第二讲 微分与积分中值定理及其应用
1 微积分中值定理 0
微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3)
证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9)
引言
Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中
值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。
1 微积分中值定理
微分中值定理
罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =,
则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得
0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得
a
b a f b f f --=
')
()()(ξ．
柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在[a,b]上都连续； (ⅱ)在（a,b ）内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零； (ⅳ))()(b g x g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得
)
()()
()()()(a g b g a f b f g f --=
''ξξ．
微分中值定理的推广
罗尔定理的推广
定理1: 设函数)(x f 在（a,b ）内可导，且有
)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+
→→或为有限值或A A x f b f a f x f b
x a x ，则存在点
),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf ． 证明：首先对A 为有限值进行论证：
令?
??==∈=b x a x A b a x x f x F 或,)
,(),()(
则易知函数)(x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Rolle 定理可知，在(a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ，而在(a,b)内有)()(x f x F '='，所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+（∞-）进行论证：
由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值（最大值）．不妨设：函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值（最大值）．此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值（极大值）．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fermat 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述，从而定理得证．
定理2: 设函数)(x f 在(a,∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x a
x +∞
→→=+，证明：在（a,∞+)中存
在一点ξ，使得0)(='ξf ．
定理3: 设函数)(x f 在（∞-，b),内可导，且)(lim )(lim x f x f b
x x -→-∞
→=，证明：在（∞-,b)
中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．
定理4: 设函数)(x f 在（∞-，∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞
→-∞
→=，证明：在（∞-,∞+)
中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．
朗格朗日中值定理的推广
定理5: 如果函数)(x f 满足条件：在开区间（a,b ）上可导且
)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+
→→b f x f a f a f x f b
x a x 存在，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使
得a
b a f b f f --=
')
()()(ξ．
柯西中值定理的推广
定理6: 如果函数f(x)和F(x)满足条件： ①都在有限区间(a,b)内可导；
②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f b
x a
x b
x a
x ====-+-+→→→→
③;0)(),,('≠∈?x F b a x 有 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得
221
1'')()(m M m M F f --=
ξξ 证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令
时，时时，时时，时b x M ，
b x M a x m x B ，a x m x A b a x x F ，b a x x f ====
==
∈∈2
1
21)()(),()(),()
(
则A(x),B(x)在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导,
且对,0)(),,('≠∈?x B b a x 由Cauchy 中值定理可知，至少有一点),(b a ∈ξ使得
)()()
()()()(''a B b B a A b A B A --=
ξξ 又当),(b a x ∈时,)()(),()(x F x B x f x A ==
∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=
--==ξξξξ 即：2
21
1'')()(m M m M F f --=ξξ 积分中值定理
积分中值定理: 若)(x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得
()()()b a a b f dx x f b
≤≤-=?ξξ,a
.
积分中值定理的推广
推广的积分第一中值定理: 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得 ()()()().,b a dx x g f dx x g x f b
a
b
a ≤≤=??ξξ
第一型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)C
f x y ds f S ξη=?。 其中S 表示曲线C 的长。
第二型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在有向光滑闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使
(,)(,)C f x y ds f I ξη=±?
其中I 为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，符号±是由曲线C 的方向确定。
第一型曲面积分中值定理: 若D 为xoy 平面上的有界闭区域，(,)z z x y =是光滑曲面S ，函数(,,)f x y z 在S 上连续，则曲面S 上至少存在一点(,,)ξη?，使得
(,,)(,,)S
f x y z d f A σξη?=??
其中A 是曲面S 的面积。
第二型曲面积分中值定理: 若有光滑曲面S ：(,)z z x y =，xy D y x ∈),(，其中xy D 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξη?，使得 (,,)(,,)S
f x y z dxdy f A ξη?=?
其中A 是S 的投影xy D 的面积。
3 微积分中值定理的应用
证明方程根（零点）的存在性
例1：设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，则在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得
)
()()
()()
()
()
()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=． 证明：令)()()()()(a g x f x g a f x F -=，则
)()()()()(a g x f x g a f x F '-'='，又有
)()()()()(a g b f b g a f b F -=，0)()()()()(=-=a g a f a g a f a F ．易知)(x F 在闭区间[a,b]
上连续，在（a,b ）上可导，故运用Lagrange 中值定理可得，存在一点),(b a ∈ξ，使得
)]()()()()[()()()(a g f g a f a b b F a F b F ξξ'-'-==-，
即)]()()()()[()()()()(a g f g a f a b a g b f b g a f ξξ'-'-=-，所以在（a,b ）内存在一点
),(b a ∈ξ，使得
)
()()
()()
()
()
()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=，故定理得证．
例2: 设函数)(x f 和)(x g 在闭区间[a,b]上连续，在（a,b ）上可导，且在闭区间[a,b]上，
)
(1
x g 有意义，0)(≠'x g ．则在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得 )
()()
()()]
()([)
()
()()()
(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-='． 证明：令)()()(x g x f x F =
，)
(1
)(x g x G =，易知)(x F 和)(x G 在区间[a,b]上满足Cauchy 中值定理条件，故有，
)
()
()()()()(ξξG F a G b G a F b F ''=
--,即)()()()()()()()()()()(ξξξξξg g f g f b g a g b g a f a g b f ''-'-=--，所以在（a,b ）内存在一点),(b a ∈ξ，使得)
()()
()()]
()([)
()
()()()
(ξξξξξg g f f a g b g b g a g b f a f g ''-='，故定理得证．
例1：设c b a ,,为三个实数，证明：方程c bx ax e x ++=2的根不超过三个. 证明：令x e c bx ax x F -++=2)(，
则x e b ax x F -+=2)('，x e a x F -=2)("，x e x F -=)('".
用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F(x)至少有4个零点， 不妨设为4321x x x x <<< ，
那么有罗尔定理，存在4332211x x x x <<<<<<ξξξ,使
0)(')(')('321===ξξξF F F ，
再用罗尔定理，存在32211ξηξηξ<<<<,使0)(")("21==ηηF F , 再用罗尔定理，存在21ηαη<<,使0)('"=αF ,
因为x e x F -=)('", 所以0)('"≠-=ααe F ,矛盾，所以命题得证.
例2：设函数()f x 在[],a b 上连续，且()0f x >。 证明：?一个(),a b ξ∈，使()()()12
b
b
a
a f x dx f x dx f x dx ξξ
==
???。 证明：令()()()x b
a
x
F x f t dt f t dt =-??，显然()F x 在[],a b 上连续。
()()()()()()()00a b
a
a
F a f t dt f t dt b a f f x η=-=--< >??Q
()()()()()0b b
a
b
F b f t dt f t dt b a f η=-=->??
可知()F x 在[],a b 上满足零值定理。 故?一个(),a b ξ∈，使()0F ξ=。
即()()0b
a
f t dt f t dt ξξ
-=??
∴()()b
a f x dx f x dx ξξ=??
∴()()()()2b
b
b
a a f x dx f x dx f x dx f x dx ξ
ξξ+==???? 例3：设实数12,,n a a a L 满足关系式：()1
2110321
n n a a a n --
++-=-L 。 证明：()12cos cos3cos 210n a x a x a n x +++-=L 在0,2π??
???内至少有一个实根。
证明：令()()2
1sin sin 3sin 21321
n a a f x a x x n x n =+
++--L 显然()f x 在0,2π??????上连续，在0,2π??
???
内可导，
又()00f =， ()
121102321n n a a f a n π-??
=-++-= ?-??
L ，故罗尔定理成立。 于是0,2πξ??
?∈ ???
，使()'0f ξ=，
即：()12cos cos3cos 210n a x a x a n x +++-=L 。故命题得证。 例4：设()f x 在[],a b 上连续。12n a x x x b <<<<
证明：?一个[],a b ξ∈，使()()()
1112n n n
c f x c f x f c c c ξ+=
+++L L
证明：Q ()f x 在[],a b 上连续，有最值定理有：()m f x M ≤≤， ,m M 分别为()f x 在[],a b 上最小最大值，于是： Q 10c >，()()11111m f x M c m c f x c M ≤≤?≤≤ 20c >，()()22222m f x M mc c f x Mc ≤≤?≤≤ L
0n c >，()()n n n n n m f x M mc c f x Mc ≤≤?≤≤
?()()()()()12112212n n n n m c c c c f x c f x c f x c c c M +++≤+++≤+++L L L ?()()()
112212n n n
c f x c f x c f x m M c c c +++≤
≤+++L L
由介值定理，?一个[],a b ξ∈，使()()()
1112n n n
c f x c f x f c c c ξ+=
+++L L
例5：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导)0(>a ，证明在),(b a 内方程
)()()]()([2'22x f a b a f b f x -=-至少存在一根。
证明:令)()()]()([)(222x f a b x a f b f x F ---=，
显然)(x F 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导， 而)()()()(22b F a f b a b f a F =-=. 根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ， 使)()()]()([2'22x f a b a f b f -=-ξ.
例6：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导)0(b a <<，证明：在],[b a 内存在一
点ξ，
使)]()()[()()('ξξξf f a b a af b bf +-=-成立。
证明: )()(x xf x F =，则)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，
由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使()()()F b F a F b a
ξ-'=-，
即a
b a af b bf x f f --=
+)
()()()('ξξ，
即)]()()[()()('ξξξf f a b a af b bf +-=-
例7：设()f x 在],[b a 上连续，在),(b a 可导)0(b a <<，证明:在],[b a 内存在一点ξ，
使)()(ln )()('ξξf a b
a f
b f =-成立。
证明：令x x g ln )(=，对)(x f ，)(x g 在],[b a 上运用Cauchy 定理，
得a
b a f b f f ln ln )()(1)('--=
ξ
ξ， 即)
()()()()()(''a g b g a f b f g f --=
ξξ， 即)()(ln )()('ξξf a b
a f
b f =-.
例8：证明方程 在（0，1）内至少有一个根 。（p46,209）
例9:设抛物线
与 x 轴有两个交点x=a,x=b(a 上二阶可导，f(a)=f(b)=0, 并且曲线y=f(x) 与 在(a,b)内 有一个交点，证明： 存在 使得 （p46,209） 例10 证明： 方程有且仅有三个实根（p46,211） c b a cx bx ax ++=++23423C Bx x y ++-=2C Bx x y ++-=2),(b a ∈ξ2 )(-=''ξf 122+=x x 进行估值运算 例1：估计dx x x ? +1 03 6 191的值. 解：由推广的积分第一中值定理,得 ,11 20111 1361 193 6 1 03 6 19ξ ξ+= += +? ? dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为 ,10≤≤ξ 所以 ,111 2 1 3 6 3 ≤+≤ ξ 即 ， 20 1 112012 201363≤+≤ ξ 故 .201 12201 1 03619 3≤ +≤? dx x x 例2：估计2010.5sin x dx x +?的积分 解：由于 111 10.510.5sin 10.5 x ≤≤ ++-， 即 212310.5sin x ≤≤+。 于是 20443 10.5sin x dx x ππ≤≤+? 此时可得到估计的积分值为 20 84(1)10.5sin 33 x dx x ππθθ=±≤+? 。 证明函数的单调性 例1；设函数)(x f 在),0[+∞上可导， )(x f '单调增加且0)0(=f ，证明x x f x g ) ()(= 在),0(+∞上单调增加. 例2：设函数)(x f 在),0(+∞上连续， ?-=x dt t f t x x F 0 )()2()(,试证：在),0(+∞内, 若)(x f 为非减函数，则)(x F 为非增函数. 证明：???-=-=x x x dt t tf dt t f x dt t f t x x F 0 )(2)()()2()( 对上式求导，得： ??-=-+='x x x xf dt t f x xf x xf dt t f x F 0 )()()(2)()()( 利用积分中值定理，得： )0()],()([)()()(x x f f x x xf xf x F ≤≤-=-='ξξξ 若)(x f 为非减函数，则0)()(≤-x f f ξ， 0)(≤'∴x F ，故)(x F 为非增函数。 求极限 例1：求x x x x x sin tan ) tan(sin )tan(tan lim 0 --+ →。 解：对函数 在区间 上应用拉格朗日中值定理即可。 例2：求)11( lim 12+∞ →-n n n a a n ，其中0a >。 解：根据题意，由Lagrangge 定理，有 )1 1(lim 12+∞→-n n n a a n )1 1 1(|)(lim '2+-?==∞→n n a n x x n ξ )1(ln lim 2+=∞→n n a a n n ξ a ln = 其中，)1,11( n n +∈ξ 例3：求极限12 0lim 1n n x x →∞+? 解：利用广义积分中值定理 1122001lim 11n n n x dx x dx x ξ →∞=++?? t tan ) 2 0](tan ,[sin π < 110 2211[],(01)11(1)(1) n x n n ξξξ+==≤≤++++ 则12201 lim lim 01(1)(1) n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++? 证明不等式 例1：求证 .20 1 12 2011 03 6 193< + dx x x 证明：.11 20111 13361 193 61 6 19ξ ξ+= += +? ? dx x dx x x 其中[]1,0∈ξ,于是由111 2 13 6 3 ≤+≤ ξ 即可获证. 例2：证明 21 232102< -+ x dx . 证明：估计连续函数的积分值()dx x f b a ?的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,则 ()()()a b M dx x f a b m b a -<<-?. 因为 2 3 2149222 2≤??? ??--= -+≤x x x []()1,0∈x , 所以 21232102<-+ x dx . 例3：证明 .10112 1011 9< + dx x x 证明：估计积分()()dx x g x f b a ?的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,又若()0≥x g ,则 ()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m b a b a b a ???≤≤. 本题中令 ()()0,119≥=+= x x g x x f ()10≤≤x . 因为 11121≤+≤ x []()1,0∈x 所以 10 112 12 1011 91 91 9 = <+<= ?? ? dx x dx x x dx x . 例4：证明22 4 1222 e dx e e x x ≤≤?--. 证明：在区间[]20， 上求函数()x x e x f -=2 的最大值M 和最小值m . ()() x x e x x f --='212,令()0='x f ,得驻点2 1 = x . 比较??? ??21f ,()0f ,()2f 知 41 21-=?? ? ??e f 为()x f 在[]20， 上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20， 上的最大值.由积分中值定理得 ()()020222 04 1 2 -≤≤-?-- e dx e e x x , 即 22 4 1222e dx e e x x ≤≤?-- . 推广定理的应用 例1：设)(x f 在),(+∞-∞上可得，且2 1)(0x x x f +≤ ≤，证明：0>?ξ，使得 ()() 22 211f ξξξ-=+。 证明：问题相当于要找0ξ>，使()2101x f x x ξ '-??-= ?+? ?，因函数211)()(x x x f x F +--=在),(+∞-∞内可导，故01lim )(lim 0lim 02=+≤≤=+∞→+∞ →-∞ →x x x f x x x ，即0)(lim =-∞ →x f x 又2 1lim )(lim 0lim 0x x x f x x x +≤≤=+∞ →+∞→+∞→Θ，即0)(lim =+∞→x f x 所以0)(lim )(lim ==+∞ →-∞ →x f x f x x 由定理4知0>?ξ，使得0)(=ξF ，即题目得证。 ． ． 例2：设)(x f 在[a,b]上连续（0>ab ），在（a,b ）上可导，证明存在一点),(b a ∈ξ，使得 )()() () (1 ξξξf f b f a f b a a b -'=-． 证：根据定理7，令x x g =)(，那么1)(='x g ，则存在一点),(b a ∈ξ，使得 1)()() ()()(ξ ξξf f a b b a b f a f '-=，即 )]()()[()()(ξξξf f a b b a b f a f '--=，故存在一点 ),(b a ∈ξ，使得 )()() () (1 ξξξf f b f a f b a a b -'=-． 例5： 设a,b>0，证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()1(b a e be ae a b --=-ξξ． 证：根据定理7，令x e x f =)(，x x g =)(，那么x e x f =')(，1)(='x g ，则存在一点),(b a ∈ξ， 使得 1 )(ξξ ξ e e a b b a e e b a -=，即ξξξξe a b ae be )1)((--=-，故存在一点),(b a ∈ξ，使得)()1(b a e be ae a b --=-ξξ． 例6：证明：若S 是柱准面222)()(r b y a x =-+-上p z q ≤≤的部分，(,,)f x y z 是S 上的连续函数，则 (,,)0S f x y z dxdy =?? 证明：设1S 是S 在xoy 平面的上半部分，2S 为S 在xoy 平面的下半部分，则21S S S +=。由积分区间的可加性，有： 12 (,,)(,,)(,,)S f x y z dxdy f x y z dxdy f x y z dxdy S S =+?????? 由于函数(,,)f x y z 在S ：222)()(r b y a x =-+-上p z q ≤≤的部分上连续，所以函数 (,,)f x y z 在1S 上连续，根据广义Riemann 积分中推广 ，在1S 上至少存在一点(,,)ξη?， 使 1(,,)(,,)f x y z dxdy f S ξη?=??·1 A 其中1A 表示1S 在xoy 平面上的投影区域的面积，由于S 关于xoy 平面对称，所以对上述1),,(S ∈?ηξ，对应点1),,(S ∈?ηξ，又1S 与2S 的方向相反，故有： 2(,,)(,,)f x y z dxdy f S ξη?=--??·2 A 其中2A 表示2S 在xoy 平面上的投影区域的面积，又由于S 关于xoy 平面对称，所以有1 A ＝2A ，(,,)(,,)f x y z f x y z =-。所以有： (,,)S f x y z dxdy ??＝[(,,)f ξη?·1 A －(,,)f ξη?-·2 A ＝0 证明完毕。 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b 则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及 推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 微分中值定理 班级： 姓名： 学号： 摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使 ()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用： 分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月 目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16) 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/518432982.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ． 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部 安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月 学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期 微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点 第五章 微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 331231.(1)30()[0,1]; (2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c -+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。 证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0. '()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈?==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021 01011 0202()0 (,),(,),'()'()0,'()0 (*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==?=+=??=+=?? 使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即 001022 0000102), (,),''(0)0,''()(1)0, 0,0,0. 2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。 当时,设方程12341112122313341112131 11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在 使得即有 1 12121 131321111222121321222 21212 2222212)0, '()0 (,),(,)''()''()0,''()(1)0 .''()(1)0 212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----??=+=??=+=?∈∈==?=-=??=-=??=+>= 于是就存在使得即 由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有 出现了矛盾。 因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。 3[1]1微分中值定理 及其应用 3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. https://www.doczj.com/doc/518432982.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2） 引言 通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5] 对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日（Lagrange ）定理和柯西（Cauchy ）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 Lagrange 定理 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()() =f b f a f b a ξ-'- Cauchy 定理 设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点 (),a b ξ∈，使得 ()()()()()() f b f a f g b g a g ξξ'-='-。 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的()()f a f b =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加()()f a f b =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理及其应用
积分中值定理的推广与应用
第六章 微分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用
微分中值定理
微分中值定理及其应用
数学分析之微分中值定理及其应用
微分与积分中值定理及其应用
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
微分中值定理历史与发展
微分中值定理及其在不等式的应用
数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用
最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
对积分中值定理的一点思考
微分中值定理论文
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