任意角与弧度制知识与题型总结
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}
②{0°～90°的角}
③ {第一象限的角}
④以上都不对
（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C
C ．A ⊂C
D ．A=B=C
ααα∠αx
4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合
即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k
2、α是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若角的终边与
58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4
θ
的角终边相同的角为 。
（2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．
例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]
1260180，
-∈θ．
)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ
2、终边在坐标轴上的点：
终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ
3、终边共线且反向的角：
终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ
4、终边互相对称的角：
若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk
例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x 轴对称
D.有关于y 轴对称
二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad
∴ 1︒=
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
r
l
=
αl r rad rad 01745.0180≈π
'185730.571801
=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad o
r C 2rad
1rad r
l=2r o
A
A
B
例1、 把化成弧度例 例2、 把化成度
例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）
36
π
rad （2）2.1 rad （3）
4、弧长公式和扇形面积公式
；
题型一、终边相同的角
例1 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）
A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|αα
B ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|αα
C ．
}{Z k k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα
例2 如果角α与β终边相同，则有（ ）
A ．α-β=π
B ．α+β=0
C ．α-β=2k π（k ∈Z ）
D ．α+β=2k π（k ∈Z ）
例3、与－1050°终边相同的最小正角是 .
'3067
rad π5
3rad π53r l α=22
1
21r lR S α==
题型二 已知角α所在象限，求角2α、
2
α
所在象限问题
例1 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角
例2.若α是第三象限角，则2
α
是第几象限角？
例3.若α是第二象限角，则α
3是第几象限角？
题型三 弧度制的概念问题
例1 下列诸命题中，假命题是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的
3601，一弧度的角是周角的π
21 C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
例2．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；
O
A
B
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
题型四 角度与弧度互化问题
例1 （1）将112°30′化为弧度 （2）将12
5π
-rad 化为度
题型五 与弧长、扇形面积有关问题
例1.已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数
例2、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
例3.如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长.
变式练习．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长
1
sin 21sin 22sin OAB 2
4cm 8cm AB
AB .
题型六 用弧度表示终边相同角的问题
例1.将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤
题型七 由两角终边的位置确定两角的关系
例1 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ） A ．α=-β B ．α=180°+β C ．α=k ·360°+β（k ∈Z ） D. α= k ·360°+180°+β（k ∈Z ）
例2、若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
题型八 函数思想
例1 扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形面积S 最大？最大值是多少？
题型九实际应用题
例1 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？
题型十、阴影部分面积
1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．
练习题
一、选择题
1、下列角中终边与330°相同的角是（）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
2、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（） A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
4、下列命题是真命题的是（）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角
B．第一象限的角必是锐角
C ．不相等的角终边一定不同
D ．=
5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=
C C ．A C
D ．A=B=C
6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )
A.①
B.①②
C.①②③
D.①②③④ 7、若α是第一象限的角，则-
是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是( )
A.小于90°的角是锐角
B.第二象限的角是钝角
C.相等的角终边一定相同
D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )
A.x 轴的正半轴上
B.y 轴的正半轴上
C.x 轴或y 轴上
D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )
A.关于坐标原点对称
B.关于x 轴对称
C.关于直线y=x 对称
D.关于y 轴对称
11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间的关系是( )
A.X Y
B.X Y
C.Ｘ=Y
D.X ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )
A.-360°＜α-β＜0°
B.-180°＜α-β＜180°
C.-180°＜α-β＜0°
D.-360°＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是 （ ）
A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B ．第一象限的角是锐角
C ．第二象限的角比第一象限的角大
D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ，下列终边相同的角是
（ ）
A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°
B ．k ·90°与k ·180°+90°
C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°
D ．k ·180°+60°与k ·60°
15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
16、设角的终边上一点P 的坐标是，则等于 （ ） {
}
Z k k ∈±⋅=,90360|
αα{}
Z k k ∈+⋅=,90180
|
αα⊂2
α
2
π
1
sin 2
1sin 22sin α)5
sin ,5(cos
π
π
α
A ．
B ．
C ．
D ．
17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边
（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．以上都不对
18、设集合M ={α|α=
，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π，则M ∩N 等于 （ ）
A ．{－
} B ．{－
} C ．{－
} D ．{
} 19、“”“A=30º”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （ ）
A ．2
B ．
C ．1
D ．
21、设集合M ={α|α=k π±
，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k ，k ∈Z }那么下列结论中正确的是
（ ）
A ．M =N
B ．M N
C ．N M
D ．M N 且N M
二、填空题
22、若角α是第三象限角，则
角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 .
24、已知是第二象限角，且则的范围是 .
5
π5
cot
π
)(10
32Z k k ∈+ππ)(5
92Z k k ∈-π
π5
-2π
πk }105π
π3,
5
10ππ4,75
-
105πππ
π4,107,3,
7,031-1ππ2
1
sin =
A π32
36π6
π2
α
α,4|2|≤+αα
任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
1.1任意角与弧度制知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α ∠可以简记成α。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、 C关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与) k∈个周角的和。 k (Z （2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合 即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：
1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点： 终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角： 终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角： 若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ） 。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：
任意角与弧度制知识与题型总结 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C ααα∠αx
4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角： （1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。 （2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意： 1、Z ∈k 2、α是任意角 3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。 4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。 例1、（1）若角的终边与 58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4 θ 的角终边相同的角为 。 （2）若βα和是终边相同的角。那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ． 例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180， -∈θ． )(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ
三角函数任意角和弧度制知识点 第一章三角函数任意角和弧度制知识点 任意角知识点一、任意角 B 终边总结：任意角构成要素为顶点、始边、终边、 旋转方向、旋转量大小。 α知识点二、直角坐标系中角的分类始边 O 1、象限角与轴线角 A β 2、终边 相同的角与角α终边相同的角β集合为__________________ C 终边轴线角的表示： 终边落在x轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在x轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在x轴角的集合为____________________。 终边落在y轴非负半轴角的集合为_____________；终边落在y轴非正半轴角的集合 为_______；终边落在y轴角的集合为____________________。终边落在坐标轴角的集 合为__________________ 。 象限角的表示第一象限的角的集合为_________________ 第二象限的角的集合 为_____________。 第三象限的角的集合为_________________；第四象限的角的集合为____________。 例题1、判断下列各角分别是第几象限角：670°，480°， -150°，45°，405°，120°， -240°，210°，570°，310°， -50°，-315° 例题2、下列角中与330°角终边相同的角是（）A、30° B、-30° C、630° D-630° 题型一、象限角的判定 例1、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，指出他 们是第几象限角，并指出在 0°~360°范围内与其终边相同的角。 （1）420° （2）-75° （3）855° （4）1785° （5）-1785° （6）2021° （7）-2021° （8）1450° （9）361° （10）-361° 例2、已知α是第二象限角，则180°-α是第_____象限角。 迁移：已知α是第三象限角则α+90°，α-90°，270°-α，360°-α分别第几象 限题型二、终边相同的角的表示 例1、写出终边如下图所示直线上的角的集合。 y y y y=x y y y
一、任意角 1、角的推广 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ①、按逆时针方向旋 转所形成的角叫正角 ②、顺时针方向旋转所形成的角叫负角， ③、当一条射线没有作任何旋转时，称为零角 2、象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角 象限角的注意 ①主要是固定好始边看终边 ②坐标轴上的角不叫象限角 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
5、 已知α是第二象限的角，判断3 α 所在的象限. 探索：若α分别在第一、二、三、四象限，,,2,323 αα αα分别在第几象限？ 经典考点一、任意角的概念问题 1．设集合{|90E x x = 是小于的角｝，{|F x x =是锐角｝，={|G x x 是第一象限的角｝， {|M x x ＝是小于90，但不小于0的角｝，则下列关系成立的是（ ）． A ． B ． C ． (E G ) D ．G M F = 2、已知集合=A {第一象限的角}，=B {锐角}，=C {小于90o 的角}，下列四个命题： ①C B A == ② C A ? ③A C ? ④B C A =? 正确的命题个数是 （ ） A ．1个 B .2个. C.3个. D.4个. 3、下列命题是真命题的是（ ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360| αα={ } Z k k ∈+?=,90180| αα 经典考点二、终边相同的角以及象限角 1、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________． 3.与610°角终边相同的角表示为 A. k ·360°+230°(k ∈Z ) B. k ·360°+250°(k ∈Z ) C. k ·360°+70°(k ∈Z ) D. k ·360°+270°(k ∈Z ) 4．将885- 化为360(0360,)k k Z αα+?≤<∈ 的形式是（ ）． A ．165(2)360-+-? B ． 195(3)360+-? C ．195(2)360+-? D ．165(3)360+-? 5.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z} (C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
5.1 任意角和弧度制 （基础知识+基本题型） 知识点一 任意角 1.角的概念 (1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 (2)角的表示：如图 射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。 2.角的分类 名称 定义 图形 正角 一条射线按逆时针方向旋转形成的角 负角 一条射线按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转形成的角 拓展： （1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。 （2）角的范围不再限于0 360. B O A O A B O A B A （B O
知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角 （1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （2）象限角的集合表示 }360 90360,x k k Z <<+⋅∈ }90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈ 2.终边相同的角 （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 （2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 ,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈ }180,k k Z ⋅∈ }90360,k k Z +⋅∈ }90 360,k k Z +⋅∈
三角函数-任意角与弧度制 知识点 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。 2. 角的分类为了区别起见，我们规定: （1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； （2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角； （3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角 （2）在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”。 3.终边相同的角的表示方法：与α终边相同的角构成一个集合： { } 360,S k k Z ββα==+?∈o 注:（1） Z k ∈； （2）α是任意角； （3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。 4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 非象限角：终边落在x 轴或y 轴上的夹角。 5.弧度与角度的互化 （1）弧度制的定义 比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。
或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。 因此我们有如下定义： 如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r （2）. 弧度角的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 弧度单位：rad 。（此单位写不写都可以） （3）. 弧长公式：r l ?=α （4）. 角度与弧度的换算3602π=o rad ；180π=o rad 。 1°＝ π180rad ；1 rad ＝(180 π )° (3)特殊角的度数与弧度制对应表： （5）. 弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为S ＝12＝12|α|·r 2 题型一 终边相同的角的表示 【例1】写出与ο 75角终边相同的角的集合，并求在ο ο 1080~360范围内与ο 75角终边相同的角
任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算． [基础梳理] 1．任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角； ③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝l r . (3)角度与弧度的换算： 360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180 π)°≈57°18′. (4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝1 2α·r 2. 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作
角α的正弦线、余弦线和正切线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α， tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等． [三基自测] 1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9 答案：D 2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C 3．弧长为3π、圆心角为3 4π的扇形半径为________． 答案：4 4．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. 答案：45 －35 －43 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ????α－π 4＝__________. 答案：72 10 [考点例题] 考点一 终边相同的角及象限角|易错突破 高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π 6(k ∈Z )，则α的终边一定在( ) A ．第一象限或第二象限或第三象限 B ．第一象限或第二象限或第四象限 C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈ =+∈， 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角
α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈ 要点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π︒ = 1rad=0 180π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α==. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】 类型一：角的概念的理解 例1．下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
任意角的概念及弧度制基础知识 一、角的定义: 1、小学和初中对角的定义： 2、高中对角的定义： 3、正角、负角、零角的定义： 4、角的加减法的几何意义： 5、终边与某一角相同的角的表示法: 6、象限角的定义: 7、轴线角的定义： 8、若角α是某一象限的角，则α 2、α 3 分别是什么象限的角: 二、弧度制、弧度制与角度制的换算 1、角度值的定义： 2、弧度制的定义: 3、弧度制与角度制的换算
4、 特殊角的弧度： 5、 弧度、弧长、半径之间的关系: 6、 扇形的面积的计算公式： 任意角的概念及弧度制练习题 1、 在直角坐标系中,若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是 ．若角α与角β的终边互相垂直，则α与β的关系可以是 ． 2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是 ． 3、已知集合{第一象限的角｝，{锐角｝，｛小于90o 的角},下列四个命题： ① ② ③ ④ 正确的命题个数是 ． 4、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ． 5、若是第四象限角,则是 ． 6、－1120°角所在象限是 ． 7、下列命题是真命题的是( ） Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={} Z k k ∈+⋅=,90180| αα 8、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ） A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角 D ．第一、四象限角 9、两弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所夹的扇形的面积为 。 =A =B =C C B A ==C A ⊂A C ⊂B C A =⊂ααπ-
2. 按角的终边位置 (1) 角的终边在第几象限， —则此角称为第几；(2)角的终边在—上，则此角不属于 任何一 个象限• 3. ________________________________________________________________________________ 所有与角a 终边相同的角，连同角 a 在内，可构成一个集合 S= _______________________________________ ，即 任一与角a 终边相同的角，都可以表示成角 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在 出它们是第几象限角. (1) - 75 ° ;⑵855 ° ; (3) - 510 【类题通法】象限角的判断方法 (1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限， 此角就是第几象限角. (2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到 0°?360。范围内，转化后的角在第几象限，此 角就是第几象限角. 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在 0°?360。范围内，找出与其终边相同的角，并判定 它是第几象限角. (1)360 ° ；⑵720 ° ； (3)2 012 ° ； (4) - 120 ° . 题型二、终边相同的角的表示 任意角与弧度制 【知识梳理】 1按旋转方向分 X 轴的非负半轴上，作出下列各角，并指
【例2】(1)写出与a=- 1 910。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720 v卩v 360。的元素卩写出来• ⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合
知识点一：任意角 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几 象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 ,k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 ,k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、终边相同的角： 与角 终边相同的角的集合为 k 360 ,k * 4、已知 是第几象限角，确定 n * 所在象限： 若 是第 k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧 n n 等分，并从 x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上 1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域是角 终边所在的范围。 n 知识点二、弧度制的转换： 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． 6、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l ． r 7、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ，1 ， 1 180 57.3 ． 180 特殊角的弧度数： 知识点五：扇形 8、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ， 则弧长公式： l r ，扇形周长： C 2r l ，扇形面积： S 21lr 12 r 2． 第三象限角的集合为 k 360 180 k 360 270 , k 第四象限角的集合为 k 360 270 k 360 360 , k
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P
第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 一、任意角与弧度制 1．任意角 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类⎩ ⎪⎨⎪⎧ 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 例1、已知下列各角：①120- ②240- ③180 ④495，其中第二象限角的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 例2、下列说法正确的个数是（ ） ①小于90︒的角是锐角； ②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0︒. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例3、若θ＝－5，则角θ的终边在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 例4、2018︒是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 例5、若θ是第四象限角,则角2 θ 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第一或第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
例1、已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 例2、一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ． 3 π B ．3 π- C ． 23 π D ．23 π- 例3、225︒化为弧度是（ ） A ． 34 π B ． 54 π C ． 43 π D ． 76 π 例4、如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ． 2sin1 C ．2sin1 D ． 4sin1 例5、已知半径为1的扇形面积为 38 π ，则扇形的圆心角为（ ） A ． 316 π B ． 38π C ． 34 π D ． 32 π 例6、若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为（ ） A ． 33 π B ． 54 π C ． 239 π D ．π 例7、若扇形的中心角为120︒，半径为3，则此扇形的面积为（ ） A ．π B ． 54 π C ． 33 π D ． 239 π 3．任意角的三角函数 一、定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．
高一数学三角函数经典题型：任意角和弧度制想要更好的把握三角函数，大伙儿一定要多多做题，下面的高一数学三角函数经典题型期望能够关心大伙儿更好的学习巩固三角函数的知识。 一、任意角和弧度制?? 用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。另外一种度量角的方法是角度制。弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算。 二、任意角的三角函数? 正弦定理在任意角三角形中，各个角的正弦与它所对的边的比相等，同时等于外接圆的直径。 三、二倍角的三角函数 二倍角公式是绝对的重点.但公式多了不要纷乱.要明白公式之间的关系.事实上二倍角公式不用背也会用.因为前面差不多学了两角和的公式.两角和的公式能够把两个角加起来,两个相等的角加起来,确实是二倍角公式。 四、两角和与差的三角函数 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式差不多上在此公式基础上变形得到的,因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式 五、三角恒等变换 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技
. z. ●高考明方向 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进展弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. *备考知考情 1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考察三角函数求值问题． 2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考察三角函数定义的应用． 3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题. 一、知识梳理"名师一号"P47 知识点一角的概念 (1)分类⎩ ⎪⎨⎪⎧ 按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边一样的角：所有与角α终边一样的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}. "名师一号"P47 对点自测 1、2 注意： 1、"名师一号"P48 问题探究 问题1、2 相等的角终边一样，终边一样的角也一定相等吗. 相等的角终边一定一样，但终边一样的角却不一定相等，终边一样的角有无数个，它们之间相差360°的整数
. z. 倍． 角的表示形式是唯一的吗. 角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{*|*＝k ·360°－90°，k ∈Z}，也可以表示为{*|*＝k ·360°＋270°，k ∈Z}． (补充) 2、正角 > 零角 > 负角 3、以下概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 4、(1)终边落在坐标轴上的角 1〕终边落在*轴非负半轴上的角 {*|*＝2kπ，k∈Z } 2〕终边落在*轴非正半轴上的角 {*|*＝2kπ+π，k∈Z } 终边落在*轴上的角 {*|*＝kπ，k∈Z } 3〕终边落在y 轴非负半轴上的角 {*|*＝2kπ+π2 ，k∈Z } 4〕终边落在y 轴非正半轴上的角 {*|*＝2kπ+3π2 ，k∈Z }
专题17任意角、任意角三角函数及弧度制--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1．了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)；了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号． 二、教学建议 （1）三角函数的定义； （2）扇形的面积、弧长及圆心角； （3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标． 三、自主梳理 1．角的概念的推广（☆☆☆） (1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时 针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角． (2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限． (3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}． （4）象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 象限角：
2．角的度量（☆☆☆） (1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角． (2) 弧度制与角度制的关系：1°=π180 弧度(用分数表示)，1弧度=180π 度(用分数表示)． (3) 弧长公式：l =|α|r ． (4) 扇形面积公式：S = rl =|α|r 2． 3．任意角的三角函数的定义（☆☆☆） 设角α的终边上任意一点的坐标为P (x ，y )(除原点)，点P 到坐标原点的距离为r (r )，则sin α= ，cos α=，tan α=． 4．三角函数的定义域（☆☆☆） 在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R ，R ， ． 5．三角函数的符号规律（☆☆☆） 第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．简称：一全、二正弦、三切、四余弦． 6．三角函数线（☆☆☆） 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线． 四、高频考点+重点题型 考点一、角的扩充与表示 121 2 y r x r y x |,2k k Z πααπ∈⎧⎫ ≠+⎨⎬⎩⎭