绝密★启用前
数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分 得分
注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.全集，
，
，则图中阴影部分表示的集合是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55
B ．80
C ．90
D ．110
3．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“?x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B ．a ≤4 C ．a ≥5 D ．a ≤5
4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()3
2
a f -=，()3m
b f =，
()0.5log 3c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
6. 函数π()sin()(0)4
f x A x ωω=+
>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π
3的等差
数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移4π个单位
B ．向左平移π
12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34
π个单位
7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000，2小时后，细胞总数约为12×3
2×
10000＋12×32×10000×2＝9
4×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为( ) (参考数据：
lg3≈0.477，lg2≈0.301)
A ．38小时
B ．39小时
C ．40小时
D ．41小时
8. 若1a >，设函数()4x
f x a x =+- 的零点为(),lo
g 4a m g x x x =+-的零点为n ，则
11
m n
+的取值范围是( ) A ．7,2??+∞
???
B ．9,2??
+∞
???
C ．()4,+∞
D ． [
)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论： A ．三棱锥1A D PC -的体积不变 B ．1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变 C. 1DP BC ⊥ D ．1DB ⊥1P A
其中正确的结论有( )
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双
曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A ．122PF PF a -=
B ．直线12,PA
PA 的斜率之积等于定值2
2b a
C ．使12PF F ?为等腰三角形的点P 有且仅有4个
D ．焦点到渐近线的距离等于b
11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =?，4b =，下列判断：
A ．若3c =
，则角C 有两解； B ．若9
2
a =
，则角C 有两解； C ．ABC 为等边三角形时周长最大. D ．ABC 为等边三角形时面积最小
其中判断正确的是（ ）
12. 已知函数()ln f x x =，32()2e ()g x x x kx k R =-+∈，
若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______
A ．2
1e e
k =+
B ．曲线()y g x =在点(e,(e))g 处的切线与直线e 10x y -+=平行
C ．函数2()2e y g x x =+在[0,e]上的最大值为22e 1+
D ．函数2
()e e
x y g x x =-
-在 [0,1]上单调递增。 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. ()()4
2x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________ 14.函数()2ln 1x f x a x ??
=+
?+??
为奇函数，则实数___________a = 15.ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若函数()()
3
2
2
2
1
3
f x x bx a c ac x =+++-1+有极值点，则
角B 的范围是____________________
16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：
()[]1
,(,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ?=?=??=?
当都是正整数是既约真分数)当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ?
???
-= ? ?????
_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；
① 数列(){}
n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；
② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；
③ 数列(){}n
f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当2k =时，设1
2
241
+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 已知函数π()cos()(0,0,0)2f x A x A ω?ω?=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为2π
3
，且
最小值为－1.
（1）求函数()f x 的解析式.
（2）若()f x 在区间π[,]6
m 上的取值范围是3
[1,]--，求m 的取值范围.
19. 如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ?和VAC ?均是等腰直角三角形，
AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.
（Ⅰ）求证：AB VC ⊥；
（Ⅱ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.
20. 在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点????52，3
2，离心率为255.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过点K (2,0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x ＝a 2
c 的垂线，其中c 为椭
圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，
（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列（只需列式无需计算）及期望E ξ．
22. 已知函数()
()
2
x
x ax a f x e
+-=
，其中a R ∈.
（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程；
（2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0.
答案
选择题：
填空题：
13. 14 14. 1- 15. (,)3
π
π 16.
15
解答题 17. （10分）
（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：
由题意()4(1)222n f a n n =+-?=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22
n n a k
+=，且4
10a k =≠，2(1)2
2122n n n n a k k a k
++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，
∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分
（2）由（1）知2n 2n k a +=
，所以当k =
1
2n n a +=.
………5分
因为1
2
241
+=-n n n a b n ， 所以2141
n b n =
-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ??
=
=- ?-+-+??
， ………7分
12111111...1...23352121n n T b b b n n ??=+++=-+-++- ?
-+??11122121
n
n n ??=-= ?++??. ………10分
18. （12分）
（1）由函数的最小值为－1，可得A=1， ………2分
因为最小正周期为
23
π
，所以ω=3. ………4分 可得()cos(3)f x x ?=+，
又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2?=，而02π?<<，所以3
π?=， 故()cos(3)3
f x x π
=+. ………6分
（2）由[
,]6
x m π
∈，可知
533633
x m πππ≤+≤+，
因为5()cos
662f π
π==-，且cos π=－1
，7cos 62
π=-
， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918
m ππ
≤≤，
即25[
,]918
m ππ
∈. ………12分
19. （12分）
（Ⅰ）在等腰直角三角形VAC ?中，AC CV =，所以VC AC ⊥. ………2分
因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC 平面ABC AC =， VC ?平面VAC ，
所以VC ⊥平面ABC . ………4分
又因为AB
平面ABC ，所以AB VC ⊥； ………5分
（Ⅱ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ， 由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ，
因为CH ?平面ABC ，所以VC CH ⊥. ………6分 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.
则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ?? ???
.
()1,1,2VB =-，()1,0,1CM =，11,,122CN ??
= ???
. ………7分
设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，
则00n CM n CN ??=??=?，即011
02
2x z x y z +=??
?++=??. 令1x =则1y =，1z =-，所以1,1,1n
. ………10分
直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22
sin cos ,3
n VB n VB n VB
θ?==
=?. 所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为
22
. ………12分
20. （12分）
(1)由题意得?????
a 2＝
b 2＋
c 2，
54a 2
＋34b
2
＝1，
c a ＝255
?????
?
a ＝5，
b ＝1，
c ＝2，
所以椭圆C 的标准方程为x 25
＋y 2
＝1. ………4分
(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝5
2
，
AB 1与A 1B 的交点是????
94，0. ………5分 ②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，
由?????
y ＝k （x －2），x 2＋5y 2
＝5
?(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2， ………6分
A 1????52，y 1，
B 1???
?5
2，y 2，
所以lAB 1：y ＝
y 2－y 152－x 1????x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52
????
x －52＋y 1， ………7分 联立解得x ＝x 1x 2－254
x 1＋x 2－5＝20k 2
－51＋5k 2－25
420k 21＋5k
2－5＝－45（1＋k 2）－20（1＋k 2
)＝94， ………9分
代入上式可得 y ＝
k （x 2－x 1）－10＋4x 1＋y 2＝－9k （x 1＋x 2）＋4kx 1x 2＋20k
4x 1－10
＝－9k ·20k 2
1＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2
＋20k
4x 1－10
＝0. ………11分
综上，直线AB 1与A 1B 过定点????
94，0. ………12分
21. （12分）
（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为
()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立， ………2分
3221322132115
()()()43324332433212
P ABCD P ABCD P ABCD ++=
???+???+???=. ……5分 (2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==，
22357(2)()()1212P C ξ==, 33
35(3)()12
P C ξ==
因此，ξ的分布列如下：
………9分
因为ξ～53,12B ??
??? ………10分 所以55
3.124
E ξ=?
= ………12分
22. （12分）
（1）()()()()2222'x x
x a x a x a x f x e e
---+-+-==， ………2分 当0a =时，()1'1f e =
，()1
1f e
=， ………3分 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1
y x e
=； ………4分
（2）证明：令()'0f x =，解得2x =或x a =-， ………5分
①当2a =-时，()'0f x ≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减，
∴函数()f x 无极值； ………6分 ②当2a >-时，令()'0f x >，解得2a x -<<，令()'0f x <，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()24
20a f x f e
+==
>极大值； ………9分 ③当2a <-时，令()'0f x >，解得2x a <<-，令()'0f x <，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0a a
f x f a e
-=-=
>极大值， 综上，函数()f x 的极大值恒大于0. ………12分