湘潭县一中、浏阳市一中、宁乡县一中高10月联考
数学（文科）
时豐0分钟僚150分
、选择题（趣共 10道小题，每小题 一项是符合题目要求的）
D ?-1
5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，W 1. i 为虚数单位，则数 i （1 -i ）?的虚部为
A.
2. 已知 A={.1,0,1,2,3},B={x|log
( )
B 的元素个数为
3. 4. 5.
A. 已知 A.
如图, 率是
B. 5
C.
D. 2
cvO,下列不等式中成立的一个是
>
曙2的正方形内有一内切圆.
+ 2kTT (keZ)是"cos 2 a =
6 在图形上随机撒一粒黄豆， 则黄豆落到
4
1 2
”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 若函数 y+ X 处的导数值与函数值互为相馥, o 则 X 的值为
A. 5
B. 3
C. 4
1
C. + =乞
的左右焦点分别F^Fz 过的直嗚椭圆相於、B 两点，则
1
7 ?椭圆
I AF 2| | BF 2|的最大值为
2
&已知 (0,
)
f (x) 1 2sin x 的最小值为b,若函数 x
,且函数
sin 2x 2
D.不存在
V V
若函sgtx)~ f (x) kx k 恰有4个零点，则实数k 的取值范是(
11
?命题△“ xo R,2X
0"的否定是
4
g(x) = i 6bx 4
9.如图，已知圆
的内接正方形, (0
,则不等式g(x) <1的解集为()
2
(y 6)
2 M :(x 6)
M )
)
E 、
F 分别为边AB,
绕圆乜严转計,
M^_OF 的学值范围是()A
C .
4 2,4 2 D . 12,12
4,四边形 AD 的中点,
10.
时，
定义在R 上的函数f (x),其周期为4,且当x 1,3
一
亠
f(x) 1 x
x €
(1,1
1
9
1 |x
2| X 1,3
A ?( Q2 1)
V
—
—kj
4 5
2 1
6 1
C ?(
)( ,) 4 5
12 3
3 €
<
6 1
B. L 一，3
12 3
1 1
1
1
D ?(,)<
?)
5 3
3
5
5小题，每小题 5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上)
12.若函数y=x+" ----------------------
ZX 在(0, a)上为单调减函数，则实数 a 的取值范围是
?
+ + + =
13?在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若a 2 , b 2, sinB cosB 2 ,
则角A 的大小为 = +
>
m,n 为横、簸坐标的点 A(m,n )表示的平面区域 D.若函数y log (x 4)(a ―巧 a 的图像上
存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为
15?已知函数f(x) In x mx 1,其中m R,
g(x ) x
8
0在f (x)的定义域内恒成立，贝I ］实数 m 的取值范围
2 mx m n 14.已知关于X 的方程=
_ + 0
x
的两根分别焉需圆禾J 双盂线席离心率?记分别以
大值为
三、解答题：(本大题共6小题，共75分?解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 )
(3)求异面直线 人。与BC 所成角的余弦值.
16. (本小题满分12分)
3
已知函数
f x
◎()
0)的最小正周期为
sin 2
sin
7T
(1) 求励值友函数f(x)的单调递增区间; (2)当
x
[0,]
时，求函数f(x)的取值范围.
2 17. (本小题满分 如下图所示, 点.
12分)
在直三棱柱 ABC-ABG 中，AC= 3, (1) 求证：AC 丄BCi ；
求证：AC 1 ||平面CDB 1；
经过实验分析得知：+
kt 400, 20 t 40
(1) 求出k 的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？ (2)
一道数学难题，需要讲解 24分钟，并且要求学生的注意力至少达到 185,那么经过 适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完
这道题目？
18, (本小题满分12分)
经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣 激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散
f
I +
+
f
表示学生注意力随时间
(t)
=
1
t (分钟)
< S
<
刊变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，
t
2 26
t
80, 0 10
f (t)
240,
10 t
20
取值范围.
■ )-> 一
20.(本力褪满分分)
19.(本小题满分13分)
设函数f 数列｛a 』满足
1
2.
(x) 3 x
1, a n
(1)求数列fa ｝
的通项公式亍 n
(2)对 n N
aa
1 2
1
，若
a a
n n 1
S n
:恒成立’求实数t 的
在平面直角坐标系中,
*
O 为坐标原点，点 F, T, OF (0,1), OT (t, 1)
FR RT, SR FT,ST//OF
21.(本小题满分13分)
T
已知函数f (x) Inx^ g (x ) fg _ex]>E ，扁数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线 平行于x 轴. 一
(1)确定a 与b 的关系； (2)试讨论函数g(x)的单调性；
*
n
i 1 n N ,都有 In 1 n
2
i 1
i
(3) 证明：对任意
成立。
(1)当t 变化时, 求点 X S 的轨迹方程G
(2)过动点T (t 0)
并求岀这个定值；
(3)在(2)的条件下,
请说明理由?
+ +
O
一、 握 DDCAA CABDC 二、 填空题：
X ? yx e R,2X
>0
< <
12. ￡―a__2- 13.30
? ?
14.
(1, 3)
15
.m 1
；?2
三、解答题：（本大题離小题，菇分?解答应写出文字说明，演算步骤逋明程）
(本小题瀟12分)
『
- 3
----------------------------
3
-- ---------------- + —
3 1 cos x 1
sin x
?? i 分
+2
o
1
3
sin 4分2
1
cos x 召in （ x
2
n 因为f （x ）最小正周期为
，所以
n
2.
n n
7T — — S + — 于是
()sin(2 f x
x
...... 5分
n 7t
7T -----S S 7C + —
2k
所以口幻更单调爛團上这
］， （2）因为 ［i
x
,k
3 7 T ，
］，
Z ......... 7分
16,
解:
则 sin(2
17.（本小题瀰12分）
（1）证明：在直三棱fflC-A^G 中，底面三边杠=3, BC=4, /.AC 丄 BC.
又V GG L AC. /.AC 丄平面 BCCiB ?
vBCi?平面 BCCiB, ..AC 丄BCi.
⑵证明：蹈1与GB 的导为巳连翻E, 又四边形BCGB 另正方就
???D 是AB 的中点，E 是BCi 的中点，??? DE||ACi. vDE?平面 CDBo AG?平面 CDBi, /.ACJI 平面 CDB“ L L L L 8 分
(3)解：J DE||AG,
???N CED 为AC I 与BC 所成的角.
1 5 在^CED 中，ED= ACi = 2
2
所以f （x ）在［0,］上的取值范鹅［
2
1
,1 2 ].
分
(12)
19 .
解: CD :
=AB
???异面
直线
2 < 也彳旦
CBi = 2 2, /.cosz CED c
□ □ 也2
5
ACi与BC所成角的余弦值为
12夯)
（本小题满分
解、（）1当t 20时,
5 ]
(f 0- 240, 则有：240 20k 400,
当严[
€
?-当
t
(f
p,10 ]
时,
10,20
圧- &
2
t)= t
=_ €6
(f
+
（f
+
讲课开始10分钟后，
2
t 26t
20,40 时,
t) ,
240
+ =
t) 8t
(2)由f(t)
t 是单调递增的，且
80
400是单调递减的，且
学生的注意力最集中,
80 185可得t
1
可得
185
能持续
240
f(20) 240,
10分钟；
由（）
f t
即从讲课后5
则学吿的港才最低保持虫遁的|寸间?为
t 26.875 '
8t 400
分钟到26.875分钟这段时间内学生的注意力不低于
_ \ -） -
所以不能在所需状态下讲解完这道题目
*
（本小题满分13分）
= -----+----- + ----- +?
+ +
= -------- 1 + = ---------------
(1)由a 十可得為a n
??? ?扌= --------------
a
—=rM --------
+ +
2n
(2) Sn a n
185,
,n N ,n
a
i
2n
n
26.875 5 21.875 25
L L 分
12
2?易知｛a n｝为等差
数列.
,n N
+
a-a
—
2旷
(2n 2n 3
3
1)( 2
n
9
S n
an an 1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
91 1 3n
232n 32n 3
,nN (91)
S n
3t
4n
3n 3t
2n 3 4n
2
4n
恒成立，n N
2n 3
= _4n_ e * 令 g(n)
+ n N 2n 3
一 + — 2 _______________
一 _
~4n
￡ 9 ~
g(Q ) +
> e 2n *3
2n 3
2n p 2n 玄p+5,p N
9
g(p) p
p 4
2n 3
+ + ----------
3
6,
2n 3
显然g （p ）在
<_
-T
g(P)
min
）递增
4亠- 所以实数t 的取值范围是 5
4 (]?
5 13*
20.（本小题满分13分）
uur uur
解： （1）由已知条件有 |ST| |SF|
，则点s 的轨迹是以HO , 线 + = —
1）为焦点，y 1为准
的抛物线，且］p 主所仪曲线
G x 2
=4y
* L L （2）设过点T 且与抛物线相切的切线方程为
y 1 k(x
t)
y 1 k(x t) 联立方程 2
?
x 4y
4 kx 4
kt
?Q 直线与抛物线
相切,
v=
o
1 tk
k AT ,k 是方程 TB ）的两个根,
k
TA
k = 1
TB
(3)设(,),( Ax y B x + △ A = B 即 x x 2y 2y 0
A A
+ — = y 则切线TA 方程为 B
同理，切线TB 方程为xx 2y 2y 0 一 B + = B 又TA,TB 都过点T （t, -1 ），则: A A x t 2 2y 0 B B
直线AB的方程为tx 2y 2 0 ,则其过定点（0」）?L L 13分
21.（本小题满分13分）
解：⑴依题意得 g (x )=|nx+af+bx,则 g ，(x)J+2ax+b X
由函数g(x)的图象在点(1,g ⑴)处的切线平行于x 轴得：g *(1) 1 2a
2a 1
(2)由(1)
得 g'(x )= zW ―(2a 1)x 1 =(2a
x_1
)(x_1
)
x x
+oc
g(x)的定义域为(0,
<
.??当a 0 时,2ax 1
???
函数
<
0 在(0, 由 g'(x) o 得o x
即函数g(x)在(0,1) 0 时，令 g'(x) *1或
即函数 即函数
)上恒成立,
< 1,由
g'(x)
上单调递增，在 0 得x 1,
(1,)单调递减;
>_
1 2a
g(x)在(0, 1 )
, (1,
—> 2a < ( 1 2a ' \ a 时， 丽得吹: 1或 2 )上单调递增，在 > < 1 2a ,由 g'(x) 2a 0得 x1, >_ 即函数g(x)在(0, 综上得：当a 当a 增, 1 2a 2a 1 2a 1-()1 )上单调递增, >一单调谨减;v 5 2a a 时，由 2(x) 0得 2 -Ho 1 2a 或 0 x 1, 由 g '(X ) o 得 1 1x 2a 单调递减； ) ---- —6 2 2a 分 1 a 时，在(0,) 上恒有g'(x) 0, ——2 +x 0时，忌数g(x)在(0,1)调族，在(1, 丁章调递减 ; + _ = _ _ _ 1 、、、，、、.一 时，函数g(x)在(0,4)单调递增，(1,2a )单调递减；在 >^1 a 在 2 1 时，函数9仪)在(0,)上单调递 2a
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