教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积
一、教学目标
1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念；
2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法；
3.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学内容
1.棱柱的定义及性质；
2.棱锥的定义及性质；
3.棱台的定义及性质；
4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式；
5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式；
6.实际问题应用。
三、教学方法
1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。
2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。
3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。
4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。
四、教学过程
第一步：引入
1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特
点。
2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。
第二步：讲解概念和性质
1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。
2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点）
的线段。
3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形，
侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。
4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。
第三步：计算表面积公式
1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。公式为S=2B+Pℎ，其中
B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。
2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。公式为S=B+L，其中B为底面
积，L为侧面积。
3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。公式为S=
B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。
第四步：计算体积公式
1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ
为高度。
2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。公式为V=1
Bℎ，其中B为底
3
面积，ℎ为高度。
3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以
(B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。公式为V=1
3
面积，ℎ为高度。
第五步：解决实际问题
1.提供一些实际问题，要求学生运用所学知识计算表面积和体积。
2.引导学生分析问题，确定解题思路，并进行计算。
3.学生展示解题过程和答案，进行讨论和评价。
第六步：练习巩固
1.设计一系列练习题，包括计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积。
2.让学生独立完成练习，并互相交流、讨论答案。
3.教师布置作业，要求学生完成剩余的练习题。
五、评价方式
1.观察学生在课堂上的表现，包括对概念的理解、计算公式的运用等；
2.批改作业，评价学生对所学知识的掌握程度；
3.针对解决实际问题的能力进行评估，包括解题思路、计算过程等。
教案：棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积 一、教学目标 1.理解棱柱、棱锥和棱台的概念； 2.掌握计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积的方法； 3.能够应用所学知识解决实际问题。 二、教学内容 1.棱柱的定义及性质； 2.棱锥的定义及性质； 3.棱台的定义及性质； 4.计算棱柱、棱锥和棱台的表面积公式； 5.计算棱柱、棱锥和棱台的体积公式； 6.实际问题应用。 三、教学方法 1.演示法：通过示意图、实物模型等形式展示各种几何体，帮助学生理解概念。 2.讲解法：结合示例，详细讲解计算表面积和体积的公式及步骤。 3.练习法：设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。 4.讨论法：引导学生思考并讨论如何应用所学知识解决实际问题。 四、教学过程 第一步：引入 1.利用图片或实物模型展示棱柱、棱锥和棱台，引导学生观察并描述它们的特 点。 2.引导学生思考如何计算这些几何体的表面积和体积。 第二步：讲解概念和性质 1.讲解棱柱的定义：底面为多边形，侧面是连接底面相对顶点的线段。 2.讲解棱锥的定义：底面为多边形，侧面是连接底面顶点与一个点（称为顶点） 的线段。 3.讲解棱台的定义：底面为多边形，顶面为平行于底面的同样形状的多边形， 侧面是连接底面边与顶面相对顶点的线段。 4.通过示意图或实物模型展示各种几何体，并帮助学生理解其性质。 第三步：计算表面积公式 1.计算棱柱表面积：底面积加上所有侧面积之和。公式为S=2B+Pℎ，其中 B为底面积，P为底边周长，ℎ为高度。
2.计算棱锥表面积：底面积加上侧面积。公式为S=B+L，其中B为底面 积，L为侧面积。 3.计算棱台表面积：底面积加上顶面积加上所有侧面积之和。公式为S= B1+B2+L，其中B1和B2分别为底面和顶面的面积，L为侧面积。 第四步：计算体积公式 1.计算棱柱体积：底面积乘以高度。公式为V=Bℎ，其中B为底面积，ℎ 为高度。 2.计算棱锥体积：底面积乘以高度再除以3。公式为V=1 Bℎ，其中B为底 3 面积，ℎ为高度。 3.计算棱台体积：（上底面积加下底面积加平行截面的乘积）乘以高度再除以 (B1+B2+√B1⋅B2)ℎ，其中B1和B2分别为上下底的3。公式为V=1 3 面积，ℎ为高度。 第五步：解决实际问题 1.提供一些实际问题，要求学生运用所学知识计算表面积和体积。 2.引导学生分析问题，确定解题思路，并进行计算。 3.学生展示解题过程和答案，进行讨论和评价。 第六步：练习巩固 1.设计一系列练习题，包括计算棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积。 2.让学生独立完成练习，并互相交流、讨论答案。 3.教师布置作业，要求学生完成剩余的练习题。 五、评价方式 1.观察学生在课堂上的表现，包括对概念的理解、计算公式的运用等； 2.批改作业，评价学生对所学知识的掌握程度； 3.针对解决实际问题的能力进行评估，包括解题思路、计算过程等。
第79课时 柱、锥、台、球的表面积与体积 考点解说 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积. 一、基础自测 1.有一棱长为的正方体框架,若放置一个气球,使其充气且尽可能地膨胀,且保持球的形状,则气球表面积的最大值为 . 2. 已知函数[1,0)()1,[0,1] x f x x x ∈-=-∈⎪⎩,则由()f x 的图象表示的曲线绕x 轴旋转一周所 得几何体的表面积为 . 3.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为 . 4. , ,则该正四棱柱的体积等于____________. 5.如右图,已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为1,高为8,一质点 自A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长 为 . 6.已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如下左 图所示,则该多面体的体积等于 . 7. ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 . 8.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,底面为直角三角 形.90,6,ACB AC ︒∠= =1BC CC ==,P 是1BC 上一动点,则 1CP PA +的最小值是 . 二、例题讲解 例1.如图,高为10cm 的圆锥中内接一个与它有公共顶点的三棱 锥 V ABC -,若,,VA VB VC 两两互相垂直,求该圆锥的侧面积. 例2.直三棱柱111ABC A B C -中 ,111,AC BC BB AB ==== .
(1)求证:平面1AB C ⊥平面1B CB ; (2)求三棱锥11A AB C -的体积. 例3.如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形,其中BD 是圆的直径,60,45,ABD BDC ADP BAD ︒︒∠=∠=∆∆. (1)求线段PD 的长; (2)若PC =,求三棱锥P ABC -的体积. 例4.如图,有两个相同的直三棱柱,高为2a ,底面三角形的边长分别为3a 、4a 、5a (0a >),用它 们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱柱,求a 的取值范围. 板书设计 教后感 三、课后作业 班级 姓名 学号 等第 1.若三棱锥的三个侧圆两两垂直,,则其外接球的表面积是 . 2.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .
新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册： 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 素养目标·定方向 素养目标 学法指导 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理) 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理) 3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算) 1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系； 2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面. 必备知识·探新知 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体__各个面__的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__各个面__的面积的和. 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V 棱柱＝Sh S 为棱柱的__底面积__，h 为棱柱的__高__ 棱锥 V 棱锥＝13 Sh S 为棱锥的__底面积__，h 为棱锥的__高__ 棱台 V 棱台＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h S ′，S 分别为棱台的__上、下底面面积__，h 为棱台的__高__ (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同. (2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
棱柱,棱锥,棱台的表面积和体积教学设计教学设计：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 一、教学目标： 1.了解棱柱、棱锥、棱台的定义和特点。 2.掌握计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的方法。 3.能够解决与实际生活相关的问题，灵活运用所学知识。 二、教学内容： 1.棱柱的表面积和体积 -定义：棱柱是底面为多边形，且侧面都是平行于底面的平面多边形的立体图形。 -表面积：底面的面积加上所有侧面的面积。 -体积：底面的面积乘以高度。 2.棱锥的表面积和体积
-定义：棱锥是底面为多边形，且侧面都是从一个顶点到底面各边的连线的立体图形。 -表面积：底面的面积加上侧面的面积。 -体积：底面的面积乘以高度再除以3。 3.棱台的表面积和体积 -定义：棱台是上下底面相等且平行，侧面为梯形的立体图形。 -表面积：上下底面的面积加上四个侧面的面积。 -体积：上下底面的面积乘以高度再除以2。 三、教学过程： 1.导入（5分钟） 引入新内容，通过展示不同形状的棱柱、棱锥、棱台的图示，让学生通过观察和思考，激发他们对这些几何体的好奇心和兴趣。 2.重点讲解（20分钟） a)针对棱柱，让学生了解定义和基本特点，并通过示例计算棱柱的表面积和体积，帮助学生掌握计算方法。
b)类似地，让学生了解棱锥和棱台的定义和特点，并计算其表面 积和体积。 c)强调计算表面积和体积的公式，让学生明确计算的步骤和方法。 3.练习与巩固（25分钟） a)分发练习题，让学生自主完成计算棱柱、棱锥、棱台的表面积 和体积题目。 b)鼓励学生在解答问题时灵活运用所学知识，将几何形状和实际 生活中的问题相结合，增强学生的综合运用能力。 4.拓展与应用（25分钟） a)给出一些实际问题，让学生运用所学知识解决，例如： -饮料瓶的形状是棱柱体，求它的表面积和体积。 -蜡烛的形状是棱锥体，求它的表面积和体积。 -塔楼的形状是棱台体，求它的表面积和体积。 b)让学生在小组中合作，分享和比较解决方案，培养他们的思考 和合作能力。
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计 一、教学目标 1.掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式. 2.能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 二、教学重难点 1、教学重点 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式. 2、教学难点 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的应用. 三、教学过程 1、新课导入 前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积. 表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小. 这节课就先来学习一下棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积. 2、探索新知 一、棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 多面体侧面展开图面积公式 棱柱（如三棱柱） 2 S S S=+ 棱柱表棱柱侧底 棱锥（如三棱锥）S S S =+ 棱锥表棱锥侧底 棱台（如三棱台）S S S S =++ 棱台表棱台侧上底下底
解：因为PBC △是正三角形，其边长为a ，所以23PBC S = . 因此，四面体P ABC -的表面积2 2343P ABC S a -==. 二、棱柱、棱锥、棱台的体积 3 V a =正方体（a 是正方体的棱长）， V abc =长方体（a ，b ，c 分别是长方体的长、宽、高）. 一般地，如果棱柱的底面积是S ，高是h ，那么这个棱柱的体积V Sh =棱柱. 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S ，高为h ，那么该棱锥的体积13 V Sh =棱锥. 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式() 1 3 V h S S S S ''=棱台，其中S '，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高. 例 2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m ，公共面ABCD 是边长为1 m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到30.01m ）？ 解：由题意知3 110.50.5(m )ABCD A B C D V ''''-=⨯⨯=长方体， 311 110.5(m )36 P ABCD V -=⨯⨯⨯=棱锥. 所以这个漏斗的容积3112 0.67(m )263 V =+=≈. 3、课堂练习 1.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( )
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。 教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。 A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法． B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的 表面积与体积． 1.教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积； 2.教学难点：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1.北京奥运会场馆图 2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛 场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完 成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经 营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但 出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方” 将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的 面积？ 3.学生回答下列公式 矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积 4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方 体的展开图与其表面积的关系吗？ 二、探索新知 探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的 展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 通过观看图片及复 习初中所学知识，引 入本节新课。建立知 识间的联系，提高学 生概括、类比推理的 能力。 通过思考，得到 棱柱的表面积的求 法，提高学生的解决 问题、分析问题的能 力。
《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》课标解读 教材分析 本节的主要内容是棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积和体积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和，而常见平面图形面积的计算是小学、初中学习的内容，通过模仿、类比求多面体的表面积的方法可以得到求旋转体的表面积的方法，因此，本节内容在整个知识体系中起着承上启下的作用 本节内容的重点是利用公式计算多面体的表面积和体积，难点是棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系及运用 本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、数学运算等 学情分析 学生在小学、初中阶段的学习中已经学习过基本平面图形的面积计算公式及常见几何体的体积公式，由于学生研究过正方体、长方体的表面积计算方法，所以学生在学习多面体的表面积时就比较自然、轻松了同样由于学生学习了正方体、长方体的体积公式，在此基础上再学习棱柱、棱柱、棱台的体积公式，能激发他们的求知欲，提高他们学好数学的自信心 教学建议 多面体的表面积的计算可放手交给学生自己独立完成，教师做好引导即可教学的重点是多面体的体积公式及计算，借助计算机辅助软件可直观展示出棱柱与棱锥的体积公式间的关系，然后再通过例题展示体积公式的使用，帮助学生掌握求简单组合体的体积，提升学生的数学运算素养 学科核心素养 目标与素养 1了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算方法及公式，达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次 2会用棱柱、棱锥、棱台的体积公式解决一些简单的实际问题，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次 情境与问题 在初中我们学习了特殊的棱柱—正方体、长方体的体积公式及其表面积的求法，那么对于一个更一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积及表面积又如何来计算呢？由此引出计算多面体的表面积和体积的需求，导入新课
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积含解析 8．3简单几何体的表面积与体积 8．3。1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ［目标] 1。会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2。会求棱柱、棱锥、棱台的体积． ［重点］求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积． [难点] 棱台的体积． 要点整合夯基础 知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积 [填一填] 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S表＝S侧＋2S底． ①其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积:S ＝Ch； 侧 ②长、宽、高分别为a，b,c的长方体的表面积:S ＝2(ab＋ac 表 ＋bc)； ③棱长为a的正方体的表面积：S ＝6a2. 表 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高（侧面三角形底边上的高）为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝错误!Ch′。
3．棱台的表面积 棱台的表面积：S表＝S侧＋S上底＋S下底． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． ［答一答］ 1．几何体的侧面积与表面积有何区别? 提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此,侧面积仅是几何体表面积的一部分． 知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积 ［填一填］ 1．棱柱的体积 (1）棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点）之间的距离． （2）棱柱的底面积S,高为h,其体积V＝Sh。 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． （2）棱锥的底面积为S,高为h,其体积V＝错误!Sh. 3．棱台的体积 （1)棱台的高是指两个底面之间的距离． （2）棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V 3
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 本节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式． 2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式； 2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积； 3.数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式和应用； 难点：棱台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主 探究式学习 合作学习 教学工具：多媒体 课件 相关资料 教学过程 一、 情景导入 在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本114-115页，思考并完成以下问题 1．怎么求柱体、锥体、棱台的表面积？ 2．柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝13 (S ′＋S ′S ＋S )h .
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 (教师独具内容) 课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导． 核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用培养直观想象和数学运算素养. 1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题． 2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及“等价转化思想”． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( ) (2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( ) (4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) 2．做一做 (1)正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为( ) A．27 4 B． 9 4
C．273 4 D． 93 4 (2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5，则该长方体的体积和表面积分别是____. (3)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为____. 题型一棱柱、棱锥、棱台的表面积 例1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积和表面积． (2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积． (3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积． [跟踪训练1] (1)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A．48(3＋3) B．48(3＋23) C．24(6＋2) D．144 (2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( ) A．3＋3 4 a2B． 3 4 a2 C．3＋3 2 a2D． 6＋3 4 a2 (3)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为1 2 a，则该正三棱台的侧面
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积教案 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案 一、引言 在几何学中，棱柱、棱锥和棱台是常见的三维几何体。它们有着不同的特点和性质，但是计算其表面积和体积的方法却有一定的相似之处。本教案将针对棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积进行详细讲解，并提供相应的计算公式和实例。 二、棱柱 1. 定义和性质 棱柱是一个底面是一个多边形的立体，且顶部和底部平行，并由与底面对应的一组边相连接而成。棱柱的侧面全部是矩形，而顶部和底部是多边形。 2. 表面积的计算 棱柱的表面积由底面积和侧面积两部分组成。计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积 底面积的计算取决于底面的形状，可以是正多边形或其他形状。假设底面的周长为P，高度为h，则底面积可以表示为：底面积 = P * h/2 侧面积的计算有两种情况： - 若底面是正多边形，侧面积可以通过计算正多边形 周长P和高度h的乘积得到：侧面积 = P * h - 若底面是其他形状，侧面积需要 通过分解为多个矩形，计算每个矩形的面积，然后求和得到。 3. 体积的计算 棱柱的体积可以通过计算底面积和高度的乘积得到，即：体积 = 底面积 * 高度
三、棱锥 1. 定义和性质 棱锥是一个底面是一个多边形的立体，且顶部是一个顶点。棱锥的侧面全部是三角形，而底面是多边形。 2. 表面积的计算 棱锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积 底面积的计算方法与棱柱相同。 侧面积的计算可以通过计算棱锥的侧面积和底面积之和得到，即：侧面积 = 底面积 + 棱锥侧面积 棱锥侧面积的计算可以通过计算底面的周长和斜高的乘积得到，斜高可以通过勾股定理求得。 3. 体积的计算 棱锥的体积可以通过计算底面积和高度的乘积再除以3得到，即：体积 = 底面积* 高度 / 3 四、棱台 1. 定义和性质 棱台是一个上底面和下底面是两个平行的多边形的立体。棱台的侧面全部是梯形，而上底面和下底面是多边形。 2. 表面积的计算 棱台的表面积由上底面积、下底面积和侧面积三部分组成。计算公式如下：表面积 = 上底面积 + 下底面积 + 侧面积 上底面积和下底面积的计算方法与棱柱相同。
《柱体、锥体、台体得表面积》教学设计 一、教材得理解与处理 空间几何体得表面积问题就是生产、生活中得实际问题,研究这类问题有助于培养学生得数学应用意识;立体几何中得核心思想“立体问题平面化”得思想在本节也得到体现,把空间几何体展开成平面图形。棱柱、棱锥可以瞧成棱台得两种特殊情况,我们还可以体会圆柱、圆锥、圆台与棱柱、棱锥、棱台侧面积公式之间得一致性,体现了数学得统一美。 二、教学目标确定说明 学生在初中虽然已经接触过平面几何体得概念,但学生尚缺乏空间想象能力,还缺乏知识得迁移与类比能力,这些都需要教师在课堂教学过程中有意识地、创造性地培养学生逐步形成. 数学教学得重要目标之一就是提高学生得数学思维能力,通过不同形式得探究活动,让学生亲身经历知识得发生与发展过程,从中领悟解决问题得思想方法,不断提高分析与解决问题得能力,使数学学习变成一种愉快得探究活动,从中体验成功得喜悦,不断增强探究知识得欲望与热情,养成一种良好得思维品质与习惯。根据本节课得教学内容与我所教学生得实际,本节课得教学目标确定为以下三个方面: 1、知识与技能:使学生通过柱体、锥体、台体得表面积得探索,学会将空间问题转化为平面问题进行解决得数学思想方法. ２、过程与方法:使学生在表面积公式得推导过程中充分感受数学得转化思想、类比思想,提高学生分析问题与解决问题得能力、 3。情感态度与价值观:通过与谐对称规范得图形,给予学生以数学美得享
受;同时发展学生求知、求实、勇于探索得情感与态度。 三、教学重点、难点确定说明 本节课如果只把几组公式告诉学生,并让她们进行一些训练就能达到要求、这样做就失去渗透相关重要数学思想得机会,就失去让学生体会数学美得机会。数学教学中应强调对基本概念与基本思想方法得理解与掌握,并能灵活应用所学知识解决实际问题,根据本节课得教学内容与学生认知结构特征,重点确定为:理解与掌握柱体、锥体、台体得表面积得构成形式,以便从度量得角度认识空间几何体.难点为:用联系、类比、运动变化得思想推导柱体、锥体、台体得表面积 四、教学策略得选择说明 丰富学生得学习方式,改进学生得学习方法就是数学教学追求得。学生得数学学习不应只限于概念,结论与方法得记忆,模仿与接受。本节课主要就是多面体与旋转体得表面积,学习过程中,要使学生理解知识点,并会灵活应用,要鼓励学生积极参与教学活动,包括思维得参与与行为得参与,既要有教师得讲授与指导,也要有学生得自主探究与合作交流。因此,本设计主要采用得教学方法就是引导发现法,结合本课得教学内容与学生实际,整体思路就是:创设情境→自主探究→合作交流→得出结论→理解应用→提高能力。 在教具使用上做到以下三点: 1、学生课前自己制作几何体模型,激发学生思维得兴趣。 2、运用ｐpｔ制作课件,做到图文并茂。 3、运用几何画板制作课件,创设探求空间,展现思维过程。 六、教学环节设计说明
空间几何体的表面积与体 积教案 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的你能否计算引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成表面积如何求 （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π
|第4课时棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积| 知识技能 1．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式． 2．能用公式解决简单的实际问题 思想方法 通过经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状，理解几何体的表面积的推导过程，提高空间思维能力和空间想象力． 数学素养 1．在探索棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 2．在求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，发展直观想象和数学运算素养． 重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导与应用． 难点：通过柱、锥、台的侧面展开图特点理解侧面积计算公式的结构特征． 问题导引 预习教材P114～115，思考下面的问题： 1．前面我们已经研究了棱柱、棱锥、棱台的有关概念和特征，也了解了其平面展开图，那么怎样计算其表面积呢？ 2．怎样计算棱柱、棱锥、棱台的体积呢？ 即时体验 1．棱长为a的正方体的表面积为6a2． 2．已知一个长方体的底面是面积为4m2的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正方形，那么这个长方体的侧面积是(B) A．16m2B．64m2 C．48m2D．24m2 3．若一个正方体的棱长是另一个正方体棱长的2倍，则其体积是另一个正方体体积的(B)
A．4倍B．8倍 C．2倍D．16倍 4．若一个长方体的体积是1．8dm3，宽是15cm，高是6cm，则它的长是(A) A．2dm B．20dm C．2cm D．45cm 一、数学运用 [1]巩固练习正棱台的侧面积求解方法及求解公式，提升学生的数学运算能力． 已知正四棱台(上、下底面都是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的下底面边长为8，高和上底面边长都是4，求它的侧面积．[1](见学生用书课堂本P53) [处理建议]由正棱台的侧面积计算公式可知，首先要求出它的斜高，故应构造出包含高和斜高的直角三角形求解． [规范板书]解解法1：如图①，E,E1分别是BC,B1C1的中点，O,O1分别是下、上底面的中心，则O1O为正四棱台的高，所以O1O＝4． (例1答图①) 连接OE,O1E1，则OE＝1 2AB＝ 1 2×8＝4,O1E1＝ 1 2A1B1＝2．过点E1作E1H⊥ OE，垂足为H，则E1H＝O1O＝4,OH＝O1E1＝2，所以HE＝OE－O1E1＝2．在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝82＋22＝22×17， 所以E1E＝217， 因此S 侧＝4× 1 2×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(8＋4)×217＝4817．
第一章空间立体几何初步 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱、锥、台的表面积与体积 一、学习目标 1．知识与技能 (1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义． (2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求 简单几何体的表面积与体积．(重点) (3)了解球的表面积与体积公式. (4)会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点) 2．过程与方法 (1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状． (2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系． (3)通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系． 3．情感、态度与价值观 使学生通过表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性． 二、重点、难点 重点：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算． 难点：棱台的表面积公式的推导． 重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳棱柱、棱锥和棱台的表面积公式，并让学生熟悉并掌握球的表面积公式． 三、教学方法 类比、练习、自学 四、专家建议 通过对柱、锥、台的表面积与体积的学习探究，明确柱体、锥体、台体三者间体积的关系，明确表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想。 五、教学过程 ●新知探究 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 【问题导思】 1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？ 【提示】相等． 2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？ 【提示】是． 棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积． 知识点2 圆柱、圆锥、圆台的表面积 【问题导思】 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．
《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。 教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。 【教学目标与核心素养】 课程目标学科素养 A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法． B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式； 2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式； 3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积； 4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。 【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积； 【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积． 【教学过程】 教学过程教学设计意图 一、复习回顾，温故知新 1.北京奥运会场馆图 通过观看图片及复习初 中所学知识，引入本节 新课。建立知识间的联 系，提高学生概括、类
2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？ 3.学生回答下列公式 矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积 4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 二、探索新知 探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。 思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 导学案 【学习目标】 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积 2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积 【自主学习】 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底． ①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ； ①长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ①棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝1 2Ch ′. 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 1．棱柱的体积 (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .
2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝1 3Sh . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指两个底面之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V 3
【合作探究】 探究一多面体的表面积 【例1】已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 6 cm，则该三棱台的表面积为________．【答案】(53＋95) cm2 [分析]利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积． [解析]正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面 均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm，故三棱台的表面积为3×1 2×(2＋4)×5＋ 1 2×2＋3＋ 1 2 ×4×23＝53＋9 5. 归纳总结：在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形正多边形、三角形、梯形等，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理 【练习1】如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要5.6 m2铁板(精确到0.1 m2)． 解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S侧＝Ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2)．