第八章最优化问题
最优化分支：线性规划，整数规划，几何规划，非线性规划，动态规划。又称规划论。
应用最优化方法解决问题时一般有以下几个特点：
1. 实用性强
2. 采用定量分析的科学手段
3•计算量大，必须借助于计算机
4.理论涉及面广
应用领域：工业，农业，交通运输，能源开发，经济计划，企业管理，军事作战……。
§ 8.1最优化问题实例
最优化问题：追求最优目标的数学问题。
经典最优化理论：
(1)无约束极值问题：opt f(X i,X2, ,X n)
(min f(X i,X2, ,X n)或max f(X i,x2^ ,X n)) 其中，
f(X i,X2/ ,X n)是定义在n维空间上的可微函数。
解法(求极值点)：求驻点，即满足
f x i (X i，,X n) = 0
f x2 (X i, ,X n) = 0
并验证这些驻点是否极值点
(2)约束极值问题：Opt f(X i,X2, ,X n)
s.t. h j(X i,X2, ,X n) = 0, j = 1,2, ,1(1 n) 解法：采用Lagrange乘子法，即将问题转化为求Lagrange函数
l
L(X I,X2, X；‘1,
,l) = f(X1,X2, ,X n)、
j=1
的无约束极值问题
近代最优化理论的实例：
例1 （生产计划问题）设某工厂有3种资源B1，B2，B s，数量各
为b i, b2, b s,要生产10种产品A i，…，A io。每生产一个单位的
A j需要消耗
B i的量为a j，根据合同规定，产品A j的量不少于q，再设A j的单价为q。问如何安排生产计划，才能既完成合同，又使总收入最多？（线性规划问题）
数学模型：设A j的计划产量为X j , z为总收入
10
目标函数：maxz-y C j X j jm
1o
l z am 玄bj =1,2,3
约束条件：'冃
.X^ d j, j = 1,2，…,10
线性规划问题通常采用单纯形法来求解。
例2 （工厂设址问题）要在m个不同地点计划修建m个规模不完全相同的工厂，他们的生产能力分别是6,a2…，a m（为简便起见，假设生产同一种产品），第i个工厂的建设费用fj =1,2，…，m。又有n个零售商店销售这种产品，对这种产品的需求量分别为
b 1,b^ ,b n ，从第i 个工厂运送一个单位产品到第j 个零售商店的运 费为q 。试决
定应修建哪个工厂，使得既满足零售商店的需求，又使 建设工厂和运输的总费用最小。（混合整数规划问题）
数学模型： 设第i 个工厂运往第j 个零售商店的产品数量为x j （i=1，…，m ; j=1，…，n ）,且
i =1
n
1 1 1 约束条件：
] 1 1
' X ij 岂 ay i , i = 1, , m 2 m
-X j _ bj , j
= I
,n
y^ 0 或 1, i = 1, , m X ij - 0, i = 1, ,m; j = 1, , n
整数规划问题通常可用分枝定界法或割平面法来求解。
例3 （投资计划问题）假设某一个生产部门在一段时间内可用于 投资的总金额为a 亿元，可供选择的项目总共有n 个，分别记为1, 2,…n 。并且已知对第j 个项目的投资总数为a j 亿元，而收益额总数 为C j 亿元。问如何使用资金a 亿元，才能使单位投资获得的收益最大。 （非线性规划问题）
1, 对第j 个项目投资
数学模型：设X j 十0 否则
，j"，…，n
y i =
0, 如果修建第i 个工厂
否则
,i = 1, ,m
目标函数:
m
min z 八
n
f i V\ C ij X ij
n
、c j x j j £
目标函数：max"
迟a j x j
j =1
n
[■- a j X j 乞a
约束条件：'2
Xj = 0 或1, j = 1,…,n
非线性规划问题的求解方法很多，是本课的重点。
动态规划是解决“多阶段决策过程”的最优化问题的一种方法，
基于“Bellman最优性原理”，例如：资源分配问题，生产与存储问题。
例4 （多参数曲线拟合问题）已知热敏电阻R依赖于温度T的函
数关系为
X2
R = x1e T X3
（*
）
其中，X i,x2,X3是待定的参数，通过实验测得T和R的15组数据列
表如下，如何确定参数12 3 ？
建立数学模型：测量点(T j,RJ与曲线R(T)对应的点产生“偏差”
X2
15
S = E [R —乂点址]2
得如下无约束最优化问题:
15 J
minf(x) = Z [R — Ne Ti4X3]2
i=1
通常采用最小二乘法。
§ 8.2 最优化问题的数学模型
一、最优化问题的数学模型
1. 定义1：设向量，二[可包厂，a m]T「叮db，…，b m]T.
若a-^ b i (i =1,2/ ,m)，则记或 '一；
若a「b i (i =1,2, ,m)，则记或'：°
2. 一般模型：
opt f (x) = f (x「x2, , x n) (minf(x)或maxf(x)) , (1)
S i(x)- 0, i =1, ,m (2) s t 彳
s.t.h
⑶
j(x) =0, j =1, ,1
其中，x =[X1,X2，…，xJ T; f(x) , S i(x) , h j(x)是关于变量
X1,X2，…，X n的实值连续函数，一般可假定它们具有二阶连续偏导数。
3. 向量模型:
opt f (x) (minf (x)或maxf (x)),
(1)
'S(x)色0, i = 1,…，m (2) s t 」
jh(x) = 0j1,…，1 ⑶其中，X二[X i,X2厂，X n]T, f(x)称为目标函数；
S(x)二S(x), ,S』x)T, h(x)二h/x), , h(x)l T。
S i(x) , h j(x)称为约束函数；
满足约束条件(2), ( 3)的点称为容许解或容许点(或可行解)；容许解的全体称为容许域(或可行域)，记为R；
满足(1)的容许点称为最优点或最优解(或极小(大)点)，记为x ；f (x )称为最优值；
不带约束的问题称为无约束问题，带约束的问题称为约束问题；
若目标函数f(x)，约束函数S(x)，h j(x)都是线性函数，则称为线性规划；若其中存在非线性函数，则称为非线性规划；
若变量只取整数，称为整数规划；
若变量只取0，1，称为0 —1规划。
注：因h(x)=0= h(x)_0，-h(x) — 0，则最优化问题一般可
写成
opt f (x)
-S.t. S(x) z 0
最优化问题的分类
§ 8.3 二维问题的图解法
例 1.
maxz 二 2x 1 3x 2
片+ 2x 2兰8
s.t.
4x 「「6 • X i ，x^ 0
解：1.由全部约束条件作图，求出可行域 R :凸多边形OABC 2•作出一条目标函数的等值线：设 2x i 3x^ 6，作该直线即 为一条目标函数的等值线，并确定在可行域内，这条等值线向哪个方 向平移可使z 值增大。
3. 平移目标函数等值线，做图求解最优点，再算出最优值。顶 点B （4,2）
是最优点，即最优解X”二［4 2］T ，最优值z = 14。
分析：线性规划问题解的几种情况 （1） 有唯一最优解（上例）；
（2） 有无穷多组最优解：目标函数改为 maxz=2x 「4x 2 （3） 无可行解：增加约束X 2 - 5，则R 八」。
（4）无有限最优解（无界解）：例maxz 二x 「X 2
最优化问题
静态规划
I I
动态规划
，一维问题
n 维问题 |无约束问题」
I
'线性规划
非线性规划
［约束问题』
& - 2x 2 乞 4
I
s.t. - x 1 x 2 - 2
x 1, x^ 0
结论：（1）线性规划问题的可行域为凸集，特殊情况下为无界域 或空集。（2）线性规划问题若有最优解，一定可在其可行域的顶点上 得到。
例 2.
min(X [ - 2)2 (x 2 -1)2
卜+心=0
s.t J 捲 + x 2 — 5 兰 0
为，x 2兰0
解: 目标函数等值线：（石-2）2 + （x 2 -1）2 = 1
定义2：在三维及三维以上的空间中，使目标函数取同一常数的 点集｛
x f
（x ）= r, r 是常数｝称为等值面。
C 为最优点
x 1 x ； - 5x 2 = 0
x 1 x 2 - 5 = 0 ，得x 叮4 1]T
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
研究生课程教学大纲 课程编号：S292001 课程名称：数值分析 开课院系：机电学院任课教师：韩继光 先修课程：高等数学适用学科范围：机械工程 学时：54 学分： 3 开课学期：1 开课形式：讲授 课程目的和基本要求： 本课程是研究用计算机解决数学类问题的数值方法及其理论，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学位基础课。本课程将重点介绍数值分析与计算的基本原理、基本技巧和有效算法，使学生掌握常见的数学问题的基本数值解法及主要结论，培养独立分析与解决计算实际问题，并具有实际上机操作解决实际问题的能力，为今后的学习与研究奠定良好的基础。本课程从工程类专业学生的实际情况出发,力求精简，以实用为原则并重视理论联系实际，在讲授数值计算方法基本内容的同时，还专门安排了上机计算实践。 课程主要内容： 第一章绪论 绪论部分主要包括数值计算方法的对象与特点、误差与误差限的定义与减小误差的几种常用方法。 第二章一元非线性方程解法 主要包括区间二分法、简单迭代法、迭代法加速方法、牛顿(Newton)迭代法和求重根的修正牛顿法。 第三章线性代数方程组的数值解法 主要包括高斯消去法、主元消去法、矩阵的直接分解法、迭代法、方程组的性态分析和非线性方程组求解的牛顿拉夫森(Newton-Raphson)方法。 第四章函数插值 主要包括拉格朗日(Lagrange)插值多项式、逐步线性插值、牛顿(Newton)插值多项式、带导数的插值问题、分段插值与样条(Spline)插值和多元函数插值的BP神经网络法。 第五章函数逼近与曲线拟合 主要包括最佳一致逼近、最佳平方逼近、线性最小二乘法和超定方程求解方法。 第六章数值积分与数值微分 主要包括插值型求积公式、等距节点求积公式、龙贝格(Romberg)求积公式、高斯(Gauss)求积公式、样条与最小二乘求积公式、奇异积分、多维数值积分和数值微分。 第七章常微分方程数值解法 主要包括欧拉(Euler)方法、改进欧拉方法、龙格—库塔(Rung-Kutta)方法、阿达姆斯(Adams)方法、一阶微分方程组和高阶微分方程。 第八章矩阵的特征值及特征向量的计算 主要包括幂法、幂法加速技术、反幂法、雅可比法和QR方法。
第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯ 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y . 27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +⎰ ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足 .s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++
工科研究生“数值分析”课程的教学大纲 序号：课程编号： 课程名称：数值分析/ Numerical Analysis 学时：40 学分： 2.5 责任教师：王开荣，何光辉，董海云，李东，温罗生 适用专业：工科研究生各专业 先修课程：高等数学、线性代数 课程教材：《应用数值分析》，王开荣，杨大地，高等教育出版社，2010年7月 参考教材：1. 关治, 陆金甫，《数值方法》清华大学出版社，2006.2. 2. Numerical Analysis Using MATLAB,Fourth Edition,电子工业出版社(影印版)，2005 年7月。 一、课程的性质、目的和任务 学习数值分析课程能培养学生运用数学的方法和借助计算机解决工程计算问题的能力。其任务是通过近似计算，使得许多难以求解的数学问题得以简化、可行。并得到满足误差要求的近似解。本课程的目的和任务是使工科研究生掌握工程应用中的数值计算方法，为具有不同工程背景的学生能运用这些近似计算方法处理在工程技术及其科学研究中出现的计算问题奠定坚实的基础。通过学习要求学生能正确理解数值分析的所有的概念和算法，掌握算法的构造思想及其基本算法的步骤。能应用工具软件Matlab独立完成常用的算法的编程及数值计算。通过典型的数值算例验证所编程序的正确性，并且应用到实际问题中。 二、课程的教学内容和基本要求 1．误差(4学时) (1)了解误差的来源和误差的概念; (2)理解误差的传播和算法中应避免的问题; 2．线性方程组的直接解法(6学时) (1)掌握Guass消去法，理解范数的概念; (2)熟练运用Gauss列主元素法，三角分解法，追赶法; 3．线性方程组的迭代法(4学时) (1)理解迭代法的收敛条件，掌握Jacobi迭代法; (2)熟练运用Seidel，SOR迭代法; 4．方阵的特征值与特征向量的计算(2学时) (1)了解QR方法; (2)熟练运用乘幂法和反幂法，Jacobi方法; 5．非线性方程求根(4学时) (1)掌握二分法; (2)熟练使用Newton法;
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
A：《数值计算方法》课程教学大纲 授课专业：信息与计算科学、数学与应用数学、统计学 学时数：64+16学分数：5 一、课程的性质和目的 数值计算方法是综合性大学信息与计算科学专业的一门主要专业基础课程，同时也是许多理工科本科的专业课。“数值计算方法”，它是以各类数学问题的数值解法作为研究对象，并结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供算法，它是平行于理论分析和科学实验的重要科学研究手段。本课程的教学目的在于通过教与学，使学生系统掌握数值计算方法的基本概念和分析问题的基本方法，并通过上机实习为数值计算方法的进一步学习和解决科学与工程中的实际问题打好基础，使学生具备基本的算法分析、算法设计的能力和较强的编程能力。 二、课程教学的基本要求 本课程的教学环节包括课堂讲授，实验（包括上机实验），习题课，答疑和期末考试。通过上述基本教学步骤，要求学生理解并掌握数值计算中误差的概念、函数的数值逼近（多项式插值问题与函数的最佳逼近）、数值积分与数值微分、数值线性代数问题（线性方程组的数值解、数值求解矩阵的特征值与特征向量）、非线性方程的数值解法以及常微分方程（初、边值问题）的数值解法。并通过上机实习，深入理解和掌握各类数学问题数值算法及了解数值计算中应注意的问题，为后续课程的学习奠定良好的基础。 本课程以课堂讲授为主（总共授课64学时），每章后配有一定数量的习题，巩固课堂所学的知识。每一类算法应选做一定数量的实习题（全部安排16学时上机实习），以便深入理解数值算法的内容。考核方式为闭巻考试。 三、课程教学内容
第一章引论（3学时） 要求理解与熟练掌握的内容有：数值计算中误差的基本概念；算法的数值稳定性问题。 一般理解与掌握的内容有：计算机中数的浮点表示。 难点：算法的数值稳定性。 第二章函数基本逼近（一）----插值逼近（10学时）要求理解与熟练掌握的内容有：代数多项式插值；差商；牛顿插值多项式；埃尔米特插值。 要求一般理解与掌握的内容有：样条函数插值； 要求了解的内容有：B-样条及其性质。 难点：多项式插值理论，样条函数插值。 第三章函数基本逼近（二）----最佳逼近（9学时）要求理解与熟练掌握的内容有：最佳平方逼近；数据拟合的最小二乘法 要求一般理解与掌握的内容有：最佳一致逼近多项式；内积空间的最佳逼近；正交多项式。 难点：最佳平方逼近与最小二乘法 第四章数值积分方法与数值微分（9学时） 要求理解与熟练掌握的内容有：Newton—Cotes求积公式；复化求积公式；Gauss型求积公式；数值微分法。 要求一般理解与掌握的内容有：基于复化求积公式的高精度求积算法。 难点：数值积分方法与数值微分方法。 第五章线性方程组的解法（12学时） 要求理解与熟练掌握的内容有：Gauss消去法与矩阵的三角分解；向量与矩阵的范数；迭代方法（Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法及SOR迭代法的计算格式与收敛的充分条件）。 要求一般理解与掌握的内容有：共轭梯度方法。 难点：直接方法和迭代解法。
数值分析第五版_李庆扬 一、课程基本信息 课程中文名称： 数值分析 课程英文名称： Numerical Analysis 课程类别： 专业基础课 开课学期： 秋 适用专业： 信息与计算科学；应用数学 总学时： 86学时（其中理论课56学时，上机实习30学时） 总学分： 5（理论课3学分；上机实习2学分） 预修课程（编号）： 数学分析，高等代数，常微分方程 课程简介： 本课程是大学本科信息与计算科学和应用数学专业的一门基础课，也是工科研究生的必修课。本课程的主要内容是研究各种数学问题的数值计算方法的设计、计算误差分析以及有关理论和具体实现的一门数学课程。是应用数学的重要分支之一。 建议教材： 《计算方法》（二版）（邓建中、刘之行），西安，西安交通大学出版社，2001 参考书： [1]数值分析学习指导，关治编，出版社：清华大学出版社，出版时间：2008年； [2]数值分析，何汉林，梅家斌，科学出版社，2007年； [3]《数值计算引论》白峰杉高等教育出版社 2005年 [4]《数值分析》（第五版）李庆扬易大义等清华大学出版社 2008年 [5]Numerical Analysis，R.Kress，世界图书出版公司2003 6、数值分析学习辅导习题解析，李宏、徐长发编，华中科技大学出版社，2001年。 二、理论课程教育目标 通过本课程的教学使学生能了解现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本理论，系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为运用数值分析的理论知识并为掌握更复杂的现代计算方法打好。 三、理论教学内容与要求（含学时） 第一章：计算方法的一般概念（4学时） 本章教学内容： 理解计算方法的意义、研究内容与方法，理解并掌握误差的概念（包括误差的来源、绝对误差、相对误差），掌握有效数字及舍入误差对计算的影响。 第二章：解线性方程组的直接法（8学时）
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为 的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==3.1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记 有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限） 的和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4.
1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
教学大纲 课程编号：13000071 课程名称：数值分析（Numerical Analysis） 学分：4 总学时：72 学时分配：课时总学时：64学时。其中：理论课学时：60学时；习题课学时：12学时；实验学时：课内0学时，课外16学时。 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学 预修课程：数学分析/高等数学，高等代数/线性代数 ◇课程教学目标： 数值分析是研究利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力。◇教学要求： 通过本课程的学习，要求学生掌握数值计算的基本理论和方法：掌握数值逼近、数值微分与积分、微分方程初值问题、方程（组）求根的直接与迭代解法及矩阵特征值计算等方面的基本理论及经典算法，并能对算法进行误差分析。能使用计算机对基本数值计算问题进行求解，能初步用数值分析方法进行算法分析，为解决较复杂的实际科学与工程计算问题打下必要的基础。 ◇教学方法： 将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。在算法推导、理论分析等方面，可采用传统的板书讲解，引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。在课堂教学中应将课堂讲解、课堂提问、课堂讨论相结合，注重培养学生的创新意识。在课外已到学生积极开展数值试验，撰写实验报告、让学生在初步开展科研工作方面得到更好、更有效的训练。
第八章_刚性方程组及其数值计算 在数学和计算科学领域中，刚性方程组是一类特殊的常微分方程组， 其具有快速变化和缓慢变化的特点。由于这种差异性，常规的数值方法在 求解刚性方程组时可能会导致数值不稳定性和低效率的问题。为了应对这 一挑战，研究人员开发了一系列专门针对刚性方程组的数值计算方法。 刚性方程组的数值计算方法可以分为显式方法和隐式方法两类。显式 方法是基于初始条件和局部梯度计算下一步的近似解，而隐式方法则需要 求解一个逼近方程组来获得下一步的解。 在显式方法中，最常用的是显式欧拉法和改进的欧拉法。显式欧拉法 是基于初始条件和局部梯度计算下一步的近似解，它具有简单和高效的优点。然而，该方法对刚性方程组的求解效果并不理想，因为它无法很好地 处理快速变化和缓慢变化的差异。改进的欧拉法通过迭代求解一系列的线 性系统来提高数值解的精度。 隐式方法是针对刚性方程组更为常用的数值计算方法。其中，包括隐 式梯形法、隐式欧拉法以及龙格-库塔法等。这些方法通过求解一个逼近 方程组来获得下一步的解，可以处理刚性方程组中快速变化和缓慢变化之 间的差异。然而，隐式方法的计算成本比较高，需要求解非线性方程组或 者求解线性方程组的迭代过程。 在实际应用中，选择合适的数值计算方法通常依赖于问题的特点和求 解精度的要求。对于需要较高精度的刚性方程组，隐式方法往往更为适用。而对于计算资源有限的情况，显式方法可能会更加合适。 除了这些传统的数值计算方法，近年来还涌现出一系列新的方法来求 解刚性方程组。比如，基于伪谱方法的Chebyshev对称扩展法、高阶指数
方法和基于混合方法的方法等。这些方法通过使用高效的迭代算法和数值矩阵的近似方法，提供了更高的求解效率和数值稳定性。 总之，刚性方程组的数值计算是一个重要而具有挑战性的问题。不同的数值方法在处理刚性方程组时具有不同的适用性和优势。研究人员需要根据具体问题的特点和求解精度的要求选择合适的数值计算方法，以获得稳定且高效的数值解。
数值计算方法课后习题答案吕同富 【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】 txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数 一、本课程的地位和作用 数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值 微分、常微分方程数值解法。通过本课程的学习，学生将初步具备 用计算机去有效地解决实际问题的能力。 二、本课程的教学目标 通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。本课程坚持理论与实践教学 并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值 微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。与此同时，通过 上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效 地解决实际问题打下基础。 三、课程内容和基本要求 (“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既 是重点又是难点的内容) 第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求 （1）理解：几类常用的正交多项式。（2）掌握：最佳一致逼近和 最佳平方逼近。（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。 2．教学内容（1）*正交多项式。（2）▽*最佳一致逼近。（3）▽最佳平方逼近。（4）正交多项式的逼近性质。（5）▽曲线拟合的最小二乘法。第七章数值积分 1．教学基本要求 （1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。 2．教学内容 （1）*机械求积公式。 （2）▽newton-cotes求积公式。（3）▽复合求积公式。（4） 变步长求积公式。（5）▽romberg求积公式。（6）▽*gauss求 积公式第八章数值微分 1．教学基本要求
数值计算方法思考题 数值计算方法思考题 第一章预篇 1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？ 3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。 4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？ 5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。解对数据的微小变化高度敏感是病态的。高精度运算可以改善问题的病态性。 用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。两个相近数相减必然会使有效数字损失。 计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题 ax2 + bx + c = 0.
下面的公式是熟知的 bb24acx. 2a 与之等价地有 x? 对于 2c?b?b?4ac2. a = 1, b = -100 000 000 , c = 1 应当如何选择算法？ 8．指数函数有著名的级数展开 x2x3e?1?x 2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为 x?1n?xi xi?1 它的标准差 2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于 1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？ 第二章非线性方程求根 1．判断如下命题是否正确： (a) 非线性方程的解通常不是唯一的； (b) Newton法的收敛阶高于割线法； (c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)
丁丽娟《数值计算方法》五章课后实验题答案（源程序都是自己写的，很详细，且保证运行无误） 我做的五章数值实验作业题目如下： 第二章：1、2、3、4题 第三章：1、2题 第四章：1、2题 第六章：2、3题 第八章：1、2题 第二章 1：(1) 对A进行列主元素三角分解： function [l u]=myfun(A) n=size(A); for k=1:n for i=k:n sum=0; m=k; for j=1:(k-1) sum=sum+A(i,j)*A(j,k); end s(i)=A(i,k)-sum;
if abs(s(m)) for r=1:(k-1) sum=sum+A(i,r)*u(r,k); end l(i,k)=(A(i,k)-sum)/u(k,k); A(i,k)=l(i,k); end end 求A的列主元素三角分解： >>A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; >>[L,U]=myfun(A) 结果：L = 1.0000 0 0 0 0 1.0000 1.0000 0 0 0 1.0000 0.5000 1.0000 0 0 1.0000 0.7500 0.7500 1.0000 0 1.0000 0.2500 0.7500 -1.0000 1.0000 U = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 第一章 引论〔习题〕 2．证明 ： 记 x x f = )( ，则 ) ()(* ** x x x x x x x x f E r +-= -= )(21**x E x x x x x x r ≈-⋅+= . 3．证明： 令： ) ()()(b a fl b a fl b a **-*= δ 可估计： 1 |)(|-≥*c b a fl β 〔c 为b a *阶码〕， 故： 121||--≤ c t c ββδt -=12 1β 于是：)1)()(δ+*=*b a b a fl . 4．解 (1) )21()122 x x x ++.(2) ) 11(2x x x x x -++. (3) x x x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. 6．解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤ -=a x x E .x a x x E r -= )(, 221018 1 10921)(--⋅=⨯≤x E r . 〔1Th 〕 )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25 .0210113 2 1⨯⋅≤ -+---a x x a =3 10- 33 104110|)(|--⨯=-≤a f E r . 9．解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算 可得： 110 01.1002 2-⨯=-y 10001.1-=410-= 6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， … (2)取初值 50101-+=y ， 2 110-=y , 记： n n n y y -=ε, 序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5 010--=ε ， 01=ε 1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε, 531001.100-⨯=ε,55241010)01.100(---⨯=ε, 55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε, 可见随着 n ε 的主项52 10) 01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的. 第二章 多项式插值 (习 题) 1.方法一. 由 Lagrange 插值公式 )()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅= )1)((31)2)()(1()1)(()(21 23210---=-----=x x x x x x x l , ))(1(2) 1)()(1()(2122 1 211--=--+= x x x x x x l ， x x x x x x l )1()()1()1!()(238 21 21232--=-⋅⋅-+=,)()1(12)()1()(212 121 3-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(2 3-=x x x L 方法二. 令：)()21()(3B Ax x x x L +-= 由 23)1(3- =-L ， 2 1 )1(3=L ， 定A ，B 〔称之为待定系数法〕 2.证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： = )(x L n ∑=n i i k i x l x )( ，当 j x x = 时有： k j j n x x L =)( ， n j ,,1,0 = )(x L n 也即为 k x 的插值多项式，由唯一性，有： ∑==n i k i k i x x l x )( ， n k ,,1,0 = 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯ 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+⎰? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯ 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y . 27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+⎰? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?黄云清版数值计算方法习题解答
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