毕业论文(设计)
题目名称：微分中值定理的推广及应用
题目类型：理论研究型
学生姓名：邓奇峰
院(系)：信息与数学学院
专业班级：数学10903班
指导教师：熊骏
辅导教师：熊骏
时间：2012年12月至2013年6月
目录
毕业设计任务书 .......................................................................................................................... I 开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见................................................................................................................... III 评阅老师评语 ............................................................................................................................ IV 答辩会议记录 .............................................................................................................................. V 中文摘要 ..................................................................................................................................... VI 外文摘要 .................................................................................................................................... V II
1 引言 (1)
2 题目来源 (1)
3 研究目的和意义 (1)
4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)
5 微分中值定理的发展过程 (2)
6 微分中值定理的基本内容 (3)
6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)
6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)
6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)
6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)
7 微分中值定理之间的联系 (5)
8 微分中值定理的应用 (5)
8.1 根的存在性证明 (6)
8.2 利用微分中值定理求极限 (8)
8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (9)
8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)
8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)
8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)
8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)
9 微分中值定理的推广 (14)
9.1 微分中值定理的推广定理 (14)
9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (16)
参考文献 (18)
致谢 (19)
微分中值定理的推广及应用
学生：邓奇峰，信息与数学学院
指导老师：熊骏，信息与数学学院
【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的内容和微分中值定理之间的内在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。
由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。
拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用范围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。
【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用
The Extension and Application of the Differential Mean
Value Theorem
Student: Deng Qifeng, School of Information and Mathematics
Tutor: Xiong Jun, School of Information and Mathematics
【Abstract】The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local research application function derivative, plays a very important role in Calculus. This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality.
Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice.
The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mean value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem. In this article, the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem. Also, the article has demonstrated of the application of differential mean value theorem in derivative limit, derivative estimate value, existence of root of an equation, proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples.
【Key words】Differential mean value theorem; Rolle mean value theorem; The Lagrange mean value theorem; the Cauchy mean value theorem; Contact; Promotion; Application
微分中值定理的推广及应用
1 引言
通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
2 题目来源
源于对微分中指定理的学习与兴趣，以及其在生活中各领域的重要应用。
3 研究目的和意义
目的：本课题的主要目的是帮助学生多角度地了解微分中值定理的证明及其相关应用。
意义：微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，因而在微分学中占有很重要的地位。通过微分学基本定理的介绍，揭示函数与其导数之间的关系，在知识结构和思想体系中，建立起应用导数进一步研究函数性质的桥梁。
在各类大型考试中，微分中值定理占有很重要的位置，是重要的考点，常以该定理的证明及应用出现，涉及一些理论分析和证明，还有在极值问题中的实际应用，因而对其进行较深层次的挖掘与探讨就显得很有必要。
4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了。1637年，著名法国数学家费马在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理。教科书中通常将它称为费马定理。1691年，法国数学家罗尔在《方程的解法》一文中给出多
项式形式的罗尔定理，1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。此外，在极值问题中有重要的实际应用。微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁。微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现。特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇。
5 微分中值定理的发展过程
微分中值定理是微分学的核心定理之一[1]。微分中值定理是研究函数性态和函数性质的重要工具，它有着明显的物理意义和几何意义。以拉格朗日中值定理为例，它表明“一个表示事物运动函数的曲线段，必定有一点的切线要平行于曲线段两个端点连接的弦”。[2]所以人们十分重视微分中值定理及其应用的研究。
古希腊时代，人们就对微分中值定理的相关内容有了朦胧的认识。公元前古希腊人就知道如下结论：对于抛物线形成的弓形，过弓形顶点的切线一定平行于抛物线形成的弓形的底。古希腊的著名数学家阿基米德(Archimedes，公元前287——前221)也据此研究出：对于任意抛物线形成的弓形的面积都可以求出来。意大利著名数学家卡瓦列里(Cavalieri，公元1598——公元1674，)在《不可分量几何学》(1635年出版)中给出的引理3有如下几何观点：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦[3]。
1637年，法国大数学家费马(Fermat，公元1601一公元1665)在《求最大值和最小值的方法》中推导出一个定理，在大多数高等数学教材中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理——费马定理，常被用来证明罗尔定理，也被用来作为判断极值存在的必要条件。
作为微积分创立者之一的数学家费马在研究极小问题和极大问题的解法时，研究出“虚拟等式法”[4]——费马定理原形。虚拟等式法的含义可以用以下例子来加以说明：有一个线段，设其长度，问如何把这样一个线段截成两个线段，使这两个线段长度乘积最大。
1691年，法国数学家罗尔(公元1652——公元1719)在其发表的《方程的
解法》一文中给出多项式形式的费马定理的推广[5]引申式——罗尔定理：
“设1011100n n n a x a x a x a --++++=L 为多项式，在多项式
1011100n n n a x a x a x a --++++=L 2
的两个相邻根中，方程
()1201110n n n na x n a x a ---+-++=L
至少有一个实根。”
这被称为原始的罗尔定理。当然也是现代罗尔定理“若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'= ”在多项式中的具体应用。
从罗尔定理推导过程和具体内容来看，它和现在高等数学教材中的罗尔定理 是有所不同的，用纯代数方法证明的罗尔定理和微积分概念几乎没有什么联系。 我们现在看到的对一般函数的罗尔定理，是后人根据微积分理论重新表述和证明 的。1834年，德国数学家德罗比什首先提出“罗尔定理(Rolle 定理)”这一名称， 并于1846年，由意大利数学家贝拉维蒂斯(Bellavifis)在发表的论文中正式使用。
由上可知，人们对微分中值定理的研究[6]大约经历了将近三百年时间， 从一 开始的直观到现在的抽象表达，从一开始的特殊形式到现在的一般形式，从一开 始，要求的强条件到现在的弱条件，人们逐渐认识到微中值定理的重要性。循序渐进是人们认识探索事物规律的一般过程，微分中值定理的发展形成也不例外，晦涩难懂的证明推理被一些新的更简单的方法所替代，应用范围逐步扩大，这是数学发展的必由之路。
6 微分中值定理的基本内容
中值定理揭示了函数在某区间的整体性质和区间内某一点导数之间的关系，是联系局部和整体的纽带，是微分学应用以及自身发展的理论基础，因此说中值定理是微分学的基本定理[7]。它在数学中占了很重要的位置，本文主要介绍它在解题中的一些应用。
中值定理有四个：罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西（Cauchy ）中值定理，泰勒（Taylor ）定理。
6.1 罗尔(Rolle)中值定理
若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =,则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=
罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线。注：定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立。
6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数f ，在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则在(),a b 内至少存在一点ξ，
使得()()()f b f a f b a
ξ-'=- 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两点的连线。
拉格朗日公式有下面几种等价表示形式[8]：
()()()(),f b f a f b a a b
ξξ'-=-<< ()()()()(),01
f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<
()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<< 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数。另外，若取,a x b x x ==+?，则拉格朗日公式可变成
()()()y f x x f x f x ξ'?=+?-=?
最后要注意的是，拉格朗日定理和柯西定理中的条件只是充分条件，而不是必要条件[9]。
6.3 柯西（Cauchy ）中值定理
假设函数()f x 和()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠，则至少存在一点(),a b ξ∈，使
()()()()
f b f a f b a
g ξξ'-='- 柯西中值定理的几何意义是：满足定理条件的由()(),u g x v f x ==所确定的曲线上至少有一点，曲线的切线平行两端点连线。
6.4 泰勒（Taylor ）定理
若()f x 在包含()f x 的某开区间(),a b 内具有直到1n +阶的导数，则当
(),x a b ∈时，有
()()()()()()()()()()200000001!2!!
n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+L 其中()n R x 是n 阶泰勒公式的拉格朗日余项：
()()()()1011!n n n x x R x f n λ++-=+，()0,x x λ∈
7 微分中值定理之间的联系
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例。因为，在柯西中值定理中令()g x x =，得到拉格朗日中值定理；在拉格朗日中值定理中增加条件()()f a f b =，即得到罗尔定理。
罗尔(Rolle)中值定理，拉格朗日(Lagrange)中值定理，柯西中值定理，三个中值定理的几何意义有一个共同点：定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行曲线在区间上两端点的连线。
总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
8 微分中值定理的应用
微分中值定理是微分学的理论基础，微分学的很多重要应用都建立在这个基础上。微分中值定理常用来解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在以及根的个数，求出与给定函数相应的中值公式，并证明可导函数的某些等式与不等式，证明可导函在区间上（内）的某些整体性质，如单调性、有界性、一致连续性、零点以及其他一些性质。
对于这些证明题，除了运用微分中值定理这些方法外，还有三种证明技巧：一是直接证明，这种情况不多见，一般在验证符合某定理条件后，即可定理得出结论；二是引入辅助函数，这种情况比较常见，一个般是将待为形（如拼凑重组、移项等），构成一个或两个新的辅助函数，验证它们符合某个中值定理，然后利用定理导出待证结论，这种方法需要一定的技巧，而技巧往往又要根据具体问题确定； 三是反证法，假设待证命题的逆例题成立，然后从推导过程中找出与已知结论（包括极限、连续、可微等级概念与法则、性质）的矛盾，从而证明原命
题成立[10]
。 8.1 根的存在性证明
【例1】 证明方程32432ax bx cx a b c ++=++在()0,1内至少有一个实根，其中,,a b c 均为常数。
证 设()()32432F x ax bx cx a b c x =++-++，上面的问题等价于()F x 的导数()F x '在内至少有一个零点。
因为()F x 在()F x 上连续，在()0,1内可导，且()()010F F ==。
于是由罗尔定理知，至少存在一点()0,1ξ∈，使
()()324320F x a b c a b c ξξξ'=++-++=，
即()0,1ξ∈是方程32432ax bx cx a b c ++=++的根。
【例2】 函数()()211,0,1,22!n
n n n n
d P x x n n dx =-=L 称为n 次勒让德多项式，证明：()n P x 在()1,1-内恰有n 个不同的实根[11]。
证 由高阶导数的莱布尼茨公式知，函数
()()221,0,1,2,,1m n m m d Q x x m n dx
-=-=-L 中都含有21x -因式，故当m n <时，都有实根-1和1。
考虑()()221n
n Q x x =-，它仅有相异的两个实根-1和1，由罗尔定理知，()()212
n n Q x Q x -'=在()1,1-内至少有一个根11x 。所以，()21n Q x -在[]1,1-上有三个相异的根-1，11x ，1，再由罗尔定理知，()()222
1n n Q x Q x --'=在()111,x -和()11,1x 内至少各有一个根，所以，()22n Q x -在[]1,1-上有四个相异的根-1，21x ，22x ，1 反复应用罗尔定理，由数学归纳法可证：()2n m Q x -在[]1,1-上至少有2m +个相异的根121,,,,m m mm x x x -K 和1（0,1,2,,1m n =-L ）
令1m n =-，则知()1n Q x +在[]1,1-上至少有1n +个相异的根，再应用一次罗尔定理，知()n Q x 在()1,1-内至少有n 个根（不含1，-1）
由于()n Q x 是n 次多项式，至多有n 个根，所以()n Q x 在()1,1-内恰有n 个相异的根。
因为()n P x 与()n Q x 只相差一个系数，所以可以得出：()n P x 在()1,1-内恰有n 个不同的实根。
【例3】 ()f x 在[]0,1可导，且对于任何()0,1x ∈，都有()1f x '≠，又()01f x <<，试证在()0,1内，方程()0f x x -=有唯一实根。
证 (存在性)令，()()F x f x x =-，在[]0,1上利用零点定理易证。
(唯一性)反证法，假设有两个实根1x ，2x ，使得()11f x x =，()22f x x =，不妨设12x x <，在[]()12,0,1x x ?上对()f x 利用拉格朗日中值定理，有
()()()()2121122121
1,,f x f x x x f x x x x x x ξξ--'===∈-- 这与()1f x '≠矛盾。故结论得证。
【例4】 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a >，证明在(),a b 内方程
()()()()222x f b f a b a f x '-=-????
至少存在一根。 分析：由于题目是要求方程()()()()222x f b f a b a f x '-=-????是否有根存在，
所以可以先对方程进行变形，把方程变为()()()()2220x f b f a b a f x '---=????
。那么方程
()()()()222x f b f a b a f x '-=-????
有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有()f x '存在，所以可以利用不定分把方程
()()()()2220x f b f a b a f x '---=????
转变为
()()()()2220f b f a x b a f x ---=????
现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道()f x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导()0a >，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数
()()()()222f b f a x b a f x ---????
在[],a b 上连续,在(),a b 内可导()0a >，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证 令
()()()()()222F x f b f a x b a f x =---????
显然，()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导，
而 ()()()()22F a f b a b f a F b =-=
根据Rolle 定理, 至少存在一点ξ，使
()()()()222f b f a b a f x ξ'-=-????.
【例5】 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导()0a b <<，证明：在[],a b 内存在一点ξ，使()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????成立。
分析：对于等式
()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????
则可以两边同除以b a -，即等式左端为，这个商式可看为函数()xf x 在[],a b 上的改变量与自变量的改变量之商，则会考虑利用Lagrange 定理，那么可构造辅助函数()()F x xf x =。
证 设()()F x xf x =，则()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，
由Lagrange 定理，存在一点(),a b ξ∈，使
()()()F b F a F b a
ξ-'=-， 即 ()()()()bf b af a f f x b a ξξ-'+=
-， 即 ()()()()()bf b af b b a f f ξξξ'-=-+????
8.2 利用微分中值定理求极限
在求极限的题目里，有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话，则会使我们在解题过程中出现很大的计算量，或者比较繁琐的解题过程[12]。但是应用中值定理的话，会为这一类题目提供一种简单有效的方法。而用中值定理来解题，最关键在于辅助函数的构造，然后在运用中值定理解题，即可求出极限。
【例1】 求112
1lim n n n n a a +→∞??- ???，其中0a >。 分析：由于题目中有1
n a 和11n a +，则可以试着构造辅助函数()x f x a =，那么就
可以得到()f x 在11,1n n ????+??连续，在11,1n n ?? ?+?
?可导，即可以利用Lagrange 定理解题了。
解 根据题意，由Lagrange 定理，有
112
1lim n n n n a a +→∞??- ??? ()211lim 1n x n n a n n ξ=→∞??'
=?- ?+??
()
2ln lim 1n n a a n n ξ→∞=+ ln a = 其中，11,1n n ξ??∈ ?+??
【例2】 已知
n a =
L ，试求lim n x n
a →。 解 令
()f x =则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++????上满足Lagrange 定理可得：
= ，()()()(),1n
n k n n k ξ
∈+++
<< 当
0,1,,1k n =-L
时，把得到的上述n 个不等式相加得：
2+
<<
L
L
即 12
n n a a n <
<+ 故 1021n a n ?<--< ? 所以
lim 2n n a →∞
= 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性
【例1】 若函数f 在区间I 上可导，且'f 有界，则f 在I 上一致连续。
证明 对任意12,x x I ∈，则由拉格朗日中值定理可知：
()()()()'121212,f x f x f x x x x ξξ-=?-<<
又'f 在I 上有界，所以存在0L >，对任意x I ∈，有()f x L '≤。由此可得
()()12f x f x ε-<
因此，对任意0ε>，取0L ε
δ=>，对任意12,x x I ∈，且12x x δ-<，都有
()()1212f x f x L x x L L εε-≤-
=
这就证明了f 在I 上一致连续的。 8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题
一般原理是：若有01...n x x x <<<，使得01()()...()n F x F x F x ===，则相继 n 次用罗尔中值定理得出()0,n x x ξ∈ ，使得()0F ξ''=[13]。
【例4】 设(1)0f =，则存在()0,ξπ∈，使得
()()'''()2cot .f f f ξξξξ+=
证 首先变换待证中值公式为
()()2
''
2sin d F f d ξξξξ=????＝ ()()()'''sin 2sin f f f ξξξξξ+-＝0 其中()()()()()sin .F 0=1F F x f x x F π==显然，故用两次罗尔中值定理得所要证。
8.5 利用微分中值定理求近似值
【例1】 求0.97的近似值
解 0.97是()f x x =在0.97x =处的值,
令001,0.97x x x x ==+?= 则0.03x ?=-,
由拉格朗日中值定理中值定理,存在一点(0.97,1)ξ∈，使得
()(1)(0.97)0.03f f f ξ'=-
可取1ξ≈近似计算,得0.971112(0.03)0.985x x '≈+=+-=
8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题
【例1】 设()f x 在[]0,1上具有二阶连续的导数，且满足条件
()(),f x M f x N ''≤≤，
其中,M N 都是非负常数，c 是()0,1内任意一点，证明：
()22
N f c M '≤+
。 证：将()f x 在x c =处展为一阶泰勒公式 ()()()()()()2
2!f x c f x f c f c x c ξ''-'=+-+ (1) (),01c x c ξθθ=+-<<
在(1)式中令0x =，则有
()()()()()()2
1000,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 在(1)式中令1x =，则有 ()()()()()()2
2111,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 上述两式相减，就有 ()()()()()()22111,012!
f c f f c f c c c ξξ''-'=+-+<<< 于是
()()()()()()()()()()()222122
2111012!1110122f c f f f c f c f f f c f c ξξξξ??'''''=----?
?''''≤++
-+ ()2212N M M c c ??≤++
-+?
? 又因为()0,1c ∈，()2211c c -+≤，故
()22N f c M '≤+ 8.7 利用微分中值定理证明不等式
对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。故不等式的证明对数学是很重要的。当我们学习了中值定理，知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数，再应用中值定理
得出一个等式后，对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论，得到不等式”。下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用[14]。
【例1】 证明：()11ln 1,01x x x x ??-<<-<< ???
证 设()ln f y y =
显然函数()ln f y y =在[],1x 上连续，在(),1x 内可导，满足拉格朗日中值定理，即存在一点(),1x ξ∈，使得()()()()11f f x f x ξ'-=-
即
()
1ln 1x x ξ-=- 因为1x ξ<<，所以111x
ξ<<。从而有 ()11ln 1,01x x x x ??-<<-<<
??? 【例2】 设0x >，对01α<<的情况，求证1x x ααα-≤-。
分析：证明不等式最常用的方法有做差，做商，对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。那我们是否能通过变形是，他们可以应用做差或是做商呢？我们来看下不等式，不难发现当1x =时，等式两边就相等了，所以接下来排除1x =，分两步讨论。在观察不等式两边的代数式，不难看出左边的代数式比较复杂，则是否可以把左边的代数式构造辅助函数，是题目可以运用中值定理解题呢[15]？不妨设()f x x α=，()F x x α=。利用Cauchy 定理即可证明。
证 当1x =时结论显然成立，当1x ≠时，取[],1x 或[]1,x ，在该区间设 ()f x x α=，()F x x α=，由Cauchy 定理得：
()()()()()()
11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即 1
11x x ααααξξααα
---==- 当1x >时，(),1x ξ∈，11αξ->
即 11x x ααα
->-
又
()10x x ααα-=-<
故 1x x ααα->-，
即 11x αα-<-
当1x >时，()1,x ξ∈，11αξ-<
则 ()10x x ααα-=->
故1x x ααα->-，
即 11x αα-<-
由此，不等式得证
【例3】 已知()f x 在[]0,a 满足()f x M ''≤，且在()0,a 内取最大值，试证：()()0f f a aM ''+≤。
分析：若能找到点()00,x a ∈，使()00f x '=，则要证的结论便转化为变量的形式：
()()()()000f x f f a f x aM ''''-+-≤，
则根据 Lagrange 定理证之即可。然而对于0x 的寻找，应该从题目中条件的()f x 在开区间()0,a 内取到最大值入手。
【例4】 证明当0b a >>时，成立不等式
ln .b a b b a b a a
--<< 分析：一般步骤是：①规范不等式，构造()f x
②建立辅助函数及定义的区间[,]a b
③验证f 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理
④中值等式（不等式）
证 ()ln f x x =, [,]x a b ∈（0b a >>）
因为f(x)在[,]a b 上可导，则由拉格朗日中值定理有
()1ln ln ln ,.b b a b a a b a ξξ
=-=?-<<， 由于111b a
ξ<<，且0b a ->,所以 b a b a b a b a
ξ---<<
从而
ln .b a b b a b a a
--<< 【例5】 设函数()f x 在[]0,a 上连续，在()0,a 内二阶可导，
且()f x M ''≤ (M 为常数)，存在()0,c a ∈，使得()()()0f a f b f c ===。证明：
()()()02f f c f a Ma '''++≤
证 因为()()()0f f c f a ==，所以至少存在一点()10,c ξ∈，使得()10f ξ'=；至少存在一点()2,c a ξ∈，使得()20f ξ'=。从而对()f x 分别在[]0,c 和[],c a 使用拉格朗日中值定理得：
()()()()()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()
11111
11211121322222422200f f f f M f c f c f f c c M c f c f c f f c c M c f a f a f f a a M a ξθξξξξξθξξξξξθξξξξξθξξξ'''''=-=≤'''''=-=+--≤-????'''''=-=+--≤-????'''''=-=+--≤-????
其中123401,01,01,01θθθθ<<<<<<<<，
所以 ()()()()()()112202f f c f a M M c M c M a ξξξξ'''++≤+-+-+-
即
()()()02f f c f a Ma '''++≤。
9 微分中值定理的推广
罗尔(Rolle )中值定理，拉格朗日(Lagrange )中值定理，柯西（Cauchy ）中值定理，这三个定理都要求函数()f x 在[],a b 上是连续，在(),a b 内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间[],a b ，把它推广到无限区间[),a +∞或(),-∞+∞，再把开区间(),a b 推广到无限区间(),a +∞或(),-∞+∞的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？
通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明[16]。
9.1 微分中值定理的推广定理
定理1 若()f x 在[),a +∞上连续，在(),a +∞内可导，且()()lim x f x f a →+∞
=，则
至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
证 令11t x a =-+，则11x a t
=+-， 即可得到关于t 参数函数
()11t a t
?=+- 当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈
即()1a ?=，()0
lim t t ?→=+∞，再令()()()f x f t g t ?==???? 所以
()()()()()()00lim lim lim 11t t x g t f t f x f a f g ??→→→+∞
=====???????? 因为
()()0
0lim t g g t →= 所以
()()01g g =
所以()g t 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()01g g =，由Rolle 定理可得到至少存在一点()0,1ε∈，使()0g ε'=成立
令()ξ?ε=，有()()0f ξ?ε''?=，而
()21
0?εε'=-≠.
所以，至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2 若()f x 在(),-∞+∞上连续，在(),-∞+∞内可导，并且
()()lim lim x x f x f x →-∞→+∞
= 至少存在一点(),ξ∈-∞+∞，使()0f ξ'=成立。
定理2的证明可以参照定理1。
定理 3 若()f x 在[),a +∞上连续，在[),a +∞内可导，并且()lim x f x M →+∞
=，则至少存在一点(),a ξ∈+∞，使()()()
21M f a f a ξξ-????'=+-成立。 证 设11t x a =-+，则11x a t =+-，即可得到关于t 参数函数()11t a t
?=+- 当[),x a ∈+∞时，则(]0,1t ∈
即()1a ?=，()0
lim t t ?→=+∞，再令()()()f x f t g t ?==????
1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理
条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。 拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<； 一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便 于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意 正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。 如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是
第六章微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b
则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续 曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广
微分中值定理证明不等式 微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()f x ',()g x '不同时为零； （4）()()g a g b ≠； 则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.
第六章 微分中值定理及其应用 引言 在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理 教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理 教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之 间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程： 一、一个几何命题的数学描述 为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？ 联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及
理工大学 微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理
()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２ １２１２１２１２２１１１２１１１２１ １２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）． 解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ） ＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０） ＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续， 在（，）内可导， 且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。
渤海大学 毕业论文<设计） 题目微分中值定理的研究和推广完成人姓名张士龙 主修专业数学与应用数学 所在院系数学系 入学年度 2002年9月 完成日期 2006年5月25日 指导教师张玉斌
目录 引言 (1) 一、中值定理浅析 (1) 1、中值定理中的 (1) 2、中值定理中条件的分析 (2) 二、微分中值定理的推广 (4) 1、微分中值定理在无限区间上的推广 (4) 2、中值定理矢量形式的推广 (7) 3、微分中值定理在n维欧式空间中的推广 (9) 4、中值定理在n阶行列式形式的推广 (12) 5、高阶微分中值定理 (15) 结束语 (19) 参考文献 (19)
微分中值定理的研究和推广 张士龙 <渤海大学数学系锦州 121000 中国） 摘要：微分中值定理是高等数学中的一项重要内容，是解决微分问题的关键。本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明。后又在此基础上，对微分中值定理进行了一系列的推广，先后在无限区间内，在定理的矢量形式，在多维欧氏空间中，在高阶行列式形式，以及在微分定理的高阶形式五个方面来研究，通过定理与实例的结合，来说明各个推广的过程。从而，使定理向着更加广阔的方面发展，有利于对定理的掌握和应用。 关键词：微分中值定理，无限区间，矢量形式，行列式，高阶微分中值定理，欧式空间。 The Research and Popularization of The Differential Mean Value Theorem Shilong Zhang (Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China> Abstract: The differential mean value theorem is an important element of higher mathematics. It is the key to solve the differential problems. This text gives detailed explanations to the conditions of the differential mean value theorem. On this foundation, this text carries on series of promotional activities of the theorem, and makes research in the indefinite sector, the vector form of the theorem, the multi-dimensional Euclidean space, the high rank determinant and high rank of the differential theorem altogether five aspects. This text illustrates the promotional process through the integration of the theorem and its examples, so as to enable the theorem to develop towards broader aspects. It is advantageous to the mastery and application of the theorem. Key words: the differential mean value theorem, indefinite sector, the rector form, Euclidean space, determinant, defferential value theorm of higher order 引言 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理统称为微分学的中值定理。中值定理既应用导数来研究函数的性质，是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究，函数在区间上的重要工具。在实践中，有着广泛的应用，因此，有必要将其进一步推广，使其达到一个比较完善的地步，对进一步的研究和创造有很大的帮助。 一、中值定理浅析 1、中值定理中的
微分中值定理 班级： 姓名： 学号：
摘要 微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理 定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义： 在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。 （注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.） 例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使
()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理 定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导， 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：
分类号UDC 单位代码 密级公开学号 2006040223 四川文理学院 学士学位论文 论文题目：微分中值定理及其应用 论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学 提交论文日期：2010年4月20日 论文答辩日期：2010年4月28日 学位授予单位：四川文理学院 中国 达州 2010年4月
目 录 摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言 第一章 微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章 微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章 微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章 结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)
第六章微分中值定理及其应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点：系统讲解法。 一、引入新课：
通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/9e13411040.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且
毕业论文(设计) 题目名称：微分中值定理的推广及应用 题目类型：理论研究型 学生：邓奇峰 院 (系)：信息与数学学院 专业班级：数学10903班 指导教师：熊骏 辅导教师：熊骏 时间：2012年12月至2013年6月
目录 毕业设计任务书I 开题报告II 指导老师审查意见III 评阅老师评语IV 答辩会议记录V 中文摘要VI 外文摘要VII 1 引言1 2 题目来源1 3 研究目的和意义1 4 国外现状和发展趋势与研究的主攻方向1 5 微分中值定理的发展过程2 6 微分中值定理的基本容3 6.1 罗尔(Rolle)中值定理3 6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理4 6.3 柯西（Cauchy）中值定理4 6.4 泰勒（Taylor）定理4 7 微分中值定理之间的联系5 8 微分中值定理的应用5 8.1 根的存在性证明6 8.2 利用微分中值定理求极限8 8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性10 8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题10 8.5 利用微分中值定理求近似值10 8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题10 8.7 利用微分中值定理证明不等式11 9 微分中值定理的推广14 9.1 微分中值定理的推广定理15 9.2 微分中值定理的推广定理的应用17 参考文献18 致19
微分中值定理的推广及应用 学生：邓奇峰，信息与数学学院 指导老师：熊骏，信息与数学学院 【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的容和微分中值定理之间的在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“求极限”和“证明不等式”等方面的应用。 由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。 拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。 【关键词】微分中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理联系推广应用
第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．
本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学 论文题目微分中值定理及其应用 学生姓名贾孙鹏 指导教师黄宽娜（副教授） 班级11级数应1班 学号 11290056 完成日期：2015年4月
微分中值定理及其应用 贾孙鹏 数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056 【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。 【关键词】微分中值定理应用辅助函数 1引言 微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。 2柯西与微分中值定理 2.1柯西的证明 首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将() g x的导数定义 为 ()() g x h g h h +- 当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在 错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：
微分中值定理历史与发展 卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值 定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ， 曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度， 存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在 几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的 底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部
安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用 作者张在 系（院）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2008级 学号06081090 指导老师姚合军 论文成绩 日期2010年6月
学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 签名：导师签名：日期
微分中值定理及其应用 张庆娜 （安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002） 摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点
第五章 微分中值定理及其应用 第一节 微分中值定理 331231.(1)30()[0,1]; (2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3n x x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c -+=++=-+=<∈=-+证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。 证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数 值为零012023(,)[0,1],'()0. '()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220n x x x f x f x x x x c c n n k x px q x ∈?==---+=≤=>++=。那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。 当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021 01011 0202()0 (,),(,),'()'()0,'()0 (*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p --<<=++=∈∈==?=+=??=+=?? 使得函数 成立。那么由罗尔定理可知存在使得即 001022 0000102), (,),''(0)0,''()(1)0, 0,0,0. 2(*).212n n x x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q -∈==-==<>==+>++ 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即 显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。 当时,设方程12341112122313341112131 11110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(n n x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x -=<<<=++=∈∈∈====+=有三个实根,即存在实数使得函数成立。那么利用罗尔定理可知存在 使得即有 1 12121 131321111222121321222 21212 2222212)0, '()0 (,),(,)''()''()0,''()(1)0 .''()(1)0 212,n n n n nx p f x nx p x x x x x x f x f x f x n n x f x n n x n k x x ----??=+=??=+=?∈∈==?=-=??=-=??=+>= 于是就存在使得即 由于于是此时必有221111222121321220;(,),(,),,0(,,)n x x x x x x x x n x px q n p q =∈∈<++=但是由于可知必有 出现了矛盾。 因此当为奇数时,方程为正整数为实数至多有三个实根。
微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。 。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。 。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。 证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ， 使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根 根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。
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