第八章 第七节 抛物线
一、选择题
1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2
＝2的上焦点，则a 等于 ( )
A ．1
B ．4
C ．8
D ．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a 4
)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有 a 4＝2, 解得a ＝8.
答案：C
2．抛物线y ＝－4x 2
上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )
A ．－1716
B ．－1516 C.716 D.1516 解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116
.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1?y 0＝－1516
. 答案：B
3．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )
A.34
B ．1 C.54 D.74 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12
(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54
. 答案：C
4．已知抛物线y 2
＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，
则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12
|AB |＝半径，故相切．
答案：C
5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( )
A ．4 2
B ．8
C ．8 2
D ．16
解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由????
? y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2
－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝
x 1＋x 22－4x 1x 2＝144－16＝8 2.
答案：C
6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )
A ．(－2,1)
B ．(1,2)
C ．(2,1)
D ．(－1,2)
解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2
的准线，F 为其焦点，PN ⊥
l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋
|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A
点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.
答案：B
二、填空题
7．(2012·永州模拟)以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．
解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.
答案：x 2＋(y －4)2＝64
8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．
解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，
则准线为y ＝－a 4.
∵Q (－3，m )在抛物线上，
∴9＝am .
而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，
∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a
代入， 得|9a ＋a 4
|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18， ∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .
答案：x 2＝±2y 或x 2＝±18y
9．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA | ＋| FB | ＝________.
解析：由????? y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点
的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝
(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7
答案：7
三、解答题
10．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点；
(2)过点P (2，－4)．
解：双曲线方程化为x 29－y 216
＝1， 左顶点为(－3,0)，
由题意设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2
＝－3， ∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2
＝－12x .
(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，
∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2
＝－y .
11．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OM 与OP 的夹角为π4
，求△POM 的面积．
解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224
，y 2)， ∵P ，M ，A 三点共线，
∴k AM ＝k PM ，
即y 1
y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224， 即y 1
y 21＋4＝1y 1＋y 2， ∴y 1y 2＝4.
∴ OM · OP ＝y 214·y 224
＋y 1y 2＝5. ∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4
， ∴| OM |·|OP |·cos π4
＝5. ∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52
. 12．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足 MB ∥ OA ， MA · AB ＝ MB · BA ，M 点的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
解：(1)设M (x ，y )由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．
所以 MA ＝(－x ，－1－y )， MB ＝(0，－3－y )， AB ＝(x ，－2)．
再由题意可知(MA ＋ MB )·AB ＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.
所以曲线C 的方程为y ＝14
x 2－2. (2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14
x 2－2上一点， 因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12
x 0. 因此曲线l 的方程为y －y 0＝12
x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0. 则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 2
0|x 20
＋4.又y 0＝14x 20－2，
所以d＝1
2
x20＋4
x20＋4
＝
1
2
(x20＋4＋
4
x20＋4
)≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11
抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ：
2015高考数学专题复习：函数零点 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标． ()x g x f y -=)(的零点（个数）?函数()x g x f y -=)(的图像与x 轴的交点横坐标（个数） ?方程()()0=-x g x f 即()x g x f =)(的实数根（个数） ?函数)(x f y =与)(x g y =图像的交点横坐标（个数） 1.求下列函数的零点 1.232-+=x x y 2.x y 2log = 3.62 -+=x x y 4.1ln -=x y 5.2 1sin + =x y 2.函数22()(2)(32)f x x x x =--+的零点个数为 3.函数()x f =???>-≤-+) 0(2ln ) 0(322x x x x x 的零点个数为 4.函数() () ???>+-≤-=13.41.44)(2x x x x x x f 的图像和函数()ln g x x =的图像的交点个数是 （ ） .A 1 .B 2 .C 3 .D 4 5.函数5 ()3f x x x =+-的零点所在区间为 ( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4] 6.函数1()44x f x e x -=+-的零点所在区间为 （ ） A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 7.函数()2ln(2)3f x x x =--的零点所在区间为 （ ） A. (2,3) B. (3,4) C. (4,5) D. (5,6) 8.方程2|2|lg x x -=的实数根的个数是 9.函数()lg ()72f x x g x x ==-与图像交点的横坐标所在区间是 （ ） A ．()21， B ．()32， C ．()43， D ．()54， 10.若函数2 ()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______
（四十五） 抛 物 线 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 抛物线的定义及其应用 1．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2 ＝12，所以点C 的横坐标是 x 1＋x 2 2 ＝6. 2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．13 解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4. 3．若抛物线y 2＝2x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.????1 4，±22 B.????1 4，±1 C.????1 2 ，±22 D.??? ?12，±1 解析：选A 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，P (x P ，y P )，由抛物线的定义知，点P 到准线的距离即为点P 到焦点的距离，所以|PO |＝|PF |，过点P 作PM ⊥OF 于点M (图略)，则M 为OF 的中点，所以x P ＝14，代入y 2＝2x ，得y P ＝±22，所以P ????1 4 ，±22. 4．已知抛物线y 2 ＝2px 的焦点F 与双曲线x 27－y 2 9 ＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 解析：选D 由题可知抛物线焦点坐标为F (4,0)．过点A 作直线AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知，|AA ′|＝|AF |，在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°，所以直线AK 的倾斜角为45°，直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物
2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法：
抛物线经典结论和例题
方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，
2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用
学案37 合情推理与演绎推理 导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 自主梳理 自我检测 1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)： ①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0?a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i?a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2?a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”．其中类比结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________． 5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________． 探究点一归纳推理
高考数学专题之排列组 合综合练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．从中选个不同数字，从中选个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（） A． B． C． D． 2．五个同学排成一排照相，其中甲、乙两人不排两端，则不同的排法种数为（）A．33 B．36 C．40 D．48 3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（） A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 4．要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有__________种（用数字作答）. 5．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为__________．(用数字作答） 6．有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是 __________． 7．现有个大人，个小孩站一排进行合影.若每个小孩旁边不能没有大人，则不同的合影方法有__________种．（用数字作答） 8．（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 9．由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数． 10．将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法
第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y 2 =2px(p>0)的准线与圆x 2 +y 2 -6x-7=0相切,则p 的值为( ) (A) 12 (B)1 (C)2 (D)4 解析:圆x 2 +y 2 -6x-7=0化为标准方程为(x-3)2 +y 2 =16,∴圆心为(3,0),半径是4, 抛物线y 2 =2px(p>0)的准线是x=-2 p , ∴3+ 2 p =4, 又p>0,解得p=2.故选C. 答案:C 2.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) (A) 34 (B)1 (C) 54 (D) 74 解析:∵|AF|+|BF|=x A +x B +12 =3, ∴x A +x B = 52 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为2 A B x x += 54 .故选C. 故选C. 答案:C 3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( ) (C)4 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则M 到焦点的距离为x M + 2p =2+2 p =3,∴p=2,∴y 2 =4x.∴ 2 y =4×2,∴故选B. 答案:B 4.(2010年上海卷,理3)动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程是 . 解析:由抛物线的定义知,点P 的轨迹是以F 为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y 2 =8x. 答案:y 2 =8x 5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 m.
A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·山东)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )． 解析 在同一坐标系中作出y ＝2x 与y ＝x 2的图象可知，当x ∈(－∞，m )∪(2,4)，y <0，；当x ∈(m,2)∪(4，＋∞)时，y >0，(其中m <0)，故选A. 答案 A 2．(2012·合肥模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于任意的x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 010)＋f (2 011)的值为( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－2 010)＝f (2 010)． ∵当x ≥0时，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (－2 010)＋f (2 011)＝f (2 010)＋f (2 011) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝0＋1＝1. 答案 C 3．(2012·人大附中月考) 设函数y ＝x 3与y ＝????12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )． A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析 (数形结合法)如图所示． 由1 4．(2011·四川)函数y ＝????12x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )． 解析 函数y ＝????12x ＋1的图象如图；作其关于直线y ＝x 的对称图象，可知选A. 答案 A 5．(2010·辽宁)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )． A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析 由已知条件a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，又1a ＋1 b ＝2，则log m 2＋log m 5＝2，即log m 10＝2， 解得m ＝10. 答案 A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 解析 (数形结合法) 由图象可知0＜2a ＜1，∴0＜a ＜1 2. 答案 ??? ?0，12 7．若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 ∵3－ 1＝13，30＝1，13＜0.618<1，∴k ＝－1. 答案 －1 8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 2018年11月14日高中数学作业 温馨提示：（每题4分满分100分时间90分钟）姓名________________ 一、单选题 1．某种植基地将编号分别为1，2，3，4，5，6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 A B C D E F 这六块实验田上进行对比试验，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要求编号1，3，5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻，且2号品种的马铃薯不能种植在A、F这两块实验田上，则不同的种植方法有 ( ) A． 360种 B． 432种 C． 456种 D． 480种 2．甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（） A．种 B．种 C．种 D．种 3．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（）种 A． 19 B． 26 C． 7 D． 124．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（） A． B． C． D． 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（） A． 300种 B． 150种 C． 120种 D． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A． 105 B． 95 C． 85 D． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（） A．种 B．种 C．种 D．种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（） A． 168种 B． 156种 C． 172种 D． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（） A．14400 B．28800 C．38880 D．43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故 序号123456789101112选项 13141516171819202122232425 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 抛物线 1．抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点坐标 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点坐标 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ????0，p 2 F ????0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线． 2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？ 提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是???? a 4，0，准线方程是x ＝－a 4 .( × ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线 y 2＝2px (p >0)的过焦点 F ????p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2 4 ，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编 2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8. 3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y 解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) 选修4经典回顾 主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师 开篇语 选修系列4在高考中主要考查4—1中的几何证明选讲、4—4中的坐标系与参数方程、4—5中的不等式选讲三个专题内容．围绕着三部分内容的试题，既有选择题和填空题，又有解答题．因此在第一轮复习中必须围绕上述核心考点，选择相关的问题进行求解训练，提高解决不等式问题能力 开心自测 题一：不等式|21|35x x -++≤的解集是_______________． 题二：如图，,AB CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，他们相交于AB 的中点P ，23a PD = ，30OAP ∠=?，则CP ＝_________． 考点梳理 选修4—1几何证明选讲部分： 1．垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． D 2．圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3．圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内角的对角． 4．圆内接四边形的判定定理： 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果一个四边形的外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． 5．切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等． 6．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 7．相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 8．切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 选修4—4中的坐标系与参数方程部分： 1. 极坐标与直角坐标的关系 设点M的直角坐标为(x，)y，极坐标为(ρ，)θ， 则 cos, sin. x y ρθ ρθ = ? ? = ? 或 222, tan(0). x y y x x ρ θ ?=+ ? ? =≠ ?? 高考数学-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有 高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D - 高考数学七大必考专题 专题1：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点 函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。 一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。 不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。 专题2：数列 以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。 专题3：三角函数，平面向量，解三角形 三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。 专题4：立体几何 立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。 另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。 专题5：解析几何 第三节 抛物线 高考试题 考点一 抛物线的定义和标准方程 1．(2010年陕西卷，理８)已知抛物线y 2 =2ｐx （p>０)的准线与圆ｘ2 +y 2 -6x-7＝0相切,则p 的值为( ) (Ａ) 1 2 (B ）1 (C)2(D)４ 解析:圆x 2 +y 2 －6x －7=0化为标准方程为（x-3）2 +y 2 =1６,∴圆心为(３,０)，半径是4, 抛物线y 2 =２px(p ＞０)的准线是x ＝－ 2 p , ∴３+ 2 p =4， 又p ＞0，解得p ＝2．故选C. 答案:C ２.(2011年辽宁卷,理3)已知F 是抛物线y 2 ＝x 的焦点,A,Ｂ是该抛物线上的两点，｜AF|+|ＢF ｜=3,则线段ＡＢ的中点到y 轴的距离为（ ） (A) 3 4 (B)１ (C) 54 （D) 74 解析:∵|A Ｆ|+|BF|=ｘA ＋ｘB + 1 2 =３, ∴ｘＡ＋ｘＢ= 52 . ∴线段ＡB 的中点到y 轴的距离为 2A B x x =5 4 ．故选C ． 故选C. 答案:C 3.（2012年四川卷，理８)已知抛物线关于ｘ轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(２,y 0）.若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则｜O Ｍ|等于( ) （A)2 2 (B)2 3(C)4 (D)２ 5 解析:由题意设抛物线方程为y 2 =2px(ｐ＞０）,则M 到焦点的距离为ｘＭ+ 2p ＝2＋2 p =3,∴p=2，∴y ２ =４x ．∴ 20y =4×２，∴｜ＯM|=20 4y += 48+=23.故选B. 答案:B 4.（2０10年上海卷,理3)动点P 到点Ｆ(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程是. 解析：由抛物线的定义知,点Ｐ的轨迹是以F 为焦点,定直线ｘ＋２＝0为准线的抛物线，故其标准方程为y 2 ＝8x. 答案：ｙ2 =８x 5.(201２年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在ｌ时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降 １ m 后,水面宽m ． 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x ２ =-２py （p ＞0), 则A （２，－2),将其坐标代入 x 2 =-2ｐy,得ｐ=1．∴x 2 =-2y ． 当水面下降1 m,得D(x ０,-３)(x 0＞0), 将其坐标代入x 2 =-2ｙ得2 0x =6, ∴x 06,∴水面宽6 m. 答案6高考数学专题之排列组合小题汇总
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