第十五章 分 式
15．1 分 式
15．1.1 从分数到分式
1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件．
一、自学指导
自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟)
总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式，分式A
B 中，A 叫做分子，B 叫做分母．
点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．
自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟)
总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A
B
＝0.
点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)
课本P128－129页练习题1，2，3.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式
3x
2x －1无意义？(4)分式12x
|x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3
的值为0?
解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x
2x 2＋3
有意
义，则分母2x 2＋3≠0，即x 取任意实数；(3)要使分式
3x
2x －1
无意义，则分母2x －1＝0，即x ＝12；(4)要使分式12x
|x|－3无意义，则分母|x|－3＝0，即x ＝±3；(5)要使分式|x|－22x ＋4
的值
为0，则有⎩⎪⎨⎪⎧|x|－2＝02x ＋4≠0，即x ＝2；(6)要使分式x 2－9x －3的值为0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2
－9＝0
x －3≠0
，即x ＝－
3.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．当a ＝－1时，分式a 2＋a
a 2－a
＝0．
2．当x 为任何实数时，下列分式一定有意义的是(C ) A .x 2＋1x 2 B .x －1x 2－1 C .x ＋1x 2＋1 D .x －1x ＋1
3．若分式x －2
x 2－1
的值为0，则x 的值为(D )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．2
4．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
1a ，x －1，3m ，b 3，c
a －
b ，a ＋62b ，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15，m ＋n m －n
. 解：整式有x －1，b 3，34(x ＋y)，x 2＋2x ＋15；分式有1a ，3m ，c
a －
b ，a ＋62b ，m ＋n m －n
.
(3分钟)1.分式的值为0的前提条件是此分式有意义．
2．分式的分数线相当于除号，也具有括号的作用．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．1.2 分式的基本性质
1．掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义；
2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤．
重点：知道约分、通分的依据和作用，掌握分式约分、通分的方法； 难点：掌握分式约分、通分的方法，理解分式的变号法则．
一、自学指导 自学1：自学课本P129－130页“思考与例2”，掌握分式的基本性质，完成填空．(3分钟)
总结归纳：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0)的整式，分式的值不变．用式子表示为：A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C
B÷C (C ≠0)．
自学2：自学课本P130－131页“思考与例3”，掌握分式约分的方法，能准确找出分子、分母的公因式，理解最简分式的概念．(3分钟)
总结归纳：根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母的公因式约去，叫做约分．分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．分式的约分，一般要约去分子与分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．
自学3：自学课本P131－132页“思考与例4”，掌握分式通分的方法，学会找最简公分母．(3分钟)
总结归纳：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
找最简公分母的方法：①若分母是多项式的先分解因式；②取各分式的分母中系数的最小公倍数；③各分式的分母中所有字母或因式都要取到；④相同字母(或因式)的幂取指数最大的．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)x 2＋xy x 2＝x ＋y x
；
(2)y ＋1y －1＝y 2＋2xy ＋1y －1
(y ≠－1)． 点拨精讲：对于(1)，由已知分式可以知道x ≠0，因此可以用x 去除分式的分子、分母，因而并不特别需要强调x ≠0这个条件，而(2)是在已知分式的分子、分母都乘以y ＋1得到的，是在条件y ＋1≠0下才能进行，这个条件必须强调．
解：(1)根据分式的基本性质，分子、分母同时除以x ；
(2)∵y ≠－1，∴y ＋1≠0，∴根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以y ＋1.
2．课本P132页练习题1，2.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 探究1 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母各项系数都化为整数． (1)12x ＋23y 12x －23y
； (2)0.3a ＋0.5b 0.2a －b
.
解：(1)12x ＋23y 12x －23y ＝（12x ＋23y ）×6（12x －23y ）×6＝3x ＋4y
3x －4y
； (2)0.3a ＋0.5b 0.2a －b ＝（0.3a ＋0.5b ）×10（0.2a －b ）×10＝3a ＋5b 2a －10b
.
探究2 不改变分式的值，使下面分式的分子、分母都不含“－”号．(1)－5y －x 2；(2)－a 2b ；(3)4m －3n
；(4)－－x 2y . 解：(1)－5y －x 2＝5y x 2；(2)－a 2b ＝－a 2b ；(3)4m －3n
＝－4m
3n ；(4)－－x 2y ＝x 2y . 点拨精讲：分式的分子、分母以及分式本身三个符号，改变其中任何两个符号，分式的值不变．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．课本P133页习题4，6，7. 2．课本P134页习题
12.
(3分钟)1.分式的约分：分子、分母都是多项式的先分解因式，便于找
公因式，分式化简的结果一定要是最简分式．且一般分子、分母中不含“－”．
2．分式的通分关键是找准最简公分母，若分母是多项式的先分解因式，便于找最简公分母．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟
) (10分钟)
15．2 分式的运算
15．2.1 分式的乘除(1)
1．通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行分式的乘除法运算． 2．引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力．
重点：分式的乘除法运算．
难点：分式的乘除法、混合运算中符号的确定．
一、自学指导
自学1：自学课本P135－137页“问题1，思考，例1，例2及例3”，掌握分式乘除法法则．(7分钟)
类比分数的乘除法法则，计算下面各题：
(1)4ac 3b ·9b 22ac 3；(2)4ac 3b ÷9b 22ac 3.
解：(1)原式＝4ac·9b 23b ·2ac 3＝36ab 2c 6abc 3＝6b c 2； (2)原式＝4ac 3b ·2ac 39b 2＝8a 2c 427b 3.
点拨精讲：计算的结果能约分的要约分，结果应为最简分式．
总结归纳：分式的乘法法则——分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．即：a b ·c d ＝a·c b·d .
分式的除法法则——分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．即：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝ad bc .
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)
课本P137－138练习题1，2，3.
点拨精讲：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算：(1)x ＋12x ·4x 2
x 2－1；
(2)8x 2x 2＋2x ＋1÷6x x ＋1
. 解：(1)x ＋12x ·4x 2x 2－1＝x ＋12x ·4x 2（x ＋1）（x －1）＝2x
x －1；
(2)8x 2
x 2＋2x ＋1÷6x
x ＋1＝8x 2
（x ＋1）2·x ＋16x ＝4x
3x ＋3
. 点拨精讲：如果分子、分母含有多项式，应先分解因式，再按法则进行计算． 探究2 当x ＝5时，求x 2－9x 2＋6x ＋9÷1x ＋3
的值．
解：∵x 2－9
x 2＋6x ＋9÷1
x ＋3＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）
2·x ＋3
1＝x －3，∴当x ＝5时，原式＝x －3＝5－3＝2.
点拨精讲：先对分式的结果化简，可以使计算变得简便．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．计算：(1)3xy 24z 2·(－8z 2y )；(2)－3xy÷2y 2
3x ；(3)m －2m －3÷m 2－6m ＋9m 2－4；(4)a 2－6a ＋91＋4a ＋4a 2÷12－4a 2a ＋1.
2．有这样一道题“计算：x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1
x 2＋x
－x 的值，其中x ＝998”，甲同学错把x
＝998抄成了x ＝999，但他的计算结果却是正确的，请问这是怎么回事？
解：∵x 2－2x ＋1x 2－1÷x －1x 2＋x －x ＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）·x （x ＋1）x －1－x ＝x －x ＝0，∴无论x
取何值，此式的值恒等于0.
(3分钟)1.分式乘除法的法则可类比分数的乘除法则进行．
2．当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性
质进行约分．
3．分式乘除法运算的最后结果能约分的要约分，一定要是一个最简分式．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．2.1 分式的乘除(2)
1．使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上，运用法则进行分式的乘除法混合运算．
2．使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算．
重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方． 难点：对乘方运算性质的理解和运用．
一、自学指导
自学1：自学课本P138－139页“例4、思考与例5”，掌握分式乘方法则及乘除、乘方混和运算的方法，完成填空．(7分钟)
1．a n 表示的意思是n 个a 相乘的积；a 表示底数，n 表示指数．
2．计算：(23)3＝23×23×23＝2×2×23×3×3＝2333＝8
27
．
3．由乘方的定义，类比分数乘方的方法可得到：
(a b )2＝a b ·a b ＝a·a b·b ＝a 2b 2； ……
(a b )n ＝a b ·a b ·…·a b ＝a·a·…·a b·b·…·b
,\s\up6(n 个
))_,\s\do4(n 个))_＝a n b n ． 点拨精讲：其中a 表示分式的分子，b 表示分式的分母，且b ≠0.
总结归纳：分式的乘方法则——分式乘方是把分子、分母各自乘方．即：(a b )n ＝a n b n (n 为正整数)；乘除混合运算可以统一为乘法运算；式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P139练习题1，2. 2．判断下列各式正确与否：
(1)(3－a
2)2＝9a 4；(2)(－b 2a )3＝b 6a 3；(3)(3b 2a )3＝3b 3
2a 3；
(4)(2x x ＋y )2＝4x 2
x 2＋y
2.
3．计算：(1)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x )4； (2)（x ＋1）2（1－x ）2（x 2－1）2÷（x －1）2x 2－1.
解：(1)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y
4＝－x 5
； (2)原式＝（x ＋1）2（x －1）2（x ＋1）2（x －1）2·（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1x －1.
点拨精讲：注意符号及约分．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
探究1 先化简代数式(a ＋1a －1＋1－a a 2－2a ＋1)÷1
a －1，然后选取一个使原式有意义的a 值
代入求值．
解：∵(a ＋1
a －1＋1－a
a 2－2a ＋1)÷1
a －1＝[(a ＋1
a －1＋1－a
（a －1）2)]·a －11＝a ＋1a －1
·a －1
1＋1－a （a －1）
2
·a －1
1＝a ＋1－1＝a ，当a ＝3时，原式＝3. 点拨精讲：这里a 的取值要让分式有意义，保证各分母及除式不能为0.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．x ＝1，y ＝1，求4x 2－4xy ＋y 2
2x ＋y
÷(4x 2－y 2)的值．
2．使代数式x ＋3x －3÷x ＋2
x －4
有意义的x 的值是(D )
A ．x ≠3且x ≠－2
B ．x ≠3且x ≠4
C ．x ≠3且x ≠－4
D ．x ≠3且x ≠－2且x ≠4
3．计算：(1)5a －109a 3b ·6ab
a 2－4；
(2)(－12x 4
y)2
÷(－3x 2y )3
；
(3)x －y x 2＋xy ·x 2y 2－x 4xy －x 2
； (4)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x
÷x ＋32.
(3分钟)1.分式的分子或分母带“－”的n 次方，可按分式符号法则，
变成整个分式的符号，然后再按－1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的
分式的分子分母可直接乘方．
2．注意熟练、准确运用乘方运算法则及分式乘除法法则． 3．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．2.2 分式的加减(1)
1．使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算．
2．通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式的通分，培养学生分式运算的能力．
重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法．
难点：分式的分子是多项式的做减法时注意符号，去括号法则的应用．
一、自学指导
自学1：自学课本P139－140页“问题3、问题4、思考、例6”，掌握同分母、异分母分式加减的方法，完成填空．(7分钟)
①计算：15＋25，15－25，12＋13，12－1
3.
总结归纳：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减．
a c ＋
b
c ＝a ＋b c ；a b ＋c
d ＝ad bd ＋bc bd ＝ad ＋bc bd ．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟) 1．课本P141页练习题1，2. 2．计算：(1)2x －5
x 2； (2)x 2＋xy xy －x 2－xy xy ； (3)a －2a ＋1－2a －3a ＋1； (4)a ＋1a －1－a －1a ＋1； (5)x 2x －2－4x x －2＋4x －2； (6)2m －n n －m ＋m m －n ＋n n －m
. 点拨精讲：分式加减的结果要化为最简分式．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟) 探究1 已知A x －1＋B
x ＋1＝x －3x 2－1，求A 与B 的值．
解：∵
A x －1
＋
B x ＋1
＝
A （x ＋1）（x ＋1）（x －1）
＋B （x －1）（x ＋1）（x －1）＝
A （x ＋1）＋
B （x －1）（x ＋1）（x －1）
＝
（A ＋B ）x ＋（A －B ）（x ＋1）（x －1）
，又∵
A x －1
＋
B x ＋1
＝x －3x 2－1
，∴
⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，A －B ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－1，B ＝2.
点拨精讲：先将左边相加，再与右边对比即可． 探究2 计算：11－x ＋11＋x ＋21＋x 2＋4
1＋x 4
. 解：原式＝21－x 2＋21＋x 2＋41＋x 4＝41－x 4＋41＋x 4＝81－x 8
. 点拨精讲：巧用乘法公式，逐项通分．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．计算：(1)(5a ＋3b a ＋b ＋3b －4a a ＋b －a ＋3b
a ＋
b ；
(2)12－x ＋4
x 2－4＋x －12＋x
； (3)a －b ＋2b 2
a ＋b
.
2．分式1a ＋1＋1a （a ＋1）的计算结果是1
a ．
3．先化简，再求值：a 2
a －1－a －1，其中a ＝－1.
解：(略)
(3分钟)1.异分母分式的加减法步骤：①正确地找出各分式的最简公分
母；②准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；③通分后进行同分母分式的加减运算；④公分母保持积的形式，将各分子展开；⑤将得到的结果化成最简分式(整式)．
求最简公分母概括为：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现以字母为底数的幂的因式都要取；③相同字母的幂的因式取指数最大的．这些因式的积就是最简公分母．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．2.2 分式的加减(2)
1．使学生在掌握分式的加减法法则的基础上，用法则进行分式的混合运算． 2．通过对分式混合运算的学习，提高学生的计算能力和分式的应用能力．
3．在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生乐于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”．
重点：分式的加减法混合运算． 难点：正确熟练地进行分式的运算．
一、自学指导
自学1：自学课本P141－142页，掌握分式混合运算的方法，完成填空．(5分钟) 在计算a÷b·1
b 时，小明和小丽谁的算法正确？请说明理由． 小明：a÷b·1b ＝a÷1＝a ； 小丽：a÷b·1b ＝a·1b ·1b ＝a b 2.
总结归纳：分式的混合运算与有理数的运算顺序相同，先乘方，然后乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟) 1．课本P142页练习题1，2.
2．计算：(1)(3x x －2－x x ＋2)÷x
x 2－4；
(2)12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x
－x －y)．
解：(1)原式＝(3x x －2－x
x ＋2)·x 2－4x ＝3x x －2·x 2－4x －x x ＋2·x 2
－4
x
＝3(x ＋2)－(x －2)＝3x
＋6－x ＋2＝2x ＋8；
(2)原式＝12x －1x ＋y ·[x ＋y 2x －(x ＋y)]＝12x －1x ＋y ·x ＋y 2x ＋1x ＋y ·(x ＋y)＝12x －1
2x ＋1＝1.
点拨精讲：适当运用运算律可使计算简便．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 若a ＋3b ＝0，求代数式(1－b
a ＋2
b )÷a 2＋2ab ＋b 2a 2－4b 2
的值．
解：(1－b
a ＋2
b )÷a 2＋2ab ＋b 2a 2－4b 2＝a ＋b a ＋2b ·（a ＋2b ）（a －2b ）（a ＋b ）2＝a －2b
a ＋b
，∵a ＋3b ＝0，∴a
＝－3b ，∴原式＝－3b －2b －3b ＋b ＝－5b －2b
＝5
2.
点拨精讲：这里要用到转化与整体思想．
探究2 有一道题“先化简，再求值：(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1
x 2－4，其中x ＝－5”．小强
做题时把“x ＝－5”错抄成“x ＝5”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
解：∵(x －2x ＋2＋4x x 2－4)÷1x 2－4＝(x －2x ＋2＋4x x 2－4)·x 2－41＝x －2x ＋2·x 2－41＋4x x 2－4·x 2
－4
1
＝(x －
2)2＋4x ＝x 2＋4，而∵(－x)2＝x 2，即(－5)2＝(5)2，∴小强的计算结果是正确的．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．化简(a a －2－a a ＋2
)·4－a
2
a 的结果是－4．
2．计算：(y 2x －y x 2)÷y 2x 2＝xy －1
y ． 3．计算：(1)(1－1x －2)÷3－x 2x －4；
(2)2x －6x 2－4x ＋4·（x ＋3）（x －2）12－4x
÷x ＋32. 4．先化简，再求值：x －3x －2÷(x ＋2－5x －2
)，其中x ＝－5.
(3分钟)1.分式混合运算应先算括号里面的，再算乘方，然后乘除，最
后加减．
2．能运用运算律的可以运用运算律使计算简便． 3．分式运算的最后结果一定要是最简分式或整式．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．2.3 整数指数幂(1)
1．经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展代数推理能力和有条理的表达能力．
2．了解负整数指数幂的概念，了解幂运算的法则可以推广到整数指数幂． 3．会进行简单的整数范围内的幂运算．
重点：负整数指数幂的概念．
难点：认识负整数指数幂的产生过程及幂运算法则的扩展过程．
一、自学指导
自学1：自学课本P142－143页“思考”，掌握负指数幂的意义，完成填空．(5分钟)
1．根据正整数指数幂的运算性质填空：(m ，n 是正整数)
a m ·a n ＝a m ＋
n ；(a m )n ＝a mn ；(ab)n ＝a n b n ；a 0＝1(a ≠0)；
a m ÷a n ＝a m －n
；(a ≠0，m ，n 是正整数，且m ﹥n)(a b )n ＝a n b
n ．
2．由a 2
÷a 5
＝a 2a 5＝a 2a 2·a
3＝1a 3，a 2÷a 5＝a 2－5＝a －3(a ≠0)，可推出a －3＝1
a 3．
总结归纳：一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1
a n (a ≠0)，这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．
点拨精讲：引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数，a －n (a ≠0，n 是正整数)属于分式．
自学2：自学课本P143－144页“思考、探究与例9”，掌握整数指数幂的运算性质并能灵活运用．(5分钟)
根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？
a 2·a －3＝a 2·1a ＝1a ＝a －1＝a 2＋(－3)，即a 2·a －3＝a 2＋(－
3)； a －2·a －3＝1a 2·1a 3＝1a 5＝a －5＝a －2＋(－3)，即a －2·a －3＝a －2＋(－
3)； a 0·a －3＝1·1a 3＝1a 3＝a －3＝a 0＋(－3)，即a 0·a －3＝a 0＋(－
3)； a －2÷a －3＝1a 2÷1a 3＝1a 2·a 3＝a ＝a －2－(－3)，即a －2÷a －3＝a －2－(－
3)； (a －2)3＝(1a 2)3＝1（a ）＝1
a 6＝a －6＝a －2×3，即(a －2)3＝a －2×3；
(ab －1
)3
＝(a b )3＝a 3b ＝a 3b －3
.
总结归纳：整数指数幂的运算性质可以归结为： (1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)； (2)(a m )n ＝a mn (m ，n 是整数)； (3)(ab)n ＝a n b n (m ，n 是整数)
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P145练习题1，2. 2．计算：(1)20080×(－2)－2； (2)3.6×10－3；
(3)(－4)－3×(－4)3； (4)(23)－2×(2
3)－1； (5)a 3÷a －
3×a －
6； (6)(2b －2)－3.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算：(1)(－10)2×(－10)0＋10－2×103；
(2)[－24×(4－2×20)÷(－2)－4÷26]×4÷10－
2. 解：(1)原式＝100＋10＝110；
(2)原式＝(－24×2×24÷26)×4×102＝－23×4×102＝－3200.
探究2 用小数表示下列各数：(1)10－4；(2)－10－3×(－2)；(3)2.1×10－2.
解：(1)原式＝1104＝1
10000＝0.0001； (2)原式＝－1
103×(－2)＝0.001×2＝0.002； (3)原式＝2.1×1
102＝2.1×0.01＝0.021.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．课本P147页习题7.
2．计算：(1)(－2)0＋(－12)－
2－(－2)2； (2)16÷(－2)－
1－(13)－1＋(3－1)0.
(3分钟)1.整数指数幂运算的结果，如果指数是负整数的要写成分数形
式．
2．整数指数幂的运算可以依据幂的运算性质公式直接进行幂的运算，也可以将负指数幂化成分式形式后，进行分式运算．
3．整数指数幂运算过程中要注意符号问题．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．2.3 整数指数幂(2)
1．使学生进一步掌握负指数幂的意义．
2．使学生熟练运用a －
n ＝1a n (a ≠0，n 是正整数)，将较小的数写成科学计数法的形式． 3．通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法．
重点：能灵活运用整数指数幂的运算性质计算，以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数．
难点：理解和应用整数指数幂的性质．
一、自学指导
自学1：自学课本P145页“思考与例10”，掌握用科学记数法表示一些绝对值较小的数，并能灵活运用整数指数幂的运算性质计算，完成填空．(5分钟)
∵10－1＝0.1，10－2＝0.01，10－3＝0.001，10－4＝0.0001，∴10－n ＝0.00…0n 个01． 总结归纳：(1)把一个数表示成a ×10n 的形式(其中1≤a ＜10，n 是整数)的记数方法叫做科学记数法．
(2)用科学记数法表示绝对值大于10的n 位整数时，其中10的指数是正整数，即原数的整数位数减1，a 的取值范围是1≤|a|＜10.
(3)用科学记数法表示绝对值小于1的小数时，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中10的指数是负整数，1≤|a|＜10，指数的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前面0的个数．(包括小数点前面的一个0)
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(10分钟) 1．课本P145－146练习题1，2.
2．把下列科学记数法表示的数还原： (1)7.2×10－5；(2)－1.5×10－4.
解：(1)原式＝7.2×0.00001＝0.000072；
(2)原式＝－1.5×0.0001＝－0.00015. 3．用科学记数法表示下列各数：
(1)0.0003267；(2)－0.0011；(3)－890600. 解：(1)0.0003267＝3.267×10－4； (2)－0.0011＝1.1×10－3； (3)－890690＝－8.9069×105.
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 计算(结果用科学记数法表示)： (1)(3×10－5)×(5×10－3)； (2)(－1.8×10－10)÷(9×10－5)； (3)(2×10－3)－2×(－1.6×10－6)． 解：(1)原式＝15×10－8＝1.5×10－7； (2)原式＝－0.2×10－5＝－2×10－6；
(3)原式＝(1
4×106)×(－1.6×10－6)＝－0.4＝－4×10－1.
探究2 纳米是一种长度单位，1纳米＝10－9米，一个粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示．
解：∵1纳米＝1
109米，∴35纳米＝35×10－9米．而35×10－9＝(3.5×10)×10－9＝35×101＋(－9)＝3.5×10－8，∴这个粒子的直径为3.5×10－8米．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；
(2)(2×10－3)2÷(10－
3)3.
2．一枚一角硬币的直径约为0.022 m ，用科学记数法表示为(B ) A ．2.2×10－3 m B ．2.2×10－2 m C ．22×10－3 m D ．2.2×10－1 m
3．在电子显微镜下测得一个圆球体细胞的直径是5×10－5 cm ，2×103个这样的细胞排成的细胞链的长是(B )
A ．10－2 cm
B ．10－1 cm
C ．10－3 cm
D ．10－4 cm
4．纳米是一种长度单位，1纳米＝10－9米．已知某花粉的直径为3500纳米，那么
用科学记数法表示这种花粉的直径为3.5×10－
6米．
5．用科学计数法表示下列各数： (1)－0.000 000 314＝－3.14×10－7； (2)0.000 17＝1.7×10－4；
(3)0.000 000 001＝10－9；
(4)－0.000 009 001＝9.001×10－6．
(3分钟)引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，
幂的性质仍然成立．科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足1≤|a|＜10.
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15.3 分式方程(1)
1．使学生理解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2．使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解．
3．培养学生自主探究的意识，提高学生的观察能力和分析能力．
重点：理解分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 难点：使学生知道解分式方程须验根，并掌握验根的方法．
一、自学指导
自学1：自学课本P149页“思考与归纳”，掌握分式方程的概念与解法，完成填空．(10分钟)
问题1 京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长约1500 km ，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果货车的速度为x km /h ，快速列车的速度是货车的2倍，那么：(1)货车从北京到上海需要多少时间？(2)快速列车从北京到上海需要多少时间？(3)已知从北京到上海快速列车比货车少用12 h ，你能列出一个方程吗？
解：(1)1500x ；(2)15002x ；(3)1500x －1500
2x ＝12.
问题2 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．
解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，根据题意得80x ＋3＝60
x －3
.
总结归纳：像上面问题1和问题2中，分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 问题2中的方程可以解答如下：方程两边同乘以(x ＋3)(x －3)，约去分母，得80(x －3)＝60(x ＋3)．解这个整式方程，得x ＝21．
检验：把x ＝21代入方程两边，左边＝103，右边＝10
3，∵左边＝右边，∴x ＝21是
原方程的解，所以轮船在静水中的速度为21千米/时．
总结归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．课本P150练习题．
2．判断下列各式哪个是分式方程：①x ＋y ＝5；②x ＋25＝2y －z 3；③1x ；④y
x ＋5＝0；
⑤1x ＋2x ＝5；⑥a x ＋b
y ＝1(a ，b 是常数)．
3．解分式方程：24x ＋1＝20
x
.
解：方程两边都乘以x(x ＋1)，得24x ＝20(x ＋1)，解这个一元一次方程，得x ＝5 检验：将x ＝5代入方程的两边，得左边＝4，右边＝4，∵左边＝右边，∴x ＝5是原
方程的解．
点拨精讲：解分式方程的步骤是先去分母(在分式方程的两边同乘各分式的最简公分母)，把分式方程转化为一元一次方程来解决，其步骤与检验方法与解一元一次方程基本相同．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究 m ＝n －3
2n ＋1
，试用含m 的代数式表示n.
解：两边同时乘以2n ＋1，得2mn ＋m ＝n －3，∴(2m －1)n ＝－3－m ，当2m －1≠0时，n ＝－3－m
2m －1
；当2m －1＝0时，n 无解．
点拨精讲：相当于解关于n 的分式方程，但在系数化成1时要分类．
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．下列关于x 的方程是分式方程的是(D ) A .x ＋25－3＝3＋x 6 B .x －17＋a ＝3－x
C .x a －a b ＝b a －x
b D .（x －1）2
x －1
＝1
2．解分式方程x x －2＝2＋3
x －2，去分母后的结果是(B )
A ．x ＝2＋3
B ．x ＝2(x －2)＋3
C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)
D ．x ＝3(x －2)＋2
3．已知x ＝3是方程10x ＋2＋k
x ＝1的一个根，则k ＝－3．
4．解方程：(1)1x －5＝10
x 2－10；
(2)12x －4＋12＝32－x ； (3)3x －12x －2－2x 3x －3＝12； (4)7x 2＋x ＋1x 2－x ＝6x 2－1
. 点拨精讲：得到的解要代入最简公分母进行检验．
(3分钟)1.判断分式方程的关键在于分母中是否含有未知数．
2．解分式方程的一般步骤是先通过“去分母”，将分式方程转化成整式方程，然后再解整式方程并检验．
3．如果遇到含有字母的方程，在系数化成1时要分情况讨论其解．
(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)
(10分钟)
15．3 分式方程(2)
1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．
2．使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法．
重点：理解增根的概念及产生的原因，掌握解分式方程验根的方法． 难点：理解增根的概念及产生的原因．
一、自学指导
自学1：自学课本P150页“思考”，理解增根的概念及产生的原因，掌握分式方程验根的方法，完成填空．(5分钟)
解方程1x －1＝2
x 2－1，方程两边都乘以(x ＋1)(x －1)，得到方程x ＋1＝2，解这个一元
一次方程得x ＝1．检验：当x ＝1时，分母x －1，x 2－1都为0，相应的分式没有意义，所以x ＝1是整式方程的解，但不是原分式方程的解，这个分式方程无解．
问题 你认为在解分式方程的过程中，哪一步变形可能引起增根？为什么会产生增根？
总结归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解，有可能使原方程的分母为0，因此应做如下检验——将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根．
自学2：自学课本P151页“例1、例2、归纳”，掌握解分式方程的方法．(5分钟) 总结归纳：解分式方程的一般步骤为：(1)去分母(乘以最简公分母)，将分式方程转化成整式方程；(2)解整式方程得到整式方程的解x ＝a ，把整式方程的解x ＝a 代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则x ＝a 是原分式方程的解；若最简公分母等于0，则x ＝a 不是原分式方程的解(是分式方程的增根)．
点拨精讲：因为分式方程转化成整式方程后求的解可能是增根，所以一定要检验． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P152页练习题． 点拨精讲：注意要检验．
小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当m 为何值时，分式方程m
x －2＋3＝1－x 2－x
无解？
解：∵m
x －2＋3＝1－x
2－x
，∴m ＝－2x ＋5，∵此分式方程无解，∴x ＝2，∴m ＝1
点拨精讲：先按一般步骤解方程，再将增根x ＝2代入求m 的值． 探究2 已知关于x 的方程2x ＋m x －2
＝3的解是正数，求m 的取值范围．
解：由题意可得，x ＝6＋m ，∵此方程的解是正数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧6＋m ＞0，
6＋m ≠2，∴m ＞－6且m ≠－
4.
点拨精讲：要考虑两个条件：①解是正数；②解不为2.
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．若分式方程1
x －3＋7＝x －43－x 有增根，则增根为x ＝3．
2．若方程3x －2＝2a x ＋4x （x －2）无解，则a 的值是3
2或1．
3．解下列分式方程：
(1)2
1－x 2＝2＋x 1＋x ； (2)1
x －2＋3＝1－x 2－x ； (3)x －8x －7－17－x ＝8； (4)2x ＋93x －9＝4x －7x －3
＋2. 点拨精讲：第2小题去分母后得到的整式方程不一定是一元一次方程，所以要分整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况来讨论，第3题要注意解分式方程要检验．
(3分钟)1.解分式方程的基本方法是通过去分母将分式方程转化成整式
方程．
2．分式方程产生增根的原因是去分母时两边乘以的最简公分母的值为0.
3．因为分式方程会产生增根，所以一定要检验，检验的方法是将整式方程的解代入最简公分母检验．
4．分式方程无解可能有去分母后的整式方程无解与整式方程有解是增根两种情况．
第15章《分 式》 同步练习 （§15.2 分式的运算） 班级 学号 姓名 得分 一、选择题 1．下列各式计算结果是分式的是( )． (A)b a m n ÷ (B)n m m n 23. (C)x x 53÷ (D)3 223473y x y x ÷ 2．下列计算中正确的是( )． (A)(－1)0＝－1 (B)(－1)－ 1＝1 (C)3 3 21 2a a = - (D)47 31)()(a a a = -÷- 3．下列各式计算正确的是( )． (A)m ÷n ·m ＝m (B)m n n m =? ÷1 (C) 11 =?÷m m m (D)n ÷m ·m ＝n 4．计算5 4)()(a b a a b a -?-的结果是( )． (A)－1 (B)1 (C) a 1 (D)b a a -- 5．下列分式中，最简分式是( )． (A)2 1521y xy (B)y x y x +-2 2 (C)y x y xy x -+-.222 (D)y x y x -+22 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (21 2121b a b a += + (B) ac b c b a b 2=+ (C) a a c a c 11=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C) b a b --2 (D) a b -
8．化简2 2 )11(y x xy y x -?- 的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题 9．2 232)()(y x y x -÷＝______． 10．2 32])[(x y -＝______． 11．a 、b 为实数，且ab ＝1，设1 1 11,11++ +=+++= b a Q b b a a P ，则P ______Q (填“＞”、“＜”或“＝”)． 12． a a a -+-21 422 ＝______． 13．若x ＜0，则 | 3|1 ||31---x x ＝______． 14．若ab ＝2，a ＋b ＝3，则b a 1 1+＝______． 三、解答题 15．计算：)()()(4 32 b a b a b a -÷-?-． 16．计算：?-+-++2 22244242x y y x y x y y x 17．计算：?-÷+--+1 1 )1211(2 2x x x x 18．已知222 2222y x y x N y x xy M -+=-=、，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：
初中数学人教版八年级上册实用资料 第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为60 30－v 小时， 所以9030＋v ＝60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是 整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母． 归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义．
第十五章 分 式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．了解分式的概念，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 2．能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件． 一、自学指导 自学1：自学课本P127－128页，掌握分式的概念，完成填空．(5分钟) 总结归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，分式A B 中，A 叫做分子，B 叫做分母． 点拨精讲：分式是不同于整式的另一类式子，它的分母中含有字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性． 自学2：自学课本P128页“思考与例1”，理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件．(5分钟) 总结归纳：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B 才有意义；当B ≠0，A ＝0时，分式A B ＝0. 点拨精讲：分式的分数线相当于除号，也起到括号的作用． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 课本P128－129页练习题1，2，3. 小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 探究1 当x 取何值时：(1)分式12x 2x －3有意义？(2)分式12x 2x 2＋3有意义？(3)分式 3x 2x －1无意义？(4)分式12x |x|－3无意义？(5)分式|x|－22x ＋4的值为0？(6)分式x 2－9x －3 的值为0? 解：(1)要使分式12x 2x －3有意义，则分母2x －3≠0，即x ≠32；(2)要使分式12x 2x 2＋3 有意
八年级数学上册《第十五章 分式方程》同步训练题及答案(人教版) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、选择题 1．将关于x 的分式方程3 x−2−2=5 2−x 去分母后所得整式方程正确的是（ ） A ．3(2−x)−2(x −2)=5 B ．3−2(x −2)=−5 C ．−3−2(x −2)=5 D ．3−2(x −2)=5 2．《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km 的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km ，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行xkm ，则根据题意可列出的方程是（ ） A ．420x =420 x+10+1 B ．420x +1=420 x+10 C ． 420x =420 x−10+1 D ． 420x +1=420 x−10 3．方程2x−1x+2=1的解是（ ） A ．x =2 B ．x =−2 C ．x =3 D ．x =−3 4．若关于x 的分式方程x−1 x+1=a x+1−2有增根，则a 的值是（ ） A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．1 5．解方程 x−1x − 2x x−1 =3时，设 x−1x =y ，则原方程可化为关于y 的整式方程是（ ） A ．y −2 y =3 B ．y 2−2y =3 C ．y 2+3y −2=0 D ．y 2−3y −2=0 6．已知关于x 的分式方程m x−1+6 1−x =1的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m >5 B ．m ≥5 C ．m ≥5且m ≠6 D ．m >5且m ≠6 7．为治理城市污水，需铺设一段全长300米的污水排放管道，由于情况有变，….设原计划铺设管道x 米，列方程为 300x −300 (1+25%)x =3，根据方程，可知省略的部分是( ) A ．实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了25%，结果延误3天完成了这一任务 B ．实际工作时每天铺设的管道比原计划降低了25%，结果提前3天完成了这一任务 C ．实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了25%，结果延误3天完成了这一任务 D ．实际工作时每天铺设的管道比原计划提高了25%，结果提前3天完成了这一任务
15.2.3 整数指数幂 【设计说明】 教师要准确把握数学新课程的本质与内涵，坚持“以人为本，促进学生的全面发展”的教学设计基本理念，把学生的起点作为教师的起点，用身边有趣的实例、生活中的实际问题、书本知识服务于学生有个性，可持续，全面和谐的发展。 【教学目标】 知识与技能目标：1、理解负整数指数幂的意义。 2、熟练运用整数指数幂运算性质进行运算。 过程与方法目标：1、通过观察、推理、总结得出负整数指数幂的意义。 2、体验利用负整数指数幂进行乘除法的转化。 情感、态度与价值观目标：启发学生通过独立思考、同伴交流、自主发现问题解决问题，从而提高学生的学习兴趣和学习主动性。 【重点难点】 重点：理解负整数指数幂的意义，掌握运算性质。 难点：理解负整数指数幂的产生过程和意义。 【教学突破】 本节知识与正整数指数幂联系比较紧密，建议教师在教学中要特别注意本节内容与正整数指数幂的知识的联系，让学生经历知识的拓展过程，并能利用事物之间的类比性解决问题，渗透类比思想。 【教学设计】 一. 复习回顾，夯实基础 1.计算： （1）3 111010⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎭ （2）() 2 23- （3）52a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （4）62 3322⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2.想一想:大家学习了正整数幂的哪些运算性质? （1）m n m n a a a +⋅= （m,n 为正整数）
（2）()m n mn a a = （m,n 为正整数） （3） ()n n n ab a b =（n 为正整数） （4）m n m n a a a -÷= (0 ,)a m n m n ≠>为正整数且 （5）n n n a a b b ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （m,n 为正整数） （6）01a = (0 )a ≠，零指数幂的运算 说明：学生独立回答，教师展示PPT ，。教师在回答中发现学生普遍存在的问题，通过教师强调澄清问题，扫除学习障碍。 【设计意图】 复习旧知，巩固基础，为新知识做好准备；同时摸清学生学习情况，适当调整教学策略。 二、师生互动，探究新知 （一）、探究负整数指数幂 a m 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m 表示什么？ 教师引导学生探究：当a ≠0时,a 3÷a 3 =？ 133 33==÷a a a a 03333a a a a ==÷- a 0 =1 当a ≠0时, ?53=÷a a 53 a a ÷ 2233531a a a a a a =∙== 25353--==÷a a a a 类比以上思路同学们会计算它吗？53÷55＝______； 思路一：53 ÷55 ＝5355＝1 5 2.
《分式方程》教学设计 一、教学目标 （一）知识与技能 经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用. 经历“实际问题－分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. （三）情感、态度与价值观 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值. 二、教学重、难点 重点：将实际问题中的等量关系用分式方程表示. 难点：找出实际问题中的等量关系 三、教学准备 多媒体 四、教学方法 启发式设问和同学讨论相结合 五、教学过程 （一）、创设情景，引入新课 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程 2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速 顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间 相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程： v v -=+206020100 做一做 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐 款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第 二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如 果设第一次捐款人数为x 人，那么满足怎样的方程？ 由学生自己解答，老师给出答案. 议一议 问：上面所得到的方程有什么共同特点？ 生：方程的分母中含有未知数 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 师：分式方程与整式方程有什么区别？ 生：分式方程分母中含有未知数，整式方程的分母中没有未知数。分母中含有 的方程叫分式方程。 3、下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 请看课件 （二）、解分式方程： 1 132-=+x x
第15章分式 单元要点分析 教材内容 本单元教学的主要内容： 本单元主要内容是分式的概念、根本性质、分式运算以及分式方程的应用．本单元知识构造图． 本单元教材分析： 本单元是继整式之后对代数式的进一步研究，主要从三个方面展开讨论：1．密切分式与现实生活的联系，突出分式、分式方程的模型作用，•分式也是表示具体问题情境中数量关系的工具；分式方程那么是将具体问题“数学化〞的重要模型．本单元首先通过从分数到分式，以适移的手法引入分式概念，在分式的运算中安排了丰富的实际问题，让学生在这些实际问题中，学习法那么、应用法那么，感受分式运算的意义，理解算理．在学习分式方程时，教材设置了现实中的速度问题、工程问题等，让学生经历“建立分式方程模型〞这一数学化的过程，体会分式方程的意义与使用，培养抽象、概括能力．在分式方程应用方面，力求使应用问题贴近学生生活实际，增强学生解决问题的能力，激发学生的学习兴趣． 2．注意数学思想方法的应用，突出培养学生的合情推理能力．•教材十分重视观察、类比、归纳、猜测等思维方法的应用．在分式根本性质的探索过程中，采用观察、类比的方法，让学生在讨论、交流中获得结论，在分式加减乘除运算法那么的探索中，与分数进展类比，得到有关结论；分式方程的概念也是通过抽象、概括获得的．这样，既渗透了常用的数学思维方法，又培养了学生的合情推
理能力． 3．适当降低分式运算的难度，注重对算理的理解、分式的化简、求值、•运算，是代数运算的根底，但它与分数非常类似．因此，适当控制难度、注意对算理的理解是本单元的特点．在分式运算方面，教材的例、习题难度都不大，运算步骤不多，注意一题多解，对分式方程，注重对解的合理性的讨论．三维目标 1．知识与技能 〔1〕熟练掌握分式的根本性质，会进展分式的约分、•通分和加减乘除混合运算，会解可化为一元一次方程的分式方程〔方程中分式不超过两个〕，会检验分式方程的根． 〔2〕能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、•解决问题的能力和应用意识． 2．过程与方法 〔1〕经历用字母表示现实情境数量关系〔分式、分式方程〕的过程，•了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步开展符号感．〔2〕经历通过观察、归纳、类比、猜测，获得分式的根本性质、•分式乘除运算法那么、分式加减运算法那么的过程；开展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力． 3．情感、态度与价值观 通过学习，获取代数知识的常用方法，感受代数学习的实际应用价值． 重难点、关键 1．重点： 分式的混合运算以及分式方程的应用． 2．难点： 异分母的分式的通分，特别是分母是多项式的分式的通分，另一个是分式方程的“建模〞问题． 3．关键： 把握分式的根本性质，在通分中的充分应用．抓住最简公分母的寻找方法是解决通分这一难点的关键．
第15分式小结与复习 【学习目标】： 了解本章知识要点、巩固本章知识点的应用，并综合应用知识点解决问题。 学习重点：分式的概念、运算及分式方程的应用。 学习难点 ：分式方程的应用。 学习过程 ： 一、知识点复习： 1. 分式的概念 （1）如果 A 、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式。 （2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件：分 式的分母不能为 0，即A B 中， B ≠ 0 时，分式有意义。 3. 分式的值为0的条件：分子为0,且分母不为0，对于A B ，即00A B =⎧⎨≠⎩时，A B = 0 . 4. 分式（数）的基本性质: 分式(数)的分子、分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式(数),分式(数)的值不变。 A A M B B M ⋅=⋅, A A M B B M ÷=÷（ M 为 ≠ 0 的整式） 5. 分式通分 （1）通分的依据是分式的基本性质; (2)通分的关键是确定最简公分母; （3）通分后的各分式的分母相同; （4）通分后的各分式分别与原来的分式相等. 6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母 ①取各分母系数的最小公倍数。 ②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。 ③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 ④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。 （2）将各分式化成相同分母的分式。 7. 分式的约分 （1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。 （3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。 8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：a a a b b b -==--；a a a a b b b b ---=-==-- 9. 分式的乘除法则 乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
八年级上册课时练：第15章《分式》 实际应用解答题提优（四） 1．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？ 2．某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书？ 3．某工程队承建一所希望学校，在施工过程中，由于改进了工作方法，工作效率提高了20%，因此比原定工期提前1个月完工．这个工程队原计划用几个月的时间建成这所希望学校？
4．我校要进行理化实验操作考试，需用八年级两个班级的学生整理实验器材．已知一班单独整理需要30分钟完成．如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成任务，求二班单独整理这批实验器材需要多少分钟？ 5．某厂为抗击疫情，要在规定时间内加工1500万只口罩．在加工了300万只口罩后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务，求该厂原来每天加工多少万只口罩？ 6．科技创新加速中国高铁技术发展，某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话： 记者：你们是用9天完成4800米长的高架桥铺设任务的？ 工程师：是的，我们铺设600米后，采用新的铺设技术，这样每天铺设长度是原来的2倍． 通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度． 7．2020年由于新冠肺炎爆发，为预防疫情专家提出了“勤洗手，戴口罩”的措施，口罩在市场上供不应求，生产口罩的主要材料是熔喷布．已知1吨熔喷布可以生产105万只医用一次性口罩，或者60万只KN95口罩．某生产熔喷布的企业要求在规定时间内完成100
课题：分式的乘除 【学习目标】 1．通过类比的方法理解和掌握分式乘除法的法则． 2．熟练运用分式的乘除法运算法则进行计算． 3．熟悉“数、式通性”，“类比、转化”的数学思想方法，学到数学思考方法． 【学习重点】 分式乘除法的法则及其应用． 【学习难点】 分子、分母是多项式的分式的乘除法运算． 情景导入 生成问题 旧知回顾： 1．化简： (1)－2ac 214a 2bc ＝－c 7ab ；(2)a 2－4a 2＋2a ＝a －2a ． 2．分数的乘除法法则： 分数的乘法法则：用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分数的除法法则：把除数的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘． 自学互研 生成能力 知识模块一 分式的乘除法法则 (一)自主学习 阅读教材P 135～P 136例2，完成下面的内容： 问题1：甲工程队绿化一条道路，已知甲队a 天时间绿化b 米，则m n 天可以绿化b a ·m n 米． 问题2：A 同学从甲地步行至乙地，s 公里用了t 小时；B 同学骑车从乙地前往丙地，m 公里用 了n 小时，则A 同学的速度是s t ，B 同学的速度是m n ，B 同学速度是A 同学速度的m n ÷s t 倍．(用代数式表示) 思考：分式的运算如何进行呢？ (二)合作探究 类比分数的计算，计算下列各题 (1)3xy 24z 2·⎝⎛⎭⎫－8z 2y ；
解：原式＝－3xy 2·8z 2 4yz 2 ＝－6xy ； (2)2a 3b 2÷⎝⎛⎭ ⎫－4ac 9b . 解：原式＝2a 3b 2·⎝⎛⎭⎫－9b 4ac ＝－2a ·9b 3b 2·4ac ＝－32bc . 类比分数的运算法则，我们可以得到： 归纳：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示a b ·c d ＝(a ·c b ·d )，a b ÷c d ＝a b ·d c . 知识模块二 分式的乘除运算 (一)自主学习 阅读教材P 136例2 弄清分子，分母是多项式时，通常先分解因式，再约分． (二)合作探究 1.a 2＋8a 4a －a 3·a 2－43a ＋24 . 解：原式＝a （a ＋8）a （2＋a ）（2－a ）·（a ＋2）（a －2）3（a ＋8） ＝－13. 2.4y 2－x 2x 2＋2xy ＋y 2÷x －2y 2x 2＋2xy . 解：原式＝（2y －x ）（2y ＋x ）（x ＋y ）2·2x （x ＋y ）x －2y ＝－2x （2y ＋x ）x ＋y ＝2x 2＋4xy x ＋y . 知识模块三 分式乘除法在实际问题中的应用 (一)自主学习 阅读教材P 136例3 (二)合作探究 甲乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修(a 2－4)米，乙工程队每天修(a －2)2米(其中a>2)，甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？ 解：由题意有900a 2－4÷600（a －2）2＝900a 2－4 ·（a －2）2600 ＝900（a －2）（a ＋2）·（a －2）2600＝3a －62a ＋4 . 答：甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的3a －62a ＋4倍．
八年级数学上册第十五章《15.3分式方程》课时练习题（含答案） 一、选择题 1．方程2152 x x =+-的解是（ ） A ．=1x - B ．5x = C ．7x = D ．9x = 2．若关于x 的分式方程 322x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2 3．关于x 的分式方程 2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2 4．分式方程 3262(2)x x x x =+--的解是（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．无解 5．已知111,1a b b c =-=-，用a 表示c 的代数式为（ ） A ．11c b =- B ．11a c =- C ．1a c a -= D ．1a c a -= 6．解方程21132 x x a -+=-时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为2x =，则方程正确的解是（ ） A ．3x =- B ．2x =- C ．13x = D ．13x 7．已知关于x 的分式方程 21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m≤3 B ．m≤3且m≠2 C ．m ＜3 D ．m ＜3且m≠2 8．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( ) A ． 3036101.5x x -= B ．3030101.5x x -= C ．3630101.5x x -= D ．3036101.5x x += 二、填空题 9．方程11212 x x =+-的解是______．
一、选择题 1．使分式21 x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0 C ．x ≠±1 D ．x 为任意实数 2．若关于x 的一元一次不等式组()()1 1122 32321x x x a x ⎧-≤-⎪ ⎨⎪-≥-⎩ 恰有3个整数解，且使关于y 的分式方程 3133y ay y y ++=--有正整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．3 3．若关于x 的分式方程 3 211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102 x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9- B ．8- C ．7- D ．6- 4．如果关于x 的分式方程 6312 233ax x x x --++=--有正整数解，且关于y 的不等式组5215 10 y y a -⎧≥-⎪ ⎨⎪+->⎩至少有两个整数解，则满足条件的整数a 的和为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．11 5．已知分式3 4 x x -+的值为0，则x 的值是（ ） A ．3 B ．0 C ．－3 D ．－4 6．如图，若x 为正整数，则表示3211 32 7121(1)(1)543x x x x x x x x x --++--÷++++的值的点落在（ ）． A ．段① B ．段② C ．段③ D ．段④ 7．下列各式中，正确的是（ ） A ．22a a b b = B ． 11a a b b +=+ C ．22 33a b a ab b = D ． 232 131 a a b b ++=--
数学人教版八年级上第十五章 分式单元检测 一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题所给的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后括号内) 1．在2a b -，(3) x x x +，5πx +，a b a b +-中，是分式的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如果把分式2x x y +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值( )． A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍 3．分式22x y x y -+有意义的条件是( )． A ．x ≠0 B ．y ≠0 C ．x ≠0或y ≠0 D ．x ≠0且y ≠0
4．下列分式中，计算正确的是( )． A ．2()23()3b c a b c a +=+++ B ．222a b a b a b +=++ C ．22()1()a b a b -=-+ D ． 2212x y xy x y y x -=--- 5．化简 211a a a a --÷的结果是( )． A ．1 a B ．a C ．a －1 D ． 11a -[ 6．化简21131x x x +⎛⎫- ⎪--⎝⎭·(x －3)的结果是( )． A ．2 B ． 21x - C ．23x - D ．41x x -- 7．化简1111 x x -+-，可得( )． A ．221x - B ．221x -- C ．221x x - D ．221 x x -- 8．甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，若设甲班每天植树x 棵，则根据题意列出的方程是( )．
人教版八年级数学上册第十五章《分式》单元练习题（含答案） 一、单选题 1．若分式1 5 x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠－5 B ．x ≠0 C ．x ≠5 D ．x ＞－5 2．一列火车长x 米，以每秒a 米的速度通过一个长为b 米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥到车尾离开大桥）所需的时间为（ ） A ． x b a +秒 B ．b a 秒 C ．x a 秒 D ． x b a -秒 3．计算2 3 4932ac b b ac ⋅ 的结果是（ ） A ．23 366ab c abc B ．23 6ab c abc C ． 3 6abc ac D ． 2 6b c 4．若把分式 x x y 2中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．扩大到原来的3倍 B ．扩大到原来的6倍 C ．缩小为原来的1 3 D ．不变 5．2 22 a b b b a b -⎛⎫ ⨯ ⎪-⎝⎭ 的结果是（ ） A ．1 b B ． 2 a b ab b -+ C ． a b a b -+ D ． 1 () b a b + 6．方程1 x ＝233x -的解是（ ）． A ．x ＝﹣2 B ．x ＝﹣1 C ．x ＝1 D ．x ＝3 7．下列哪个是分式方程（ ） A ．2x 3x 63 - -= B ． 1 10x 1 -=- C ． x 3x 52 -= D ．22x 3x 2+=- 8．下列分式中，最简分式是（ ） A ． 15 10x B ． 2 43ab a C ． 1 33 x x -- D ． 1 21 x x ++ 9．已知111 2a b -= ，则 ab b a - 的值是（ ） A ．1 2 B ．12 - C ．2 D ．-2 10．若关于x 的分式方程322 x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣2
人教版八年级上册数学第15章分式实际应用题训练 一、单选题 1．学校建围栏，要为24000根栏杆油漆，由于改进了技术，每天比原计划多油400根，结果提前两天完成了任务，请问原计划每天油多少根栏杆？如果设原计划每天油x根栏杆，根据题意列方程为（） A．24000 x ＝24000 400 x- ＋2 B．24000 x ＝24000 400 x- ﹣2 C．24000 x ＝24000 400 x+ ﹣2 D．24000 x ＝24000 400 x+ ＋2 2．自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确的是（） A．720540 15 x x = - B． 720540 15 x x = + C． 720540 15 x x = - D． 720540 15 x x =+ 3．宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为x千米，则可列方程为（） A． 3535 7 (120%)x x -= + B． 3535 7 (120%) x x -= + C． 3535 7 20%x x -=D． 11 7 (120%)x x += + 4．小华早上从家出发到离家5千米的国际会展中心参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了15分钟，设小华原计划每小时行x千米，可列方程（） A． 551 14 x x -= + B． 551 +14 x x -=C． 55 15 +1 x x -=D． 55 15 1 x x -= + 5．某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（） A．120120 3 2 x x =+ - B． 120120 3 2 x x =+ - C．120120 3 2 x x =+ + D． 120120 3 2 x x =+ + 6．某市组织长跑队和自行车队宣传全民健身，全程共10千米，两队同时出发，自行车队速度是长跑队速度的2.5倍，结果长跑队比自行车队晚到了1小时，则自行车队的速度为（） A．6千米/时B．8千米/时C．9千米/时D．15千米/时
第15章《分式》解答题精选 1．（2020春•三水区期末）为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20棵，结果在时间相同的情况下多种了240棵树，原计划每天种植多少棵树？ 2．（2020春•龙岗区校级期末）先化简，再求值：1请从﹣2，﹣1，0，1，2中选择一个合适的数，求此分式的值． 3．（2020春•揭西县期末）先化简，再求值：（1），其中x＝﹣2． 4．（2020春•揭西县期末）受疫情影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用8000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场用17600元购进第二批这种“84”消毒液，所购数量是第一批数量的2倍，但单价贵了1元． （1）求该商场购进的第一批“84”消毒液的单价； （2）商场销售这种“84”消毒液时，每瓶定价为13元，最后200瓶按9折销售，很快售完，在这两笔生意中商场共获利多少元？ 5．（2019秋•荔湾区期末）列方程解应用题： 初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 6．（2019秋•荔湾区期末）计算： （1）•（6x2y）2； （2）（a+b）2+b（a﹣b）． 7．（2019秋•荔湾区期末）计算： （1）； （2）（1）． 8．（2019秋•东莞市校级期末）先化简，再求值：（1），其中，x1． 9．（2019秋•东莞市校级期末）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用4800元购进A、B两种粽子共1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍． （1）求A，B两种粽子的单价； （2）若计划用不超过8000元的资金再次购进A，B两种粽子共1800个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？ 10．（2020春•揭阳期末）先化简，（1），再从﹣1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值． 11．（2020春•英德市期末）（1）化简：（）；
2022-2023学年人教版八年级数学上册《第15章分式》解答题专题提升训练（附答案）1．计算： （1）﹣； （2）2ab÷； （3）（）2÷． 2．先化简，再求值：1+，在0，1，2三个数中选一个合适的，代入求 值． 3．解下列分式方程： （1）＝； （2）﹣＝1． 4．现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：x+的解为x1＝2，x2＝；x+的解为x1＝3，x2＝；x+的解为x1＝4，x2＝； （1）猜想关于x的方程x+的解是； （2）猜想关于x的方程x+的解是； （3）用上述方法求关于x的方程的解． 5．4月22和23日，我校开展了“世界读书日”活动，现在七、八年级书香社团分别承担统计文学读物、科学读物数量的工作．已知文学读物和科学读物总共有8000本，其中文学读物比科学读物的2倍少1000本． （1）求文学、科学读物各有多少本； （2）七、八年级书香社团同时开始统计，七年级比八年级平均每小时多统计100本．由于时间紧急，七年级在完成任务后，增派了一些人员，使工作效率比原来提高了，结果七、八年级同时完成任务，求八年级平均每小时的统计数量以及完成任务的时间．
6．化简：（﹣x﹣1）÷，并从不等式组的解集中选择一个 合适的整数解代入求值． 7．有这样一道题：“先化简，再求值：÷•，其中，x＝﹣2022”．小玲做题时把“x＝﹣2022”错抄成了“x＝2022”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 8．某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？ 9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）； ①②③④ （2）请将“和谐分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为 整数． 10．列方程解应用题 2022年北京市教育委员会印发《关于推进“互联网+基础教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：双师课堂是在空中课堂基础上的深化，将传统单师授课模式变革为名师团队支持下新型教学场景．某校为响应国家号召，利用暑期在各班安装能够进行双师教学的电脑．该校南楼安装的48台由甲队完成，北楼安装的30台由乙队完成．已知甲队比