第六章微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基
础；
2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：14学时
§ 1 中值定理（4学时）
教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
教学重点：中值定理。
教学难点：定理的证明。
教学难点：系统讲解法。
一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌
握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什
么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数
的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第
六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）
二、讲授新课：
（一）极值概念：
1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. )
2.可微极值点的必要条件:
Th ( Fermat ) ( 证 )
函数的稳定点, 稳定点的求法.
（二）微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性.
https://www.doczj.com/doc/4c1476066.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .
用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参
阅[1]P157.
Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.
推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)
推论2 函数和在区间I上可导且
推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.
若存在,则右导数也存在,且有
(证)
但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数
虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).
Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在
内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函
数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I
上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且
( 证 )
Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若
为介于与之间的任一实数, 则
设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )
3.Cauchy中值定理:
Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点使.
证分析引出辅助函数. 验证在上满足Rolle定理的条件,
必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.
（三）中值定理的简单应用:
1. 证明中值点的存在性
例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得.
证在Cauchy中值定理中取.
例2设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .
2.证明恒等式:原理.
例3证明: 对, 有.
例4设函数和可导且又则
.证明.
例5设对, 有, 其中是正常
数. 则函数是常值函数. (证明 ).
3.证明不等式:
例6证明不等式: 时, .
例7证明不等式: 对，有.
4. 证明方程根的存在性:
证明方程在内有实根.
例8证明方程在内有实根.
§ 2 柯西中值定理和不定式的极限（2学时）
教学目的：
1. 掌握讨论函数单调性方法；
2. 掌握L’Hospital法则，或正确运用后求某些不定式的极限。
教学要求：
1. 熟练掌握L’Hospital法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的
极限；
2. 深刻理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。
教学重点：利用函数的单调性，L’Hospital法则
教学难点：L’Hospital法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。
教学方法：问题教学法，结合练习。
一. 型:
Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.
例1
例2 .
例3 . ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例4 . ( Hospital法则失效的例 )
二.型:
Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 )
例5.
例6.
註: 关于当时的阶.
例7. ( Hospital法则失效的例 )
三. 其他待定型: .前四个是幂指型的. 例8
例9.
例10 .
例11 .
例12 .
例13 .
例14 设且求
解
.
§ 3 Taylor公式（2学时）
教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题。
教学要求：
1. 深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；
2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用。
3. 会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限。
教学重点：Taylor公式
教学难点：Taylor定理的证明及应用。
教学方法：系统讲授法。
一. 问题和任务:
用多项式逼近函数的可能性;对已知的函数,希望找一个多项式逼近到要求的精度.
二. Taylor( 1685—1731 )多项式:
分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式
定义Taylor多项式及Maclaurin多项式
例1求函数在点的Taylor多项式.
[1]P174.( 留作阅读 )
三. Taylor公式和误差估计:
称为余项.称给出的定量或定性描述的式
为函数的Taylor公式.
1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) ——Taylor中值定理:
Th 1 设函数满足条件:
ⅰ> 在闭区间上有直到阶连续导数;
ⅱ> 在开区间内有阶导数.则对
使
.
证 [1]P175—176.
称这种形式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写
为
.
时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为
.
2.误差的定性描述( 局部性质 ) ——Peano型余项:
Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数,且存在,则
,.
证设, . 应用Hospital法则次,并注意到存在, 就有
=
.
称为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或Maclaurin公式).
四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开:
1. 直接展开:
例2求的Maclaurin公式.
解.
例3求的Maclaurin公式.
解,
.
例4求函数的具Peano型余项的Maclaurin公式 .
解.
.
例5把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin 公式 . ( [1]P179 E5, 留为阅读. )
2.间接展开:利用已知的展开式,施行代数运算或变量代换,求新的展开式.
例6把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin 公式 .
解,
.
例7把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin
公式 .
解,
注意,
.
例8先把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 . 利用得到的展开式, 把函数在点展开成具Peano型余项的Taylor公式.
解.
=+
例9把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与
的相应展开式进行比较.
解
;
.
而.
五.Taylor公式应用举例:
1. 证明是无理数:
例10 证明是无理数.
证把展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有
.
反设是有理数, 即和为整数), 就有整数 + . 对也是整数. 于是, 整数 = 整数―整数 = 整数.但由因而当时，不可能是整数. 矛盾.
2.计算函数的近似值:
例11 求精确到的近似值.
解.
注意到有. 为使, 只要取. 现取, 即得数的精确到的近似值为
.
3.利用Taylor公式求极限: 原理:
例12求极限.
解,
;
.
4.证明不等式：原理.
例13证明: 时, 有不等式. [3]P130 E33.
§4 函数的极值与最大（小）值（2学时）
教学目的：会求函数的极值和最值。
教学要求：
1. 会求函数的极值与最值；
2. 弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。
教学重点：利用导数求极值的方法
教学难点：极值的判定
教学方法：讲授法＋演示例题
一．可微函数单调性判别法：
1．单调性判法：
Th 1 设函数在区间内可导. 则在内↗(或↘) 在内 ( 或).
证)
) 证.
Th 2 设函数在区间内可导.则在内↗↗( 或↘↘)
ⅰ> 对有( 或;
ⅱ> 在内任子区间上
2.单调区间的分离:的升、降区间分别对应的非负、非正值区间.
例1分离函数的单调区间.
更一般的例可参阅[4]P147—148 E13，14.
二.可微极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值,极值是多少.
1.可微极值点的必要条件: Fermat定理( 表述为Th3 ).
函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.
2.极值点的充分条件:对每个可疑点,用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点.
Th 4 (充分条件Ⅰ) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则
ⅰ> 在内在内时, 为的一个极小值点;
ⅱ> 在内在内时,为的一个极大值点;
ⅲ>若在上述两个区间内同号, 则不是极值点.
Th 5 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点为函数的驻点且存在.则
ⅰ>当时, 为的一个极大值点;
ⅱ> 当时, 为的一个极小值点.
证法一
当时, 在点的某空心邻域内与异号,……
证法二用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.
Th 6 (充分条件Ⅲ ) 设,而
.则
ⅰ>为奇数时, 不是极值点;
ⅱ>为偶数时,是极值点.且对应极小;对应极大.
例2求函数的极值. [1]P190 E3
例3求函数的极值. [1]P190 E4
3.函数的最值:设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点
. 则
=;
.
函数最值的几个特例:
ⅰ> 单调函数的最值:
ⅱ>如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极
大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点.
ⅲ>若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为
最大(或小)值点.
ⅳ> 对具有实际意义的函数,常用实际判断原则确定最大(或小)值点.
三.最值应用问题:
例4、两村距输电线（直线）分别为和（如图），长. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长最小.
解设如图，并设输电线总长为.则有
,
,
解得和 ( 捨去 ). 答：……
四.利用导数证明不等式:
我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P112—142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.
1.利用单调性证明不等式:
原理: 若↗, 则对, 有不等式.
例5证明: 对任意实数和, 成立不等式
证取在内
↗↗. 于是, 由, 就有, 即
.
2.不等式原理: [4]P169—171.
不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可
导,且; 又则时, (不等式原理的其
他形式.)
例6证明: 时, .
例7证明: 时, .
2.利用极值证明不等式:
例8证明: 时, .
§ 5 函数的凸性与拐点（2学时）
教学目的：掌握讨论函数的凹凸性和方法。
教学要求：弄清函数凸性的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。
教学重点：利用导数研究函数的凸性
教学难点：利用凸性证明相关命题
教学方法：系统讲授法＋演示例题
一．凸性的定义及判定：
1．凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.
定义设函数在区间上连续. 若对, 恒有
, 或.
则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸.
凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线
的弯曲方向.
2．利用二阶导数判断曲线的凸向:
Th 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内
⑴在内严格上凸;
⑵在内严格下凸.
该判别法也俗称为“雨水法则”.
证法一 ( 用Taylor公式 ) 对设, 把
在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有
.