第六章 微分中值定理及其应用
引言
在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.
另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.
本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.
§6.1 微分中值定理
教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理
教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.
教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之
间的包含关系.
教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：
一、一个几何命题的数学描述
为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧?
AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？
联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧?
AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()()
f b f a b a
--,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦
AB ?()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-.
撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于(,)a b ξ∈,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理.
剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不
连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P 存在,曲线弧?
AB 至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. 二、中值定理
Lagrange 中值定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[a,b]上连续;（2）f 在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-.
特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle 定理：
Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）f ∈[a,b];（2）f 在(a,b)内可导;（3）f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得()0f ξ'=.
如把曲线弧?
AB 用参数方程函数,则可得出以下中值定理： Cauchy 定理 若函数f,g （x ＝g(u),y ＝f(u),u ∈[a,b]）满足如下条件：（1）,[,]f g a b ∈;（2）f,g 在(a,b)内可导;（3）,f g ''至少有一个不为0;（4）g(a)≠g(b).在存在ξ∈(a,b),使得
()()()
()()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-='-. 说明（1）几何意义：Rolle ：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang ：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy ：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),x ∈[a,b],则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.
（2）三个定理关系如下：
()()()f a f b g x x
Rolle Lagrang Cauchy ==←????←???
（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle 定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)≠f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle 定理不再成立.但仍可知有()0f ξ'=的情形发生.如y=sgnx,x ∈[-1,1]不满
足Rolle 定理的任何条件,但存在无限多个ξ∈(-1,1),使得()0f ξ'=.
（4）Lagrang 定理中涉及的公式：()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-称之为“中值公式”.这个定理也称
为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=()f ξ'(b-a) ,ξ∈(a,b);（ⅱ）f(b)-f(a)=(())()f a b a b a θ'+--,0<θ<1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)=()f a h h θ'+,0<θ<1. 此处,中值公式对a
定义3（极值） 若函数f 在区间I 上有定义,0x I ∈.若存在0x 的邻域0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≥,则称f 在点0x 取得极大值,称点0x 为极大值点.若存在0x 的邻域
0()U x ,使得对于任意的0()x U x ∈,有0()()f x f x ≤,则称f 在点0x 取得极小值,称点0x 为极小值
点.
极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
注 1、极值是局部性概念,若0()f x 是极值,是和0x 点附近的函数值比较而言的,和离0x 较远的地方无关;最值显然是对整个区间而言的,是整体概念.
2、闭区间[a,b]上的连续函数必有最值,且最大值和最小值各有一个,最大值小于最小值（常函数除外）,但可能无极值.即使有极值,也可能不止一个,极小值也可能大于极大值.因此若f(a)是函数的最值,则f(a)不可能是极值;若0()f x （0(,)x a b ∈）是函数的最值,则一定是极值.（即最值不一定是极值,反之,极值也不一定是最值,因此极值有很多,但若极值只有一个,即为最值.）
极值存在的必要条件――费马（Fermat ）定理
费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义,且在点0x 可导.若0x 为f 的极值点,则比有
0()0f x '=.（即可导极值点的导数为零.）其几何意义：可导极值点出的切线平行于x 轴）,称
满足方程0()0f x '=的点为稳定点.
证明 无妨设)(0x f 为极大值,则当0>?x 时,且)(00x U x x ∈?+时,有
)
()(00≤?-?+x x f x x f
令+
→?0x ,得0)(0≤'x f .
当0
()(00≥?-?+x x f x x f .令-
→?0x ,得0)(0≥'x f ,由此推得0)(0='x f .
Fermat 定理表明导数为0是极值必要条件,但是如果],[)(b a C x f ∈,那么它能达到最大值,如果它又可导,在),(b a 内0)(='x f 只有一个根,则比较)(a f ,)(0x f ,)(b f 就可定出最大值.
由费马定理可知, 可导极值点是稳定点,反之不然.如3()f x x =,点x=0是稳定点,但不是极值点.
达布（Darboux ）定理（导函数的介值定理） 若函数f 在[a,b]上可导,且()()f a f b +-''≠,k 为介于()f a +'和()f b -'之间的任一实数,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()f k ξ'=. 四、中值定理的证明 (一) Rolle 定理
证明 因为],[)(b a C x f ∈,)(x f 在],[b a 上有最大值M 与最小值m ,如果m M =,则
M x f =)(,这时0)(='x f ,可取),(b a 中任意一点作为ξ,如果m M >,其中至少有一个不等于)()(b f a f =.不妨设)(a f M >,我们假定)(x f 在),(b a ∈ξ取到最大值,M f =)(ξ,即ξ为一个极
值点,且)(ξf '存在,由 Fermat 定理,0)(='ξf . (二) Lagrange 中值定理
证明 作辅助函数
1
)(1
)(1
)()(b b f a a f x x f x G = ,
它有明显几何意义,即它表示连接三点{})),((),),((),),((b b f a a f x x f 的三角形面积之二倍,那么],[)(b a C x G ∈,在),(b a 可导,且0)()(==b G a G ,用Rolle 定理,),(b a ∈?ξ,使得0)(='ξG ,即
01
)(1)(01)(='b b f a a f f ξ,
a b a f b f f --=
')
()()(ξ.
辅助函数造法很多,比如可以用以下方法
?
??
???---+-=)()()()()()(a x b a b f a f a f x f x F , )]()()[())](()([)(a f b f a x a b a f x f x -----=Φ, )]()([))(()(a f b f x a b x f x ---=ψ. 然后借助于Rolle 定理都可证明Lagrange 定理.
注释 量
b a b f a f --)
()(表示连接两点))(,(a f a A 和))(,(b f b B 的弦的斜率,不管b a
<还是b
a >都对.Lagrange 定理表明存在),(
b a 中一点,使)(ξf '恰等于这个斜率,Lagrange 定理也称Lagrange 公式,它也可以写成))(()()(a x f a f x f -'+=ξ,其中ξ介于x 与a 之间,它可以看成用线性函数))(()(a x f a f -'+ξ在a 局部对)(x f 的逼近.它还可写成
))](([)()(a b a b a f a f b f --+'+=θ, h h a f a f h a f )()()(θ+'+=+, 其中10<<θ,a b h -=.
这里h a θξ+=,只要指出
h
a -=
ξθ满足10<<θ.当0
>h 时,h a a +<<ξ,h a <-<ξ0,1
0<<-h a
ξ,得10<<θ.当0 h a -<-<ξ0 , 10<< --h a ξ ,得10<<θ . (三) Cauchy 定理 证明 对f 和g 分别应用Lagrange 定理,我们可得)() ()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''= --,这里1ξ与2ξ可能 不一样,这是一条错误之路,本定理关键要求是一致的ξ.作函数 1 )()(1 )()(1 )()()(b g b f a g a f x g x f x G =, 它的几何意义是在参数曲线 ?? ?==)()(x g Y x f X 上,三点 ,))(),((,))(),(({a g a f x g x f }))(),((b g b f 连成的三角形面积之二倍.则)(x G 满足Rolle 定理条件,故),(b a ∈?ξ,使得0)(='ξG ,即)]()()[()]()()[(a g b g f a f b f g -'=-'ξξ,得证. 注1与Lagrange 定理证明类似,我们也可借助其它形式的辅助函数,比如用 )]()()[()]()()[()(a f b f x g a g b g x f x F ---=. 注2 x x g =)(时,Cauchy 定理推出Lagrange 定理. 注3 不管b a >还是b a <,Cauchy 定理都可写成 )() ())(())(()()()()(h a g h a f a b a g a b a f a g b g a f b f θθθθ+'+'= -+'-+'=-- , 其中a b h -=,10<<θ. 五、中值定理的一些推论及中值定理的应用初步 (一) Rolle 定理的推论 若f 在[1x ,2x ]上连续,在(1x ,2x )内可导,12()()0f x f x ==,则存在12(,)x x ξ∈,使得 ()0f ξ'=（简言之：可导函数的两个之间必有导数的零点）. (二) Lagrang 定理的推论 推论1 若函数f 在区间I 上可导,且()0f x '=,x I ∈,则f 为I 上的一个常量函数. 证明 Lagrange 定理给出,],[b a x ∈?,0))(()()(=-'=-a x f a f x f ξ)(b a <<ξ,由此得 C a f x f ≡≡)()(. 几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线. 简单应用：证明：（1）在[-1,1]上恒有：arcsin arccos 2 x x π += , （2）在(,)-∞+∞上恒有：arctan arccot 2 x x π += 推广 若f(x)在区间[a,b]上连续,且在（a,b ）中除有限个点外有()0f x '=,则f 在I 上是常数函数. 推论2 若函数f 和g 均在I 上可导,且()()f x g x ''=,x I ∈,则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数,即存在常数C,使得()()f x g x C =+. 证明 对)()(x g x f -应用推论1即得. 推论 3 （导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续,在0()U x 内可导,且 lim ()x x f x →'存在,则f 在点0x 可导,且0 0()lim ()x x f x f x →''=. 应用一：关于方程根的讨论（存在性）――主要应用Rolle 定理 例1 设f 为R 上的可导函数,证明：若方程()0f x '=没有实根,则方程f(x)=0至多只有一 个实根. 例2 设f [,]a b ∈,在[,]a b 连续可微,在（a,b ）二阶可微,且()()()0f a f b f a '===,证明： ()0f x ''=在(a,b)中至少有一个根. 例3 已知1 0021 n c c c n + ++=+L ,证明：2012()0n n p x c c x c x c x =++++=L 至少有一正实根. 例4 设42()2f x x x x =-+,证明()f x '于（0,1）中至少有一根. 应用二：证明中值点的存在性: 例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈?ξ, 使得 )()(a f b f -)(ln ξξf a b '?=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=. 例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f . 试证明: 0)()( ),,(='-?∈?ξξξf f b a . 例3 设f 在[a,b]（a>0）上连续;在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=()ln b f a ξξ'. 例4 设12,0x x >,证明：12(,)x x ξ?∈满足211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--. 应用二：用中值定理证明公式 例1 证明：对一切h>-1,h ≠0有公式 ln(1)1h h h h <+<+ 例2 证明：当a>b>0时,ln a b a a b a b b --<< . 例3 证明：|sin sin |||x y x y -≤-,,x y R ?∈. 例4 设f 在[0,a]一阶连续可微,在(0,a)二阶可微,且存在正数M 使|()|f x M ''≤,又设f 在(0,a)存在稳定点c,证明：|(0)||()|f f a Ma ''+≤. 例5 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=' 'g f g f 则 )()(x cf x g =. ( 证明 0) (='f g . ) 例6 设对R ∈? , h x ,有2 |)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数,则函数)(x f 是常值函 数. (证明 0='f ). 例 7 证明: 若],[)()(b a x g x f 在和上连续,在),(b a 内可导,且0)(≠'x g ,则 ),(b a ∈ξ?,使得 )()() ()() ()(ξ--ξ= ξ'ξ'g b g a f f g f . (1) 分析 先把上面(1)式改写为: .0)()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'g a f b g f g f g f (2) 若令 )()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x h --=, 则 (2) 式即为 0)(=ξ'h . 这样,问题就化为检验],[)(b a x h 在上是否满足 Rolle 定理的条件. 证明 由题设条件,上述],[)(b a x h 在上连续,在),(b a 内可导,且有 )()()()(b h b g a f a h =-=. 故),(b a ∈ξ?,使得0)(=ξ'h ,即 (2) 式成立. 又因0)(≠'x g ,故由导函数的性质（具有介值性）,)(x g '在),(b a 内不变号,由此推知)(x g 在),(b a 内严格单调;再由)(x g 在],[b a 上连续,所以)(x g 又在],[b a 上严格单调. 这就保证了0)()(≠ξ-g b g . 这样,便可由（2）式逆推至（1）式成立. 作业 教材P124—125 4—9 ;P132—133 1—4. §6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用—6.2 Rolle Lagrange Cauchy 定理的进一步应用 教学目标：掌握讨论函数单调性方法；掌握L ’Hospital 法则,或正确运用后求某些不定式的极 限. 教学要求： 熟练掌握L ’Hospital 法则,并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极限,深刻 理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式. 教学重点: 利用函数的单调性,L ’Hospital 法则 教学难点: L ’Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；. 教学方法: 问题教学法,结合练习. 教学过程: 一、中值定理与函数的单调性 定理1 设f(x)在区间I 上可导,则f(x)在I 上递增（减）()0(0)f x '?≥≤. 注1 这个定理的主要用途在于用它研究函数的单调性,确定单调区间. 例1 设3()f x x x =-,试讨论函数f 的单调区间. 注2 从实现充分性的证明中发现,若21()0(0)()()f x f x f x '>21(()())f x f x <,即f 严格递增（减）,从而有如下推论： 推论 设函数f 在区间I 上可微,若()0(0)f x '><,则f 在I 上严格递增（减）. 注3 上述推论是严格递增（减）的一个充分非必要条件. 定理2 若函数f 在(a,b)内可导,则f 在(a,b)内严格递增（减）的充要条件是：（ⅰ）对一切(,)x a b ∈,有()0(0)f x '≥≤；（ⅱ）在(a,b)内的任何子区间上()0f x '≠. 注4 一个问题：f(x)在[a,b]上有定义,在(a,b)内严格递增（减）,那么f(x)在[a,b]上是否一定严格递增（减）呢？ 答案：不一定. 推论 若f(x)在(a,b)内可导,f(x)在(a,b)内严格递增（减）,且y=f(x)在右端点a 右连续,则f 在[a,b]上变为严格递增（减）,对左端点b 也有类似讨论. 例2 证明等式：当0x ≠时,1x e x >+ 例3 证明：0x >时,3sin 3! x x x >- 例4 已知0f f '+≠,证明：()0f x =至多只有一个根 例5 证明方程：sin 02 x x - =只有一个根0x =. 二、中值定理与不定式极限 (一) 什么是不定式极限 在第3章函数的极限的学习中我们知道：0(1)+0(1)=0(1),但0(1) 0(1) 不一定是无穷小量,甚至于两个无穷小量极限不存在,例如： （1）当0x →,sin 0(1)x =,0(1)x =,0sin lim 10x x x →=≠,即sin 0(1)x x ≠； （2）当0x →,2 0(1)x =,0(1)x =,20lim 0x x x →=,即0(1)x x =； （3）当0x →,20(1)x =,0(1)x =,2 lim x x x →不存在. 由此可见,两个无穷小量之比的极限是不确定的,于是我们把这种类型的极限称为“0 ”型 的不等式极限. 除了00型不等式极限外,还有许多类型的不等式极限,如：（ⅰ）∞∞ 型；（ⅱ）∞-∞型；（ⅲ） 0?∞型； （ⅳ）00型；（ⅴ）1∞型；（ⅵ）0∞,0∞型等,其中最基本的是00型和∞ ∞ 型,其它类型都可化成这两种基本类型来解决. (二) 0 不定式极限的计算 当0 ()lim ()x x f x g x →是00型时,困难在于极限商的运算失效！例：201cos lim x x x →-. 在此之前,我们是借助于0sin lim 1x x x →=或等价变换来解决.这两种解决有些问题是有效的,但遗憾的是把0()lim ()x x f x g x →化为0sin lim x x x →类型时,或寻求等价变换时往往需要很大的运算量,甚至很难找到等价量. 例 21cos lim x x tan x π→+. 例 1/2 20(12)lim ln(1) x x e x x →-++. 为此,我们引进求解这类极限的更为有效的工具－L ’Hospital （洛必达法则）.（有的同学可能会有疑问：既然这么好的工具,为什么不早介绍呢？因为L ’Hospital 法则要使用函数的导数,而且其理论依据在中值定理,所以放在中值定理的应用中来讲）. （0 0型极限的）洛必达法则 定理1 设 1）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上连续,且=→)(lim x f a x 0 )(lim =→x g a x , 2）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上可导,且0)(≠'x g , 3） k x g x f a x =''→)() (lim （k 为有限或∞±）, 则 k x g x f x g x f a x a x =''=→→)()(lim )()(lim . 证明 先证 k x g x f a x =→)() (lim ,由1）,我们补充定义0)()(==a g a f ,则f ,g 成为在],[a a δ-连 续,),(a a δ-上可导函数.),(a a x δ-∈?,)(x f ,)(x g 在],[a x 满足 Cauchy 中值定理条件,所以有 )]([)] ([)()()()()()(a x a g a x a f a g x g a f x f x g x f -+'-+'=--=θθ, 10<<θ, 由3）, k a x a g a x a f a x =-+'-+'-→)]([)]([lim θθ,所以k x g x f a x =-→)()(lim 0. 同理 k x g x f a x =+→)()(lim ,综合起来有k x g x f a x =→)() (lim . 注 把 a x → 改为0+→a x 或0-→a x 结论也成立. 定理2 设 1） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 连续,且=+∞→)(lim x f x 0)(lim =+∞→x g x , 2） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 可导,且0)(≠'x g , 3） k x g x f x =''+∞ →)() (lim （k 为有限或∞∞±,）, 则 k x g x f x =+∞ →)()(lim . 证明 先算极限,然后再验证条件. ) (()((lim ([([lim ((lim )()(lim 220001)11)1)]1)]1)1) 1t t t t t t t t g f g f g f x g x f t t t x -'-'='' ==+→+→+→+∞→ )1 ()()(lim ) () (lim 110t x k x g x f g f x t t t ==''=''=+∞→+ →。 其中只有第二个等式需要说明它满足定理的条件.不妨设0>a ,)(1t f ,)(1t g 在),0(1 a 上连续,且 0011lim ()lim ()0t t t t f g →+→+==,且)(1t f ,)(1t g 在),0(1a 可导,且 ))((])([2111≠-'='t t t g g ,有 k g f t t t =' '+ →])([])([lim 110. 注 把+∞→x 换成-∞→x 和∞→x 也有相应的结论. 若函数f 和g 满足：（1）0 lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域内两者都可导, 且()0g x '≠；（3）0 ()lim () x x f x A g x →'=',则00()() lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 ? sin lim 0=--→x x x shx x 解 1 cos lim sin lim 1cos 1lim sin lim 0000-=-=-=--=--→→→→x chx x shx x chx x x x shx x x x x . 例2 ? 1lim 20=-+ →x x e x 解 21 21lim 1lim 1lim 202020-=-=-=-+→+→+→t t t t x x e e t e x )(2 t x =. 例3 ? )(lim 2 =-+∞ →x arctg x x π 解 1111 lim lim )(lim 221 2 2 =-+-=-=-+∞ →+∞ →+∞ →x x x arctg x arctg x x x x x ππ . 例 4 0 lim x + →例5 301 lim x x e x →- 3、 ∞ ∞ 型不定式极限的L ’Hospital 法则 定理3 设 1）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 上连续,且∞=→)(lim x f a x ,∞ =→)(lim x g a x , 2）)(x f ,)(x g 在);(0δa U 可导,且0)(≠'x g , 3） k x g x f a x =''→)() (lim （有限或∞∞±,）, 则 k x g x f a x =→)()(lim . 证明 只对∞ 0>?ε,由3）,01>?δ,当a a <<-ξδ1时,有 3) ()(ε ξξ< -''k g f , ),(1a a x δ-∈?,在],[1x a δ-上应用Cauchy 中值定理,得 k g f k x g x g x f x f -''=---)() ()()()()(11ξξ, 这里11δ-=a x , 即 )] ()([)()()]()([)()(111x g x g k g f x g x g k x f x f -??? ???-''=---ξξ 故 )] ()([)()()]()([)()(111x g x g k g f x kg x f x kg x f -??? ???-''=---ξξ )()()()()(1)()()() (111x g x kg x f x g x g k g f k x g x f -+??????-??????-''=-ξξ. 又由于∞=-→)(lim 0x g a x ,有 0)()()(lim 110 =--→x g x kg x f a x ,0 )() (lim 10=-→x g x g a x ,所以2δ?,使得当a x a <<-2δ时,有 2)()()(11ε<-x g x kg x f , 21 )()(1< x g x g 令),m in(21δδδ=,当a x a <<-δ时,有 )() ()()()(1)()()()(111x g x kg x f x g x g k g f k x g x f -+ --''≤-ξξ εεε=+?≤ 2323. 即 k x g x f a x =-→)() (lim . 定理4 设 1） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 上连续,且∞=+∞→)(lim x g x , 2） )(x f ,)(x g 在),(+∞a 上可导,且0)(≠'x g , 3） k x g x f x =''+∞ →)() (lim （有限或∞±,∞）, 则 k x g x f x g x f x x =''=+∞→+∞ →)()(lim )()(lim . 证明 可类似于由定理1证明定理2的过程给出证明,这里省略. 例4 ? ln lim =+∞→ε x x x )0(>ε 解： 0 1 lim lim ln lim 11 ===+∞→-+∞→+∞→εεεεεx x x x x x x x . 例5 ?lim =+∞→x x e x α )0(>α 解 0])[()1(lim lim lim 1 ][1=--===--+∞→-+∞→+∞→x x x x x x e x e x e x αααααααααΛΛ. 无穷大量是“梁山泊排座次”：+∞→x ΛΛ<<<<<<<<<<<<<<< x x x x )0(ln ln ln 212 1 αααα ΛΛ<<<<<<<<<<<<< 例6 证明函数 ?????=≠=-,)0(0,)0()(2 1x x e x f x 在),(+∞-∞上无穷次可微. 证明 当0≠x 时,2 1 32)(x e x x f -= '； 当0=x 时, ) 1(1lim lim )0()(lim )0(2 1 002 t x t t e x e x f x f f t x x x ===-=-∞→- →→ 21lim lim 2 2 ===∞ →∞ →t t t t te e t . 且0)(lim 0='→x f x ,),()(1+∞-∞∈∴C x f . 假设 ??? ??=≠=-)0(0) 0()()(21 3)(1x x e P x f x x n n ,已证1=n 时,它是对的,设n 时成立,我们看1+n 阶导 数,0≠x 时 2 1 3233) 1(1112)(x n n n e x P x x P x x f -+????????? ??'-??? ??= 2 1)1(31 x n e P x - +? ? ? ??= 0)(lim )(lim )0(2 2 31130)1(===∞ →- →+t n t x x n x n e t tP x e P f ) 1(t x = 从)() (x f n 表达式,易知)() (x f n ),(+∞-∞∈C ,所以)(x f ),(+∞-∞∈∞C . 类似定义函数 ??? ??≤>=-0, 00 , )(1 x x e x x ξ 可证 ),(+∞-∞∈∞ C ξ,这是一个很有用的函数,稍加改造我们可以构造如下函数： )1()4() 4()(222-+--= x x x x ξξξη 则 )(x η),(+∞-∞∈∞ C ,且1)(=x η,1≤x ；1)(0< 2≥x .这个函数非常有用. 使用00型和∞ ∞ 型求极限的L ’Hospital 法则应注意的一些问题： （1） 不能对任何比较类型的极限都用L ’Hospital 法则来求解,必须是00型和∞ ∞ 型才可 以； （2） 若0 ()lim () x x f x g x →''不存在,就不能用,但这不意味着0() lim ()x x f x g x →不存在； （3） 可以使用L ’Hospital 法则,但出现循环现象,无法求出结果,此时只能寻求别的方法； （4） 只有当0 ()lim ()x x f x g x →''比0() lim () x x f x g x →简单时,用L ’Hospital 法则才有价值,否则另找方法,故L ’Hospital 法则不是“万能工具”. (四) 其它类型不定式极限 如 ∞ ∞ 型、∞-∞型、0?∞型、00型、1∞型、0∞型、0∞型等,经过变换,它们一般均可以化为∞ ∞ 型和00型的极限,具体采用什么样替换,要机警对待.如下列各例： 例7 ) 0(ln lim 0>+ →ααx x x 解 这是∞?0型. 100001 ln ln 1lim ln lim lim lim 01x x x x x x x x x x x α ααααα→+→+→+→++??===-= ???- 例8 求极限) 0(lim 121>??? ? ? ?+++i x x n x x a n a a a Λ.这里分别考虑0→x ,+∞→x , -∞→x 三种情况. 解 令 x x n x x n a a a y 121???? ??+++=Λ, ???? ??+++=n a a a x y x n x x Λ21ln 1ln . 我们来求y ln lim . 1） x n x x n x n x x x x a a a a a a a a a y ++++++=→→ΛΛ21221100ln ln ln lim ln lim )ln(1 1n a a n Λ= n n a a Λ1ln = 所以n n x a a y Λ10 lim =→,即为n 个数的几何平均. 2） x n x x n x n x x x x a a a a a a a a a y ++++++=+∞→+∞→ΛΛ212211ln ln ln lim ln lim , 记 ),,,m ax (21n a a a M Λ=,则 x M a x M a x M a a x M a a x M a a x M a y n n n x x ??? ??++??? ??+??? ????? ??++??? ??+?? ? ??=+∞→+∞→ΛΛ212211ln ln ln lim ln lim M ln =, 所以=+∞ →y x lim ),,,m ax (21n a a a M Λ=. 3） 令),,,m in(21n a a a m Λ=,则 x m a x m a x m a a x m a a x m a a x m a y n n n x x ??? ??++??? ??+??? ????? ??++??? ??+?? ? ??=+∞→+∞→ΛΛ212211ln ln ln lim ln lim m ln = 所以 =-∞ →y x lim ) ,,,m in(21n a a a m Λ=. 例9 设() 0()0,0g x x f x x x ?≠? ??=?,已知(0)(0)0g g '==,(0)3g ''=,试求(0)f '. 解 200)(lim 0 ) (lim )0()(lim )0(x x g x x x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 2 3 )0(21)0()(lim 212)(lim 00 0=''='-'='=→→g x g x g x x g x x (五) 用L ’Hospital 法则求数列极限 例10 211 lim(1)n n e n n →∞++= 例11 n n n ?? ? ?? +∞ →211lim . 作业 教材P125 6,7 ； P133 5 （1）—（12）, 6. §6.3 泰勒公式 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.3 泰勒公式 教学目标：掌握Taylor 公式,并能应用它解决一些有关的问题. 教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理,掌握Taylor 公式,熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其 之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式,并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限. 教学重点：Taylor 公式 教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学过程： 引 言 不论在近似计算或理论分析中,我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数,这将会带来很大的方便.一般来说,最简单的是多项式,因为多项式是关于变量加、减、乘的运算,但是,怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？ 上一节中,讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道,如果函数f 在点0x 可导,则有有限存在公式； 0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+- 即在0x 附近,用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时,其误差为00()x x -. 然而,在很大场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为00()x x -,其中n 为多项式次数.为此,有如下的n 次多项式： 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++-L 易见： 00()n a p x =,01()1!n p x a '=,02()2! n p x a ''=,…,() 0()!n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的 取值唯一确定）. 对于一般的函数,设它在0x 点存在直到n 阶导数,由这些导数构造一个n 次多项式如下： ()00000()() ()()()()1!! n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++-L 称为函数f 在点0x 处泰勒多项式,()n T x 的各项函数,()0() ! k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数. 问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时,其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=- 一、带有皮亚诺余项的泰勒公式 定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数,则有0()()0(())n n f x T x x x =+-,即 ()000000()() ()()()()0(())1!! n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-L 即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项. 证明 设()()()n n R x f x T x =-, n a x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次, 并注意到 )() (a f n 存在, 就有 =====--→→) ()(lim )()(lim )1() 1(0 x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1() )(()()(lim )()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→Λ= 0)()()(lim !1) ()1()1(=??? ? ??---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()n n a x x R )()(-=ο为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano 型余项为)()(n n x x R ο=. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ). 注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())n n f x P x x x =+-,其中 0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++-L ,这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x .但 ()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x .（因为除(0)0f '=外,f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的 导数.）； 注2、满足条件0()()0(())n n f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的.由此可知,当f 满足定理1的条件时,满足要求0()()0(())n n f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式()n T x ； 注3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式： ()(0)(0)()(0)0()1!! n n n f f f x f x x x n '=++++L 引申 定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计,但这种估计只告诉我们当0x x →时,误差是较0()n x x -高阶的无穷小量,这是一种“定性”的说法,并未从“量”上加以描述；换言之,当点给定时,相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来.为此,我们有有必要余项作深入的讨论,以便得到一个易于计算或估计误差的形式. 二、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式 定理2（泰勒） 若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数,在(a,b)内存在n ＋1阶导函数,则对任意给定的0,[,]x x a b ∈,至少存在一点(,)a b ξ∈使得： ()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)! n n n n f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+L （1） 证明 记()()()n n R x f x T x =-,要证(1)1 0() ()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+,记 1 0()()n n Q x x x +=-,不妨设 0x x <,则 (),() n n R x Q x 在 0[,] x b 上有直到n 阶的连续导数,在 0(,) x b 内存 在1n +阶导数,又因为 ()000()()()0n n n n R x R x R x '====L ,()000()()()0n n n n Q x Q x Q x '====L . 故在区间 0[,] x x 上连续运用Cauchy 中值定理1n +次,就有 010010()()()()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n R x R x R x R R R x Q x Q x Q x Q Q Q x ξξξξ'''--=== -'''- ()()(1)20()() (1) 02()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n n n n n R R R x R Q Q x Q Q ξξξξξξ++''-====-''L , 其中,011n n x x ξξξξ-<<<<< n n Q n ξ+=+, 从而得到 (1)1 0() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=-+ , （2） ξ介于0x 与x 之间. 注1、当n ＝0时,泰勒公式即为拉格朗日公式,所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广； 2、当00x =时,则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式 ()(1)1 (0)(0)()()(0)1!!(1)! n n n n f f f x f x f x x x n n θ++'=+++++L (0,1)θ∈ 称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()! 1()) (()(1) 1(++-+-+= n n n a x n a x a f x R θ ) 1 , 0(∈θ. 0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ） 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b 则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广 139 第五章 微分中值定理及其应用 上册P 178—180 习题解答 1． 设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ， 此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ， 此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ， 即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在 点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都 不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 . 数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 第六章 微分中值定理及其应用 一、 填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根， 它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定 理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是 _______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得 极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-， 则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最 大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得 极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______， 最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为 第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及 第三章微分中值定理导数的应用 教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线， 会描绘函数的图形。 4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6． 了解方程近似解的二分法及切线法。 一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理 如()x f 满足： （1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==， 证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。 证： 设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例 设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。 解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理 存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη， 亦即()()0f f /=η+η 例 习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理 如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续， 则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。 推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减） 例 对任意满足1x <的x ， 都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例 设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明 作业：见各章节课后习题。 分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月 目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16) 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒 中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理 费马引理 设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任 意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0 根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处 的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条 安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月 学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期 微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点 第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课： 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/2511372946.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且 3[1]1微分中值定理 及其应用 3.2 微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基 础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. https://www.doczj.com/doc/2511372946.html,grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导, 则?Skip Record If...?，使得?Skip Record If...?. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函 数. 推论2 函数和在区间I上可导且 推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导. 若存在,则右导数也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在 内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函 数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I 上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ． 第六章 微分中值定理及其应用 §1 Lagrange 定理和函数的单调性 一 、Roll 中值定理与Lagrange 中值定理 定理6.1 (Roll 定理) 若f 满足：（1）f [],C a b ∈ （2）f 在(),a b 可导 （3）()()f a f b =，则()(),,.,0a b s t f ξξ'?∈= 证明：[],,f C a b ∈ 故f 必在[],a b 有最大值M 和最小值m ，若M=m ，则 f 为[],a b 上的常值函数，结论显然；若M ≠m,则M 与m 必有其一在(),a b 内部 某点ξ取得，故ξ为必极值点，由Fermat Th 知 ()0f ξ'=. 例1 f 在R 上可导，若()0f x '=无实根，则()f x =0至多只有一实根 定理6.2（Lagrange Th ） 若f 满足1）[],f C a b ∈，2）(),f a b 在可导， 则()()()() ,.. f a f b s t f b a ξξ-'?∈=-a,b —— Lagrange 中值公式 证明：作辅助函数()()()()() ()f b f a F x f x f a x a b a -=----即可。 Lagrange 中值公式的基本形式 ()()()()() ()()()()()()()(),,,01,01f b f a f b a a b f b f a f a b a b a f a h f a f a h h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 例2 证明对一切h>-1,h ≠0 成立不等式 ()ln 11h h h h <+<+ 证明：考虑函数()()ln 1f x x =+,x 在0与h 之间，显然在0到h 组成的闭区间上连续，开区间上得()()ln 1ln 1ln1.011h h h h θθ+=+-= <<+，当h>0时，11.h h θ+<+11h h h h h θ∴ <<++ ①； 当-1 第三章 微分中值定理及其应用 3.1 中值定理 3.1.1 费马引理 设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。 备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。 3.1.2 罗尔定理 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至 少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。 （1）罗尔定理的三个条件缺一不可。 （2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。 （3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。 例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。 例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ， 0)()('' b f a f 。证明： （1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf （2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。 例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i n n ,2,1,,01 2)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2 ,0(π内至少有一个实根。 微分中值定理应用举例 单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<， 即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库
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