任意角与弧度制知识点汇总
一、任意角的定义和度量
1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。
2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。
3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。
4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2
5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。
二、度和弧度的换算公式
1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。
2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。
三、任意角的三角函数
1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。
2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。
3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。
5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。
四、任意角的三角函数的性质
1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360
度或2π弧度。
2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360
度或2π弧度。
3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π
弧度。
4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。
五、任意角的三角函数的基本关系
1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。
2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。
3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如
sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。
4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。
六、任意角与单位圆的关系
1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
2.任意角的顶点可以放在单位圆的圆心，其中一条边与单位圆的半径重合。
3.正弦函数和余弦函数的值等于任意角所对应的单位圆上的点的纵坐标和横坐标。
4.正切函数的值等于正弦函数和余弦函数的值的比值。
七、任意角的角平分线与三角函数
1.任意角的角平分线是将角分为两个相等的角的线段。
2.任意角的角平分线上的点对应的三角函数值之间有一定的关系。
3.任意角的角平分线上的点对应的三角函数值与原角的三角函数值之间有一定的关系。
四、任意角与弧度制的应用
1.在物理学和工程学中，弧度常常用于角度的度量，因为它与圆的弧长有着简单的数学关系。
2.在解题中，弧度制可以使计算更简单，特别是当涉及到三角函数的计算时。
3.在解决几何问题和角度测量中，弧度制提供了一种更直观的方法。
4.弧度制在计算机图形学和物理模拟等领域也有广泛的应用。
总结：
任意角与弧度制是三角学中的重要概念。任意角可以使用度数和弧度数来度量，它的三角函数可以通过正弦、余弦和正切来表示。弧度制在数
学和科学中有广泛的应用，它可以使计算更简单和直观。理解任意角和弧度制的概念和性质，可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
知识点一：任意角 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
任意角与弧度制知识与题型总结 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C ααα∠αx
4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与 58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ 的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180， -∈θ． )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ
知识点一：任意角 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α地顶点与原点重合，角地始边与x 轴地非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角地集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角地集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角地集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角地集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上地角地集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上地角地集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上地角地集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、终边相同地角： 与角α终边相同地角地集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限地圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k 地区域是角 n α 终边所在地范围.b5E2R 。 知识点二、弧度制地转换： 5、长度等于半径长地弧所对地圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 地圆地圆心角α所对弧地长为l ，则角α地弧度数地绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制地换算公式：2360π=，1180π =，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝ ⎭ ． 特殊角地弧度数： 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180 知识点五：扇形 8、若扇形地圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211 S lr r α==．
三角函数任意角和弧度制知识点 第一章三角函数任意角和弧度制知识点 任意角知识点一、任意角 B 终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、 旋转方向、旋转量大小。 α知识点二、直角坐标系中角的分类始边 O 1、象限角与轴线角 A β 2、终边 相同的角与角α终边相同的角β集合为__________________ C 终边轴线角的表示： 终边落在x轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在x轴角的集合为____________________。 终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。终边落在坐标轴角的集 合为__________________ 。 象限角的表示第一象限的角的集合为_________________ 第二象限的角的集合 为_____________。 第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。 例题1、判断下列各角分别是第几象限角：670°，480°， -150°，45°，405°，120°， -240°，210°，570°，310°， -50°，-315° 例题2、下列角中与330°角终边相同的角是（）A、30° B、-30° C、630° D-630° 题型一、象限角的判定 例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他 们是第几象限角，并指出在 0°~360°范围内与其终边相同的角。 （1）420° （2）-75° （3）855° （4）1785° （5）-1785° （6）2021° （7）-2021° （8）1450° （9）361° （10）-361° 例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。 迁移：已知α是第三象限角则α+90°，α-90°，270°-α，360°-α分别第几象 限题型二、终边相同的角的表示 例1、写出终边如下图所示直线上的角的集合。 y y y y=x y y y
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
知识点一：任意角的表示 ?????正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 知识点二：象限角的范围 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
一、任意角： 初中我们研究过锐角(0～90)的三角函数值，了解钝角(大于90，小于180的角)，平角(180)周角 (360)的概念。但实际生活中会遇到超过360的角，例如:体操转体720等，这需要把角的概念进行推广，而原来角的定义(从一点出发的两条射线所构成的图形)显然不能完成推广的任务，因此对角需要重新定义。 角:平面内一条射线绕着顶点(O)，从开始位置(OA)旋到结束位置(OB)所构成的图形。OA称为角的始边，OB称为角的终边。 规定:射线逆时针旋转而成的角为正角，顺时针旋转而成的角为负角，射线没有旋转时称为零角。 角进行重新定义后，角的分类也要重新进行，而这次分类是通过直角坐标系来完成的。我们把角的顶点放在坐标原点，角的始边放在某轴的正半轴上，根据终边的'位置，把角分成象限角与轴上角两类。即终边落在象限内(四个)称为象限角;终边落在轴上(四个)称为轴上角。因此今后我们考虑角的问题时，只考虑角的终边位置即可。 终边相同角的表示方法: 由于终边相同的角之间都相差360的整数倍，因此与角终边相同的角的集合为: {某|某=k360+, kZ}。 其中可以是与角终边相同的任意一个角;一般情况下，取0到360之间的角。 注意:0到360是指:0360。 二、弧度制: 我们前面把角推广到任意角。实际上是解决了三角函数中定义域的问题。应该说我们所应用的角度数与实数是可以建立一一对应关系的。但如果就用角度数作为自变量的取值，会有一些不方便的地方(尤其是作图中)，因此引入了弧度制。 今后在表示角时，如无特殊规定，用角度制、用弧度制表示均可，但一定不要混用。为了给三角函数的教学作准备，建议大家尽量用弧度制表示角。
必修四_任意角与弧度制__知识点汇总【知识点一】弧度制的定义与计算 弧度（radian）是一个无量纲的量，用符号“rad”表示，是角度制的补充和扩展。弧度制的基本单位是弧度，一个完整的圆周有2π弧度，等于360度。 1.弧度与角度的转换关系： 弧度=角度×π/180 角度=弧度×180/π 2.弧度与弧长、半径之间的关系： 弧长=弧度×半径 3.弧度与角度的比较： 当两个角所对的弧长相等时，这两个角的弧度相等； 当两个角的弧度相等时，它们所对的弧长相等。 【知识点二】弧度制与角度制的换算 1.已知角的弧度，求角的度数： 角度=弧度×180/π 2.已知角的度数，求角的弧度： 弧度=角度×π/180 【知识点三】任意角的三角函数
1.任意角的终边与坐标轴正方向的夹角称为角的标准位置角。 2.在单位圆上定义任意角的三角函数： 弧度为θ的任意角的正弦、余弦、正切分别记作sinθ、cosθ、tanθ。 3.三角函数的正负性：正弦和正切函数在每个周期内正负变化，余弦函数在每个周期内正负不变。 4.基本三角函数的关系： sin^2θ + cos^2θ = 1 1 + tan^2θ = sec^2θ 1 + cot^2θ = csc^2θ 5.任意角的三角函数的周期性： sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ tan(θ + π) = tanθ 【知识点四】任意角的三角函数的定义域、值域和奇偶性 1.三角函数的定义域和值域： sinθ的定义域为R，值域为[-1, 1] cosθ的定义域为R，值域为[-1, 1] tanθ的定义域为R - {(2n + 1) × π / 2 ，n∈Z}，值域为R
三角函数任意角和弧度制 一、知识梳理 一.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{} |360k k Z βββα∈=+∈， 二．弧度制 弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π︒= 三：三角函数的定义 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,则r = : （1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距 离r = 那么 sin α= cos α= ,tan y x α= ．
四：三角函数在各象限的符号 二、例题精讲 考点一 终边相同的角的集合 例1 在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 例2 已知α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式。 （1）α、β的终边关于原点对称；（2）α、β的终边关于x 轴对称； （3）α、β的终边关于y 轴对称。 变式训练1 已知α=－1910°。 （1）把α写成360k β+⋅︒（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ≤0°。 变式训练2 1．（2015春 广东东莞月考）若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为（ ） 正切、余切余弦、正割正弦、余割 正弦 余弦 正切
A ．2kπ+β（k ∈Z ） B ．2kπ－β（k ∈Z ） C ．kπ+β（k ∈Z ） D ．kπ－β（k ∈Z ） 2．（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？ （2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？ 考点二 角 n α 所在象限的研究 例3 若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3 α 的终边所在的位置。 变式训练3 若α是第三象限的角，则2α，2 α 分别是第几象限的角？ 考点三 弧度制与角度制的互化 例4 用弧度制表示顶点在原点，始边重合与x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包括边界，如图所示） 变式训练4 1．分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合： (1) 与α终边相同的角
任意角及弧度制 知识点： 一、 任意角 1． 任意角的概念 2． 正角、负角、零角 二、直角坐标系中的角的分类 1．象限角：一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 2．轴线角 3．终边相同的角 三、弧度制的定义 1．弧度的概念：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．弧度数：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少? 角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 3．角度与弧度之间的转化 1___rad ︒=,1___rad =度 四、 扇形面积与弧长公式 1． 弧长公式：l R α= 2． 扇形面积公式：212S R α= 12 S lR = 五、 三角函数的定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； 说明:
(1)当()2k k Z π απ= +∈时，α的终边在y 轴上， 终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=无意义,除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数. (2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值. (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数. 六、 三角函数的定义域和函数值的符号 1． 三角函数的定义域： 三角函数的定义域、值域 2． 三角函数值在各象限的符号 七、 诱导公式一 ,sin )2sin(απα=+k cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=， 八、 三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延 正切、余切 余弦、正割正弦、余割
知识点一：任意角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几 象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、终边相同的角： 与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k * 4、已知 是第几象限角，确定 n * 所在象限： 若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角 终边所在的范围。 n 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ，1 ， 1 180 57.3 ． 180 特殊角的弧度数： 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 则弧长公式： l r ，扇形周长： C 2r l ，扇形面积： S 21lr 12 r 2． 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P
任意角和弧度制 知识点 1•角的分类： (1) 正角：一条射线逆时针方向旋转形成的角 (2) 负角：一条射线顺时针方向旋转形成的角 (3) 零角：一条射线不做旋转 2 •象限角的概念： (1 )定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边 (端点除外)在第几象 限，我们就说这个角是第几象限角. (2) 轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角。 (3) 终边相同的角的表示：所有与角a 终边相同的角，连同a 在内，可构成一个集合S = { 3 | 3 = a + k ，- 360 k € Z},即任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角 a 与整个周角的和. 注意：€ k €Z € 是任一角； €终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个，它们相差 360。的 整数倍； €角a + k - °与角 a 终边相同，但不能表示与角 a 终边相同的所有角. 例如： 终边在x 轴上的角的集合为 k 180o ,k 终边在y 轴上的角的集合为 k 180° 90o ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90°, k 3. 由角所在象限判断一所在象限: 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 360o 360o 360o 360o k 360o 90o , k 90o o 180 270o o o 360 180 ,k k 360o 270o ,k k 360o 360o ,k
4•弧度制: (1 )角度制：规定把周角的 —作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制. 360 (2)弧度制：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角； 在弧度制下,1弧度记做1rad .在实际运算中，常常将 rad 单位省略. (3 )弧度制的性质： r €半圆所对的圆心角为 — r €正角的弧度数是一个正数. €零角的弧度数是零. 注：角度制是60进制，弧度制是十进制: 5.角度与弧度之间的转换： €将角度化为弧度： 360 2 ； 180 ； 1 0.01745rad ; n - rad . 180 180 €将弧度化为角度： 180 2p = 360?； p= 180?； rad ( ) 6•常规写法： €用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少 n 的形式，不必写成小数. €弧度与角度不能混用•要不用弧度制，要不统一角度制。 7.特殊角的弧度 €整圆所对的圆心角为乂 2 r €负角的弧度数是一个负数. €角a 的弧度数的绝对值| a |=.
任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2. 3．任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．三个三角函 数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠k π＋π 2 ，k ∈Z } ＋ － ＋ － 4.三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T . 三角函数线
有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线 1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C 解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限． 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2 sin 1 答案 C 解析 设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1 sin 1， ∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2 sin 1 . 3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____________. 答案 －8 解析 因为sin θ＝ y 42＋y 2 ＝－255， 所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π 3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥1 2 .
1.1任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 k (Z （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ） 。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
高中数学任意角和弧度制复习要点 梳理 1.任意角 1角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 2终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α+k·360°k∈Z. 3弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算：360°=2π弧度;180°=π弧度. ⑤弧长公式：l=|α|r，扇形面积公式：S扇形=lr=|α|r2. 2.任意角的三角函数 1任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点Px，y，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 2三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为cos_α，sin_α，即 Pcos_α，sin_α，其中cos α=OM，sin α=MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位
圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。