必修四_任意角与弧度制__知识点汇总【知识点一】弧度制的定义与计算
弧度（radian）是一个无量纲的量，用符号“rad”表示，是角度制的补充和扩展。弧度制的基本单位是弧度，一个完整的圆周有2π弧度，等于360度。
1.弧度与角度的转换关系：
弧度=角度×π/180
角度=弧度×180/π
2.弧度与弧长、半径之间的关系：
弧长=弧度×半径
3.弧度与角度的比较：
当两个角所对的弧长相等时，这两个角的弧度相等；
当两个角的弧度相等时，它们所对的弧长相等。
【知识点二】弧度制与角度制的换算
1.已知角的弧度，求角的度数：
角度=弧度×180/π
2.已知角的度数，求角的弧度：
弧度=角度×π/180
【知识点三】任意角的三角函数
1.任意角的终边与坐标轴正方向的夹角称为角的标准位置角。
2.在单位圆上定义任意角的三角函数：
弧度为θ的任意角的正弦、余弦、正切分别记作sinθ、cosθ、tanθ。
3.三角函数的正负性：正弦和正切函数在每个周期内正负变化，余弦函数在每个周期内正负不变。
4.基本三角函数的关系：
sin^2θ + cos^2θ = 1
1 + tan^2θ = sec^2θ
1 + cot^2θ = csc^2θ
5.任意角的三角函数的周期性：
sin(θ + 2π) = sinθ
cos(θ + 2π) = cosθ
tan(θ + π) = tanθ
【知识点四】任意角的三角函数的定义域、值域和奇偶性
1.三角函数的定义域和值域：
sinθ的定义域为R，值域为[-1, 1]
cosθ的定义域为R，值域为[-1, 1]
tanθ的定义域为R - {(2n + 1) × π / 2 ，n∈Z}，值域为R
2.任意角的奇偶性：
奇函数：sinθ、tanθ，满足f(-θ) = -f(θ)
偶函数：cosθ，满足f(-θ) = f(θ)
【知识点五】重要角的正弦、余弦、正切值
1.30°、45°、60°三个特殊角对应的正弦、余弦、正切值：
sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√3
sin45° = √2/2, cos45° = √2/2, tan45° = 1
sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √3
2.角度所属象限的正弦、余弦、正切值：
第一象限的角θ：sinθ > 0, cosθ > 0
第二象限的角θ：sinθ > 0, cosθ < 0
第三象限的角θ：sinθ < 0, cosθ < 0
第四象限的角θ：sinθ < 0, cosθ > 0
【知识点六】任意角的三角函数值的计算
1.在单位圆上根据三角函数定义计算值。
2.利用特殊角及三角函数的基本关系计算。
3.利用三角函数的周期性定理化简计算。
【知识点七】弧度制中的角平分线
1.角平分线定义：角的内部的一条射线或直线将角分成两个相等的角，称为角的平分线。
2.弧度制中的角平分线的性质：弧度为θ的角的平分线所对应的弧
度是θ/2
【知识点八】任意角和任意角的和差的正弦、余弦、正切函数的关系
1.任意角和差的正弦公式：
sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ
2.任意角和差的余弦公式：
cos(α ± β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ
3.任意角和差的正切公式：
tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)
【知识点九】弧度与角度的开关问题
1.利用弧度与角度的换算关系解题。
2.利用弧度制的性质解决角度求解问题。
以上为必修四_任意角与弧度制知识点的汇总，涵盖了弧度制的定义
与计算、弧度制与角度制的换算、任意角的三角函数、重要角的正弦、余弦、正切值等内容。通过巩固这些知识点，可以提升对任意角与弧度制的
理解与运用能力。
任意角与弧度制知识点汇总 一、任意角的定义和度量 1.任意角是指不在坐标轴上的角，可以是任意大小的角度。 2.任意角的度量可以使用度数和弧度数来表示。 3.度数是常用的角度度量单位，一个完整的圆为360度，所以一个直角为90度。 4.弧度是另一种角度度量单位，一个完整的圆的周长为2π，所以一个直角对应的弧度为π/2 5.任意角的度数和弧度数之间的关系是180度=π弧度。 二、度和弧度的换算公式 1.由于180度=π弧度，所以度数转换为弧度可以使用如下公式：弧度数=度数×(π/180)。 2.弧度转换为度数可以使用如下公式：度数=弧度数×(180/π)。 三、任意角的三角函数 1. 任意角的三角函数包括正弦、余弦和正切，它们分别用sin、cos 和tan表示。 2. 正弦函数的值等于任意角的对边与斜边的比值，sinθ = 对边/斜边。 3. 余弦函数的值等于任意角的邻边与斜边的比值，cosθ = 邻边/斜边。
4. 正切函数的值等于任意角的对边与邻边的比值，tanθ = 对边/邻边。 5.三角函数的值可以通过正弦、余弦和正切表或计算器来查找或计算。 四、任意角的三角函数的性质 1.正弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 2.余弦函数的值在-1和1之间变化，并且具有周期性，其周期为360 度或2π弧度。 3.正切函数的值不受限制，但也具有周期性，其周期为180度或π 弧度。 4.三角函数的值可以通过画图或使用计算器来确定。 五、任意角的三角函数的基本关系 1. 正弦函数和余弦函数是互余函数，即sinθ = cos(90度-θ)。 2. 正切函数和余切函数是互倒函数，即tanθ = cot(90度-θ)。 3. 三角函数的和差公式可以用来求解任意角的三角函数值，如 sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。 4.三角函数的倍角公式和半角公式也可以用来求解任意角的三角函数值。 六、任意角与单位圆的关系 1.单位圆是半径为1的圆，它可以用来表示任意角的三角函数值。
任意角与弧度制 知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。 注意： （1）“旋转”形成角，突出“旋转” （2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 例1、若ο ο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。（0,45） （180,270） 2、角的分类： 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。 正角：按照逆时针方向转定的角。 零角：没有发生任何旋转的角。 负角：按照顺时针方向旋转的角。 例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960 （2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3 π ． 3、 “象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。 例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角 585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。 例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.
①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不对 （2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ） A ．B=A∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C 例3、写出各个象限角的集合： 例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2 α 的终边所在位置. 解 ∵α是第二象限的角， ∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）. （1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2 α ＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k=2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜ 2 α ＜n ·360°+90°； 当k=2n+1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2 α ＜n ·360°+270°. ∴ 2 α 是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3 α是哪个象限的角？ ∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜ 3 α ＜90°+k ·120°. ①当k=3m(m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3 α ＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故 3 α 的终边在第一象限. ②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3 α ＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故 3 α 的终边在第三象限. ③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜ 3 α ＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.
任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角 正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角 定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角： 象限角 象限角的集合表示 第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定.
知识点一：任意角 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α地顶点与原点重合，角地始边与x 轴地非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角地集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角地集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角地集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角地集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上地角地集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上地角地集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上地角地集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、终边相同地角： 与角α终边相同地角地集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限地圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k 地区域是角 n α 终边所在地范围.b5E2R 。 知识点二、弧度制地转换： 5、长度等于半径长地弧所对地圆心角叫做1弧度． 6、半径为r 地圆地圆心角α所对弧地长为l ，则角α地弧度数地绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制地换算公式：2360π=，1180π =，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝ ⎭ ． 特殊角地弧度数： 00 030 045 060 090 0120 0135 0150 0180 知识点五：扇形 8、若扇形地圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211 S lr r α==．
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点）， 它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0|cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站y T A x α B S O M P
三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
第一章 任意角和弧度制、三角函数定义 基本知识 1、任意角（1）角概念的推广：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角。 （2）终边相同的角：终边与角α相同的角可写成0 360()k k Z α⨯+∈。 （3）象限角及其集合表示： 2、弧度制 （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示。 （2）角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l /r. （3）角度与弧度的换算：①0 180π=； ②0 1180 rad π =; ③0 1801()rad π =. （4）弧长、扇形面积的公式：扇形的弧长l r α=⋅,则扇形的面积为21 122 S l r r α=⋅=⋅ 3、任意角的三角函数
2 Ⅳ - + - 记忆口诀 一正，二正弦，三切，四余弦 终边相同角三角函数值 (k ∈Z)（公式一） sin(α+k ·2π)=sin α cos(α+k ·2π)=cos α tan(α+k ·2π)=tan α 4、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：2 2 sin cos 1αα+=；（2）商数关系： sin tan cos α αα = 注：同角并不拘泥于角的形式，如：22sin cos 122αα+=，sin 3tan 3cos3ααα =都成立 5、等分象限法 已知α是第几象限角，确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为 n α 终边所落在的区域． 典例讲解 题型一 求与已知角终边相同的角 例1 已知角α＝45°， (1)在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β； (2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ， 那么两集合的关系是什么？ (1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？ (2)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ 3角的终边相同的角．
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳 一、基础知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ， tan α＝y x (x ≠0)． (3)象限角 (4)轴线角
任意角及弧度制知识点总结 一、任意角 1.任意角是指一个初始边在x轴正方向上的角度为α，终边在平面内可以任意取向的角。 2.任意角可以通过360度的整数倍来表示，例如α=30°+360°n，其中n为任意整数。 3.任意角也可以通过2π的整数倍来表示，例如α=π/6+2πn，其中n为任意整数。 4.任意角的定义并没有限制其大小范围，可以取正、负、零值。 5.任意角中，如果终边与x轴正方向相同，角度为正；如果终边与x 轴正方向相反，角度为负；终边在x轴上，角度为零。 二、弧度制 1.弧度制是角度的一种度量方式，用弧长与半径的比值来表示角的大小。 2. 弧度制的基本单位为弧度，用符号“rad”表示。 3.一圆的弧长等于该圆的半径时，对应的角度大小为1弧度。 4.弧度制与度数制之间的关系为：1圆周=360°=2π弧度。 5.角度与弧度之间的转换关系为：α(弧度)=α(度数)×π/180，或α(度数)=α(弧度)×180/π。 三、常见角度值的对应关系
1. 30°=π/6 rad，45°=π/4 rad，60°=π/3 rad，90°=π/2 rad，180°=π rad 2. 120°=4π/6 rad，150°=5π/6 rad，210°=7π/6 rad， 240°=8π/6 rad，300°=10π/6 rad 四、任意角的三角函数 1. 任意角中的正弦值（sinα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与半径的比值。 2. 任意角中的余弦值（cosα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的横坐标与半径的比值。 3. 任意角中的正切值（tanα）是指终边与x轴正半轴的夹角所对应 的纵坐标与横坐标的比值。 4. 三角函数的周期性：sin(α+2nπ)=sinα，cos(α+2nπ)=cosα，tan(α+π)=tanα，其中n为任意整数。 5. 其他三角函数的关系式：cotα=1/tanα，secα=1/cosα， cscα=1/sinα。 五、任意角的三角函数性质 1. sinα是奇函数，即sin(-α)=-sinα。 2. cosα是偶函数，即cos(-α)=cosα。 3. tanα是奇函数，即tan(-α)=-tanα。 4. 在特殊角度上的三角函数值：sin0=0，sinπ/6=1/2， sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2，sinπ/2=1；
角的概念推广与弧度制 【知识精讲精练】 ←←←←←←←←←←?? ?? ?正角:按方向旋转形成的角1、任意角负角:按方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 终边在直线y=x 上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 与角α终边相反的角的集合为 与角α终边关于x 轴对称的角的集合为 与角α终边关于y 轴对称的角的集合为 4、长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 6、弧度制与角度制的换算公式：，1= ， 1＝ ． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ， 则l ＝ ，C ＝ ，．S ＝ ＝ 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 8 9．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种 一一对应的关系。 R 专题1：用集合符号表示角 【例1】写出与035-角终边相同的角的集合并将适合不等式00 720360α-≤<的角α求出来。 【例2】 在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012' -??-? o R S l
【例3】写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（这括边界） 专题2：象限角、轴线角、终边相同的角等概念的理解 【例1】下列命题中，真命题的个数是 （ ） （1）第一象限角是锐角； （2）第二象限角比第一象限角大； （3）三角形的内角是第一或第二象限角； （4）｛锐角｝＝｛小于900 的正角｝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【变式训练1】已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 【例2】 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是 （ ） A 、0 +180)k k Z αβ?∈＝（ B 、0 +360) k k Z αβ∈ ＝（ C 、0+180αβ＝ D 、0 +180(21)) k k Z αβ?+∈＝（ 【变式训练1】、设角α和β的终边关于y 轴对称，则有 （ ） A ．)(2Z k ∈-= β πα B ．)()2 12(Z k k ∈-+ =βπα C ．)(2Z k ∈-=βπα D ．)()12(Z k k ∈-+=βπα 【例3】若α角的终边落在第三或第四象限，则 2 α 的终边落在 （ ） A ．第一或第三象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第四象限 D ．第三或第四象限 【变式训练】1、若α是第三象限角，则 3 α是 专题3：角度制与弧度制的换算 【例1】 （1）将下列各角度化成弧度：①－22000；② 7650； （2）将下列各弧度化成角度：① ；② ； 专题4：用弧度制表示终边相同的角 【例1】（1）把－15000角化2(02,)k k Z πααπ+≤<∈成的形式 （2）用弧度制表示第三象限的角为 专题5：扇形的弧长与面积 【例1】．某扇形的面积为12 cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ） A ．2° B ．2 C ．4° D ．4 【变式训练】1、已知扇形的周长是6cm ，面积为2cm 2,则其中心角的弧度数是 （ ） A 、1或4 B 、1或4 C 、2或4 D 、1或5 【变式训练】 2、在半径为r 的圆中，扇形的周长等于半径的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？ 【例2】．已知扇形的周长为30cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？并 求出面积最大时，扇形圆心角的弧度数。 【变式训练】1．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为 （ ） A ． 2 )1cos 1sin 2(2 1R ?- B ． 1cos 1sin 2 12 ?R C ． 2 2 1R D ．2 2 1cos 1sin R R ??- 【变式训练】2．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为 （ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ． 2 3 ≠ 33459π-
任意角和弧度制知识点总结 任意角和弧度制知识点总结 在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。小编准备了高二数学任意角和弧度制知识点，希望你喜欢。 1.任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角： 终边与角相同的角可写成+k360(kZ). (3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算：360弧度;180弧度. ⑤弧长公式：l=||r，扇形面积公式：S扇形=lr=||r2. 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设是一个任意角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的`函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点
P的坐标为(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos =OM，sin =MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则tan =AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线. 高二数学任意角和弧度制知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
必修四_任意角与弧度制__知识点汇总【知识点一】弧度制的定义与计算 弧度（radian）是一个无量纲的量，用符号“rad”表示，是角度制的补充和扩展。弧度制的基本单位是弧度，一个完整的圆周有2π弧度，等于360度。 1.弧度与角度的转换关系： 弧度=角度×π/180 角度=弧度×180/π 2.弧度与弧长、半径之间的关系： 弧长=弧度×半径 3.弧度与角度的比较： 当两个角所对的弧长相等时，这两个角的弧度相等； 当两个角的弧度相等时，它们所对的弧长相等。 【知识点二】弧度制与角度制的换算 1.已知角的弧度，求角的度数： 角度=弧度×180/π 2.已知角的度数，求角的弧度： 弧度=角度×π/180 【知识点三】任意角的三角函数
1.任意角的终边与坐标轴正方向的夹角称为角的标准位置角。 2.在单位圆上定义任意角的三角函数： 弧度为θ的任意角的正弦、余弦、正切分别记作sinθ、cosθ、tanθ。 3.三角函数的正负性：正弦和正切函数在每个周期内正负变化，余弦函数在每个周期内正负不变。 4.基本三角函数的关系： sin^2θ + cos^2θ = 1 1 + tan^2θ = sec^2θ 1 + cot^2θ = csc^2θ 5.任意角的三角函数的周期性： sin(θ + 2π) = sinθ cos(θ + 2π) = cosθ tan(θ + π) = tanθ 【知识点四】任意角的三角函数的定义域、值域和奇偶性 1.三角函数的定义域和值域： sinθ的定义域为R，值域为[-1, 1] cosθ的定义域为R，值域为[-1, 1] tanθ的定义域为R - {(2n + 1) × π / 2 ，n∈Z}，值域为R
人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【要点梳理】 要点一：任意角的概念 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈ =+∈， 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角
α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈ 要点二：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 180rad π︒ = 1rad=0 180π⎛⎫ ⎪⎝⎭ ≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α==. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角α的弧度数的绝对值是：r l =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】 类型一：角的概念的理解 例1．下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。 其中正确的结论为________。
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角ο1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z . （6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表 示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z π α=∈.如α 的终边与6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象 限角，则2 α 是第_____象限角 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈o . 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角 函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --=43 2sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”. 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如
任意角及弧度制知识点总结 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（任意角及弧度制知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为任意角及弧度制知识点总结的全部内容。
任意角及弧度制知识点总结 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3。 终边相同的角的表示： （1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上),注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。如与 角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度. (2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上） 。 （3）终边与终边关于轴对称。 （4）终边与终边关于轴对称. （5）终边与终边关于原点对称. (6）终边在轴上的角可表示为：;终边在轴上的角可表示 为：;终边在坐标轴上的角可表示为： .如的终边与的终边关于直线对称，则＝____________。 4、与的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定。如若是第二象 限角，则是第_____象限角 5。弧长公式：，扇形面积公式：，1弧度(1rad ）. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P 是的终边上的任意一点 (异于原点）,它与原点的距离是，那么,, ，，.三角函数值只与角的大小有关， 而与终边上点P 的位置无关。如 (1）已知角的终边经过点P （5，－12),则的值为＿＿. （2）设是第三、四象限角,，则的取值范围是_______ （3）若 ,试判断 的符号 x αθαθ⇔2()kk αθπ=+∈Z 1825-αθαθ⇔()kk αθπ=+∈Z αθx ⇔2()kk αθπ=-+∈Z αθy ⇔2()k k απθπ=-+∈Z αθ⇔2()k k απθπ=++∈Z αx ,k k Z απ=∈αy ,2k k Z π απ=+∈α,2 k k Z π α= ∈α6 π x y =αα2 α α2α ||l R α=211||22 S l R R α==57.3≈α(,)x y α0r >s i n ,c o s y x r r αα==() t a n ,0y x x α=≠cot x y α=(0)y ≠sec r x α= ()0x ≠()c s c 0r y y α=≠αααcos sin +αm m --= 43 2sin αm 0| cos |cos sin |sin |=+αα αα)tan(cos )cot(sin αα⋅y T A x α B S O M P
高二数学必修4任意角和弧度制知识点 在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。数学课程中任意角和弧度制相关知识点需要学生掌握，下面是店铺给大家带来的高二数学必修4任意角和弧度制知识点，希望对你有帮助。 高二数学任意角和弧度制知识点 1.任意角 (1)角的分类： ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z). (3)弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关. ④弧度与角度的换算：360°=2π弧度;180°=π弧度. ⑤弧长公式：l=|α|r，扇形面积公式：S扇形=lr=|α|r2. 2.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单
位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α=OM，sin α=MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角 正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角 定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角： 注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角： 象限角 象限角的集合表示 第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z } ②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限
必修4 第一章 三角函数 一、任意角和弧度制 1.任意角 （1）角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，射线的起始位置叫做角的始边，终止位置叫做角的终边.按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果射线没有作任何旋转，则形成零角.在坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的终边与x 轴的正半轴重合，则角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. （2）终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 0{360}==⋅+∈S k ,k Z ββα （3）坐标轴上的角： 2.弧度制 （1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. （2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 = l r α 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α.
扇形面积公式: 211 22 = =S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π ≈= . 180 1=( )5730≈.π 说明：①1800 ＝π是所有换算的关键，如ππ= ===,18018030456644；②πm n 形式的角当n ＝2，3，4，6时都是特殊角. 二、任意角的三角函数 1.任意角三角函数的定义 （1）定义：设P (x , y )是角α终边上任意一点, =>OP r 0,则有 sin α= y r cos α=x r tan α=y x （2）三角函数值的符号： 口诀：一全二正弦，三切四余弦. 注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到的为负值.