（新）统编人教高中数学A版必修二第八章第3节《简单几何体的表
面积与体积》优质说课稿
今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》。立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用.立体图形各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢?本章我们将从对空间几何体的整体观察人手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法;借助长方体，从构成立体图形的基本元素点、直线、平面人手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进步认识空间几何体的性质.本节主要讲简单几何体的表面积与体积。本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。
一、教材分析。
本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．
二、说教学目标和核心素养。
（一）教学目标
1.掌握球体的表面积和体积公式；
2.掌握简单组合体的表面积和体积的计算方法;
3.通过球体体积公式的推导，使学生了解极限的思想方法.
（二）核心素养
1.数学抽象：掌握球体的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系.
2.逻辑推理：球体体积公式的推导；
3.直观想象：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积；
4.数学运算：通过公式，会解决柱体、锥体、台体、球的表面积和体积，提升学生数学运算素养;
5.数学建模：结合柱体、锥体、台体、球的表面积和体积运算，解决现实中的数学问题.
三、说教学重难点。
1.重点:柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系．
2.难点:运用表面积、体积公式进行具体计算；球的体积公式的推导.
四、学情分析。
学生之前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，结合圆台的结构特征（可由圆锥截得）不难推导其体积公式.球的表面积和体积公式在形式上与柱、锥、台体有较大差异．它可以类比圆的面积公式，用极限思想进行推导．学生需在推导过程中进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路．
五、说教学方法。
启发式、讲授法、自主学习法。
六、说教学过程。
（一）谈话导入。
师：前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节进一步认识简单几何体的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小.
师板书课题：简单几何体的表面积与体积
（二）讲授新课。
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积.
（1）生阅读教材这一部分内容，思考探究问题：①如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？②怎样求棱柱、棱锥、棱台的体积？
（2）生小组内交流分享。
（3）师讲解：
①多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
②一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积：V棱柱=Sh.
③V棱锥=1/3Sh.
（4）师典型例题讲解。
（5）生举一反三地练习。（见教材练习题）
（6）师解题技巧总结.
2.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
（1）生阅读教材这一部分内容，思考探究问题：①如何求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积？②圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?③圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系?④在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
（2）生小组内交流分享。
（3）师结合图讲解：
①与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、圆锥、圆台的展开图，可以得到它们的表面积公式:
S圆柱=2πr(r+l)(r是底面半径，l是母线长)
S圆锥=πr(r+l)(r是底面半径，l是母线长)
S圆台=π(r'²+r²+r'l+rl)(r’, r分别是上、下底面半径，l是母线长).
②V圆柱=πr²h(r是底面半径，h是高).
V圆锥=1/3πr²h(r是底面半径，h是高).
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
V台=1/3πh(r'²+r'r+r²)(r', r分别是上、下底面半径，h是高).
③V柱体=Sh (S为底面积，h为柱体高);
V锥体=1/3Sh (S为底面积，h为锥体高);
V台体=1/3(S' +VS'S+S)h (S'，S分别为上、下底面面积，h为台体高). 当S'=S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式;当S'=0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式。
④设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R,那么它的表面积是S球=4πR².
V球=4/3πR³.
（4）师典型例题讲解。
（5）生举一反三地练习。（见教材练习题）
（6）师解题技巧总结.
（三）全课总结。
本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.
1.3 空间几何体的表面积与体积 1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 预习课本P23～27，思考并完成以下问题 [新知初探] 1．柱体、锥体、台体的表面积公式
2．柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； 锥体的体积公式V ＝1 3Sh (S 为底面面积，h 为高)； 台体的体积公式V ＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h . [点睛] (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系： [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积( ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差( ) 答案：(1)× (2)√ 2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( )
A. 3＋34a 2 B.34a 2 C. 3＋32 a 2 D. 6＋34 a 2 解析：选 A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于2 2 a ，∴S 表 ＝ 34a 2＋3×12 ×? ?? ??22a 2＝3＋34a 2 . 3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高h ＝4， 所以V 圆锥＝13π×32 ×4＝12π. 答案：12π [典例] 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直 四棱柱的侧面积． [解] 如图，设底面对角线AC ＝a ，BD ＝b ，交点为O ，对角线A 1C ＝15，B 1D ＝9， ∴a 2 ＋52 ＝152 ，b 2 ＋52 ＝92 ， ∴a 2 ＝200，b 2 ＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB 2 ＝? ????AC 22＋? ?? ??BD 22＝ a 2＋ b 2 4＝200＋564＝64，∴AB ＝8. ∴直四棱柱的侧面积S ＝4×8×5＝160. [活学活用]
（新）统编人教高中数学A版必修二第八章第3节《简单几何体的表 面积与体积》优质说课稿 今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修二的第八章第3节《简单几何体的表面积与体积》。立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用.立体图形各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢?本章我们将从对空间几何体的整体观察人手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法;借助长方体，从构成立体图形的基本元素点、直线、平面人手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进步认识空间几何体的性质.本节主要讲简单几何体的表面积与体积。本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。 一、教材分析。 本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积． 二、说教学目标和核心素养。 （一）教学目标
1.掌握球体的表面积和体积公式； 2.掌握简单组合体的表面积和体积的计算方法; 3.通过球体体积公式的推导，使学生了解极限的思想方法. （二）核心素养 1.数学抽象：掌握球体的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系. 2.逻辑推理：球体体积公式的推导； 3.直观想象：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积； 4.数学运算：通过公式，会解决柱体、锥体、台体、球的表面积和体积，提升学生数学运算素养; 5.数学建模：结合柱体、锥体、台体、球的表面积和体积运算，解决现实中的数学问题. 三、说教学重难点。 1.重点:柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系． 2.难点:运用表面积、体积公式进行具体计算；球的体积公式的推导. 四、学情分析。 学生之前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，结合圆台的结构特征（可由圆锥截得）不难推导其体积公式.球的表面积和体积公式在形式上与柱、锥、台体有较大差异．它可以类比圆的面积公式，用极限思想进行推导．学生需在推导过程中进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路．
专题8.3 简单几何的表面积与体积
运用一 体积 【例1】（1）（2019·北京高二学业考试）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，如果3AB =，1AC =，12AA =，那么直三棱柱111ABC A B C -的体积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 （2）（2019·云南省玉溪第一中学高二月考）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） B. D.（3）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） A.112 3 B.136 3 C.48 D.56
【举一反三】 1．（2019·北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是（ ） A ．22π B ．2π C ．2 2π D ．2 3π 2．（2019·河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则该圆锥的高为（ ） A B ．4 C ．3 D ．2 3．设正六棱锥的底面边长为1 ） A. C. D.2 4．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）． A ．14π B ．143π C D ． 5．（2019·四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（ ） A.40π B.52π C.50π D.2123 π 运用二 表面积 【例2】(1)（2019·山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A.27π B.36π C.54π D.81π (2)（2019·福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ） A ．2 B ．4+ C ．4+ D ．6+ (3)（2019·安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）
8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲)
考点一 旋转体的体积 【例1】(2021·山东莱西·高一期末)在ABC 中，2AB =，3 2 BC = ，120ABC ∠=︒，若将ABC 绕BC 边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______． 【答案】 32 π 【解析】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥， 所以sin 602OA AB =︒==，1cos60212OB AB =︒=⨯=， 所以旋转体的体积:()21332 V OC OB π π=⋅⋅-= 故答案为： 32 π ． 【一隅三反】 1．(2021·湖南省邵东市第三中学高一期中)圆台上、下底面面积分别是π、4π积是( )
A B ．C D 【答案】D 【解析】由题意1(4)3V ππ=+=．故选：D ． 2．(2021·山东任城·高一期中)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有_______斛． 【答案】12.5 【解析】设圆柱的底面半径为r 尺，则1 4 ⨯2πr ＝6，∴r ≈4， ∴圆锥的体积V ＝2 1134543 ⨯⨯⨯⨯＝20立方尺， ∴堆放的米约有 20 1.6 ＝12.5斛． 故答案为：12.5． 3．(2021·上海市七宝中学)已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则圆锥的体积为________. 【解析】由题意圆锥的母线长为2l =，设圆锥底面半径为r ，则22r ππ=，1r =， 所以高为h 体积为2211133V r h ππ==⨯=． ． 考点二 旋转体的表面积 【例2】(2021·吉林·延边二中高一期中)如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO 的中点O '作平行于底
8．3简单几何体的表面积与体积第1课时柱、锥、台的表面积和体积 考点学习目标核心素养 柱、锥、台的表面积 了解柱体、锥体、台体的侧面展开图， 掌握柱体、柱、锥、台的体积 直观想象、数学运算 锥体、台体的表面积的求 法 能利用柱体、锥体、台体的体积公式 求体积，理解柱体、锥体、台体的体 积之间的关系 直观想象、数学运算 问题导学 预习教材P114－P117的内容，思考以下问题： 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？ 5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和． 2．棱柱、棱锥、棱台的体积 (1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝ 1 3Sh；V棱台＝ 1 3h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高． 3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称图形公式 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l
圆锥 底面积：S 底 ＝πr 2 侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2 体积：V ＝1 3πr 2h 圆台 上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2 侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′) 表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl ) 体积： V ＝1 3 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2) 1．柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . (3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝1 3 () S ′＋SS ′＋S h . 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13 (S ′＋ S ′S ＋S )h ――→S ′＝0 V 锥体＝13 Sh . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和．( ) (2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．( ) (3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同．( ) (4)在三棱锥P -ABC 中，V P -ABC ＝V A -PBC ＝V B -P AC ＝V C -P AB .( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( ) A.3 B ．23 C ．33 D ．43
8.3简单几何体的表面积与体积（知识点五：多面体和旋转体表 面上的最短距离问题） 一．选择题（共30小题） 1．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（） A．B．C．D． 2．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝30°，P A＝PB＝PC＝2一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（） A．B．C．D． 3．圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是母线BC上一点，且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．cm B．5cm C．cm D．7cm 4．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为（）
A．B．C．3D．2 5．如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，过轴PO的截面P AB，C为P A中点，P A＝4，PO＝6，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为（） A．2B．2C．6D．2 6．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，则蚂蚁爬行的最短距离是（） A．B．1C．D．2+ 7．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是A1B上一动点，则AP+D1P 的最小值为（） A．2B．C．D． 8．如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，底面半径为1m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，则该小虫爬行的最短路程为（）
中学教案 学科：数学年级：高一教师：授课时间：教学内容8.3.2 球的表面积和体积 教学目标 四基：1.掌握球体的表面积和体积公式； 2.掌握简单组合体的表面积和体积的计算方法； 3.通过球体体积公式的推导，使学生了解极限的思想方法 四能：通过对球体体积公式的推导，使学生体会“分割、求近似值、再由近似和转化为球体的体积”的极限思想方法；通过对组合体的表面积和体积求法的分析，提高分析问题解决问题的能力。 数学核心素养：通过球体体积公式的推导，使学生体会用数学的思维理解世界的数学素养。 教材分析地位：三中几何体的表面积和体积的计算，是描述几何体的两个量。重点：球的表面积和体积公式的运用，求组合体表面积和体积的方法难点：球体体积公式的推导 学情分析初中学习过投影是化立体图形直观图的学习基础。 教法模式以学生为主体，采用诱思探究式教学，让学生独立思考，合作学习。媒体运用多媒体展台，实物模型 备注
教 学 过 程 知 识 师生活动 设计意图 一、课前小测（检测上节课所学的内容） 1. 用一个边长分别为4，6矩形围成一个圆柱面，则这个圆柱的体积是 2.用一个半径为6，圆心角为120°的扇形围成一个圆 锥，则圆锥的体积为 3. 圆台上底半径r 1=1,下底半径r=3,高h=3,求母线长l 侧面积s,全面积s 2 4. 棱台的两个底面面积分别是245c ㎡和80ｃ㎡，截得 这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积。 5. 圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这 个圆台的体积V= 。 ππ3624huo ； 3 216π；（=）（=）（=）；（答案：2325cm 3 ）； 二、进行新课 （一）情景设置，引入新课 前面学习了圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的求法。 除了上述三个旋转体之外还有一个什么旋转体？那么它的 表面积和体积又是怎样计算？今天我们就研究这两个内容 （二）数学本质，深入理解 问题1： 阅读教材117页，回答：球的半径为R ，则球的表 面积为？ 跟踪训练：（教材118页例3）如 图8.3-4,某种浮标由两个半球和一 个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3m,圆柱高0.6m.如果在浮标表 面涂一层防水漆，每平方米需要 0.5kg 涂料，那么给1000个这样的 浮标涂防水漆需要多少涂料？(x 取3.14) 解：一个浮标的表面积为 2πX0.15×0.6+4π ×0.152=0.8478(m2), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg).图8.3-4 问题2：（1）在小学，我们学习了圆的面积公式，你还 记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公 式推导出球的体积公式吗？ 学生独立完成，而 后教师组织评价 教师设计问题，学 生回答 教师引导，学生回 答 教师组织，学生回 顾且回答 考查上节课内容的掌握情况 回顾旋转体的类型，引出新课 直接给出表面积公式 组合体表面积的求法以及求表面积公式的运用
8.3 简单几何体的表面积与体积（精练） 【题组一 多面体表面积】 1．（2020·全国高一课时练习）长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( ) A ．12 B ．24 C ．28 D ．32 【答案】C 【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =. 210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=. 故选：C. 2．（2021·江苏南通市）一个正四棱锥的底面边长为2 A ．8 B ．12 C ．16 D ．20 【答案】B ， 所以该四棱锥的全面积为212+422=122 ⋅ ⋅⋅. 故选B 3．（2020·全国高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为 6a ，则此正三棱台的侧面积为（ ） A ．2a B ．212a C ．292a D ．232 a 【答案】C 【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点 E .在直角梯形11ODD O 中，1 2323OD a a =⨯⨯=，111326 O D a a =⨯⨯=， 116 DE OD O D a ∴=-=.
在1Rt DED 中，16D E a = ， 则1D D = a ==. 2193(2)22 S a a a a ∴=⨯+=侧. 故选：C 4．（2020·河北沧州市一中高一月考）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，则该四棱锥的侧面积（ ） A ．32 B ．48 C ．64 D ．323 【答案】A 【解析】如图: 正四棱锥的高PO ，斜高PE ， 底面边心距OE 组成直角△POE ． ∵OE =2cm ，∠OPE =30°， ∴斜高h ′=PE =4sin 30 o OE =，
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练) 【题组一 旋转体的体积】 1．(2021·吉林·延边二中高一期中)阿基米德(Archimedes ，公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 ( ) A ．36π B ．45π C ．54π D ．63π 【答案】C 【解析】因为该球的体积为36π，设球的半径为R ，则34363 R ππ=，解得3R =。 所以圆柱的体积为：23654V ππ=⨯⨯=，故选：C. 2．(2021·河北·保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为1V ，下部分(半球)的体积为2V ，若122V V =，则半球的半径与圆柱的高之比为( ) A ．4:3 B ．3:4 C ．1:2 D ．5:3 【答案】B 【解析】设圆柱的高为h ，半径为r ，则圆柱的体积为21=V r h π.
而半球的体积为33 2412==323 V r r ππ⨯. 因为122V V =，所以3 24=3 r r h ππ，所以3=4r h . 故选：B 3(2021·全国·高一课时练习)如图所示，半径为R 的半圆内(其中∠BAC =30°)的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_____，体积为_____． 2R 356R π 【解析】如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA =90°， 又∠BAC =30°，AB =2R ， ∴AC ，BC =R ，CO 1，∴1AO S 圆锥侧=π=32πR 2，1BO S 圆锥侧=π×R R 2， ∴S 几何体表=S 球+11AO BO S S +=圆锥侧圆锥侧R 2， πR 2． 又V 球=43 πR 3， ∴V 几何体=V 球-(11AO BO V V +圆锥圆锥)=43πR 3-13×AB ×π×C 2143O =πR 3-22536R π⎫⨯=⎪⎪⎝⎭ πR 3． 2R ；356R π 4．(2021·全国·高一课时练习)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是__________.
【新教材】8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计（人教A版） 本节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积. 课程目标 1．通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．2．能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题． 数学学科素养 1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式； 2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积； 3.数学建模：数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题. 重点：掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用； 难点：圆台的体积公式的理解. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 前面已经学习了三种多面体的表面积与体积公式，那么如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本116-119页，思考并完成以下问题 1．圆柱、圆锥、圆台、的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？ 3．球的表面积与体积公式各式什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 （一）圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱(底面半径为r ，母线长 为l ) 圆锥(底面半径为r ，母线长 为l ) 圆台(上、下底面半径分别为r ′，r ，母线长为l ) 侧面展 开图 底面积 S 底＝2πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r ′2＋r 2) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r ′＋r )l 表面积 S 表＝2πr (r+l ) S 表＝πr (r+l ) S 表＝π(r ′2＋r 2)+ π(r ′＋r )l （二） 棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．棱柱：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．棱锥：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝1 3 Sh . 3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S ，高为h ，则V ＝1 3(S ′＋S ′S ＋S )h . (三) 球的体积公式与表面积公式 1．球的体积公式V ＝4 3πR 3 (其中R 为球的半径)． 2．球的表面积公式S ＝4πR 2. 四、典例分析、举一反三 题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 例1 若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm 2，表面积为________cm 2. 【答案】8π 12π. 【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4 cm 的等边三角形， ∴OB ＝2 cm ，PB ＝4 cm ， ∴圆锥的侧面积S 侧＝π×2×4＝8π (cm 2)，表面积S 表＝8π＋π×22＝12π (cm 2)． 解题技巧（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． 跟踪训练一 1．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168π D ．169π 【答案】C
新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册： 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 素养目标·定方向 素养目标 学法指导 1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理) 2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理) 3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算) 1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系； 2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面. 必备知识·探新知 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体__各个面__的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__各个面__的面积的和. 知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V 棱柱＝Sh S 为棱柱的__底面积__，h 为棱柱的__高__ 棱锥 V 棱锥＝13 Sh S 为棱锥的__底面积__，h 为棱锥的__高__ 棱台 V 棱台＝1 3 (S ′＋S ′S ＋S )h S ′，S 分别为棱台的__上、下底面面积__，h 为棱台的__高__ (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和. 2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同. (2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
第八章 8.3 第1课时 A 级——基础过关练 1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 【答案】C 【解析】底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2．(2021年银川月考)已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144 【答案】A 【解析】由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34 ×42 ×6＝483，所以表面积S ＝48(3＋3)． 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2 ＝4π，所以r ＝1，所以V 圆柱＝πr 2 ×2r ＝2πr 3 ＝2π.故选B. 4．(2021年郑州模拟)如图，ABC －A ′B ′C ′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C －AA ′B ′ B 的体积是( ) A ．13 B ．1 2 C ．2 3 D ．34 【答案】C 【解析】∵V 三棱锥C －A ′B ′C ′＝13V 三棱柱ABC －A ′B ′C ′＝13，∴V 四棱锥C －AA ′B ′B ＝1－13＝2 3 . 5．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积
的( ) A ．23 B ．1 2 C ．1 3 D ．14 【答案】C 【解析】将正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′截去四个角后得到一个四面体B －DA ′C ′.设正方体的棱长为a ，则V 三棱锥B －B ′A ′C ′＝V 三棱锥A ′－ABD ＝V 三棱锥C ′－BCD ＝V 三棱锥D －A ′C ′D ′＝13×12×a ×a ×a ＝a 3 6，∴四面体B －DA ′C ′的体积V ＝V 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′－4V 三棱锥B －B ′A ′C ′＝a 3 －2a 33＝a 3 3 ，∴这个四面体的体积是原正方体体积的1 3 .故选C. 6．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的底面直径为________． 【答案】2 【解析】设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2 ＝3π，且π l ＝2πr ，解得r ＝1，即直径为2. 7．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________． 【答案】 3 212 【解析】S 表＝4×34×12＝3，V 体＝13×34 ×12 × 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝212 . 8．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________． 【答案】168π 【解析】先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝ h 2＋（R －r ）2＝ （4r ）2 ＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π(8＋2)×10＝100π， S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.
8.3简单几何体的表面积与体积 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则() A.长方体的表面积为20 B.长方体的体积为6 C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3 D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2 2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开, 则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开, 则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是() A. B. C. D.1 D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=. 3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为() A.8 B.12 C.16 D.20 =2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12. 4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为() A.3π B. C.π D.1 ,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×. 5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为()
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 [目标] 1.会求棱柱、棱锥、棱台的表面积；2.会求棱柱、棱锥、棱台的体积． [重点] 求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积． [难点] 棱台的体积． 要点整合夯基础 知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 [填一填] 1．棱柱的表面积 棱柱的表面积：S 表＝S 侧＋2S 底． ①其中底面周长为C ，高为h 的直棱柱的侧面积：S 侧＝Ch ； ②长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的表面积：S 表＝2(ab ＋ac ＋bc)； ③棱长为a 的正方体的表面积：S 表＝6a 2. 2．棱锥的表面积 棱锥的表面积：S 表＝S 侧＋S 底；底面周长为C ，斜高(侧面三角形底边上的高)为h ′的正棱锥的侧面积：S 侧＝1 2 Ch ′. 3．棱台的表面积 棱台的表面积：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底． 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和． [答一答] 1．几何体的侧面积与表面积有何区别？ 提示：侧面积指的是几何体侧面的面积，而表面积是指整个几何体表面的面积．表面积等于侧面积与底面积之和，因此，侧面积仅是几何体表面积的一部分． 知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积 [填一填] 1．棱柱的体积
(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱柱的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh . 2．棱锥的体积 (1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离． (2)棱锥的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝1 3Sh . 3．棱台的体积 (1)棱台的高是指两个底面之间的距离． (2)棱台的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V ＝1 3 h (S ′＋S ′S ＋S )． [答一答] 2．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？ 提示：不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面. 典例讲练破题型 类型一 多面体的表面积 [例1] 已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm ，侧棱长是 6 cm ，则该三棱台的表面积为________． [分析] 利用侧面是等腰梯形求出棱台的侧面积，再求出其表面积． [解析] 正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 5 cm ，故三棱台的表面积为3×12×(2＋4)×5＋1 2×2＋3 ＋1 2 ×4×23＝53＋9 5. [答案] (53＋95) cm 2 在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式的基础上，对于一些较简单的组合体，能够将其分解成柱、锥、台体，再进一步分解为平面图形(正多边形、三角形、梯形等)，以求得其表面积，要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理.
8.3简单几何体的表面积与体积教案 一、教学内容和内容解析 1．内容 第1课时棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积； 第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积． 2．内容解析 本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础． 表面积是度量几何体表面的大小，它是围成几何体的各个面的面积之和．对于多面体的表面积，分别计算表面各个多边形的面积然后相加即可，但对于旋转体，因涉及到曲面面积的计算，故需将空间曲面展开为平面图形，再计算面积．这里蕴含着将“空间问题平面化”的重要思想方法． 体积是度量几何体所占空间的大小．本节正文直接给出了棱柱、棱锥、棱台的体积公式，但在教科书第121—123页，运用祖暅原理对柱体、锥体的体积公式进行了解释，供学有余力的学生研究；教科书“8.6 空间直线、平面的垂直”例6对棱台的体积公式进行了证明．
学生之前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，结合圆台的结构特征（可由圆锥截得）不难推导其体积公式．考虑到本节内容划分成了两个课时，教学时可以酌情对部分公式加以推导． 基于柱体、锥体、台体在结构特征上的联系，教科书还安排了两个“思考”环节，让学生从几何体的结构特征上建立它们的体积公式之间的联系，旨在加强知识之间的整体性和联系性． 球的表面积和体积公式在形式上与柱、锥、台体有较大差异．它可以类比圆的面积公式，用极限思想进行推导．学生需在推导过程中进一步体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路． 综上所述，本节内容的教学重点是：柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式；柱体、锥体、台体的体积公式之间的联系． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； （2）了解柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习． 2．目标解析
姓名，年级： 时间：
8.3 简单几何体的表面积与体积8。3。1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和 体积 学 习目标核心素养 1。通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点) 2.会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．（难点、易错点)1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养。 2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养。 胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59 米,经风化腐蚀,现降至136。5米，塔的底角 为51°51′。假如把建造金字塔的石块凿成平 均一立方英尺的小块,平均每块重2。5吨,像 一辆小汽车那样大． 问题：(1）如何计算建此金字塔需用多少石块? (2）如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量? 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积,h为高）; 棱锥的体积公式V＝错误!Sh（S为底面面积，h为高)； 棱台的体积公式V＝错误!h（S′＋错误!＋S)．其中,棱台的上、下底面面积分别为S′、S，高为h. 思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？ [提示］表面积变大了，而体积不变． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和． ( ) （2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和．（）(3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同． （） (4)在三棱锥P。ABC中，V PABC＝V APBC＝V B.PAC＝V C。PAB．（) ［答案] (1）√(2）√(3）√(4）√ 2．棱长为3的正方体的表面积为（) A．27 B．64 C．54 D．36 C[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54。］ 3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为（) A．6，22 B．3，22 C．6,11 D．3，11 A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22。]
人教A版(2019) 必修第二册逆袭之路第八章 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆 台、球的表面积和体积 学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、解答题 1. 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面 积. 2. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是 多少立方米（精确到）？ 3. 若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积. 4. 如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体.
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？ （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ 5. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？ 6. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面 积.
7. 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 8. 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之 比. 9. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 10. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 11. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积. 12. 一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？ 二、填空题 13. 底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的表面积是_______.