3.4 分式的通分
一、学习目标：
1. 理解通分和最简公分母的意义。
2. 会将几个分母不同的分式通分。
3. 经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分方法的过程，理解通分的意义依据和方法。
二、学习重难点：
【重点】确定最简公分母。
【难点】分母是多项式的分式的通分。
三、学习过程：
（一）课前预习（复习回顾）：
1、把下列分式约分成最简分式：想一想约分的依据是什么？
（1）； （2）； （3）。
2、提问：你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？（学生讨论）
（二）课上探究：
探究一（自我探究：）
1、回忆分数计算
52+31的分析。将分母不相同的52、3
1根据分数性质通分变形为分母相同的5332??、5351??；你能不改变分式的值，使分式x 1与3
1-x 的分母相同吗?相同的分母是____________。你是怎样找的，把你找的相同分母与同位比较，一样吗？把你的找法说给同桌听。
上面我们进行的：不改变分式的值，使两个（或多个）分式的分母相同，这样的分式变形叫分式的通分．．。 问题：你能类比分数的通分，不改变分式的值，使分式2
23x -与x a 3的分母相同吗？小明找的公分母是26x ，小丽找的公分母是312x ，小红说他她们两个找的都对。你
同意小红的看法吗？（小组内讨论） 小小展示台：小红说的对。因为分式223x
-与x a 3的公分母有很多，26x 是其中最简单的一个，叫做分式的最简公分母。．．．．．．
我们在以后通分的过程中要找分式的最简公分母。 例题，把下列各题中的分式通分：
（1）b a 223与c
ab b a 23- (2)ab h 3 与b a k 222 分析（阅读）：（1）由分母b a 22和c ab 23找最简公分母，因为两个分母的系数分别为2和3，所以最简公分母的系数是6（系数的最小公倍数）(找系数)；两个分母中，出现的所有字母a 、b 、c （找字母）；字母的最高次数分别是2、2（找指数）；所以最简公分母是c b a 226，其中b a 22乘以bc 3变为c b a 226，c ab 23乘以ac 2变为c b a 226。 解：分式b a 223与c
ab b a 23- 的最简公分母是c b a 226 b a 223=bc b a bc 32332??=c b a bc 2269 c ab b a 23- =()ac c ab ac b a 2322??-=()c
b a b a a
c 2262- 仿照（1）题的分析与解答，完成（2）题。
总结你的方法：（1）确定最简公分母的方法是____________________。
(2)与分数的通分作比较，看看有什么共同点（完成后同桌交流） 对应训练一：填空：分式xy 43与y
x 225的最简公分母是____________,通分后这两个分式分别是____________与_________.
探究二（合作探究：）把下列各组分式通分：
（1）()42+m m 与1652--m mn (2)y x 461-与22492y
x - 分析：分母是多项式的两个分式通分，能分解因式的先分解因式。162-m 分解因
式为_______________,所以最简公分母的系数是_____________,两个分母中出现的因式有()()44-+m m （找因式），因式的最高次数分别是1、1（找指数），所以最简公分母是()()442-+m m 。
解：分式()42+m m 与16
52--m mn 的最简公分母是()()442-+m m ()
42+m m =()()()4424-+-m m m m 1652--m mn =()()445-+-m m mn =()()
44210-+-m m mn 仿照（1）的分析与解答完成（2）题。
总结你的方法：（1）分母是多项式的分式通分时首先要_____________,把每个因式当做一个因数（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法通分。
对应训练二：
把下列各式中的分式进行通分：
（1）92-a a 与9
612++a a （2）xy 2与23x xy y -
概括：确定最简公分母的一般步骤：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；
（3）相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.
在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.
试一试：指出下列各组分式的最简公分母。
（1）
； （2） （3）。
例题解析：把下列各题中的分式通分：
（思考：最简公分母如何确定？你
能归纳分式通分的步骤吗？其关键是什么？）
巩固练习：（1）； （2）。 (3)。
课堂小结：1.知识方面：（1、本节课我们学习了分式的通分，什么是分式的通分？其关键是什么？2、如何寻找分式的最简公分母？3、分式的分母是多项式时如何通分？）
2.数学思想方法：
作业：必做题：习题A 组2（2）（4）题选做题: 习题B 组1题
课堂检测：
1、填空、 分式11-x 与1
1+x 的最简公分母是________,通分后这两个分式分别是___________与__________。
2、求最简公分母时，若各分母的系数都是整数，则最简公分母的系数通常取____________。
A 、各分母系数的最小者
B 、各分母系数的最小公倍数
C 、各分母系数的公倍数
D 、各分母系数的最大公约数
3、把下列各式中的分母进行通分：
（1）a 1,b 1,c 1 (2)a b 2,b a 3 (3)322+x ，3
23-x （4）()11+-x x x ，11+x
通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的 通分问题。通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后 再加减。可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。现介绍几 种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。 一、分组通分 例1 计算-+-。 分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。 解原式=-+-=+=。 点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。 二、逐步通分 例2 计算:+++。 分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能 劳而无功。若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次 类推,逐步通分,可使问题得到解决。 解原式=++=++ =+=。 三、整体通分 例3 计算:x+y+。 分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的
分式,再通分。 解原式=(x+y)+=+ = + =。 四、分解因式,约分后通分 例4 计算-。 分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。 解原式=- =-==。 点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。 五、改变排序,一次通分 例5 计算++。 分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。 解原式=++ =++ ==0。 点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。 六、常量代换,自然通分 例6 设abc=1,试求++的值。 分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量
分式的通分教案 目标：1、理解通分与最简公分母的意义。 2、会将几个分母不同的分式通分。 重点：确定最简公分母。 难点：分母是多项式的分式的通分。 程序： 一、进入情景 1、（出示幻灯1）把下列分式约分成最简分式： （1）；（2）；（3）。 2、观察： （1）上面三个分式约分前有什么共同点？（同分母分式）（2）约分后所得分式还是同分母分式吗？ 3、提问：你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？这就是我们今天要探讨的内容。（板书课题） 二、师生共同酝酿，构建“最简公分母” 1、学生回顾：异分母分数是如何化成同分母分数的？（通分） 2、提问：什么是分数的通分？其根据和关键是什么？ 3、启发：分式的通分与分数的通分类似，那么什么是分式的通分呢？其根据又是什么？ 4、尝试概括：你能通过类比分数的通分归纳分式通分的定义吗？ 5、提问：
（1）的公分母是如何确定的？ （2）你能确定分数的公分母吗？ （3）若把上面分数中的3，5用来代替，即分式又如何确定公分母呢？ 6、思考： （1）上面三个分式的公分母能否是：或或或…… （2）你为什么确定其公分母是？ 7．、提问：你能概括最简公分母的定义吗？ 三、体验琢磨，感悟内涵 1、（出示幻灯2）指出下列各组分式的最简公分母。 （1）； （2）； （3）。 2、提问：如何确定最简公分母？（引导学生分析归纳并板书） 四、学会运用，品尝获得知识的乐趣 当你能正确确定最简公分母后就能顺利进行通分了，下面我们来解决这样的问题。 例1、通分。 启发：1、最简公分母如何确定？是多少？ 2、第三个分式中分母的负号如何处理？ 师生共同解之（略）。 提问：你能归纳分式通分的步骤吗？其关键是什么？
分式的约分、通分经典练习题 1.不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。 ①x y -- ②y x y x 2---- ③y x y x --+- 约分练习： 1．根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282 =_____;c ab bc a 23245125=_______()()b a b a ++13262=__________221326b a b a -+=________ 2、约分 ⑴233123ac c b a ⑵ ()2xy y y x + ⑶ ()22y x xy x ++ ⑷() 22 2y x y x -- 3、约分：； ()x x x 525. 122-- ()634.222-+++a a a a (3) d b a c b a 32232432- (4) )(25)(152b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2 242x x x ---； 4.约分①a a ab b 222-- ②c b a c b a ++-+22)( ③2 22 2926y x xy y x -+ ④2435241216c b a c b a ⑤224422b a b a -+ ⑥12223-++m m m m ⑦34 ) 2(6)2(2y x x x y y -- ⑧mn n m mn 5101522+ 5.约分（1）22699x x x ++- （2） 96922+--a a a （3） ()()()() b a y x b a y x -+-+23 （4） 918322---x x x （5）63422-+++x x x x （6） x x x 22497-- （7） ()()y x a x y a --271223 （8）xy xy y x 222+ （9） （10） m m m -+-1122 23x x x 122 +--
2．分式的加减 第1课时 分式的通分 学习目标： 1．理解并掌握最简公分母的概念，能够求出几个分式的最简公分母；(重点) 2．能够对几个分式进行通分，并运用其解决问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 1．通分：12，23 . 2．分数通分的依据是什么？ 3．类比分数，怎样把分式通分？ 二、合作探究 探究点一：最简公分母 例1 求下列分式的最简公分母： x 2x ＋2，x x 2＋x ，1x 2＋1 . 解析：确定最简公分母的方法是：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字 母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的得到的因式的积就是最简公分母． 解：x 2x ＋2，x x 2＋x ，1x 2＋1 的分母分别是2x ＋2＝2(x ＋1)、x 2＋x ＝x (x ＋1)、x 2＋1，故最简公分母是2x (x ＋1)(x 2＋1)． 方法总结：求最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是 各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂． 变式训练：见课堂达标训练第6题 探究点二：通分 【类型一】 分母是单项式的分式的通分 例2 通分： (1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc 2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2 . 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项 式．
解：(1)最简公分母是2b2d， c bd＝ 2bc 2b2d， ac 2b2＝ acd 2b2d； (2)最简公分母是6a2bc2，b 2a2c＝ 3b2c 6a2bc2， 2a 3bc2＝ 4a3 6a2bc2； (3)最简公分母是10xy2z2，4 5y2z＝ 8xz 10xy2z2， 3 10xy2＝ 3z2 10xy2z2， 5 －2xz2 ＝－ 25y2 10xy2z2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 变式训练：课堂达标训练第10题 【类型二】分母是多项式的分式的通分 通分： (1) a 2（a＋1） ， 1 a2－a ； (2) 2mn 4m2－9 ， 3m 4m2－12m＋9 . 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)， a 2（a＋1） ＝ a2（a－1） 2a（a＋1）（a－1） ， 1 a2－a ＝ 2（a＋1） 2a（a＋1）（a－1） ； (2)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2， 2mn 4m2－9 ＝ 2mn（2m－3） （2m＋3）（2m－3）2 ， 3m 4m2－12m＋9 ＝ 3m（2m＋3） （2m＋3）（2m－3）2 . 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商． 变式训练：“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 1．最简公分母 2．通分 (1)依据：分式的基本性质； (2)方法：先确定最简公分母，再把各分式的分母化为最简公分母． 教学反思 本节课学习了分式的通分，方法可类比分数的通分．在教学中应注意循序渐进，先让学生学会确定最简公分母，再让学生学习通分．通分时，一要注意避免符号错误，二要注意通分不改变分式的值，即分母乘了一个整式，分子也要乘以同样的一个整式
3.4 分式的通分 一、学习目标： 1. 理解通分和最简公分母的意义。 2. 会将几个分母不同的分式通分。 3. 经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分方法的过程，理解通分的意义依据和方法。 二、学习重难点： 【重点】确定最简公分母。 【难点】分母是多项式的分式的通分。 三、学习过程： （一）课前预习（复习回顾）： 1、把下列分式约分成最简分式：想一想约分的依据是什么？ （1）； （2）； （3）。 2、提问：你能把这些异分母分式化成同分母分式吗？（学生讨论） （二）课上探究： 探究一（自我探究：） 1、回忆分数计算 52+31的分析。将分母不相同的52、3 1根据分数性质通分变形为分母相同的5332??、5351??；你能不改变分式的值，使分式x 1与3 1-x 的分母相同吗?相同的分母是____________。你是怎样找的，把你找的相同分母与同位比较，一样吗？把你的找法说给同桌听。 上面我们进行的：不改变分式的值，使两个（或多个）分式的分母相同，这样的分式变形叫分式的通分．．。 问题：你能类比分数的通分，不改变分式的值，使分式2 23x -与x a 3的分母相同吗？小明找的公分母是26x ，小丽找的公分母是312x ，小红说他她们两个找的都对。你
同意小红的看法吗？（小组内讨论） 小小展示台：小红说的对。因为分式223x -与x a 3的公分母有很多，26x 是其中最简单的一个，叫做分式的最简公分母。．．．．．． 我们在以后通分的过程中要找分式的最简公分母。 例题，把下列各题中的分式通分： （1）b a 223与c ab b a 23- (2)ab h 3 与b a k 222 分析（阅读）：（1）由分母b a 22和c ab 23找最简公分母，因为两个分母的系数分别为2和3，所以最简公分母的系数是6（系数的最小公倍数）(找系数)；两个分母中，出现的所有字母a 、b 、c （找字母）；字母的最高次数分别是2、2（找指数）；所以最简公分母是c b a 226，其中b a 22乘以bc 3变为c b a 226，c ab 23乘以ac 2变为c b a 226。 解：分式b a 223与c ab b a 23- 的最简公分母是c b a 226 b a 223=bc b a bc 32332??=c b a bc 2269 c ab b a 23- =()ac c ab ac b a 2322??-=()c b a b a a c 2262- 仿照（1）题的分析与解答，完成（2）题。 总结你的方法：（1）确定最简公分母的方法是____________________。 (2)与分数的通分作比较，看看有什么共同点（完成后同桌交流） 对应训练一：填空：分式xy 43与y x 225的最简公分母是____________,通分后这两个分式分别是____________与_________. 探究二（合作探究：）把下列各组分式通分： （1）()42+m m 与1652--m mn (2)y x 461-与22492y x - 分析：分母是多项式的两个分式通分，能分解因式的先分解因式。162-m 分解因
《§15.1.2 分式的基本性质约分和通分》 任课教师：武云霞 班级：322班
§15.1.2 分式的基本性质 约分和通分 一、内容解析 1、内容 分式的约分和通分 2、内容解析 本节是在小学学习了分数的约分、初一学习了因式分解及上节课学习了分式的基本性质的基础上，进一步学习分式的约分和通分。学生通过类比分数的约分和通分来总结出分式的约分与通分的法则，能让学生体会数学的类比思想。 分式的约分和通分，是进行分式的加减乘除四则运算所必须掌握的分式变形。本章节的学习为后边分式的四则运算做铺垫，起着一个桥梁的作用。 基于以上分析，本节课的重点是如何找分子分母的公因式和能准确的确定分母的最简公分母。 二、目标和目标解析 1、目标 （1）能利用分式的基本性质进行简单的约分。 （2） 了解最简公分母的概念，会找最简公分母，并能进行简单的通分. 2、目标解析 达成目标（1）的标志是，会找分子分母的公因式，能将分式化简到最简分式 达成目标（2）的标志是，能准确确定分母的最简公分母，并能正确通分 三、教学问题诊断分析 学生已经学过分数的约分和通分，对于分式的约分和通分理解要相对容易一点。约分的时候学生再找分子和分母的公因式时容易找漏，并且最后结果总是忘记化到最简分式，当分子分母是多项式时要先进行因式分解。在通分的时候，学生确定最简公分母有点困难，并且在通分的时候，分子分母会漏乘。 基于以上分析，本节的重点是1、能准确找到分子和分母的公因式 2、准确确定分式的最简公分母 四、教学过程设计 教学过程 （一）温故知新 1、分解因式 （1） = __________________ （2） =________________ （3） =__________________ 2x -9 2x +6x+9 3x-3y
分式的约分通分专项练习题 1.不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。 ①x y -- ②y x y x 2---- ③y x y x --+- 约分练习： 1．根据分数的约分，把下列分式化为最简分式： a a 1282 =_____;c ab bc a 23245125=_______()()b a b a ++13262=__________221326b a b a -+=________ 2、约分 ⑴233123ac c b a ⑵ ()2xy y y x + ⑶ ()22y x xy x ++ ⑷()222y x y x -- 3、约分：； ()x x x 525. 122-- ()634.222-+++a a a a (3) d b a c b a 32232432- (4) )(25)(152 b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2242x x x ---； 4.约分①a a ab b 222-- ② c b a c b a ++-+22)( ③2222926y x xy y x -+ ④2435241216c b a c b a ⑤224422b a b a -+ ⑥12223-++m m m m ⑦34 )2(6)2(2y x x x y y -- ⑧mn n m mn 5101522+ 5.约分（1） 22699x x x ++- （2） 96922 +--a a a （3） ()()()()b a y x b a y x -+-+23 （4） 918322---x x x （5）63422 -+++x x x x （6） x x x 22497-- （7） ()()y x a x y a --271223 （8） xy xy y x 222+ （9） （10） m m m -+-1122 23x x x 122 +--
第2课时 异分母分式的加减 1．学会确定几个分式的最简公分母并 进行通分；(重点) 2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点) 一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x ＋1－2x －1 呢？ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母 分式 1x 2－3x 与2 x 2－9 的最简公分母是________． 解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为x (x ＋3)(x －3)． 方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解． 【类型二】 分母是单项式分式的通分 通分． (1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc 2； (3)45y 2z ，310xy 2 ，5－2xz 2 . 解析：先确定最简公分母，找到各个分 母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式． 解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是 6a 2bc 2， b 2a 2 c ＝3b 2c 6a 2bc 2 ，2a 3bc 2＝4a 3 6a 2bc 2； (3)最简公分母是10xy 2z 2，4 5y 2z ＝ 8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5 －2xz 2＝－－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母． 【类型三】 分母是多项式分式的通分 通分． (1)a 2（a ＋1），1 a 2－a ； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9 . 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分． 解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)， a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1）， 1 a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， 2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2 ， 3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2 . 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母
《分式的通分》教案 教学目标 一、知识与技能 1．能够理解通分的意义，能找到几个分式的最简公分母； 2．能够总结出分式的通分法则，并能熟练掌握通分运算； 二、过程与方法 1．在分数通分的基础上比较学习分式的通分,并在此过程中渗透类比数学思想方法； 2．在如何确定几个异分母分式的最简公分母以及将异分母分式通分的过程中渗透 化归的数学思想方法； 三、情感态度和价值观 1．鼓励学生积极主动地参与教学的整个过程，激发学生求知欲望，让学生体验成功的喜悦，增加学生的学习兴趣和信心； 2．让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，激发学生学习数学的兴趣和热情；教学重点 能根据分式的基本性质将几个异分母分式通分； 教学难点 确定几个异分母分式的最简公分母； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课
同学们还记得如何计算：1124+吗？在学生正确回答后，我再提问，我们前面已经学习了分 式，现在我们一起来想一想该如何计算：11+呢？你们会分几步来计算？学生会回答出先通分 后相加。我给于肯定，并板出课题《分式的通分》。 二、新课学习 同学们能把x 1、y 1 这两个分式通分吗？它们的最简公分母是什么呢？ 在学生得到正确的公分母后让学生思考：什么叫做分式的通分？ 1、引导学生类比分数的通分概念得到分式的通分概念。 然后设问：那么通分应注意什么呢？ 学生思考、讨论、交流之后得出: （1）各分式与原分式相等； （2）各分式分母相等。 2．设问：那么通分的依据是什么呢？（分式的基本性质．） 3．设问：那么通分的关键是什么呢？（确定几个分式的最简公分母） 例1 通分： （1）xy 21，23y x （2）23c 10a b ，25a 2ac ,245a b c 设问：“分母的系数各不相同如何解决？”“在分母中出现的字母因式有几个？”“字母因式的指数不同如何选择？”（学生分组讨论，由代表发言讨论结果，小组间比对，并请两名学生上台板演。学生可能会出现最简公分母错误或分子漏乘的情况，应该抓住机会着重讲解） 设问：请同学们思考一下，最简公分母应该怎么确定呢？ 由学生讨论交流后归纳最简公分母的思路。 例2 通分： （1）1+x x ，221 +x （2） x 2(x 1)+，21x x -
人教版数学《通分》导学案_教学设计 ◆您现在正在阅读的人教版数学《通分》导学案文章内容由收集!人教版数学《通分》导学案教学目标 1．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤； 2．通过与分数通分比较，渗透类比的思想方法。 教学重点和难点 重点：分式通分的方法。 难点：几个分式最简公分母的确定。 教学过程设计 一、导入新课 1．把分数通分。 解，，。 2．什么叫分数的通分？ 答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 3．分数通分的方法及步骤是什么？ 答：先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。 4．分数通分时，为什么各分数的值不变？ 答：分数通分时，原分数的分子、分母都乘以同一个不等于零的数，这个数就是用公分母除以原来各分数的分母所得到的商，根据分数的基本性质，各分数的值不变。 二、新课 和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的公分母。 例1 求分式的公分母。 分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。 指出：24x6y6z，48x5y9z，都是上述三个分式的公分母，其中12x3y4z是这些公分母中最简单的一个，称为最简公分母。 最简公分母的意义是，各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。 例2 求分式与的最简公分母。 分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即 4x-2x2=-2x（x-2），x2-4=（x+2）（x-2）， 把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。 请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。 答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数； 2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； 4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。 例3 通分： （1）；（2）。 解（1）因为最简公分母是12xy2，所以 ；
第二讲、分式的约分和分式的通分 【知识归纳】 1、分数的基本性质：分数的分子与分母都同乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变． 2、分式的基本性质：分式的分子与分母都同乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 如果A 、B 、M 是整式， A B =AM BM ，A B =() () A M B M ÷÷（其中M 是不等于零的整式）． 注意：分式中的A ，B ，M 三个字母都表示整式，其中B 必须含有字母，除A 可等于零外，B ，M 都不能 等于零.因为若B=0，分式无意义；若M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义. 3、约分：利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分；:根据分式的基本性质：分子、分母都要同除以最大公约式． 最大公约式：①系数取最大公约数； ②字母取相同字母； ③相同字母取最低次幂． 4、最简分式：经过约分后，分子和分母没有公因式的分式，叫做最简分式； 注意：一般分式的约分，都要是所得结果成为最简分式或整式；（一找公因式要找全，二约分要彻底） 5、通分：利用分式的基本性质，分子分母同时乘以适当的整式，不改变分式的值，使异分母分式化为同分母分式的过程，这样的分式变形叫做分式的通分； 通分的关键是要确定各分式的公分母，各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，即为最简公分母． 最简公分母的条件：①系数取最小公倍数； ②字母取所有字母； ③取所有字母的最高次幂． 注意：为确定最简公分母，通常先将各分母分解因式． 【例题解析】 ); 0() (m 3n -5m ;) () 2( ; ) (1322 ;4) (2112 2 22≠=+=+=+-=+n mn n m mn mn xy x y x x x x x ）：（例 ; 242)4( ;9273)5( ;16816)4( 25153 5102 ;12222222 2 32223232y x y xy x m m m a a a c ab c y x ab c b a ab b a -+---+--）（）（）：约分（例
1 分式的通分专项练习（正） 一、填空： 1、 22152;;236x x x x x +--的最简公分母是 ； 2、 323212;;425x y x x y x x y xy +--的最简公分母是 ；3、 121;23x x x x -++-的最简公分母是 ； 4、如果把分式3x x y +中的x 和y 的值都扩大5倍，那么分式的值( ) (A)扩大5倍； (B)缩小5倍； (C)不改变； (D)扩大25倍。 5、将5a, 236,24a a b b 通分后最简公分母是( ) (A)8a 2b 3； (B)4ab 3； (C)8a 2b 4； (D)4a 2b 3 二、通分 1、xy y x 41,.32 2、4 221;1xy y x 3、b a c c b a 22103,54 4、22254,43b a ab - 5、121;23x x x x -++- 6、 221,b a b a a -- 7 、()()x y b y y x a x --, 8、() 1,1122--x x x 9、2 2;y x y x y -+ 10、21,2(1)x x x x +- 11、()42,4222--x x x x 12、()()()(),a b b c a b b c b c b a ++---- 13、2211,424x x x --
2 分式的约分与通分经典练习题（反） 1、当x 取何值时，分式15 21--+x x 的值： ①有意义 ②值为0 ③值为正数 ④值为负数 2、当x 取何值时，下列分式的值为零？ ① 5332++x x ② 242+-x x ③ 3 212-+-x x x 3、约分 ①a a ab b 222-- ②c b a c b a ++-+2 2)( ③222 2926y x xy y x -+ ④224422b a b a -+ ⑤12223-++m m m m ⑥34 )2(6)2(2y x x x y y -- 4、通分①yz x 9，22 2xz y ②112++x x ，1-x x ③9a 32-，912--a a ④)(y x x y x +-，)(y x y y x -+ ⑤y x y x 362-+，2 9y x x -，⑥2121a a a -++，261a - 5、不改变下列分式的值，使分式的分子、分母首相字母都不含负号。 ①x y -- ②y x y x 2---- ③y x y x --+-
3.4分式的通分教案 一、教学目标： 1、经历用类比、观察、联想的方法探索分式通分方法的过程，理解通分的意义、依据和方法。 2、能正确、熟练地找出分式的最简公分母，运用分式的基本性质，对分式进行通分。 二、教学重点难点： 熟练地找出分式的最简公分母，对分式进行通分。 三、教学方法：合作交流，展示共享 四、教学过程： （一）、复习导入： （1）你还记得什么是分数的通分吗？ （2）举例说明分数如何通分。 （二）、探究新知： 1、问题导读： (1)、课本中的工程问题的第一问的答案是 ，第二问的答案是 。 （2）、观察： x 1 =) 3(3--x x x （如何变形的？） 31-x =) 3(-x x x （如何变形的？） 2、合作交流： (1) 像这样，把几个异分母的分式化成与原来分式相同的同分母的分式的变化形式叫做分式的通分 (2)、写写分式 x 1与3 1-x 的公分母： （3）、利用（2）的答案， 将下列两个分式化为同分母的分式 x 1 = 31 -x = （4）、分式232x -与3a x 的公分母有很多， 6x 2是其中最简单的一个，叫做最 简公分母 结合课本最简公分母的定义，自己总结一下确定最简公分母的步骤： 总 结
3、精讲点拨： （1）、分式通分的依据是： 通分的关键是： 最简公分母： （2）例题分析： 222 222322633k k k a b a b a b ×==× 注意： （三）、学以致用： 1、巩固新知： 课后小练习T2 2、能力提升： 课本85页习题第3题。 （四）、达标测评： 1.填空： （1）分式 xy 43与y x 2 25的最简公分母是 ； （2）分式 11-x 与1 1+x 的最简公分母是 。 2.把下列各题中的分式进行通分： 总 结 ()222 5(1) (2)3224-16 h k n mn ab a b m m +把下列各题中的分式通分：－，，222(1)32h k ab a b 分式与的最简公分母是6a b 2 2 33622h h ah a ab ab b a a ×==×()()()22 5(2)-1644,24-16 2(4)(4)n mn m m m m m m m =+++－因为－所以分式 与的最简公分母是－()()()() 424244m n n m m m ×= ++?－－2 510162(4)(4)mn mn m m m = +－－－－
分式的通分教学反思 一、用知识的正迁移引入正题“通分”显得自然流畅。 二、通过两组通分形式的对比，让学生展开讨论，引导学生得出找“最简公分母” 的正确方法，由此不仅突破了难点，而 且让学生享受到了获取知识的愉悦，同时也培养了学生总结能力与归纳能力。开发了学生的智力。 三、（1）教师在讲解“通分”时一定要强调把异分母的分式化成同分母分式时，必 须使化成的分式与原分式相等。故此 应让学生时确通分的依据。 （2）通过分析强调“最简公分母”的重要性。 四、为了避免知识的负迁移，教师运用对比的方法提出了“因式分解”中找“公因 式”的方法。 五、针对不同层次的学生，教师可配备了相应的巩固练习，不仅使各层次学生都能 ‘吃饱’‘吃好’而且为以后的分式加 减法运算奠定了良好的基础。但考虑到本班的实际情况，在教学中没有增设另外练习，只力求掌握好新课的基础知识。
分式的“约分、通分”教学反思 新课标指出，提供给学生的学习内容必须是现实的，有意义的，富有挑战性的。教师要全面了解学生的学习状况，创设有利于学生学习的情境，更好地激发学生的学习热情，营造一种能促进学生主动发展的课堂气氛，让学生在正确评价中，得到肯定，增强信心，提高学习兴趣，使自己在各方面都不断进步。 一、约分例3教学 “约分”是分式基本性质的直接应用。通过学习约分，不仅可以巩固分式的基本性质，而且还可以为下节课学习分式四则运算打下基础。本课教学我采取了如下措施： 1、重视复习的作用。有关分式概念与分式基本性质以及本节课约分的学习联系得极为密切，没有前者为知识基础，约分的学习将无法顺利进行。因此，第一环节就安排了复习引入，唤起学生对分式基本性质和整式的单项式、多项式、多项式因式分解中相关知识的回忆，为约分的学习做好准备。 2、引导学生主动探索。新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过观察、探究、展示、交流、小结等活动，一步一步地从化简分式（最简分式）的具体过程中抽象出约分的概念。学生也在约分的探究学习中相互交流了自己的想法和作法。通过合作交流促进了学生对约分方法的理解和掌握。 3、围绕重点练习巩固新知。课堂练习安排了三道针对性很强的练习题：第1题重在训练学生对于公约数的观察判断能力，从而更好地掌握约分的方法；第2题主要考查学生对于最简分式概念的掌握情况，并练习把分式化为最简分式。第3题采用学生板演，全面了解学生对约分方法的掌握情况。 4、引导学生对学习过程进行总结和反思，让学生更好地感受约分方法的学习过程，进一步提高约分方法的掌握水平。 二、通分例4教学 “通分”这一例是在分式基本性质的基础上的一种应用，它为后节课学习分式的加减法运算奠定基础。所以我采用了自主探究的学习方式，在教学设计上我注重让学生经历知识的形成过程，动脑思考，动手验证，突出学生主体性。让学生在探究过程中有所体验，有所感悟，有所发现，目的在于鼓励学生积极主动地参与探索通分知识的全过程。因此，我设计了如下的教学过程： 1．每人写一个自己喜欢的分式。生汇报，教师板书两个。（选择异分母分式）2．观察一下，它们有什么特点？同桌可以自由讨论。 3．你们知道它们的异同吗？你准备怎么区别？你们有几种不同的方法。各小组确定一种方法，开展讨论研究，等一下分组汇报。 4．分组讨论学习。 5．请大家上台演示交流各自的方法。 在此基础上引出通分的概念。通分的方法其实不难，关键是让学生理解为什么要通分和通分的方法，为此我将通分与观察异分母分式有机的结合起来，让学生通过探讨两个异分母分式的活动，在比较归纳的基础上理解通分的目的。 通分一般采用什么方法是在学生自主探究、交流合作、争论辩解的氛围中明确的，让学生大胆猜测，大胆设想，在此过程中，引导学生进行比较归纳。所以，如果我们在数学课堂教学中经常注视培养学生的思维能力，当学生的思维受阻时，教师适时点拨，当学生的思维遇卡时，教师巧妙催化，这样会使学生在题中数量间自由地顺逆回环，导致学生发散思维能力的形成，以有利于培养学生的创新思维。
13、分式总复习 【知识精要】 分式定义：（、为整式，中含有字母）性质通分：约分：分式方程定义：分母含有未知数的方程。如解法思想：把分式方程转化为整式方程方法：两边同乘以最简公分母依据：等式的基本性质 注意：必须验根应用：列分式方程解应用题及在其它学科中的应用A B A B A M B M M A B A M B M M x x A B B =??≠=÷÷≠???????-=+???????????????????????????????????????????()()005113 【分类解析】 1. 分式有意义的应用 例1. 若ab a b +--=10,试判断 1111a b -+，是否有意义。 分析:要判断1111 a b -+，是否有意义，须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断a b -+11，与零的关系。 解： ab a b +--=10 ∴+-+=a b b ()()110 即()()b a +-=110 ∴+=b 10或a -=10 ∴-+1111 a b ，中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2． 计算:a a a a a a 2211313 +-+--+- 分析：如果先通分,分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“分
离分式法”简化计算。 解：原式=+-+--+-a a a a a a ()()111313 =-+-+-=-+--=--+++-=- -+-a a a a a a a a a a a a a 1113 1113 311322 13()()() ()() ()() 例3． 解方程：11765556 222-++=-+-+x x x x x x 分析：因为x x x x 27616++=++()()，x x x x 25623-+=--()()，所以最简公分母为：()()()()x x x x ++--1623,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于x x x x x x x x x x 222225556561561156 -+-+=-+--+=--+故可得如下解法。 解: x x x x x x 222561561156 -+--+=--+ 原方程变为11761156 22-++=--+x x x x ∴++=-+∴++=-+∴=176156 76560 2222x x x x x x x x x 经检验，x =0是原方程的根。 ３. 在代数求值中的应用 例４. 已知a a 2 69-+与||b -1互为相反数,求代数式 ()42222222222a b a b ab a b a ab b a b ab b a -++-÷+-++的值。 分析:要求代数式的值,则需通过已知条件求出a 、b 的值，又因为a a a 226930-+=-≥(),||b -≥10,利用非负数及相反数的性质可求出a 、ｂ的值。
1 【基础知识】分式的通分 1.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分. 2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，该公分母叫做最简公分母. 3.确定最简公分母的一般步骤： ①取各分母系数的 . ②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式. ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数 . ④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取. 【题型1】分式的通分 通分：（1）1ab 2与53a 2c ； (2) x 2y 与23xy 2； (3)2n n －2与3n n ＋3； （4）1x 2－4与x 4－2x . 【变式训练】 1.分式y x y x y x 3 22231 ,3,53 的最简公分母是______________. 2.分式 12x 2， 2y -xy 2 ，3x 的最简公分母是 . 3.通分 (1) y x xy 32 75与 53； (2) 2245与 54ac b c ab a ； （3）2 2245 与32bc c ab .
2 （4）2 2 294, 65, 31m n m mn ； (5) 2 22, 53 , 4ac b bc a c b a -. （6）625与32--x x x ； （7）a b a a 253与522-+. （8）)(5与)(4y x b y y x a x -+； （9）b a b b ab a ++23与 222 . （10）y x x x y 2与422 2+- ； （11）4 3 与422 -+x x x . （12）))((5与32b a b a b ab +--； （13）) (与)(2 22x y b y y x a x --. （14）9 3与96522-++m a m m a ； （15）2x x 2＋2x 与x －6x 2 －4；
分式的约分练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
分式的约分练习题 姓名 一、选择题 1.已知分式 ) 3)(1() 3)(1(-++-x x x x 有意义，则x 的取值为( ) A.x ≠－1 B.x ≠3 C.x ≠－1且x ≠3 D.x ≠－1或x ≠3 2.下列分式，对于任意的x 值总有意义的是( ) A. 1 5 2--x x B. 1 1 2+-x x C.x x 812+ D. 2 32+x x 3.若分式 m m m --2 1 ||的值为零，则m 取值为( ) A.m =±1 B.m =－1 C.m =1 D.m 的值不存在 4.当x =2时，下列分式中，值为零的是( ) A.232 2+--x x x B. 9 4 2--x x C.2 1 -x D. 1 2 ++x x 5.每千克m 元的糖果x 千克与每千克n 元的糖果y 千克混合成杂拌糖，这样混合后的杂拌
糖果每千克的价格为( ) A. y x my nx ++元 B. y x my mx ++元 C. y x n m ++元 D. 21(n y m x +)元 6.下列约分正确的是( ) A.3 2 )(3)(2+=+++a c b a c b B. 1)()(2 2 -=--a b b a C. b a b a b a +=++2 2 2 D. x y y x xy y x -=---1 22 2 8.等式 ) 1)(1() 1(1+++=+b a b a a a 成立的条件是( ) A.a ≠0且b ≠0 B.a ≠1且b ≠1 C.a ≠－1且b ≠－1 D.a 、b 为任意数 9.如果把分式 y x y x ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值( ) A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.是原来的2 3 D.不变 10.不改变分式的值，使3 3212 -+--x x x 的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为( )
分式通分的技巧 一、分组通分 例1、计算：x y x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。 解：原式)23(452y x x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244x y xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。 二、先约分再求值 例2、计算：9 69362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。 解：原式3323336)3()3(3()3()6(2 ++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。 三、逐步通分法 例3、计算：4214121111x x x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果. 解：原式844422181414141212x x x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。 四、整体通分法 例4、计算y x y x x +-+2 分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以