2017届高三娄底市五校10月份联考
数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。时量120分钟。满分150分。
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的。
1、已知全集U=R ，M={x|x ≤1}，P={x|x ≥2}，则?U （M∪P）=（ ）。 A ．{x|1＜x ＜2} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ≤2} D ．{x|x ≤1或x ≥2}
2、若Z=﹣i ，则|Z|=（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．2
3、已知,a b 是平面向量,如果()()
6,3,22a b a b a b =
=+⊥-,那么a 与b 的数量积等于（ ）。
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．32
4、在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A ． 12日
B ．16日
C ． 8日
D ．9日 5、已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）。 A.
11
0x y ->
B.sin sin 0x y ->
C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +> 6、数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +（n ∈N *），则a 10=（ ）。 A ．
B ．
C ．
D ．4
7、函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）。
A ．()sin f x x x =+
B ．()cos f x x x =
C ．
cos ()x
f x x =
D ．3()()()
22f x x x x ππ
=--
8、若3
cos(
)45
π
α-=，则sin 2α=（ ）。 A ．
725 B ．15 C ．15- D ．725
- 9、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式4
1x x ?
?+ ???
展开式的常数项，则37a a ?=（ ）。
A ． 6
B ． 18
C ．24
D ．36
10、、已知函数f （x ）=3cos （﹣ωx）（ω＞0），函数f （x ）相邻两个零点之间的绝对值为
，
则下列为函数f （x ）的单调递减区间的是（ ）。 A ．[0，
] B ．[
，π] C ．[
，
]
D ．[
，
]
11、若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞) B.??????1，32 C ．[1，2) D.????
??
32，2
12、已知函数f(x)=2mx 3?3nx 2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则ln 2m+ln 2n 的最小值为（ ）。 A 、
B 、
C 、
1
9
D 、 第 Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号上。 13、曲线()2
3f x x x
=
+在点()()1,1f 处的切线方程为 。 14、执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为 。
15、如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分中 的概率为 ．
16、我们把形如a
x b
y -=
||（0,0>>b a ）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为 “囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（本小题满分12分）设()2
sin cos cos 4f x x x x π?
?
=-+
??
?
. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ??
== ???
,求ABC ?面积。
18、（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式.
（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
19、（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD=，对
角线AC 与BD 相交于O ，OF ⊥平面ABCD ，BC=CE=DE=2EF=2． （Ⅰ） 求证：EF ∥BC ；
（Ⅱ）求面AOF 与平面BCEF 所成锐二面角的正弦值．
20、（本小题满分12分）如图，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点为F （0，1），取垂直于y 轴的直线与抛物线交于不同的两点P 1，P 2，过P 1，P 2作圆心为Q 的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P 1Q ⊥P 2Q ．
（1）求抛物线C 和圆Q 的方程； （2）过点F 作倾斜角为θ（
≤θ≤
）的直线l ，且直线l 与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，
B ，N ，求|MN||AB|的最小值．
21、（本小题满分12分）已知函数g （x ）=+lnx 在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），
f （x ）=mx ﹣﹣lnx （m ∈R ）．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）=，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22、（本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C的参数方程为（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．
23、（本小题满分12分）选修4—5：不等式选讲
关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；
（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？
2017届高三娄底市五校10月份联考试题
数 学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的。
1、已知全集U=R ，M={x|x ≤1}，P={x|x ≥2}，则?U （M∪P）=（ ）。 A ．{x|1＜x ＜2} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ≤2} D ．{x|x ≤1或x ≥2} 解：M={x|x ≤1}，P={x|x ≥2}，∴M∪P={x|x ≤1或x ≥2}，?U （M∪P）={x|1＜x ＜2}， 故选：A ．
2、若Z=﹣i ，则|Z|=（ ）。
A ．
B ．
C ．
D ．2
解：Z=+i=
+i=﹣i ，∴|Z|=
=
，
故选：B ．
3、已知,a b 是平面向量,如果()()
6,3,22a b a b a b =
=+⊥-,那么a 与b 的数量积等于（ ）。
A ．2-
B ．1-
C ．2
D ．32解：由题设可得0)2)(2(=-+b a b a ,即02322
2=-?+,也即63-=?,故2-=? 故选：A ．
4、在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）
A ． 12日
B ．16日
C ． 8日
D ．9日 解：D
5、已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）。
A.11
0x y ->
B.sin sin 0x y ->
C.11()()022x y -<
D.ln ln 0x y +>
6、数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +（n ∈N *），则a 10=（ ）。 A ．
B ．
C ．
D ．4
选：C ．
7、函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）。
A ．()sin f x x x =+
B ．()cos f x x x =
C ．
cos ()x
f x x =
D ．
3()()()2
2f x x x x π
π=-
-
解：由题意得，函数()f x 是奇函数，淘汰D ，函数()f x 图象过原点，淘汰C ，过,02π??
???
，淘汰A ，故选B. 8、若3
cos(
)45
π
α-=，则sin 2α=（ ）。 A ．725 B ．15 C ．15- D ．725
-
9、已知等比数列{}n a 的第5项是二项式4
1x x ?
?+ ??
?展开式的常数项，则37a a ?=（ ）。
A ． 6
B ． 18
C ．24
D ．36
解：612
2
2412=??
? ??=+x x C T ，65=∴a ，365573=?=?∴a a a a ，故答案为D.
10、、已知函数f （x ）=3cos （﹣ωx）（ω＞0），函数f （x ）相邻两个零点之间的绝对值为，
则下列为函数f （x ）的单调递减区间的是（ ）。 A ．[0，
]
B ．[
，π] C ．[
，
]
D ．[
，
] 解：由函数f （x ）=3cos （﹣ωx）（ω＞0），函数f （x ）相邻两个零点之间的绝对值为
，
可得
?
=
，∴ω=2，函数f （x ）=3cos （
﹣2x ）=3cos （2x ﹣
）．令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+
，可得函数的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．结合所
给的选项，故选：C ．
11、若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A ．[1，＋∞) B.??????1，32 C ．[1，2) D.????
??
32，2
【答案】 B f ′(x )＝4x －1x ＝（2x ＋1）（2x －1）
x
(x >0)，
令f ′(x )＝0，得x ＝12.又函数f (x )在区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，故1
2
∈(k －1，k ＋1)且k
－1≥0，解得k ∈????
??
1，32，故选B.
12、已知函数f(x)=2mx 3?3nx 2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则ln 2m+ln 2n 的最小值为（ ）。
A 、
B 、
C 、
1
9
D 、 解：2()666()n f x mx nx mx x m '=-=-,由()0f x '=得，0x =，n
x m
=，即函数的两个极值点为
0x =，n
x m
=，又因为(0)100f =>，函数有两个不同的零点，所以
3
2
32()2310100n n n n f m n n m m m ????=?-?+=-+= ? ?????
，即()1
23
10n m =，