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高三12月联考数学(理)试题及答案

东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考

理科数学试题 .12.24

命题人：东莞一中：彭启虎

第I 卷 (选择题共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.若集合=

A.{}21|≤

D. {}21|≤≤x x 2.复数i a a a )1()2(2

++--是纯虚数，则实数a 的值为

A. -1

B. －2

C.2

D.2或－1 3.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有下面四个命题:

(1)α∥β?l ⊥m;(2)α⊥β?l ∥m;(3)l ∥m ?α⊥β;(4)l ⊥m ?α∥β. 其中正确的命题( )

A.(1)(2)

B.(2)(4)

C.(1)(3)

D.(3)(4)

4.如图是一个多面体的三视图,则其全面积为 A.3

+6 C. 3+4 D. 3+6 5．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是 A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6? D ．k >7?

6. 函数x x y 2sin sin 22

+=的最小正周期是 A. 4π B. 2

C. π

D. π2

7. 已知a>0，x ，y 满足约束条件??

??-≥≤+≥)3(,3,

1x a y y x x 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则=a

N M x y x N x y x M 则},2|{)},1ln(|{-=

=-==}21|{≤≤x x }1|{>x x

A.14

B.1

C ．1

D ．2 8．已知圆C ：22

4x y ＋＝，若点P （0x ，0y ）在圆C 外，则直线l : 004x x y y ＋＝与圆C 的位置关

系为

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不能确定

9.ABC ?的三内角A ，B ，C 所对边长分别是,,a b c ，设向量(3,sin sin )n a c B A =+-,

(,sin )m a b C =+，若//m n ，则角B 的大小为

A ．

π B ．

5π C ．

π D ．

2π 10.已知函数的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为

A ．

B ．

C ．

D ．

11.已知点21,F F 为椭圆)0(122

22>>=

+b a

y a x 的左右焦点，若椭圆上存在点P =则此椭圆的离心率的取值范围是 A.(0,)

31 B.(0, ]21 C.( ]2

1,31 D.[ )1,31

12. 对于函数)(x f ,若R c b a ∈?,,,)(),(),(c f b f a f 为某一三角形的三条边，则称)(x f 为“可构

造三角形函数”，已知函数1

)(++=x x e t e x f （e 为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则

实数t 的取值范围是

A.),0[+∞

B.]2,0[

C.]2,1[

D.]2,2

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.由曲线2

2x y =，直线,24--=x y 直线1=x 围成的封闭图形的面积为 14.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列，则{}n a 的通项公式

21()(1)(3)23

f x x b x a b x b =

+---+-00

x ay x by -≥??-≥?22

4x y +=3π2π

π2π

n a ＝

15．ABC ?外接圆半径为3，内角A,B,C 对应的边分别为c b a ,,，若A=60°，2=b ，则c 的值为 16.球O 的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C 四点共面，ABC ?是边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S-ABC 的体积的最大值为

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（12分）已知数列{}n a 为等比数列，n S a a .243,161==为等差数列{}n b 的前n 项和，

.35,351==S b

(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设n n n b a b a b a T +++= 2211，求n T .

18. （12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样

号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金。（Ⅰ）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；

（Ⅱ）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

19.（12分）如图，在四棱锥

中，//

，，

，

，平面

平面．

（Ⅰ）求证：平面平面

；

（Ⅱ）若直线

与平面

所成的角的正弦值为，

求二面角的平面角的余弦值.

20.（12分）设M 是焦距为2的椭圆E ：2221x a b

y ＋＝

（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右

顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－12

．（1）求椭圆E 的方程；

（2）已知椭圆E ：2221x a b 2y ＋＝

（a ＞b ＞0）上点N （0x ，0y ）处切线方程为00221x x y y

a b

＋＝，若P 是直线x ＝2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C ，D ，求证直线CD 恒过

定点，并求出该定点坐标．

21.（12分）已知函数f(x)＝

x·sin θ

＋ln x 在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，

x x

t tx x g ln 21)(-+--

=t ∈R . (Ⅰ)求θ的值；

(Ⅱ)当t ＝0时，求函数g (x )的单调区间和极大值；

(Ⅲ)若在[1，e]上至少存在一个x 0，使得g (x 0)>f (x 0)成立，求t 的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分,做答时写清题号. 22. (10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD BC ⊥于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点P ．

(1)求证：BF EF =；

(2)求证：PA 是圆O 的切线．

23. (10分)选修4-4：极坐标系与参数方程

在极坐标系下,已知圆θθρsin cos :+=O 和直线.2

2)4

sin(:=

-π

θρl (I )求圆O 和直线l 的直角坐标方程;

（II ）当),0(πθ∈时,求直线l 和圆O 公共点的极坐标.

24. (10分) 选修4-5：不等式选讲

已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(I)求a 的值；（II)若)2

(2)(x f x f ≤k 恒成立，求k 的取值范围．

东莞中学松山湖学校、东莞一中高三联考

理科数学参考答案 .12.24

一、选择题：1——5 ACCDB ； 6——10 CBCBB ； 11——12 DD

二、填空题：13.316

14.?

??≥?=-2,321,31

n n n 15. 16+ 16.

三、解答题：

17. (1))1

3-=n n a 3分 ; 12+=n b n 6分

(2)n

n n T 3= 12分

18．Ⅰ）甲抽奖一次，基本事件总数为=120,奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240. 一等奖的情况只有一种，所以奖金为240元的概率为P(ξ=240)=

三球连号的情况有1，2，3；2，3，4;……8,9,10共8种，所以P(ξ=60)=

仅有两球连号中，对应1，2与9，10的各有7种；对应2，3；3，4；……8，9各有6种。得奖金30的概率为P （ξ=30）=奖金为0的概率为P （ξ=0）= ξ的分布列为：

ξ 0

240

6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得乙一次抽奖中中奖的概率为P= 10分四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数η～B （4，）故.12分 19.法一（Ⅰ）取中点

，连接

，则，∴四边形是平行四边形，∴

∵直角△和直角△中，

∴直角△

直角△

，易知

10C 1120

8112015

=7267712015?+?=11711

1120151524

---=

11247151151120

11711

0306024020

241515120

=?+?+?+?=E ξ1113

12424-=

132********

42424144

D η=??=

∴ 2分

∵平面平面，平面平面∴平面

∴， 4分

∵∴平面. 5分∴平面平面. 6分

（Ⅱ）设交于，连接，则是直线与平面所成的角.设

由△△，知，∵∴，

∵∴， 9分

作于，由，知平面，∴，∴是二面角

的平面角. 10分

∵△△，∴，而∴

∴，∴，即二面角的平面角的余弦值为.12分

法二：（Ⅰ）∵平面平面，平面平面，∴平面

又∵，故可如图建立空间直角坐标系2分

由已知，，，（）

∴，，

∴，，∴，，∴

平面. 4分∴平面平面 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，

设直线与平面所成的角为，∴，

∵∴，即 8分

设平面的一个法向量为，，

由，∴，令，则 10分

∴， 11分显然二面角的平面角是锐角，

∴二面角的平面角的余弦值为

12分

21. 解：(1)由已知得f ′(x )＝－1sin θ·x 2＋1

x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即sin θ·x －1sin θ·x 2≥0在[1，＋∞)上

恒成立， 2分∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，∴sin θ·x －1≥0在[1，＋∞)上恒成立，只需sin θ·1－1≥0，即sin θ≥1，∴sin θ＝1，由θ∈(0，π)，知θ＝π

. 4分

(2)∵t ＝0，∴g (x )＝－－1＋2e

x －ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝2e －1x 2－1x ＝2e －1－x x 2

， 5分令g ′(x )＝0，则x ＝2e －1∈(0，＋∞)，∴x ，g ′(x )和g (x )的变化情况如下表：

ln(2e －1)．7分

(3)令F (x )＝g (x )－f (x )＝tx －t ＋2e

x －2ln x ，

当t ≤0时，由x ∈[1，e]有tx －t x ≤0，且－2ln x －2e

x <0，∴此时不存在x 0∈[1，e]使得g (x 0)>f (x 0)成立 9分

当t >0时，F ′(x )＝t ＋t ＋2e x 2－2x ＝tx 2－2x ＋t ＋2e

x 2

，∵x ∈[1，e]，∴2e －2x ≥0，又tx 2＋t >0，∴F ′(x )>0在[1，e]上恒成立，故F (x )在[1，e]上单调递增，∴F (x )max ＝F (e)＝t e －t e －4，令t e －t e －4>0，则t >4e e 2－1

11分故所求t 的取值范围为? ??

4e e 2－1，＋∞. 12分

22.证明：（1）因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，

所以AD BE ∥，可知BFC DGC ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以BF CF EF CF

DG CG AG CG

，，所以

BF EF

DG AG

. 因为G 是AD 的中点，所以DG AG =，所以F 是BE 的中点，BF EF =. ………5分（2）如图，连接AO AB ，，因为BC 是圆O 的直径，所以90BAC ∠=° 在Rt BAE △中，由（Ⅰ）知F 是斜边BE 的中点，所以AF FB EF ==，所以FBA FAB ∠=∠. 又因为OA OB =，所以ABO BAO ∠=∠．因为BE 是圆O 的切线，所以90EBO ∠=°.

因为90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，

所以PA 是圆O 的切线. ………10分

23.解： (1) 圆O :02

=--+y x y x 2分直线l 方程为01=+-y x 5分 (2)极坐标为(1,2

) 10分

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<