第一章 绪论
一.
填空题
1.*
x 为精确值x 的近似值；()
**x f y
=为一元函数
()x f y =1的近似值；
()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：
**e x x =-：***r
x x e x -=
()
()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()
()'
***1*
*r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()*
*,**,*2**f x y f x y y x y x y
εεε∂∂≈⋅+⋅∂∂
()()()()()
*
*
**,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂
2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e
的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又
取
1.73≈（三位有效数字），则
-21
1.73 10 2
≤⨯。
4、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、
已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .
7、
递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0
n n-1y =y =10y -1,n =1,2,
如果取0 1.41y ≈作计算,则计算
到10y 时,误差为81
10 2
⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .
8、
精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5
。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题
1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深
为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为
V=LWH
当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()()
()()()
=V V V
V L W H L W H
WH L HL W LW H ∂∂∂∆≈
∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()
r V V V
∆∆=
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤
故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()
()()3
25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50
1.1*1025000
r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=
≤=
2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若
()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米
试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为
s=ab
当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()
()()
=b s s
s a b a b
a a
b ∂∂∆≈
∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()
r s s s
∆∆=
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足
()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤
故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()() 80*0.1110*0.119.019.0
0.0021598800
r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=
≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差
'1**1**
**(),(),()()()
0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x
n n n
x x
εε
εε--===-≈--=≈==解：由于故
故
4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？
解：令()34
3
V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得
()()()()()()'2
3431%43
R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤⋅=⋅=≤
从而得()1
300R R ε≤
5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2 解：da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。
6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解：h r V 2π=
)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
V V V -*=2r
r
r -*=0.0002
第二章插值法
一、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？
答：插值基函数是满足插值条件
的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，
2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？
答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为
它们形式不同但都满足条件,于是
它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。
是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange
插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余
项中前面因子为后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。
二、填空题
1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则
()()4
40
2i
i i x
l x =+∑＝(x 4+2).
2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则
()()5
5430
21i
i i i i x
x x l x =+++∑=54321x x x +++
3.已知
]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==
+=f f x x f 则，
4.2
f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。 5.设
则＝3,
=0
6.设和节点则=
4.
7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。 8.如有下列表函数:
i x
0.2 0.3 0.4 ()i f x
0.04
0.09
0.16
则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。 二、计算题
1、设()7351f x x x =++,求差商
0101201
701
82,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎣
⎦
解：012
27,2169,216705f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故
0112012
2,2162,2,28268,2,2,22702f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦
根据差商的性质，得
()()
()
()70
1
7
8018
2,2,
,21
7!2,2,
,20
8!f f f f ξξ⎡⎤==⎣⎦⎡⎤==⎣⎦
2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:
'
:12
2311
i i i x y y - 解：根据已知条件可求得
()()()()()()()()()()()()
22
012
2
01212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--
代入埃尔米特三次插值多项式公式
()()()()()
()()()()()()()()00'
'30011012222
=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----
3、如有下列表函数:
i x
0 1 2 3 4 ()i f x
3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：
N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2+2x+3,0≤x ≤1
4、给出x ln 的函数表如下：
x
0.40 0.50 0.60 0.70 x ln
－
0.916291 －
0.693147
－0.510826
－0.356675
试用线性插值和抛物插值求54.0ln 的近似值。
5．已知
x -1 1 2 F （x ）
3
1
-1
请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。
01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()
()()
()
()()()()
()()()
()()
(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=⨯+⨯
----+++-解：记则所以(1)(1)
(21)(21)111
(1)(2)(1)(2)(1)(1)223
x x x x x x x x +-⨯
+-=---+--+-
6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出
()()222321L x N x x x ==-+ 设待插值函数为：
()()()()()32012H x N x k x x x =+--- 根据
()()'3113, H f ==’得参数1, k =则
()33 1.H x x =+
插值余项为：
()()()()()()()
42
33124!f R x f x H x x x x ξ=-=--
第三章 数值积分
一、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？
答：一个求积公式如果当为任意m 次多项式时，
求积公式精确成立，而当
为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此
求积公式具有m 次代数精确度。根据定义只要令
代入求积
公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 二、填空题 1.求
⎰
2
1
2dx x ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算
结果为 2.333 。
2． n 次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n 为偶数，则有 n+1 次代数精度。
3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。 4.插值型求积公式()()0
n
b
k k a
k A f x f x =≈∑⎰的求积系数之和 b-a 。
5、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式
所具有的代数精确度.
(1)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
令代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）
（3）
解：令
代入公式精确成立，得
解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。 6.求积公式
1
'0100
()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f ≈++⎰
，已知其余项表达式为
'''()(),(0,1)R f kf ξξ=∈，试确定系数010,,A A B ，使该求积公式具有尽可能高的代
数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。
'20102
010*******
321110
36
1
'211336
1
3
3140
(0),,()1,,,()1,1(),,,(),()(0)(1)(0)
(),f A A B f x x x f x A A A f x x A B A f x x A B f x dx f f f f x x x dx ==+==⎧⎧⎪⎪
=+==⎨⎨⎪⎪===
⎩⎩=
+
+
==⎰
⎰解：本题虽然用到了的值，仍用代数精度定义确定参数。令分别代入求积公式，令公式两端相等，则得求得则有
再令此时，而上式13
,2=
右端两端不相等，故
它的代数精度为次。
31
''''2
113
3
6
3'2'''''1
31114
3
72
'''172
()()(0)(1)(0)(),(0,1)
()()3,()6,()6,6,,
()(),(0,1)
f x x f x dx f f f kf f x x f x x f x x f x x dx k k R f f ξξξξ==
+
+
+∈=====
=
+=-
=-
∈⎰
⎰
为求余项可将代入求积公式
当，代入上式得
即所以余项7.根据下面给出的函数sin ()x
f x x
=的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算1
0sin x
I dx
=⎰
解 用复合梯形公式,这里n=8,0.1258
h =
=, ()1
sin 0.125
{(0)2[(0.125)(0.25)2
(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)]1}0.94569086
x dx f f f x f f f f f f ≈++++++++=⎰
用复合辛甫生公式: 这里n=4,1
0.254
h ==.可得 10
sin 0.25
{(0)4[(0.125)(0.375)6
x dx f f f x ≈++⎰
(0.625)(0.875)]2[(0.25)(0.5)(0.75)](1)}0.946083305
f f f f f f ++++++=
第五章 常微分方程
一、计算题
1.用改进欧拉方法计算初值问题100)0(y x dx
dy 2
<<⎪⎩⎪⎨⎧=-+=x y
x ，取步长h=0.1计
算到y 5。
解：改进的欧拉公式⎪⎩
⎪⎨⎧++=+=++++)]
,(),([2y y )
,(1~111~
n n n n n n n n n n y x f y x f h
y x hf y y 代入有且,nh x ,),(n 2=-+=y x x y x f
)4,3,2,1,.0n (0.11)
1.9y -
2.1x (1.9x 05.0y )]
y x x (h y x x y x x [2
y y n n 2n n n n 2
n n 1n 21n n n 2n 1=++⨯+=-+--++-++=+++h n n n n x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.14500
2. 用梯形法解初值问题
取步长h=0.1,计算到
x=0.5，并与准确解
相比较
解：用梯形法求解公式，得
解得
精确解为
3．用改进的Euler 法解初值问题()',01
01,y x y x y =+<<=⎧⎨⎩ ；取步长h=0.1计算()0.5y ，
并与精确解12x y x e =--+相比较。(计算结果保留到小数点后4位) 解：改进的尤拉公式为：
()()1111,,,2n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y -
+-+++=+=++⎧⎪
⎨⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎩
代入(),f x y x y =+和n x nh =，有
()()[]
()12
2
2
222
22 222
2n n n
n
n h y y h x h y
h h h h h y nh nh +=+
++++++=+++⎛⎫
⎪⎝⎭
代入数据，计算结果如下：
4.设初值问题()'2100,00y x y y =+=，
a) 由Euler 方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler 方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：()1,n n n n y y hf x y +=+
()2
1100n n n n y y hf x y +=++
21110.001n n y y n +=+ 3分
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩ 5分
()
()(
)(
)
()22
111222
12
21001002 =1001001002
=1200120.20.012
=610.0060.0010.0005 n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y x y x y h y x y x y h x y h y y x x y n n ++++=+
++++++++++++++++ 5.设初值问题'y 0y(0)1
x y
x ⎧=->⎨
=⎩，
a) 写出由Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：
()1,n n n n y y hf x y +=+
10.1()0.90.1n n n n n n y y n x y y x +=+-=-
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++⎧=+⎪
⎨=++⎪⎩
()
()()
()
()1111222
2 =2 =2222 =222
=0.9050.0950.005n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h
y y x y x y h
y x y x y h x y h
y x y x h y hx hy h h h h h y x y x ++++=+
-+-+-+-+-+-++--+-+-++
++
第六章 方程求根
一、问答题
1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程改写为
若
使
则称点
为不动点
而
就是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的
满足条件 （1）
（2）()'1a x b
MAX x L φ≤≤≤< 若已知，且
时也收敛，称为局部收敛。 2.对于迭代法初始近似，当
时为什么还不能断
定迭代法收敛？
答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间上证明
且
才能说明由出是迭
代法
收敛
如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为才可由
证明其收
敛性，由
还不能说明迭代法收敛。
3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P 阶收敛需要什么条件？ 答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P 的大小，若序列
收敛于
，记为
若存在及，使则称序列为P 阶收敛，P 越
大收敛越快，当P ＝1，则越小，收敛越快。一个迭代公式若
为的不动点，P 为大于1的整数，
在
连续，且
而
则此迭代公式为P 阶收敛。
4.方程求根的Newton 法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根
附近是几阶收敛？ 答：用曲线
在点
上的切线
的零点近似曲线
零点得到就是Newton 法，在单根附近2阶收敛，当为重根
时是线性收敛。 5、简述二分法的优缺点
答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x ) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢 6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。
牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。
二、填空题
1、已知方程 1.5x 08.0x x 023==--在附近有一个根，构造如下两个迭代公式：
2
33k 1k
k 1k
(1)x 0.8x (2)x -0.8x ++=+=+
则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。
2、设()f x 可微，求方程()x f x =的根的牛顿迭代格式为
()
()
1'1k k k k k x f x x x f x +-=-- 。
3、
()()2
5x x a x ϕ=+-,要是迭代法()1k k x x φ+=局部收敛到*5x =，则a 的取值范围是105
a -<<
4、迭代法的收敛条件是（1）
（2）()'1a x b
MAX x L φ≤≤≤<。
)
()
(1
k k k k x f x f x x '-
=+x
y o ()
)(,
x f x x
)
(x f y =k
x 1+k x
5.写出立方根313的牛顿迭代公式
3
12
13
3
k
k k
k
x
x x
x
+
-
=-
6．用二分法求解方程3
()10
f x x x
=--=在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。
三、计算题
1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解使用二分法先要确定有根区间。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
(1) ，迭代公式.
(2) ,迭代公式.
(3)，迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
解：（1）取区间且，在且
计算方法习题及答案 在学习计算方法的过程中，习题的练习和答案的掌握是非常重要的。下面将为大家提供一些计算方法习题及答案，希望能够帮助大家更好 地巩固知识。 一、整数运算习题 1. 计算以下整数的和：-5 + 8 + (-3) + (-2) + 10。 答案：-5 + 8 + (-3) + (-2) + 10 = 8。 2. 计算以下整数的差：15 - (-6) - 10 + 3。 答案：15 - (-6) - 10 + 3 = 24。 3. 将 -3 × (-4) - 2 × 5 的结果化简。 答案：-3 × (-4) - 2 × 5 = 12 - 10 = 2。 二、分数运算习题 1. 计算以下分数的和：1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5。 答案：1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 = 47/20。 2. 计算以下分数的差：2/3 - 1/4 - 5/6。 答案：2/3 - 1/4 - 5/6 = -1/12。 3. 计算以下分数的积：2/3 × 3/4 × 4/5。 答案：2/3 × 3/4 × 4/5 = 4/15。
4. 将以下分数的除法化简为整数：3/8 ÷ 1/4。 答案：3/8 ÷ 1/4 = (3/8) × (4/1) = 3/2 = 1 1/2。 三、百分数运算习题 1. 计算60% × 80%的结果。 答案：60% × 80% = 0.6 × 0.8 = 0.48 = 48%。 2. 计算40%除以20%的结果。 答案：40% ÷ 20% = (40/100) ÷ (20/100) = 2。 3. 计算200中的20%是多少。 答案：200 × 20% = 200 × 0.2 = 40。 四、多项式运算习题 1. 计算以下多项式的和：(3x^2 + 4x + 5) + (2x^2 + x + 3)。 答案：(3x^2 + 4x + 5) + (2x^2 + x + 3) = 5x^2 + 5x + 8。 2. 计算以下多项式的差：(5x^3 + 2x^2 - 4x - 3) - (3x^3 - x^2 + 2x + 1)。 答案：(5x^3 + 2x^2 - 4x - 3) - (3x^3 - x^2 + 2x + 1) = 2x^3 + 3x^2 - 6x - 4。 3. 计算以下多项式的积：(2x^2 + 3x - 4) × (x - 2)。 答案：(2x^2 + 3x - 4) × (x - 2) = 2x^3 - x^2 - 11x + 8。
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()
4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题
第二章 数值分析 2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点： 试构造一多项式()q x 通过下列点： 答案：54313 ()()()3122 q x p x r x x x x x =-=- ++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值： 表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它． 答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=． 2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++． 2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x e 时，使用多少个节点能够保证误差不超过 61 102 -?． 答案：需要143个插值节点． 2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，() 3()h H x 是()f x 关于等距节点 01n a x x x b =<<<=的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b a h n -= ．试估计() 3||()()||h f x H x ∞-． 答案：() 4 43||()()||384 h M f x H x h ∞-≤． 第三章 函数逼近 3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2 {1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给 出平方误差． 答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为
-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-?+-， 二次最佳平方逼近的平方误差为 0.1 22-1220 (sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=??． 3.2 确定参数,a b c 和，使得积分 2 1 2 1 (,,)[I a b c ax bx c -=++-?取最小值． 答案：810, 0, 33a b c ππ =- == 3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式 ()p x ． 答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为3 2 3 ()74 p x x x =++ ． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-． 答案： 236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤ 3.5 求() (11)x f x e x =-≤≤上的关于权函数 ()x ρ= 的三次最佳平方逼近 多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-． 答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++， 32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤． 第四章 数值积分与数值微分 4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1 (1,2,3,4)n x dx n =? ，并与 精确值比较． 答案：计算结果如下表所示
第二章 数值分析 2.1 已知多项式432 ()1p x x x x x =-+-+通过下列点： 试构造一多项式()q x 通过下列点： 答案：54313 ()()()3122 q x p x r x x x x x =-=- ++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值： 表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它． 答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=． 2.3 利用差分的性质证明2 2 212(1)(21)/6n n n n +++=++． 2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数x e 时，使用多少个节点能够保证误差不超过 61 102 -⨯． 答案：需要143个插值节点． 2.5 设被插值函数4 ()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点 01n a x x x b =<<<=的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b a h n -= ．试估计()3||()()||h f x H x ∞-． 答案：() 4 43||()()||384 h M f x H x h ∞-≤． 第三章 函数逼近 3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2 {1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差． 答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为
-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-， 二次最佳平方逼近的平方误差为 0.1 2 2-1220 (sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰． 3.2 确定参数,a b c 和，使得积分 2 1 2 1 (,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值． 答案：810 , 0, 33a b c ππ =- == 3.3 求多项式4 3 2 ()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式 ()p x ． 答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为3 2 3 ()74 p x x x =++ ． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)x f x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并 估计6,3||()()||f x p x ∞-． 答案： 236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++， 6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤ 3.5 求() (11)x f x e x =-≤≤上的关于权函数 ()x ρ= 的三次最佳平方逼近 多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-． 答案：23 3()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++， 32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤． 第四章 数值积分与数值微分 4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1 (1,2,3,4)n x dx n =⎰ ，并与 精确值比较． 答案：计算结果如下表所示
《计算方法》练习题及答案 1. 单选题 1. 数值3.1416的有效位数为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 正确答案：C 2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。 A. 零 B. 一 C. 二 D. 三 正确答案：A 3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A. 超线性 B. 平方 C. 线性 D. 三次 正确答案：C 4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（） A. 使残差的最大绝对值为最小
B. 使残差的绝对值之和为最小 C. 使残差的平方和为最小 D. 是残差的绝对值之差为最小 正确答案：D 5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。 A. A B. B C. C D. D 正确答案：B 6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（） A. x B. x+1 C. x-1 D. x+2 正确答案：B 7. 题面如下，正确的是（）
A. 2 B. 3 C. -2 D. 1 正确答案：B 8. 题面如下图所示，正确的是（） A. A B. B C. C D. D 正确答案：D 9. 用列主元消去法解线性方程组, A. 3 B. 4 C. -4 D. 9
正确答案：C 10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。 A. n B. n+1 C. n-1 D. n*n 正确答案：C 11. 线性方程组的解法大致可以分为（） A. 直接法和间接法 B. 直接法和替代法 C. 直接法和迭代法 D. 间接法和迭代法 正确答案：C 12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。 A. 牛顿法 B. 下山法 C. 弦截法 D. 迭代法 正确答案：A 13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )；
9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
复习试题 一、填空题： 1、⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ⎡⎤⎡ ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦。 答案： ⎥⎥ ⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ⎰≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )；
9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式⎰1 d )(x x f ≈( ⎰++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。 15、 计算积分⎰1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 0.4268 ， 用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 16、 求解方程组⎩⎨ ⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -219 1 -3 8 -24 73 -223 所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
《计算方法》考前练兵-试题详解 （1）已知f(0)=-1,f(1)=1,f(2)=7，则f(1,5)的近似值是 正确答案:B （2）现测量长度为x=1.0cm.的正立方体,若g(x)=0.05cm、那么计算该正立方体的体积v的绝对误差限是氐v=( ) cm3 正确答案:C （3）用一般迭代法求×3-4x+1=0最小正根(求出x1）是以下选项中的() 正确答案:A （4）下列四个选项中（）是解方程组Ar=b的迭代格式 正确答案:A （5）用辛卜生公式计算约为
正确答案:A （6）牛顿插值多项式的余项是 正确答案:D （7）设函数f(x)区间[a，b]内有二阶连续导数，且f(a)f(b) 正确答案:C （9）要使表达式的数值计算精度更高,则此表达式可变形为()形式 正确答案:C （10）过以下两点(x0，y0)，(x1,Y1)的线性插值基函数它们满足以下的哪个条件( ) . 正确答案:C （11）用简单迭代法求方程f(x)=o的实根,把方程(x)=o表成x=p(x),则 正确答案:B （12）在区间[a,b]上作函数y=f(x)的分段线性插值,设分点ax 正确答案:D （14）用1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。 正确答案:C （15）当线性方程组满足（)时称为超定方程组。 正确答案:C （16）用n =4的复化梯形公式计算积分.，则结果为（) 正确答案:B （17）要使解线性方程组Ar=b的迭代格式收敛成立的充分必要条件是 A.detA=0 B.detA k =0(1三k ：：n) c.detA>0D .detA <0 《计算方法》练习题一 一、填空题 1.n =3.14159一的近似值3.1428,准确数位是（）。 2 .满足f （a ）=c,f （b ）=d 的插值余项R （x ）=（）。 3 .设｛P k （x ）｝为勒让德多项式，则（P 2（X ）,P 2（X ））=（）。 4 .乘哥法是求实方阵（）特征值与特征向量的迭代法。 5 .欧拉法的绝对稳定实区间是（）。 6 .e=2.718281具有3位有效数字的近似值是（）。 1 dx 7 .用辛卜生公式计算积分[-d^之（）。 Tx 8 .设A （"）=9尸））第k 列主元为a PL,则a （p ＞）=（ 10.已知迭代法：Xn4=^（xj （n=0,1，…）收敛，则中'（x ）满足条件（）。 、单选题 1.已知近似数a,b,的误差限E （a ）,4b ）,则s （ab ）=（）。 A.名(a)3(b)B .8(a)+级b)c.a 名(a)+|b 〃b)D .a€(b)+b £(a) 2.设f(x)=x 2+x,则f[i,2,3]=()。 A.l B.2 C.3 D.4 3.设人=,3",则化A 为对角阵的平面旋转e =（）. 113」 3T A.—B.—C. 冗 立 D.一 23 4 6 4.若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速. A,线性B,超线性C. 平方 D.三次 5.改进欧拉法的局部截断误差阶是（） 234 A.o(h)B .o(h)c.o(h)D .o(h) 6 .近似数a=0.47820父102的误差限是（）。 A.1N10" B.1M10" C.1父10」 222 7 .矩阵A 满足（），则存在三角分解A=LR 12 54, - O 计算方法作业集及答案 第一章数值计算基本常识 一.填空题 1.用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。 2.用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。 3.用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。 4.用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。 5.设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。 6.设某某=0.231是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。 7.设某某=0.23是真值某=0.229的近似值，则某某有_____位有效数字。 8.设某=2.3149541，取5位有效数字，则所得的近似值某某=_____。 9.设某=2.3149541，取4位有效数字，则所得的近似值某某=_____。 10.若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。 11.若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。 12.若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。 13.用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。 14.用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。 15.用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。 解答: 1.3、0.5某10-3 2.3、0.5某10-3 3.0.5某10-2、0.725% 4.0.5某10-4、0.00628% 5.1 6.2 7.2 8.2.3150 9.2.315 10.0.05% 11.0.007% 12.0.001%13.214.315.5 二.选择题 1.3.141580是π的近似值,有()位有效数字。A.6B.5C.4D.7 第一章 绪论 一. 填空题 1.* x 为精确值x 的近似值；() **x f y =为一元函数 ()x f y =1的近似值； ()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式： **e x x =-：***r x x e x -= () ()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()() ()' ***1* *r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()* *,**,*2**f x y f x y y x y x y εεε∂∂≈⋅+⋅∂∂ ()()()()() * * **,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。 3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又 取 1.73≈（三位有效数字），则 -21 1.73 10 2 ≤⨯。 4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。 5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。 6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 . 7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0 n n-1y =y =10y -1,n =1,2, 如果取0 1.41y ≈作计算,则计算 到10y 时,误差为81 10 2 ⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。 9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。 10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题 1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深 为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为 V=LWH 当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为 ()()()() ()()() =V V V V L W H L W H WH L HL W LW H ∂∂∂∆≈ ∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()() r V V V ∆∆= 而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足 ()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤ 故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为 ()()()() ()()3 25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50 1.1*1025000 r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆= ≤=计算方法及答案
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