一定是(其中 k € Z ) (A) a + 3= n (B) a 3=— (C) a -3=(2k+1) n (D) a + 3=(2k+1) n 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 (B)令 (A) 3 (C) ■■ 3 (D)2 (A) 3 (B) - 3 (C)6 (D) - 6 (A)0 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 7.终边落在X 轴负半轴的角 a 的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角 的集合是 23 8. - — n ra 化为角度应为 12 9.圆的半径变为原来的 3倍, 而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 10.若角a 是第三象限角，则 ?角的终边在 ,2a 角的终边在
专题17任意角、任意角三角函数及弧度制--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1．了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)；了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号． 二、教学建议 （1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角； （3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 三、自主梳理 1．角的概念的推广（☆☆☆） (1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时 针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角． (2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限． (3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}． （4）象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 象限角：
2．角的度量（☆☆☆） (1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角． (2) 弧度制与角度制的关系：1°=π180 弧度(用分数表示)，1弧度=180π 度(用分数表示)． (3) 弧长公式：l =|α|r ． (4) 扇形面积公式：S = rl =|α|r 2． 3．任意角的三角函数的定义（☆☆☆） 设角α的终边上任意一点的坐标为P (x ，y )(除原点)，点P 到坐标原点的距离为r (r )，则sin α= ，cos α=，tan α=． 4．三角函数的定义域（☆☆☆） 在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R ，R ， ． 5．三角函数的符号规律（☆☆☆） 第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．简称：一全、二正弦、三切、四余弦． 6．三角函数线（☆☆☆） 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 四、高频考点+重点题型 考点一、角的扩充与表示 121 2 y r x r y x |,2k k Z πααπ∈⎧⎫ ≠+⎨⎬⎩⎭
《任意角和弧度制》典型例题 【考情分析】 本节的内容主要涉及任意角的相关概念、弧度制与角度的换算、弧度制下的弧长公式与扇形面积公式,考查形式主要包括终边相同的角、象限角的表示,高考中,一般与三角函数的定义、图象及性质等综合命题.通常以选择题、填空题形式出现. 题型1 象限角的判断(直观想象) 典例1 [观察记忆能力]已知α为第三象限角,则2 α 在( ) A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 解析:要判断角所在的象限,先确定终边是直线还是射线,再根据角的终边所在位置的特征推理. 方法一:将每个象限二等分,并标记①②③④,如图所示, 标号③所在的象限即 2α所在的象限,∴2 α 为第二或第四象限角. 方法二:∵180360270360,k k k α︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z ,∴90180135180,2 k k k α ︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈Z . ∴ 2 α 为第二或第四象限角. 答案:D 题型2 弧长公式、扇形面积公式的应用(逻辑推理) 典例2 [分析计算能力、推测解释能力]已知圆O 与直线l 相切于点A ,点P ,Q 同时从A 点出发,P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当Q 运动到点A 时,点P 也停止运动.连接,OQ OP (如图),则阴影部分的面积12,S S 的大小关系是( )
A.12S S = B.12S S ≤ C.12S S ≥ D.12S S <,再12S S =,最后12S S > 解析:理解并运用弧长公式、扇形面积公式是本题的考点,通过演练,借助图形分析题意并解决问题.因为直线l 与圆O 相切,∴11.22AOQ OA AP S AQ R AQ OA ⊥∴= ⋅=⋅⋅扇形.1··2 AOP S AP OA ∆=,因为弧AQ 的长与线段AP 的长相等,故,AOP AOP AOQ AOQ AOB AOB S S S S S S ∴-=-=△△扇形扇形扇形扇形,∴ 12S S =. 答案:A 题型3 弧度制的实际应用(数学运算) 典例3 [简单问题解决能力]如图所示,十字形公路的交叉处周围成扇形,某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场.已知60,AOB AB ∠=︒的长度为100π.怎样设计能使广场的占地面积最大?最大面积是多少? 解析:将扇形周长或面积的最值问题,转化为某个函数的最值问题是解决此类问题的方法.要使圆形广场的占地面积最大,只需将1O 与扇形AOB 相切.具体解题过程如下:
《5.1 任意角和弧度制》考点讲解与同步练习【思维导图】 【常见考点】
考点一 基本概念的辨析 【例1】下列说法正确的个数是（ ） ①小于的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【一隅三反】 1．下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第四象限角一定是负角 D ．小于的角都是锐角 2．下列命题中正确的是（ ）． A ．终边与始边重合的角是零角 B ．90°～180°间的角不一定是钝角 C ．终边和始边都相同的两个角相等 D ．第二象限的角大于第一象限的角 3．下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角 B ．不相等的角终边可以相同 C ．若是第二象限角，一定是第四象限角 D ．终边在轴正半轴上的角是零角 考点二 角度与弧度的转换 【例2】把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数. （1）； （2） ； （3）1125° ；（4）-225°. 【一隅三反】 1．把下列角度化成弧度： （1）； （2）； （3）； （4）. 2． ___________弧度, 弧度=________. 3．下列转化结果错误的是（ ） A ．化成弧度是 B ．化成度是 90︒0︒90︒α2αx 712π136 π-36︒150︒-1095︒1440︒315︒=7π12306π103 π-600-︒
C ．化成弧度是 D ． 化成度是 考点三 终边相同 【例3】（1）把－1480°写成的形式，其中； （2）在内找出与 角终边相同的角. 【一隅三反】 1．已知角. （1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角； （2）在区间上找出与角终边相同的角. 2．把下列各角度化为弧度,并写成的角加上的形式. (1); (2); (3) 3．用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合. （1） （2） 考点四 象限的判断 【例4】已知下列各角：①②③④，其中第二象限角的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 【一隅三反】 1．角的终边所在的象限是（ ） 6730'︒27π85 π288︒()2k k Z απ+∈02απ≤≤[]0,720︒︒25π2025α=︒α2k βπ+k Z ∈02βπ≤<α[ )5,0π-α02π-2()k k π∈Z 64︒-400︒72230︒'-120-240-1804952912 π
2023高考数学复习专项训练《任意角和弧度制》 一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线.具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC ，分别记射线AC ，BA ，CB 为l 1，l 2，l 3，以C 为圆心、CB 为半径作劣弧BC 1⏜ 交l 1于点C 1；以A 为圆心、AC 1为半径作劣弧C 1 A 1⏜ 交l 2于点A 1；以B 为圆心、BA 1为半径作劣弧A 1 B 1⏜ 交l 3于点B 1，…，依此规律作下去，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线.记劣弧BC 1⏜ 的长，劣弧C 1 A 1⏜ 的长，劣弧A 1 B 1⏜ 的长，…依次为a 1，a 2，a 3，…，则a 1+a 2+…+a 9=( ) A. 30π B. 45π C. 60π D. 65π 2.（5分）tanθ<0，且cosθ>0，则θ是( ) A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第四象限的角 3.（5分）手表时针走过2小时，时针转过的角度为（ ） A. 60° B. -60° C. 30° D. -30° 4.（5分）若sinθ.cosθ>0，则角θ所在的的象限是 ( ) A. 二、四 B. 一、二 C. 一、三 D. 一、四 5.（5分）若角α=−4，则α的终边在( ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 6.（5分）已知圆心角为135∘的扇形的面积为6π，则该扇形的弧长为( ) A. 3π B. 3 2√2π C. 3√2π D. 6π 7.（5分）若角α终边在第二象限，则π−α所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8.（5分）下列与−5π 4终边相同的角是( )
考点测试18 任意角和弧度制、任意角的三角函数 高考概 览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，低等难度 考纲研读 1．了解任意角的概念 2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 一、基础小题 1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34 答案 D 解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝3 5 －45 ＝－3 4，故选D ． 2．若sin α＜0且tan α＜0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 D 解析 由sin α＜0，得α的终边在第三或第四象限或在y 轴非正半轴上；由tan α＜0，得α在第二或第四象限，故α是第四象限角．故选D ． 3．sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A 解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0．故选A ． 4．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．23 B ．32 C ．2π3 D ．3π2 答案 B 解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝3 2 ．故选B ．
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为4 5 ，则cos α的值为( ) A ．45 B ．－45 C ．35 D ．－35 答案 D 解析 因为点A 的纵坐标y A ＝4 5，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点 横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－3 5 ．故选D ． 6．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2 4 x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．± 3 C ．－ 2 D ．－ 3 答案 D 解析 依题意得cos α＝ x x 2＋5＝2 4 x <0，由此解得x ＝－3，故选D ． 7．已知角θ的终边过点P (－4k ，3k )(k <0)，则2sin θ＋cos θ的值是( ) A ．25 B ．－25 C ．25或－25 D ．随着k 的取值不同而不同 答案 B 解析 因为角θ 的终边过点P (－4k ，3k )(k ＜0)，所以点P 到原点的距离为 (－4k )2 ＋(3k )2 ＝－5k ，所以sin θ＝3k －5k ＝－35，cos θ＝－4k －5k ＝4 5 ，2sin θ＋cos θ＝2×－35＋45＝－2 5 ，故选B ．
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲 1.了解任意角的概念和弧度制的概念. 2.能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 基础知识融会贯通 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2 . 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表： 三角 函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos R ＋ － － ＋
α tan α {α|α≠k π＋π 2 ，k ∈Z } ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T . 【知识拓展】 1．三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广) 设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)． 重点难点突破 【题型一】角及其表示