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2020～2021学年第一学期高三10月阶段性考试
理科数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|4－x 2>0}，B ＝{x|0 R B)＝ A.(－2，1) B.(－2，1] C.[1，2) D.(－∞，－2)∪(3，＋∞) 2.已知z 是复数z ＝ 1i i +的共轭复数，则z ·z ＝ A.－2 B.0 C.1 D.2 3.“x<2”是“lg(x －1)<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知α是第二象限角，1＋2sin2α＝cos2α，则cos α＝ A.－ 55 B.55 C.－55 D.5 5 5.已知函数f(x)＝ ln x x e 的极值点为x ＝x 0，则x 0所在的区间为 A.(0，12) B.(1 2 ，1) C.(1，2) D.(2，e) 6.已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且a 与b 的夹角为变，则向量a －b 与b 的夹角为 A. 6π B.3 π C.23π D.56π 7.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x －4)，且当0≤x ≤3时，f(x)＝2－ x ，则f(2020)＝ A. 14 B.4 C.1 16 D.16 8.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝Wlog 2(1＋ S N )。它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平 均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比。当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计。按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升 至8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.3010) A.10% B.30% C.60% D.90% 9.四棱锥P －ABCD 的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为32的正方形，若四棱锥P －ABCD 体积的最大值为54，则球O 的表面积为 A.36π B.64π C.100π D.144π 10.已知函数f(x)＝log 3 22x x -+＋b ，若f(a)＝1，f(－a)＝3，则log b a ＝ A.－1 B.0 C.1 D.2 11.函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|< 2 π )的部分图像如图所示，则下列结论正确的是 A.x ＝－ 3 π 是f(x)图像的一条对称轴 B.f(x)图像的对称中心为(2kπ＋23π ，0)，k ∈Z C.f(x)≥1的解集为[4kπ，4kπ＋43π ]，k ∈Z D.f(x)的单调递减区间为[2kπ＋23π，2kπ＋83 π ]，k ∈Z 12.已知函数f(x)＝ln(e 2x ＋1)－x ，则不等式f(x ＋2)>f(2x －3)的解集为 A.( 13，5) B.(－5，－1 3 ) C.(－∞，13)∪(5，＋∞) D.(－∞，－5)∪(－1 3 ，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.函数f(x)＝xsinx ＋cosx(0≤x ≤2π)的最大值为 。 14.若(x3－ 1 x x )n的展开式中第7项为常数项，则常数项为(用数字填写答案) 15.为美化环境，某小区计划将一片扇形区域改造为一个绿化区兼休闲娱乐区，如图所示，该扇形区域的圆心角为120°，OA＝10m，在OA上选一点M，在弧AB上选一点N，使得MN//OB，计划在点O处建休闲区，在点N处建健身区，并修建小路OM，MN，则|OM|＋|MN|的最大值为m。 16.已知函数f(x)＝ x 2 e1x0 ax2x x0 ?-≥ ? ? +< ?? ， ， ，若f(x)≥ax－1恒成立，则a的取值范围是。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分) 已知公差d≠0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝25，a2是a1与a5的等比中项。 (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n＝ n n1 1 a a + ? ，求数列{b n}的前n项和T n。 18.(12分) 为了调查糖尿病是否与不爱运动有关，在某地300名40岁以上的人中进行抽样调查，结果如下： (1)根据以上数据判断是否有97.5%的把握认为“40岁以上的人患糖尿病与不爱运动有关”； (2)从调查的患糖尿病的人中任意抽取2人作进一步了解，求抽取的爱运动人数X的分布列与数学期望。 参考公式： 2 2 () ()()()() n ad bc K a b c d a c b d - = ++++ ，其中n＝a＋b＋c＋d。 参考数据： 19.(12分) 如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为等腰梯形，CD＝2AB＝4，AD＝BC＝10，PA＝32。 (1)证明：平面PBD⊥平面PAC； (2)求二面角B－PC－D的大小。 20.(12分) 已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过F且斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点。 (1)设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2＝k； (2)过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线交于点C，若△ABC的面积为2，求k的值。 21.(12分) 已知函数f(x)＝ lnx ax1 + ，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝ 1 2 x＋b。 (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)>21 x e x -。 (二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C 1：ρ＝4sin(θ＋3 π)，M 是C 1上的动点，点N 在射线OM 上且满足2ON ＝OM ，设点N 的轨迹为C 2。 (1)写出曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程； (2)已知直线l 的参数方程为3cos 1sin 4 x t y t ???=+????=+??(t 为参数，0≤φ<π)，曲线C 2截直线l 所得线段的中点坐标为( 31 ,44 )，求φ的值。 23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f(x)＝|x ＋3|－|x －1|。 (1)在坐标系中画出函数y ＝f(x)的图像，并写出f(x)的值域； (2)若f(x)≤|x ＋a|恒成立，求a 的取值范围。
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