教学设计示例一
9.7 棱柱第一课时
教学目标：理解棱柱的概念、分类；掌握棱柱的性质．
教具准备：投影胶片、多媒体课件．
教学过程：
［设置情境］
教师拿几个模型（如图1）一一呈现出来让同学们观察，并讨论哪些是棱柱．
教师指出①③⑤为棱柱，然后问，棱柱有什么样的特征？应当怎么定义呢？
［探索研究］
1．棱柱的概念
（1）概念（出示模型或投影仪）
通过举实际生活中的例子，介绍概念：棱柱的定义、底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高．（2）棱柱的分类（见图2）
从侧棱与底面的关系来分可分为：斜棱柱、直棱柱、正棱柱．
从底面多边形的边数来分可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．
2．棱柱的性质（见图3）
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形．
（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
3．例题分析
例1 下列命题中正确的是（）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱
解：如图4，面面，但图中的几何体中每相邻两个四边形的公共边并不都互相平
行，故不是棱柱．、都不正确．当两个相邻侧面都垂直于底面时，它们的公共侧棱垂直于底面，因此这样的棱柱是直棱柱，故选D．
例2 下列命题中的假命题是（）
A．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高
B．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．直棱柱的侧面是矩形
D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱往
解：A．直棱往的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真．
B．有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命题为假．
C．直棱柱的侧面是矩形，命题为真．
D．因棱柱的侧棱相互平行，因此，有一条侧棱垂直于底
面，则所有侧棱都垂直于底面，构成直棱柱，命题为真．
故选B．
例3 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是（）
A．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直
B．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直
C．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直
D．棱柱的侧面与底面都是矩形
解：A．棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱是直棱柱．（棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直，没有明确这两条边是否相交，保证不了测棱与底面垂直．）
B．棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱柱是直棱柱．（棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直，即底面上一条直线与侧面垂直，侧面与底面垂直，保证不了侧棱与底面垂直．）
C．棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直．（侧面与底面垂直，侧面又是矩形，根据两平面垂直的性质定理，侧棱垂直于底面．）
D．棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形．（棱柱是直棱柱，底面不一定是矩形．）
故选C．
［演练反馈］
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．每个侧面是全等的矩形
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．底面是正方形，有两个侧面是矩形
2．棱柱的侧面是__________形，直棱柱的侧面是__________形，正棱柱的侧面是________形．
3．如图5，直四棱柱中，各棱长均为，，求对角线与的长．
［参考答案］
1．C 2．平行四边形；矩；全等的矩
3．，
［总结提炼］
［学生讨论，教师补充完善．］
1．什么叫棱柱？
2．棱柱的分类．
3．棱柱的性质．
（四）布置作业
1．课本P45习题 9.7 1．
2．课本P45习题 9.7 2．
3．课本P46习题 9.7 3．
［参考答案］
1．略．2．，3．，
（五）板书设计
教学设计示例二
9.7 棱柱第二课时
教学目标：
1．理解平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体的概念．
2．掌握长方体的对角线长与棱长的关系公式．
3．能利用棱柱的概念及性质理解题意，解决问题．
教学过程：
［设置情境］
我们知道长方形的对角线长的平方等于长和宽的平方和，那么长方体的对角线长与其长、宽、高之间有类似的关系吗？
［探索研究］
1．特殊的四棱柱
平行六面体—底面是平行四边形的四棱柱．（如图1（1））
直平行六面体—侧棱与底面垂直的平行六面体．（如图1（2））
长方体—底面是矩形的直平行六面体．（如图1（3））
正方体—棱长都相等的长方体．（如图1（4））
由以上定义不难得到下面的关系：
｛正方体｝｛长方体｝｛直平行六面体｝｛平行六面体｝
2．给出公式
，其中是棱柱的底面积，是棱柱的高．
3．定理
定理长方体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
已知：长方体中，是一条对角线（如图2）
求证：．
证明：连结．∵，∴，
又∵，∴．4．例题分析
例1 若长方体的三个面的面积分别为、和，求长方体的对角线长．解：设长方体的长、宽、高分别为、、，对角线长为，则
∴．
例2 如图1，在正方体中，、分别为、的中点．
（1）求证：；
（2）求与所成的角；
（3）证明：平面平面．
解：（1）由是正方体，知平面．又平面，故．（2）取中点，连结、、．由是中点，知，又
，得，故是平行四边形，所以．
设、交于，则是与所成的角．由是中点，可得
△≌△．
∴．故，即与所成的角为直角．
（3），，又，故平面．
又平面，故平面平面．
例3 平行六面体的棱长都相等，且
．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求到平面的距离．
解：（如图1）作平面于．由
可知在的角平分线上，又因为
是菱形，所以在上，且根据三垂线定理，由
得，所以平面，平面平面．
（2）作于，连，由三垂线定理得，在△中，
，，有．△中，，有
．于是．
即得到平面的距离为．
［演练反馈］
1．四条对角线不相等且交于一点的四棱柱是（）
A．直四棱柱B．斜平行六面体C．长方体D．正四棱体
2．正方体的对角线长为，则它的面的对角线长为_____________．
3．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为．
（1）求二面角的大小；
（2）求点到平面的距离．
［参考答案］
1．B 2．3．（1）（2）
［总结提炼］
掌握特殊四棱柱的概念，弄清它们之间的包含关系，理解长方体的对角线长与棱长的关系，记住柱体的体积公式．
（四）布置作业
1．课本P46习题9.7 4．2．课本P46习题9.7 5．
3．课本P46习题9.7 7．4．课本P46习题9.7 8．
［参考答案］
1．提示：（1）利用平行四边形的对角线互相平分来证明．（2）利用（1）的结论．
2．对角线长为 ． 3． ．
4．略． （五）板书设计
教学设计示例三 9.7 棱柱 第三课时
教学目标：
1．掌握水平放置的平面图形的直观图画法． 2．掌握直棱柱的直观图画法． 教具准备：三角板． 教学过程： ［设置情境］
把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单．要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示．这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图． 教师问：
（1）右图看起来像什么？
（2）正方体的各个面都是正方形，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
（3）立体图形的直观图要有立体感，即把不在同一平面内的点集在同一平面内表现出来，为此，它往往与立体图形的真实形状不相同，那么怎么画立体图形的直观图呢？ ［探索研究］
1．水平放置的平面图形的直观图的斜二侧画法 （1）在已知图形中取互相垂直的 轴和
轴，两轴交于点
．画直观图时，把它们画成对应的
轴和
轴，两轴交于点
，使
（或
）它们确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段．
（3）已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于轴的线段，长度为原来的一半．
例1 画水平放置的正六边形的直观图．（图1（1））
作法：（1）在已知正六边形中，取对角线所在的直线为轴，取对称轴为
轴，两轴交于点，画对应的轴、轴，取．
（2）以点为中点，在轴上取，在轴上取，以点为中点画平行于轴，且；再以为中点画平行于轴，且
．
（3）连结、、、，所得的六边形就是正六边形
的直观图．（见图1（3））
2．画直棱柱的直观图
例2 画正六棱柱的直观图．
（画法：见课本第45页．）
［演练反馈］
1．画水平放置的正角形的直观图．
2．画正五棱柱的直观图．
［参考答案］
1．如图2：
作法：（1）在已知正三角形中，取所在的直线为轴，取线段的中垂线所在的直线为轴．画对应的轴，轴，使．
（2）以为中点，在轴上取，在轴上．
（3）连结、，然后擦去辅助线．（见图2（3））
2．如图3：
作法：1．画轴．画、、轴，使（或），．2．画底面．按轴、轴画正五边形的直观图．
3．画侧棱．过点、、、、各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取、、、、都等于侧棱长．
4．成图．顺次连结 、 、 、 、 ，加以整理，去掉辅助线改被遮挡部分
为虚线．（见图3（2）） ［总结提炼］
画水平放置的平面图形的直观图是本节内容的重点．
在原平面图形中取 坐标系要本着
简便的原则，但这种简便是相对的．事实上，无论 坐标系怎么取（其实可任意取）都能画
出与它对应的 坐标系，并能找到原坐标系下图形的各顶点在新坐标系
下的对应
点的位置．
（四）布置作业
（1）课本P45练习 1． （2）课本P45练习 2． （3）课本P46练习 9.7 6． ［参考答案］ 略．
（五）板书设计
教学设计示例四 9.7 棱柱 第四课时
教学目标：
巩固复习棱柱的有关概念和性质． 教学过程： ［复习回顾］
1．棱柱的有关概念．（底面、顶点、棱、高、侧棱、对角面等） 2．特殊的四棱柱的有关概念．
3．长方体的对角线和棱长的关系，柱体的体积公式． ［探索研究］
例1 如图1，直棱柱
中，
， ，
，
是
的中点．求证：
．
证明：∵
又为直棱柱
∴面
∴
∴面
欲证，根据三垂线定理，只须证
设，，，，因
，所以．于是，即得
．
例2 若斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱长为1，
．求：
（1）斜三棱柱的侧面积；
（2）侧棱到平面的距离．
解：（1）如图2，过点作，交于，连．因，
，为公共边，∴△≌△，故有，，所以
平面，．又∵．所以平面，，故
因为，，，所以，有
．
（2）过作，交于，则为中点．因，由（1）知，故平面，即为到平面的距离．
．
老师点评：△实际上就是斜三棱柱的直截面．
例3 如图1，正三棱柱的底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱上截取，过作截面．
（1）求截面面积；
（2）求证：截面侧面．
解：（1）因为侧面是矩形所以易求得，，取的中点，连结，则．
∴
所以．
（2）证法一：取的中点，连结，则且，又
，，所以四边形是平行四边形，得．∵，∴（∵），又，∴面．∴面，而面
∴截面侧面．
证法二：取中点，连结、易证面面
，而面
∴，又
∴面
∴面侧面
证法三：（计算二面角的平面角为）
连结，∵，为中点，所以，所以是二面角
的平面角，易求得，，∵，
∴
∴面面．
教师点评：以棱柱为载体考查线、面之间的位置关系的问题是常见的一种题型．解决这类问题时，必须应用棱柱的有关性质，特别是直棱柱中蕴含着的线、面间的平行和垂直关系．
［演练反馈］
底面是菱形的直菱柱，它的对角线的长分别为9和15，高为5，则棱柱的侧面积为________．
［参考答案］
160．
［总结提炼］
棱柱的定义及性质为我们提供了丰富的已知条件，在解题时要注意灵活运用．
（四）布置作业
1．课本Ｐ46习题9.7 9．
2．课本Ｐ46习题9.7 10．
3．如图1，在正三棱柱中，．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正切值．
4．已知：平行六面体的底面
是菱形，且
．
（1）证明：；
（2）设，．记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值．
［参考答案］
1．
2．
3．略．
4．（1）略．（2）
（五）板书设计
习题精选
一、选择题
1．平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面又是正方形，则此平行六面体一定是（）．A．直平行六面体B．正四棱柱C．长方体D．正方体
2．下列命题正确的是（）．
A．一个侧面为矩形的棱柱是直棱柱
B．两个侧面为矩形的棱柱是直棱柱
C．一条侧棱垂直底面两边的棱柱是直棱柱
D．两个相邻侧面都垂直底面的棱柱是直棱柱
3．正三棱柱中，侧面对角线，则所有的侧面对角线中相互垂直的对角线共有（）．
A．3对B．5对C．6对D．12对
4．已知斜三棱柱的一个侧面的面积为24，这个侧面与它所对的棱的距离为1，则此斜棱柱的体积等于（）．
A．12 B．10 C．8 D．6
二、填空题
5．底面是菱形的直棱柱，它的两条体对角线分别长和，体高是，则这个棱柱的侧面积为________________．
6．已知长方体的全面积是24，十二条棱长的和为24，则这个长方体的一条对角线长为____________．
7．如图1是一个正方体的展开图．在原正方体中有下列命题：
①与所在直线平行；
②与所在直线异面；
③与所在直线成角；
④与所在直线互相垂直．
其中正确命题的序号是_________________．
三、解答题
8．如图2，直三棱柱的各条棱长均为2，为棱上一点，在截面中，，求：
①点到截面的距离；
②二面角的大小．
9．已知直平行六面体的底面是面积为S的菱形，它的两个对角面面积为和，求此平行六面体的体积．
10．已知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱与底面的相邻两边、都相交成角．
①求证：侧面侧面；
②求侧棱与侧面的距离．
参考答案：
一、选择题：1．B 2．D 3．C 4．A
二、填空题：5．6．7．②，④
三、解答题：8．①；②9．10．②
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关于《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》 教学设计的探析 《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》是必修2§1.1.6节的内容，设计分六部分。 一、教材分析 本章的第一大节是空间几何体，主要有以下内容：首先使学生认识空间的点、线、面、体、轨迹与图形。接着由学生观察和总结多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征，复习圆柱、圆锥从而认识圆台、球及简单的组合体。在了解几种投影的特征和关系基础上，学习直观图、三视图画法。最后，让学生了解柱、锥、台、球侧面积、表面积、体积公式并进行相关计算练习。本节主要内容是学习直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式，了解球的表面积公式。直棱柱、正棱锥、正棱台表面都可展开成平面图形，所以研究面积的关键是明确它们的平面展开图的形状，为此我们可以先复习小学、初中所学到的相关知识，再结合在前面学习中动手折叠几何体的体验，理解展开是折叠的逆过程，学生自己就可以得出侧面积公式了。 二、教学目标如下： 1、知识与技能目标：了解棱柱、棱锥、棱台、球的表面积计算公式，并能用公式进行简单的计算。 2、过程与方法目标：通过自主学习，合作探究培养学生的空间想象能力、动手实践能力、解决问题的能力，及转化的思想方法。 3、情感态度与价值观目标：激发学生的学习欲望和探究精神，有意识、有目的地培养学生自主学习的良好习惯。 三、教学重点：棱柱、棱锥和棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题相互转化的思想方法的应用。教学难点：棱柱、棱锥棱台和球的表面积公式的应用。 四、教法与学法 借助多媒体辅助教学，在教师引导，师生合作，生生合作下，通过设置疑问、归纳应用、知识迁移来体会知识的形成过程，从而师生共同来完成本节课的教学。使学生真正成为学习的主体，从“被动学会”变成“主动会学”。
§29 棱柱(1) 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．棱柱的概念及性质． (二)能力训练点 1．在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力． (三)德育渗透点 1．棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点． 二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：理解棱柱的概念。 2．教学难点：棱柱的分类． 3．教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义． 三、课时安排:5课时．这是本课的第1课时。 四、教与学过程设计 (一)引入 将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出 师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质(给出课题)，以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点． (二)棱柱及有关概念的定义 师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何体均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此我们可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1． (1)首先看面：从面和面的关系及面的形状引导学生讨论，得出结论：有两个面互相平行，其余各面为四边形． (2)再看线：从线与线之间的关系引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行． 让学生就图2-2，图2-3分析是否也有以上两条特点？ （请一位同学叙述棱柱的定义(注意纠正学生的表达)然后由 师板书．请同学们阅读课文P.41第7行到P.42第5行．） 就图2-4请同学们说出部分点、线、面的名称(或说出名称请 学生找点、线、面)． 1．第一次深化概念 如图是用过BC的平面去截方砖的一角（则交线B1C1∥BC，为什 么？）所得几何体是否为棱柱？ 如何判定一个几何体是否为棱柱？一般思考方法怎样？（选定一 组平行平面之后，按定义考查其他条件。若条件满足，可下肯定结论；
教学设计示例一 9.7 棱柱第一课时 教学目标：理解棱柱的概念、分类；掌握棱柱的性质． 教具准备：投影胶片、多媒体课件． 教学过程： ［设置情境］ 教师拿几个模型（如图1）一一呈现出来让同学们观察，并讨论哪些是棱柱． 教师指出①③⑤为棱柱，然后问，棱柱有什么样的特征？应当怎么定义呢？ ［探索研究］ 1．棱柱的概念 （1）概念（出示模型或投影仪） 通过举实际生活中的例子，介绍概念：棱柱的定义、底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高．（2）棱柱的分类（见图2）
从侧棱与底面的关系来分可分为：斜棱柱、直棱柱、正棱柱． 从底面多边形的边数来分可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等． 2．棱柱的性质（见图3） （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形． （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形． 3．例题分析 例1 下列命题中正确的是（） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 解：如图4，面面，但图中的几何体中每相邻两个四边形的公共边并不都互相平 行，故不是棱柱．、都不正确．当两个相邻侧面都垂直于底面时，它们的公共侧棱垂直于底面，因此这样的棱柱是直棱柱，故选D． 例2 下列命题中的假命题是（） A．直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B．有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．直棱柱的侧面是矩形 D．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱往 解：A．直棱往的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真． B．有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命题为假． C．直棱柱的侧面是矩形，命题为真．
教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积 一、教学目标 1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念； 2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法； 3.能够应用所学知识解决实际问题。 二、教学内容 1.棱柱的定义及性质； 2.棱锥的定义及性质； 3.棱台的定义及性质； 4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式； 5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式； 6.实际问题应用。 三、教学方法 1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。 2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。 3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。 4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。 四、教学过程 第一步：引入 1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特 点。 2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。 第二步：讲解概念和性质 1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。 2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点） 的线段。 3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形， 侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。 4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。 第三步：计算表面积公式 1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。公式为S=2B+Pℎ，其中 B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。
2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。公式为S=B+L，其中B为底面 积，L为侧面积。 3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。公式为S= B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。 第四步：计算体积公式 1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ 为高度。 2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。公式为V=1 Bℎ，其中B为底 3 面积，ℎ为高度。 3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以 (B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。公式为V=1 3 面积，ℎ为高度。 第五步：解决实际问题 1.提供一些实际问题，要求学生运用所学知识计算表面积和体积。 2.引导学生分析问题，确定解题思路，并进行计算。 3.学生展示解题过程和答案，进行讨论和评价。 第六步：练习巩固 1.设计一系列练习题，包括计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积。 2.让学生独立完成练习，并互相交流、讨论答案。 3.教师布置作业，要求学生完成剩余的练习题。 五、评价方式 1.观察学生在课堂上的表现，包括对概念的理解、计算公式的运用等； 2.批改作业，评价学生对所学知识的掌握程度； 3.针对解决实际问题的能力进行评估，包括解题思路、计算过程等。
《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案 教学目标 1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。 2、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题。 3、培养学生空间想象能力和思维能力。 教学重难点 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题互相转化的思想方法的应用。 教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用。 教学过程 一、导入 中国古代数学思想十分先进，庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是现代数学中极限思想的根源；刘徽的《割圆术》“割之又割，以至不可割”，最终方变成了圆，这种思想也体现了中国古人对极限的认识。利用刘徽的割圆术，我们可以把球的表面积求出来。 二、研习要点 （1）直棱柱的表面积 1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c*h。 如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积. 设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch。 2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和。 【联想·发散】斜棱柱表面积的求法： 1. 由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计算公式。 2. 斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面。 如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计 算公式就是S侧=S’·l。 （2）正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正
课时1 棱柱（一） 教学目的：理解棱柱的概念，掌握棱柱的分类以及有关性质。 教学过程： 1、棱柱的概念： （1）定义： （2）几个名称： 2、棱柱的分类： （1）按侧棱与底面是否垂直分： （2）按底面边数分： 3、棱柱的性质： （1） （2） （3） 4、例题： 例1、正三棱柱ABC—A1B1C1，过侧棱BB1的截面与侧面AA1C1C相交于DD1，求证：截面BB1D1D是矩形。 例2、一直棱柱，底面是边长为3和4的平行四边形，且底面一条对角线为6，该棱柱最长对角线为10，求侧棱长。
例3、在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠CAB=60ο，AA1=a,AB=AC=2a,求证：CC1垂直于平面A1BC。 例4、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，在侧棱BB1上截取BD=a/2，在侧棱CC1上截取CE=a，（1）求证平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求?ADE的面积；（3）求平面ADE与平面ABC所成的角。
5、练习：书P43：1；课课练P46：1——6。 6、作业：书P46：3；课课练P46：8、9；P49：10。 课时2 棱柱（二） 教学目的：掌握平行六面体的概念，性质；知道各集合的包含关系；掌握长方体的性质。教学过程： 1、棱柱的概念、分类和性质 2、四棱柱的特殊情形： （1）平行六面体 （2）直平行六面体 （3）长方体 （4）正四棱柱 （5）正方体 3、长方体的性质： 4、例题 例1、长方体ABCD—A1B1C1D1中，设D1B与自D1出发的三个面成αβγ角，求证 cos2α+cos2β+cos2γ=2.
简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 【第一课时】 【教学目标】 1．通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养。 2．借助棱柱结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。 【教学重难点】 1．了解多面体的定义及其分类。（重点） 2．理解棱柱的定义和结构特征。（重点） 3．在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点） 【教学过程】 一、基础铺垫 多面体： 一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。例如，我们初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体。 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面，多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）。 二、新知探究 1．棱柱的概念 【例】下列关于棱柱的说法正确的个数是（） ①四棱柱是平行六面体； ②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱； ④底面是正多边形的棱柱是正棱柱。 A．1 B．2C．3 D．4 A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四
边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确。] 2．几种常见四棱柱的关系 【例】下列说法中正确的是（） A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故 D 错。] 【教师小结】 几种常见四棱柱的关系 【跟踪训练】 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（） A．底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱 B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱 C．底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱 D．底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 D [选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D．] 三、课堂总结 1．多面体 （1）定义
高二数学棱柱 【教学内容】 棱柱 【教学目标】 1、理解棱柱的概念，能分清斜、直、正棱柱。 2、掌握棱柱的性质，能根据所给条件确认直、正棱柱。 3、能利用添畏助线、面，分析线面半径计算出长度、角度。 4 5、掌握关于长方体的对角线性质，能用其计算长度、角度。 【知识讲解】 1、 棱柱的概念 棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体： ①有两个面互相平行 ②其余各面都是四边形 ③每相邻两个四边形的公共边都互相平行 线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 对角线。 2、 棱柱的分类 棱柱，这种分类如下表： 正棱柱 直棱柱 棱柱 其他棱柱 斜棱柱 注意在正棱柱，首先必须是直棱柱，而不能仅由底面是否是正多边形来判定。 3、 棱柱的性质
（3）画侧棱；（4）成图。 6、直棱柱的侧面积 （1）侧面积公式 S 直棱柱侧=ch （2是一个平行四边形。 （3）课本P 56/例1中，若沿直截面将该棱柱截成两个几何体，再上下对调位置，使面A ＇B ＇C ABCE 重合，就形成了一个新的直棱柱，该直棱柱与原来的棱柱侧面积相等，长c 1，高为原棱柱的侧棱长1，从面论。 例1、设有三个命题 丙：直四棱柱是直平行六面体 A 、0 B 、分析：评述例2、长方体的高等于h （A ）Q h M 222- （B ） 解：设底面两边长分别为x 、h M xy y x y x 2)(222⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=++=+⇒S 侧Q h M y x h 2222)(2+=+= 评述
在△AB 1CK ∵AC=DC ∴DE ∥AB 1 又AB 1⊄平面DBC 1 DE ⊂平面DBC 1 ∴AB 1∥平面DBC 1 （II ）解：作DF ⊥BC 于F ，则DF ⊥平面B 1BCC 1，连结EF ，同EF 是ED 在平面B 1BCC 1上的射影 ∵AB 1∥BC 1 由（1）知AB 1∥DE ∴DE ⊥BC 1 则BC 1⊥EF ∴∠DEF 是二面角α的平面角，设AC=1，则DC= 2 1 又在△ABC 中，AE ⊥BC ，AB=10，BE=6，∴AE=8 ∴964822=⨯==∆ABC S S 底∴)(492963962 cm S S S =+=+=底侧全 评述：求斜棱柱侧面积的基本方法是求出各个侧面的面积再相加，而全面积是侧面积与两底面积之和。 【一周一练】 一、选择题 1、设M={棱柱}，N={斜棱柱}，P={正棱柱}，则下列关系不正确的是（ ） （A ）P N M ⋃= （B ）Q P ⊃ （C ）Q Q P ⊃⋂ （D ）φ=⋂P N
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台 一、内容： 1.课本P5-8 正文、思考、练习； 2.《教学与测试》P1 双基演练1、3、4 二、目标： 1.直观了解棱柱、棱锥、棱台的结构特征，了解棱柱、棱锥和棱台的生成过程； 2.会根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征画棱柱、棱锥、棱台的简图； 3.会算顶点、棱、面的数量关系，会简单的表面展开和还原 三、任务： 知识框架：平移→棱柱→棱锥→棱台→多面体 ↓ ↓ ↓ 形成过程、简图画法、基本性质、简单运算 基础题： 1.将图形上所有的点___________________________移动_________________就是平移; 2.一般地，由一个___________沿某一方向_______形成的空间几何体叫做_______;当_______的一个底面______________时，得到的几何体叫做_______;________是________被________底面的一个平面所截后，截面与底面之间的部分。由若干个__________围成的几何体叫做__________. 3.棱柱简图画法：1._________________;2._________________;3.__________________ 棱锥简图画法：1._________________:2._________________;3.___________________ 棱台简图画法：1._________________;2._________________;3.___________________ 4.三棱锥有_______条棱，______棱锥有16条棱;一个n 棱台有_________个顶点，有________条侧棱，有_____________个侧面.(n ↔N*，n ≥3) 提高题： 5.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体？ 6.如图，某多面体的上下两个面都是矩形，其余的面 都是梯形，该多面体是棱台吗？ 四、典型例题 1.画一个四棱柱和一个三棱台. 问题：画法的依据是什么？实线与虚线怎样使用？所画几何体的特点有哪些？ 2.如图，将梯形沿某一方向平移可以形成的几何 体是__________________. 问题：指出该几何体的底面和侧面；所有棱柱、 棱锥、棱台的底面是唯一确定的吗？ 3.在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°， 一只蚂蚁从A 点出发沿棱锥的侧面绕一周再回到A 点，问蚂蚁经过的 最短路程是多少？ 问题：能画出路径图吗？路径有何特点，如何变化？平面上两点与一 直线上的动点连线之和最小值怎样求的？本题的线段不在同一平面内怎么办？ C B
棱柱（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1.棱柱及其底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高、对角面. 2.棱柱的表示方法、分类. 3.棱柱的性质. 4.四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间的联系与区别. 5.长方体对角线的性质. （二）能力训练要求 1.使学生了解棱柱及其底面、侧面、侧棱、顶点、对角线、高、对角面的概念. 2.使学生掌握一般棱柱、直棱柱、正棱柱的区别与联系. 3.使学生掌握棱柱的性质. 4.使学生理解并掌握四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间的联系与区别. 5.使学生熟练掌握长方体对角线的性质. （三）德育渗透目标 1.培养学生善于通过观察分析实物形状到归纳其性质的能力. 2.提高学生对事物的感性认识到理性认识的能力. 3.培养学生“理论源于实践、用于实践”的观点. ●教学重点 1.棱柱的性质. 2.长方体对角线的性质. ●教学难点 继续培养学生正确的空间观念,实现对图形认识从平面到立体的过渡. ●教学方法 指导学生自学法 日常生活中多次接触的形状为棱柱的实物在学生已有一定的感性认识基础上,通过自己学习过程对其进行分析、归纳,给出反映棱柱的特征定义.教师通过指导学生发现其性质并利用空间直线和平面相应位置关系的知识对其进行推理论证,从而做到既对前面知识的复习巩固,又有助于学生对棱柱的性质的更深刻的认识,为学生更加得心应手地应用棱柱的性质于解题中奠定基础. ●教具准备 多媒体课件一个：作P41图9-62,通过它直观形象的演示,帮助学生深刻理解和掌握棱柱的定义及其性质. 模型一个：课本P41图9-62. 投影片三张. 第一张：课本P41图9-62（记作9.7.1 A) 第二张：棱柱的分类表（记作9.7.1 B) 第三张：课本P43定理、已知、求证及图9-66（记作9.7.1 C) 第四张:本课时教案例1(记作9.7.1 D) 第五张:本课时教案例2(记作9.7.1 E) ●教学过程 Ⅰ.课题导入
棱柱棱锥教案 【学习目标】： 1、棱锥和棱台的定义、性质及它们之间的关系 2、空间与平面问题的相互转化; 【研习教材】： 研习点一：棱锥及相关概念 1.定义：叫做棱锥，画出一个三棱锥和四棱锥 2.相关概念：(在棱锥中标出相关概念所在图像的位置) (1)棱锥的侧面 (2)棱锥的顶点 (3)棱锥的侧棱 (4)棱锥的底面 (5)棱锥的高 联想·质疑 如何理解棱锥?
1.棱锥是多面体中的重要一种，它有两个本质的特征： ① ② 2.棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形，但是也要注意 “有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗?。 如右图所示，此多面体有一个面是四边形，其余各面是三角形，但它不是棱锥! 3.棱锥的分类： (1)按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥又叫 (2)正棱锥：4.正棱锥的性质： (1) (2) 5.棱锥的表示： (1)用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥：如三棱锥P-ABC，四棱锥P-ABCD.
(2)用对角面表示：如右图中的四棱锥可以用P-AC表示! 研习点2.棱台及第一文库网相关概念 1.定义： 2.相关概念：(画一个三棱台和四棱台并且标出下面相关概念的位置) (1)棱台的下底面、上底面： (2)棱台的侧面： (3)棱台的侧棱： (4)棱台的高： 3.棱台的`分类： (1)按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等; (2)正棱台： 4.正棱台的性质： (1) (2) (3) 5.棱台的表示：
棱台可用表示上、下底面的字母来命名，如右图中的棱台，可 以记作棱台ABCD-A’B’C’D’，或记作棱台AC’，下底面为ABCD，上底面为A’B’C’D’，棱台的高为OO’. 探究解题新思路 基础拓展型 题型1：概念判断题 例1.设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱 是正方体;③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。以上四个命题中，真命题的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 拓展·变式： 棱台不具有的性质是( ) (A)两底面相似(B)侧面都是梯形 (C)侧棱长都相等(D)侧棱延长后交于一点 题型2.考查棱柱间的关系
高 二 数 学（第25讲） 【教学内容】 第九章 直线 平面 简单几何 棱柱 棱锥 【教学目标】 1、掌握棱柱、棱锥的概念，基本元素的关系及其性质； 2、掌握柱、锥的侧面积，全面积，体积的计算； 3、会用斜二测画法画水平放置的平面图形和柱、锥的直观图。 【知识重点与难点】 1、棱柱的定义 本质特征（1）有两个面互相平行； （2）其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行。 2、棱柱的分类 （1）按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。 按侧棱与底面垂直与否可分为：直棱柱、斜棱柱 （2）正棱柱是一种特殊的直棱柱 （3）四棱柱是常见的一种棱柱，包括平行六面体、长方体、正方体等，它们之间关系如下： 四棱柱 平行六面体 长方体 正方体 3、棱柱的性质要点 （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形，过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 4、棱锥的形状特征 （1）底面是多边形 （2）侧面是有一个公共顶点的三角形 5、棱锥的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么： （1）截面和底面相似 （2）截面积和底面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。 6、正棱锥是一种特殊的棱锥 底面是平行四边形 相交的棱互相垂直 各棱相等
（1）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。 （2）各侧面是全等的等腰三角形，各侧棱相等，各斜高相等。 （3）正棱锥的高与斜高，斜高在底面的射影组成一个直角三角形； 正棱锥的高与侧棱，侧棱在底面的射影组成一个直角三角形。 7、棱柱的问题常在高与侧棱构成的四边形中解决，棱锥的问题则在相应的三角形中处理。 8、体积公式：V 锥体=3 1 Sh 其中S 是底面积，h 是高 V 柱体=Sh 其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高 【典型例题】 例1：已知正六棱柱的最长对角线为13cm ，侧面积为180cm 2 ，求正六棱柱的体积。 分析：因为V 棱柱等于底面积乘以高，而底面是正六边形，高即侧棱长。所以关键在于求得底面边长和高（或侧棱长）。 解：设底面边长为a ，高为h 。 ∵AD 1是最长对角线，高DD 1⊥底面 ∴由Rt △ADD 1知(2a)2 +h 2 =169 由侧面积为180cm 2 知6a ·h=180 即⎩⎨⎧==+1204169)2(22ah h a ①、②相加和相减后开平方得⎩ ⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧=-=+7217 272172h a h a h a h a 或 即：⎪⎩⎪⎨⎧ ==⎩⎨⎧==12 2556h a h a 或 ∴正六棱柱体积为： V 1)(32705)64 3 ( 632cm =⨯⨯⨯= 或V 2=)(32 22512])25(43[ 632cm =⨯⨯⨯ 例2：正三角形的边长为16，把它沿高AD 折成120°的二面角 （1）求三棱锥A-BCD 的体积 （2）求点D 到平面ABC 的距离 解：（1）∵AD ⊥DC, AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD ，且∠BDC 为二面角的平面角 ① ②
《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教案 【教材分析】 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 【教学目标与核心素养】 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 【教学重点和难点】 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 【教学过程】 一、情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h . 四、典例分析、举一反三 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 已知如图，四面体的棱长均为，求它的表面积． 【解析】因为四面体 S －ABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍． 不妨求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示． S ABC a 2
1．1 空间几何体的结构 1．1．1 多面体与旋转体概念、棱柱 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解多面体与旋转体的概念、了解棱柱的定义．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想． （二）学习目标 1．了解多面体的顶点，棱，表面，对角面的定义． 2．结合定义，会判断一个几何体是否为棱柱． 3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面体的定义． （三）学习重点 1．准确理解棱柱的定义． 2．棱柱的分类． 3．棱柱的表示方法． （四）学习难点 1．判断某个几何体是否为棱柱． 2．正确区分棱柱的体对角线和面对角线，棱柱的侧面和底面，棱柱的高和侧棱． 3．对旋转体的直观理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第2，3页，观察课本P2图1．1-1的物体，这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？填空： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点． 按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．
2．预习自测 （1）下列几何体是棱柱的有（） A．5个B．4个C．3个D．2个 【答案】D． 【知识点】棱柱的结构特征 【解题过程】由棱柱的定义可知，棱柱中，有两个面互相平行，则可以排除②⑤，又棱柱中，有两个互相平行的底面，其余各面都是四边形，则可以排除④⑥． 【思路点拨】由棱柱定义来判断 （2）三棱柱共有（）个顶点 A．4B．5C．6D．7 【答案】C． 【知识点】棱柱的结构特征 【解题过程】n棱柱的顶点个数为2n个，故选C． 【思路点拨】熟悉棱柱的定义． （3）四棱柱有（）个表面 A．5B．6 C．7D．8 【答案】B． 【知识点】四棱柱的定义 【解题过程】四棱柱有上下两个底面和四个侧面，故选B． 【思路点拨】棱柱有多少个表面，可以先找两个底面，再数其侧面个数即可．(二)课堂设计 1．知识回顾
棱柱教案 ●教学目标 （一）教学知识点 1.如何实现由一个正方形剪拼成一个正四棱柱，使其全面积等于这个正方形面积. 2.平行六面体性质的探讨. 3.长方体对角线性质定理的应用. （二）能力训练要求 1.增强学生的空间观念，实现对图形认识从平面到立体的过渡. 2.培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.使学生通过分析平行四边形的性质从而发现并能归纳出平行六面体的性质. 4.使学生熟练巩固长方体的对角线性质并能灵活应用于计算证明中. （三）德育渗透目标 1.体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点. 2.培养学生用联系的观点、类比的思想分析解决各种问题的能力. ●教学重点 1.平行六面体的性质. 2.长方体对角线性质定理的应用. ●教学难点 如何将旧知识重新组合灵活解决新问题的能力. ●教学方法 学导式 在解决“如何将一个正方形纸片剪拼成一个正四棱柱，使其全面积等于这个正方形面积”时，引导学生数学地分析问题解决问题，通过学生的互相探讨得到问题的各种解决途径，从而培养学生学数学做数学的能力. 在处理平行六面体的性质时，引导学生用联系的观点、类比的思想方法分析解决问题，从而得到既解决了新问题又找到了新旧知识间的联系的目的. ●教具准备 正方形纸片一张 投影片一张 第一张：本课时教案例1（记作§9.7.2 A ） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课，已对棱柱的定义、分类、性质以及常见的四棱柱做了研究，这节课我们要在此基础上对四棱柱的定义、性质做进一步的深入学习. Ⅱ.讲授新课 ［师］现有一个正方形纸片，大家想一想如何将它剪拼成一个正四棱柱并使其全面积等于这个正方形面积. ［生］（陷入尴尬境界，一时构建不出来，教师可适当点拨） ［师］大家要学会数学地思维、数学地分析解决问题，紧紧结合正四棱柱的特征. ［生］（开始积极讨论，探索） ［生甲］可以在这个正方形四个角上剪去四个相同的小正方形，使其边长为已知正方形的边长的4 1，余下部分按虚线折起，可成为一个没有上底的正四棱柱，而剪下的四个小正
第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 [提出问题观察下列图片： 问题1：图片(1)(2)(3)中的物体的形状有何特点？ 提示：由若干个平面多边形围成． 问题2：图片(4)(5)(6)(7)的物体的形状与(1)(2)(3)中有何不同？ 提示：(4)(5)(6)的表面是由平面与曲面围成的，(7)的表面是由曲面围成的． 问题3：图片(4)(5)(6)(7)中的几何体是否可以看作平面图形绕某定直线旋转而成？ 提示：可以． [导入新知] 1．空间几何体
1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面： (1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体． (2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分． 2．棱柱具有以下结构特征和特点： (1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形． (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图a 所示． (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图b 所示． (4)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱， 如图c 所示． 3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何 体
不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形，如图d所示．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台． [例1] (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． [答案] (3)(4) [类题通法] 有关棱柱的结构特征问题的解题策略 (1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析． ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行． 求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． [活学活用] 下列说法正确的是( ) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各个侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 答案：D [例2] (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形；
新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册： 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 素养目标·定方向 素养目标 学法指导 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理) 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理) 3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算) 1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系； 2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面. 必备知识·探新知 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体__各个面__的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__各个面__的面积的和. 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V 棱柱＝Sh S 为棱柱的__底面积__，h 为棱柱的__高__ 棱锥 V 棱锥＝13 Sh S 为棱锥的__底面积__，h 为棱锥的__高__ 棱台 V 棱台＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h S ′，S 分别为棱台的__上、下底面面积__，h 为棱台的__高__ (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同. (2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
2019-2020年高中数学必修2(B)棱柱、棱锥和棱台 教学目标 （1）感知并认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，初步形成空间观念； （2）了解棱柱、棱锥和棱台的概念，能画出棱柱、棱锥和棱台的示意图； （3）能用运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的辨证关系． 教学重点 棱柱、棱锥和棱台的结构特征和有关概念． 教学难点 棱柱、棱锥和棱台的结构特征． 教学过程 一、问题情境 1．情境： （1）阅读章头图和本章引言。 意图：使学生了解学习立体几何的必要性，了解本章主要解决什么问题。 （2）给出多种棱柱的实物模型，让学生观察。 2．问题： 仔细观察这些几何体，说说他们的共同特点． 二、学生活动 学生讨论，归纳：有两个面是全等的多边形，其余各面都是平行四边形。 教师：这样的几何体称为棱柱。 三、建构数学 1．在水平地面上有不同的两点和，一只蜗牛沿到方向从点爬到点，留下怎样的痕迹？ 线段； 由此可见，点从一个位置沿某一确定的方向平移到另一位置，形成怎样的图形？ 线段。 2．把一支粉笔贴在黑板上，沿垂直于粉笔的方向平移，留下怎样的痕迹？（演示）矩形； 由此可见，一条线段从一个位置沿某一确定的方向平移到另一位置，形成怎样的图形？ 平行四边形。 3．把一张矩形纸片放在课桌上，向上平移，形成怎样的图形？
操作：堆课本。（课本的纸张大小相同） 长方体。 4．一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成怎样的空间几何体？ 用电脑演示平移多边形生成棱柱的过程。 棱柱的概念：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。平移起、止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面。 5．结合模型介绍： （1）棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点； （2）三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱； （3）棱柱的表示方法； （4）棱柱的特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形。 6．给出一组棱锥，让学生将它们与棱柱进行比较，前后发生了什么变化？ 棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到相应的棱锥。 用电脑演示棱柱的一个底面收缩为一个点生成棱柱的过程。
北师大版必修2《棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积》教案及教学反思 一、教学目标 1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的概念。 2.学会利用公式计算棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、 圆台的体积。 3.通过解题，巩固和灵活运用所学的知识。 4.培养学生的观察能力和解决问题的能力。 二、教学重难点 (一) 教学重点 1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的概念。 2.学会利用公式计算棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、 圆台的体积。 (二) 教学难点 1.针对不同形状的物体，计算的公式和方法不同，学 生需要通过实例练习掌握。 2.学生容易混淆“棱”和“边”这两个概念，需要严 格区分并反复讲解。 三、教学过程 (一) 导入环节 老师可以通过举实际生活中的例子，帮助学生理解体积的 概念。例如蓝牙音箱、水杯、书、盒子等都是物体，都有一定的体积。然后，引入本节课的主题——棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积。
(二) 讲解和练习 1.棱柱的体积棱柱的体积公式为 V = Bh，其中B为 底面积，h为高。老师可以通过教材上的实例和板书，讲解棱柱的定义和计算公式。然后，让学生在课堂上通过实 例进行练习，巩固所学内容。 2.棱锥的体积棱锥的体积公式为 V = 1/3Bh，其中B 为底面积，h为高。同样，老师可以通过实例和板书讲解棱锥的定义和计算公式，并让学生进行练习。 3.棱台的体积棱台的体积公式为 V = 1/3h(R2+r2+Rr)， 其中h为高，R和r分别为上底和下底的半径。老师同样可以通过实例和板书讲解棱台的定义和计算公式，并让学 生进行练习。 4.圆柱的体积圆柱的体积公式为V = πr^2h，其中 r为半径，h为高。老师可以通过实例和板书讲解圆柱的 定义和计算公式，并让学生进行练习。 5.圆锥的体积圆锥的体积公式为V = 1/3πr^2h，其 中r为半径，h为高。老师同样可以通过实例和板书讲解圆锥的定义和计算公式，并让学生进行练习。 6.圆台的体积圆台的体积公式为 V = 1/3πh(R2+r2+Rr)，其中h为高，R和r分别为上底和下底 的半径。老师可以通过实例和板书讲解圆台的定义和计算公式，并让学生进行练习。 (三) 作业布置 根据所学内容，布置练习题并要求学生在完成作业的过程 中加深对体积计算公式的印象和理解，防止因记忆而忽视重要概念。
直棱柱和正棱锥的直观图的画法，正多面体 一、课题：直棱柱和正棱锥的直观图的画法，正多面体 二、教学目标：1．掌握直棱柱和正棱锥的直观图的画法； 2．培养画图、视图、析图的能力； 3．了解正多面体的概念，了解正多面体只有5种． 三、教学重点、难点：坐标系的建立、顶点的确定． 四、教学过程： （一）复习：斜二测画法的规则． （二）新课讲解： 1．直棱柱、正棱锥的直观图： 例1．斜二测画法画一个底面边长为4cm ，高为6cm 的正六棱柱的直观图． 分析：要画正六棱柱的直观图，根据斜二测画法的画法规则，只需建立恰当的坐标系，画出下 底面的直观图，在根据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点即可． 画法：根据斜二测画法的画法规则及画直观图的步骤可得以下步骤： （1）画轴：画x '轴、y '轴、z '轴，记坐标原点为O '，使如图所示； （2）画底面：按x '轴、y '轴画边长为4cm 正六边行的直观图ABCDE ； （3）画侧棱：过,,,,,A B C D E F 各点分别作'z 轴的平行线，并在这些平行线上截取AA '、 BB '、CC '、DD '、EE '、FF '，使它们都等于6cm ； （4）成图：顺次连结,,,,,A B C D E F '''''',并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分该为虚 线),就得到正六棱柱的直观图． 说明：本题的关键是建立恰当的三维坐标系及画正六边行的直观图,我们选择恰当的坐标系的 标准是尽可能的使所画平面图形的边和坐标轴平行或在坐标轴上．
例2．画一个底面边长为5cm ,高为11.5cm 的正五棱锥的直观图,比例尺为1:5. 分析：画正五棱锥的直观图只需根据斜二侧画法,选择恰当的坐标系画出正五边形的直观图,进 而确定出正五棱锥的顶点即可. 画法：（1）画轴：画x '轴、y '轴、z '轴，记坐标原点为O '，使45x O y '''∠=（或135）， 使90x O z '''∠=； （2）画底面：x '轴、y '轴画边长为1cm 正五边形的直观图ABCDE 并使正五边行的中 心对应与点O '； （3）画高线：在'z 轴上取11.5 2.35 O S cm '= =； （4）成图：顺次连结,,,,SA SB SC SD SE ,并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分该 为虚线),就得到正棱锥的直观图． 说明：正棱锥的直观图由底面和顶点所决定。正棱锥底面的画法与直棱柱底面的画法相同。顶 点和底面中心的距离等于它的高．画正棱锥的直观图可以对照直棱柱的直观图的画法,加深对空间图形直观图画法的理解和掌握. 2．正多面体： （1）概念：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体 叫正多面体。例如正方体是正六面体． （2）种数：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体5种． （3）直观图如图：