第六章微分中值定理及其应用
§ 1拉格朗日定理和函数的单调性
(第124-125页)
1 ?试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点
，使f ( ) 0:
个实根.
3?证明：若函数f 和g 均在区间I 上可导，且f (x) g (x) , x I ，则在区间I 上f 和g 只相 常数，即f(x) g(x) c (c 为某一常数)
4.证明(1)若函数f 在［a, b ］上可导，且f (x) m ，则
f (b) f (a) m(b a)；
(2)若函数f 在［a, b ］上可导，且| f (x) | M ，则
| f (b) f (a)| M(b a);
(3)对任意实数 x 1, x 2，都有 | sin x 1 sin x 2 | | x 2
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式: /八 b a , b b a ?亠小 (1)
ln ，其中 0
b a a h 2
(2)
口
arctanh h
，其中
6 ?确定下列函数的单调区间:
7?应用函数的单调性证明下列不等式:
2 ?证明：
3
(1)方程x 3x c 0 (这里c 为常数)在区间［0,1］内不可能有两个不同的实根;
(2)方程x
n
px q 0 (n 为正整数)当n 为偶数时至多有两个实根；当
n 为奇数时至多有三 (1) f(x)
.1 xsi n x 0
(2) f(x) |x| 1x1 ?
2
(1) f(x) 3x x ；
(2)
f(x) 2x 2
In x ；
(3) f (x) 2x x 2 ；
(4)
f(x)
x 2 1
3 (1)tanx x
,x (0,—)
2x
(2)
sin x x , x (0,)；
2
x 2
x
2
(3)
x
ln(1 x) x
, x 0.
2
2(1 x)
8?以S(x)记由(a, f(a)), (b, f(b)), (x, f(x))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值 定理证明拉格朗日中值定理 .
9 ?设f 为［a, b ］上二阶可导函数， f(a) f(b) 0，并存在一点c (a, b)使得f (c) 0 ?证 明至少存在一点
(a, b)，使得f ( ) 0 .
10 ?设函数f 在(a, b)内可导，f 单调?证明f 在(a, b)内连续. 11?设p(x)为多项式， 为p(x) 0的r 重实根?证明 必定是p (x)
0的r 1重实根.
12 ?证明：设f 为n 阶可导函数，若方程 f(x) 0有n 1个相异的实根，则方程 f (n )(x) 0至
少有一个实根.
13 .设a , b 0 .证明方程x
3
ax b 不存在正根.
tanx
x 小
14 .证明：
，x 0, ?
x sin x
2
15 .证明：若函数 f , g 在区间［a,b ］上可导，且f (x) g (x), f (a) g(a)，则在(a, b)内 有
f(x) g(x).
§ 2柯西中值定理和不定式极限 (第132-133页)
2
3
1 .试问函数f(x) x , g(x) x 在区间［-1, 1］上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什 么？ 2. 设函数f 在［a, b ］上可导，证明：存在 (a,b)，使得
2 ［f(b) f(a)］ (b 2 a 2
)f ().
3. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数.证明：
4 .设0
2 .证明存在
(,
)
使得sin
sin cot
)，使得
cos
5.求下列不定式极限
叫
Hh
(1) x
..e 1 lim x 0
sin x (2)
1 2sinx lim x cos3x
6
(3) lim ln(1
X)x
； x 0
cosx 1
(4) lim
x 0
x
tan x
x . sin x
(5) tanx 6 lim
secx 5
2
(6) x m
o
(7) (8) l x m
1
(9) x m 0
(1
)x
；
(10) lim sin xln
x ；
x 0
(11) x im o
1 _
~2~ sin x
1
tan x
卩
(12) lim
x 0
x 6 .设函数f 在点a 的某个邻域内具有二阶导数.证明：对充分小的 h ，存在，0
1，使得
f(a h) f(a h) 2f(a)
h 2
f (a h) f (a
2
h)
7 .求下列不定式极限： ln cos(x 1). x 1 sin - 2 (1) (2) lim (
2arctanx)|nx
；
x
(3) li m x 0 sin x x ；
(4) lim (tan
x)
x — 4 tan2x
； ；
(5)
ln(1 x)(1x)
^0
cot
x
(7) lim(1 x 0
1 x)x
e ;
(8)
1
lim ( arctan x)ln x x 2 8?设 f(0) 0 , f 在原点的某邻域内连续，且 f (0)
0 ?证明:
9 ?证明定理 6.6 中
lim x 10 .证明: f(x) x 3e
f (x) lim x 1. x 0 f (x) 0， Jim g(x) 0情形时的洛比达法则.
x 2
为有界函
数.
§ 3泰勒公式（第141-142页）
1.求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式
2 .按例4的方法求下列极限
3 ?求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:
1
，在x 0处
1 x
4 .估计下列近似公式的绝对误差：
3
x
(1) sin x x —
6
[0,1].
5 .计算：（1 ）数e 准确到10
9
(2) lg11 准确到 10 .
§ 4函数的极值与最大（小）值
(第 146-147 页)
1 .求下列函数的极值
(1)
f(x) 2x 3 x 4
;
(2)
f(x)
2x
1 x
(3)
f(x)
(ln x)2 x
(4) f(x) arcta nx 1 2
-ln(1 x 2).
2
2 ?设
f(x)
4?2 x sin 1
-,x 0, x
(1)
f(x
) (2)
f(x ) (3) f(x )
tanx 到含有x 5的项.
arctan x 至U 含有 x 5的
项;
(1) lim x 0 e x sin x x(1 x).
; x 3 (2) lim[x
x
1 ln(1 -)];
x
(3) lim 1(1 x 0
x x cot
x).
(1) f (x) x 3 4x 2 5，在 x
1
处;
(2) f(x)
，当x