1、下列六个命题：其中正确的命题有 .
①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角
2、练习：角度与弧度互化：
0°= .；30° ；45° ；3π ；2
π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310
π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ，
12π ，4
7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）
－150° 、1040° 、－940° .0
300 01125 0660- －1050° 01485-
4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9
122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。
(1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与
6
π的终边关于x 轴对称的角；
(4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上
6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．
7、若α 是第二象限的角，则2
α所在的象限是( )
A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2
α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3
α终边所在的位置
11、将分针拔快15分钟，则分针转过的弧度数是 .
12、在半径为12 cm 的扇形中, 其弧长为5π cm, 中心角为θ. 求θ的大小 ..
13、一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为 .：
14、已知一扇形在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度.
15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 .
16、已知一扇形的圆心角是α，所在圆半径是R ，若α=600，R =10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积。
17、如果弓形的弧所对的圆心角为3
π，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是 .
18、计算：
(1)sin30°＋cos45°； (2)cos30°·tan30°－tan45°； (3)sin 260°＋cos 260°
(4)
22sin45°＋sin60°·cos45°. (5)2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2
19、计算=-
65sin π ，=413cos π ，=43sin π ，=-32sin π ，
§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备 （预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？ 二、新课导学 ※探索新知 问题1：什么叫角度制？ 问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？ 问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？ 问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？
问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。 问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题 例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法） （1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集 合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合
__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积 变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度： （1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度： （1）36°= rad ； （2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则 （ ） A ．集合M 是集合N 的真子集
任意角、弧度制及三角函数定义 基础训练题 1．296 π -所在象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列各命题正确的是 A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限角一定是锐角 C ．小于90?的角都是锐角 D ．锐角都是第一象限角 3．圆的半径是6 cm ，则15?的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是 A ． 2cm 2 π B ． 23cm 2 π C ．2cm π D ．23cm π 4．已知角α的终边经过点(5,12)P -，则sin cos αα+= 7 13 - ． 5．已知[0,2]απ∈，且角α的正切线的长度为1，则角α的取值集合为 ． 6．已知sin α，cos α是关于x 的方程220x x m --=的两个根，则m = ． 解：依题意有140,1sin cos ,2sin cos .2 m m ?αααα? ?=+≥? ? +=?? ?=-??因为2(sin cos )12sin cos αααα+=+，所以114m =-，解得34m =，这时40?=>，故34m =． 例题解析 例1 已知扇形的周长是6 cm ，面积是22cm ，试求扇形的中心角的弧度数． 例2 已知角θ终边上一点(,3)(0)P x x ≠ ，且cos θ= ，求sin θθ的值． 例3 求下列函数的定义域：（1 ）y ；（2 ）lgcos2y x =
例4 设1sin ,,2 ()1(1)1,. 2 x x f x f x x π? ，且sin 20θ<，则角θ的终边所在象限是 D A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若集合{|,}25 k M k ππ αα== -∈Z ，{|}N απαπ=-<<，则M N = C A ．3,510ππ??-???? B ．47,510ππ??-???? C ．347,,,510510ππππ??--???? D ．73,1010ππ?? - ???? 4．角α的终边上的一点的坐标是(3,3)-，则角α的集合是 ．{|2,}4 k k πααπ=-+∈Z 5．若sin cos 0θθ?>，则θ是第 一或三 象限角． 6．满足1 sin()42 x π-≥的x 的集合是 513{|22,}1212x k x k k ππππ+≤≤+∈Z ． 参考例题 1 ．写出终边在直线y = 上的角集合． 解：以射线(0)y x ≥为终边的角集合为1{|2,}6 S k k π απ=+∈Z ． 以射线(0)y x <为终边的角集合为17{|2,}6 S k k παπ=+∈Z ． 所以终边在直线y 上的角集合为7{|2,}{|2,}{|,}666 S k k k k k k πππ απαπαπ=+∈+∈=+∈Z Z Z ． 2．已知cos 0θ>，且sin 20θ<，确定角θ的终边所在象限． 解：因为sin20θ<，则2θ为三、四象限的角． 因为cos 0θ>，则θ为一、四象限的角． 所以有22,22222(),k k k k k πππθπππθπ?-<<+???-<<∈?Z 即22,22 ().2 k k k k k πππθπππθπ? -<<+??? ?-<<∈??Z 所以角θ是第四象限的角．
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
1．1.2 弧度制 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
知识点一角度制与弧度制 思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ [答案]周角的1 360等于1度． 思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？ [答案]把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad表示． 思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [答案]“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理(1)角度制和弧度制 (2)角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 知识点二角度制与弧度制的换算 思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ [答案]利用1°＝ π 180rad和1 rad＝? ? ? ? 180 π°进行弧度与角度的换算． 梳理(1)角度与弧度的互化
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识点三扇形的弧长及面积公式 思考扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [答案]设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则： 1．1 rad的角和1°的角大小相等．(×) 提示 1 rad的角和1°的角大小不相等，1°＝π 180rad.
2．用弧度来表示的角都是正角．( × ) 提示 弧度也可表示负角，负角的弧度数是一个负数． 3．“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．( √ ) 提示 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π 5. [考点] 弧度制 [题点] 角度与弧度的互化 解 (1)20°＝20π180＝π 9. (2)－15°＝－15π180＝－π 12. (3)7π12＝7 12×180°＝105°. (4)－11π5＝－11 5 ×180°＝－396°. 反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以????180π°即可． 跟踪训练1 (1)把下列角度化成弧度：
任意角和弧度制练习题 一、选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（ ） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 6.终边落在X 轴上的角的集合是（ ） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（ ） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 8.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是 （ ） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360|οοαα={}Z k k ∈+?=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C
最新高中数学必修4《任意角和弧度制》教案 高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【一】教学准备 教学目标 一、知识与技能 (1)理解并掌握弧度制的定义;(2)领会弧度制定义的合理性;(3)掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式;(4)熟练地进行角度制与弧度制的换算;(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 二、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一
的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，为下一节学习三角函数做好准备https://www.doczj.com/doc/575287148.html, 教学重难点 重点: 理解并掌握弧度制定义;熟练地进行角度制与弧度制地互化换算;弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 教学工具 投影仪等 教学过程 一、创设情境，引入新课 师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?(已知1英里=1.6公里) 显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制 ---弧度制.
精品文档 精品文档 §5.1 任意角和弧度制 班级 姓名 评价 一、归纳基础知识： 1．任意角的概念：正角、负角、零角； 象限角，终边在坐标轴上的角（轴线角）的表示方法； 2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合 {β|β= }. 3. 弧度制：长度等于________长的弧所对的圆心角叫做1rad(弧度)的角。 弧度与角度的换算公式：360o =_____rad; πrad=_____; 1o =_______rad; 1rad=________. 4. 扇形的弧长公式：L =_________ ; 扇形的面积公式：S=_________=__________ 5．单位圆：在直角坐标系中，以______为圆心,以_________为半径的圆叫做单位圆。在单位圆中，圆心角α的弧度数的绝对值，等于圆心角α所对的_________. 二、举例示范解题： 例1、“角?=90α”是“角α终边在y 轴的正半轴上”的（ ）条件。 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 例2、填空：（1）0 2230￠化为弧度制是 ；（2）52 rad p -化成角度是 ； （3）扇形的中心角为23 p ，弧长为2p ，则其内切圆的半径等于 。 例3．（2005湖南文）tan600°的值是（ ） A ．3 3 - B ．33 C ．3- D ．3 例4、已知角?=1690α，()1试将α写成)[()πββπ2,0,2∈∈+Z k k 的形式；()2求θ，使θ与α的终边相同，且()ππθ2,4--∈。 三、巩固挑战高考： 1. 快速口答题：?90= π；?45= π；?135= π；?150= π； ?450= π；?-150= π；?390= π；?1440= π。 2. 时针走过2小时45分，则分针转过了 度， 弧度。 3. 若α是第二象限角，则α-?180是（ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 4．与045-终边相同的角集合是 。 6．在00到0360范围内，与角064018￠-相同的角是 。 7. 已知?-<
§3 弧度制 课时目标
1．理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换．2．掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 1．角的单位制 (1)角度制：规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的______________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是____． 2．角度制与弧度制的换算
3设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则 一、选择题 1．集合A ＝??????α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝???? ??α|α＝2k π±π 2，k ∈Z 的关系是 ( ) A ．A ＝ B B ．A ?B C ．B ?A D ．以上都不对 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C ．2 sin 1 D ．2sin1 3．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2 ，则其中心角的弧度数是( ) A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或5 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π} 5．把－11 4π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34 π 6．扇形圆心角为π 3 ，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；-330?是第 象限角 300? ； -60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 -2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3 π． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30?；390?；-330?是第象限角 300?；-60?是第象限角 585? ； 1180?是第象限角 -2000?是第象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}
③ {第一象限的角}④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜ 2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2 α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜ 2α＜n ·360°+270°. ∴2 α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3 α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜ 3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜ 3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3 α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3 α的终边在第四象限.
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 时间：45分钟 分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2014·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为? ?? ??sin π 6，cos π6， 则角α的最小正值为( ) A .11π6 B .5π 6 C .π3 D .π6 解析 由tan α＝cos π6 sin π6＝ 3212 ＝3，故角α的最小正值为π3，选C . 答案 C 2．(2014·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin 165°＞0 B ．cos 280°＞0 C ．tan 170°＞0 D ．tan 310°＜0 解析 165°是第二象限角，因此sin 165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°＜0正确． 答案 C 3．设θ是第三象限角，且??????cos θ2＝－cos θ2，则θ 2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 解析 由于θ是第三象限角，所以2k π＋π＜θ＜2k π＋3π 2(k ∈Z )，
k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ 2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2＜θ2＜2k π＋3π 4，(k ∈Z )，即θ 2是第二象限角． 答案 B 4．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．3 解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2，从而α＝l r ＝21＝2. 答案 A 5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )且sin α·cos α＝3 4，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－4 3 3 D. 3 解析 依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－4 3 3. 答案 C 6．(2014·海口调研)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则
1.1.2弧度制 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法 创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值 通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点 重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具 在我们所掌握的知识中，知道角的度量是显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里） 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ，自行解决上述问题.
任意角与弧度制 【知识梳理】 1按旋转方向分 2. 按角的终边位置 (1) 角的终边在第几象限， ___ 则此角称为第几；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一 个象限. 3. 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= ___________________________ ，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与_______________ 的和. 【常考题型】 题型一、象限角的判断 【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指 出它们是第几象限角. (1) - 75°; (2)855 ° ; (3) - 510° . 【类题通法】象限角的判断方法 (1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角. (2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°?360°范围内，转化后的角在第几象限，此 角就是第几象限角. 【对点训练】 在直角坐标系中，作出下列各角，在0°?360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) - 120° . 题型二、终边相同的角的表示 【例2】(1)写出与a=- 1 910 °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°＜卩v 360°的元素卩写出来. ⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
1终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍. ⑵ 终边在同一直线上的角之间相差 180°的整数倍. (3) 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍. 2?区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； ⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a ,卩，写出所有与a ,卩终边相同的 角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合. 【对点训练】 题型三、确定n 及一所在的象限 n a 【例3】 若a 是第二象限角，则 2a , y 分别是第几象限的角? 【类题通法】 1. n a 所在象限的判断方法 确定n a 终边所在的象限，先求出 n a 的范围，再直接转化为终边相同的角即可. 2負所在象限的判断方法 已知角a 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角 a 的取值范围 . 【类题通法】
知识点一：任意角 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2 π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式） －150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈ =+∈， 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360?的整数倍. 3．常用的象限角
α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈ 要点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π? = 1rad=0 180π?? ??? ≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α==. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】 类型一：角的概念的理解 例1．下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。
1、下列六个命题：其中正确的命题有. ①时间经过3 小时，时针转过的角是90°②小于 90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若是锐角，则的终边在第一象限 ⑤若的终边在第二象限，则是钝角⑥若的终边在第四象限，则是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°=.；30°；45°；；；120°；135°；150 3 2 °； 5 ，－4 π、 3 π、－210°、75°，3300，9000 4 3 10 -2 3 ，405°，-280°，1680°，-11 4 ，， 7 5 6 780°，-1560°，67.5°，-10， 3 12 ，7 4 3、在 0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成k ? 3600+(k ∈Z ) 的形式）－150°、1040°、－940°. 3000 11250-6600－1050°-14850 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A. （k∈z） B.－和22 π C.－7和11 D. 20122 和-+2k和 2 2 3 3 9 9 3 9 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角；(2)第四象限角；(3)与的终边关于x 轴对称的角； 6 (4)终边在直线y=x 上。(5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若是第二象限的角，则所在的象限是( ) 2 A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则角的终边在. 2 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α(2) 2(3) 终边所在的位置 3