第2讲 数列专题
【知识梳理】
一、等差数列
1.相关概念
按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。
通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2．等差数列的定义：
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。
3．计算等差数列的相关公式：
通项公式：1
(1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式:
1()2n n a a +（n 为正整数）
4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。
一、 求首项、末项
1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？
（2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？
n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？
（2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？
3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按
照这个规律，第101层有多少块砖？
二、求公差
4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
（2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
5、墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．这个等差数列的公差是_________，首项是_________．
三、求项数
6、（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
四、等差数列求和
1、计算：（1）36912151821242730
+++++++++；
（2）4137332925211713951
++++++++++．
2、计算：（1）511177783+++++L ；（2）193187181103++++L ．
【例题1】在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
【练习1】在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
【例题2】求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
【练习2】求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
【例题3】计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)
【例题4】墨莫读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
【练习3】小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？
【练习4】墨莫为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？
第二部分：等比数列
等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
【例题5】一个等比数列的第三项与第四项分别是9与27，求它的第一项？
【练习5】一个等比数列的第三项与第四项的和是24，第一项与第二项的和为6，求第五项？
第三部分特殊数列
1．可将一列数分成两列数，分别找出它们各自的变化规律。这样的数列我们一般称之为双数列，即相隔的数存在着一定的规律。比如：3、4、6、6、9、8、( )、( )。
2．一个数列中的数都等于自身项数与项数的乘积，即完全平方数列。如：1、4、9、16、( )、( )。
3．斐波那契数列，即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。如：1、1、2、3、5、8、13、( )、( )。
4．相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。如：12，23，34，( )、( )。
5．其它某种数的排列，如质数的排列：2，3，5，7，11，13，17，( )，( )。
6．运算数列。有些数列中的数是前面的数通过某种运算得到的。如2，2，3，5，14，69，（），（）。
【例题7】完成填空：
（1）2，3，5，9，17，（），（）
（2）1，3，4，7，11，（），（）
（3）1，3，7，13，21，（），（）
（4）3，5，3，10，3，15，（），（）
（5）8，3，9，4，10，5，（），（）
（6）2，5，10，17，26，（），（）
【例题8】观察下列由三个数组成的数组：第1组是（1，2，4），第2组是（2，4，8），第3组是（3，6，12），……那么，第2010组中的三个数之和是______.
【课后作业】
1、等差数列：1，5，9，13，……，那么第101项是________．
2、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，末项为75，那么首项是________．
3、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是________．
4、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为_______．
5、某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?
6、计算1+3+5+……+99的值
7、计算2+4+8+16+……+1024的值
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 第3讲 数列不等式的证明问题(选用) 高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N * ). 证明：当n ∈N * 时， (1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤ x n x n ＋1 2 ； (3)12n －1≤x n ≤12n － 2. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0. 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时，x k ＞0， 那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0，
因此x n ＞0(n ∈N * ). 所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N * ). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得， x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1). 记函数f (x )＝x 2 －2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2 ＋x x ＋1 ＋ln () 1＋x ＞0(x ＞0)， 函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0， 因此x 2 n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤ x n x n ＋1 2 (n ∈N * ). (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝1 2n －1. 故x n ≥1 2n － 1. 由 x n x n ＋1 2 ≥2x n ＋1－x n 得 1 x n ＋1－12≥2? ???? 1x n －12＞0， 所以1x n －12≥2? ????1x n －1－12≥…≥2n －1? ????1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤1 2n － 2.
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
(★★★) 计算： 20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1 (★★★) 计算： 12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112 (★★★★) (22＋42＋62＋...＋1002)－(12＋32＋52＋ (992) ⑴(★★★) 利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。 ⑴98×102 ⑵2×29×3×31
⑵(★★★★)计算： 11×19＋12×18＋13×17＋14×16 (★★★★) 已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212 (★★★★) 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1．(★★★)计算：100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1 A ．4950 B ．5050 C ．5051 D ．6050 2．(★★★)计算：22222221234200520062007-+-++-+ A ．2013021 B ．2014024 C ．2015028 D ．2016033 3．(★★★★) 计算：222222(46100)(3599)++???+-++???+ A ．5047 B ．5050 C ．10100 D ．10094 4．(★★★)利用“平方差公式”， 下面计算结果正确的是( ) 6773? A ．4893； B ．4900； C ．4891； D ．4901； 5．(★★★★)计算：1＋4＋9＋16＋…＋1089 A ．12526 B ．12527 C ．12528 D ．12529 6．(★★★★★)计算52＋62＋72＋…＋1002 A ．338280 B ．338320 C ．338350 D ．338380
数列中的规律 在日常生活中，我们经常会碰到许多按一定顺序排列的数。比如：自然数、年份、学号等。只要我们从不同的角度去分析研究，善于观察、分析、总结，就能发现规律，找到解决问题的方法。 例1：找出数的排列规律（以后简称为数列规律），在括号中填上适当的数。 （1）1、2、3、4、（）、6； （2）1、3、5、7、9、（）、13； （3）3、6、9、12、（）、18； （4）5、6、8、11、15、20、（）； （5）1、4、9、16、（）、36。 分析：（1）仔细观察，可以发现这是一个连续的自然数的排列（以后简称为自然数列）。从左向右看，后面一个总比前面一个自然数多1，即：前面的数＋1=后面的数；或者说：后面的数－1=前面的数。所以这里应填入5。 （2）从左向右看，可以发现每相邻的两个数，它们之间的关系是：相差2，即前面的数＋2=后面的数，或后面的数－2=前面的数。所以空处应填入11。 （3）可以看出每相邻两个数的差都是3，所以填15。 （4）从左向右，可以看出每相邻两个数的差依次为1、2、3、4、……，差在不断地以连续自然数的形式增加。根据15与20差5，可以知道20 与后面一个数应相差6，所以应填入26。 （5）差依次为3、5、7、9、11，所以应填入25。 解：（1）1、2、3、4、（5）、6； （2）1、3、5、7、9、（11）、13； （3）3、6、9、12、（15）、18； （4）5、6、8、11、15、20、（26）； （5）1、4、9、16、（25）、36。 这一组题，虽各有特点，但在思考时，都是从相邻两个数的差之间的关系来考虑。我们可以称之为“求差找规律”，这也是我们最常用的数列规律方法之一。 例2：找出数列排列规律，填入适当的数。 （1）1、1、2、3、5、8、（）、21、34； （2）1、3、4、7、11、（）、29、47； 分析：这两道题很特别，如果我们用求差法来找规律，会发现好象不存在什么规律。怎么办呢？通过观察（1）我们可以看出：从左向右看，相邻两个数的和恰好等于后面一个数（第三个数）如：1＋1=2；1＋2=3；2＋3=5；3＋5=8；……，所以第一个括号中应填入5加8的和13；第二个括号中应填入7加11的和18。 解：（1）1、1、2、3、5、8、（13）、21、34； （2）1、3、4、7、11、（18）、29、47。 这一组题，虽然少，但同学们不要小看这一组数列，在我们今后的学习中，有许多问题都是用这用数列来解答的。它们的规律是两两相加得第三个数。我们可以把解答这类题的方法称之为：求和找规律。 例3：找出数列排列规律，并填入适当的数。 （1）1、2、4、8、16、（）、64； （2）1、3、9、27、81、（）、729； （3）625、125、25、（）、1。 分析：这一组数列我们用求差法、求和法均不能找出什么规律来，那怎么办呢？还是想想四则运算中的乘法或除法吧。通过观察，我们会发现在（1）中每相邻两个数都是两倍关系，即相邻的两个数，用左边的数×2=右边的数。或者用右边的数÷2=左边的数。所以（1）中空格应填入32。用这样的办法，我们很快会发现（2）中相邻两数是3倍关系，所以填入243；（3）中相邻两数是5倍关系，所以应填入5。 解：（1）1、2、4、8、16、（32）、64； （2）1、3、9、27、81、（243）、729； （3）625、125、25、（5）、1。
2020年高考文科数学二轮复习： 专题三 第二讲 数列的综合应用 一、选择题 1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3 ＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52 解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2 n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7a 3＝22＝4，故选B. 答案：B 2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23 解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23 的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473 >0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝????? 2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( ) A ．16 B ．20 C ．33 D ．120 解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C 4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1 解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ， 即a n ＋1a n ＝4(n ≥2)， 所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝
精心整理
第4讲找规律（数列规律） 数学故事 通过观察特殊的现象、结论从而总结出普遍适用的规律的方法叫做归纳法.归纳法在学习、 ．．． 生活和科学研究中均具有重要的作用.下面刘老师就给大家举几个归纳法的例子. 1. 古时候人们发现每天太阳总是东升西落，于是总结归纳得出不管过去还是将来都会是这样. 2. 一天，刘老师去买葡萄，挑了一串颜色很深的葡萄，尝了一颗发现很甜，就决定买了. 3. 公元前216年，迦太基着名军事统帅汉拔尼在坎尼战役中与罗马军队交锋，兵处劣势.但他知 道当地每天午后便东南风骤起，于是调兵遣将，指挥部队紧急转移到上风方向，将午后东南风起时，乘风猛攻.罗马军逆风对阵，风沙迷目，箭矢无力；汉拔尼军风助人势，越战越勇，到天黑歼敌七万余人. 例题 1.找规律，填空： (1)8，15，22，29，36，______，_______，57； (2)97，88，79，70，61，______，_______，34； (3)3，4，6，9，13，18，________，31. 2.找规律，填空： (1)1，2，4，8，________，32，64； (2)______，_______，15，24，35，48，63，80，99； (4)3，5，9，17，33，________，129. 3.找规律，填空： (1)1，2，4，4，7，8，10，16，13，32，______，_______，19，128； (2)1，2，3，3，6，5，10，8，15，13，______，_______，28，34； 4.找规律，请在下列空格中填入适当的数. （1）（2） 1 3 17 19 ？ 18 3 15 18 27 39 45 7 5 15 21 … 36 15 21 35 44 56 27 15 9 11 13 23 … 31 29 27 25 … ？………… 5.将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数之和，如果第7个数和第8个 数分别是81，131，那么第一个数是多少？【思考题】找规律，填空： (1)1，1，2，3，5，8，13，21，______，_______，89； (2)1，2，2，4，8，32，________； (3)1，3，5，11，21，43，______，171. 课堂练习 练习1.找规律，填空： (1)10，13，16，19，______，_______，28； (2)______，_______，76，70，64，58，52，46； (3)1，3，9，________，81，243； (4)1，4，9，16，25，______，49，______. 练习2.找规律，填空： (1)1，2，2，4，4，6，8，8，16，10，32，______，_______，14，128； (2)______，3，16，5，15，7，14，9，13，11，12，________； 练习3.找出数表的规律，把空白的数表填出. 1 2 2 4 3 6 5 10 4 3 13 6 28 9 76 15 练习4.找出图中数表的规律，请根据规律填上“？”处的数 1 2 6 7 … 3 5 8 …… 4 9 ？…… 10 ………… ……………
第2讲数列的求解与综合创新 [2019考向导航] 考点扫描 三年考情 考向预测 201920182017 1．数列求通项、 求和及求参数的 范围(值) 第14题 以解答题的形式考查，主要是等差、 等比数列的定义、通项公式、前n项和公 式及其性质等知识交汇综合命题，考查用 数列知识分析问题、解决问题的能力，属 高档题． 2．数列的综合与 创新 第20题第20题第19题 1．必记的概念与定理 (1)等差数列{a n}的前n项和公式： S n＝ n（a1＋a n） 2 ＝na1＋ n（n－1） 2 d； (2)等比数列{a n}的前n项和公式： q≠1时，S n＝ a1（1－q n） 1－q ＝ a1－a n q 1－q ；q＝1时，S n＝na1； (3)数列求和的方法技巧 ①分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列的通项公式拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． ②错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列． ③倒序相加法 若求和式中到首尾距离相等的两项和相等或者求和式中到首尾距离相等的两项具有某种对称性，则可以考虑使用倒序相加的求和方法． 在使用倒序相加法求和时要注意相加后求出的和是所求和的二倍，得出解题结果后不要忽视了除以2． ④裂项相消法
利用通项公式变形，将通项公式分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 2．记住几个常用的公式与结论 常见的拆项公式： (1)1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1； (2) 1n （n ＋k ）＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ????12n －1－12n ＋1； (4) 1 n ＋n ＋k ＝1 k (n ＋k －n )． 3．需要关注的易错易混点 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 数列求通项、求和及求参数的范围(值) [典型例题] (2019·南京高三模拟)已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ，n ∈ N * ． (1)若a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ． (2)若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N * ，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1p 的取值范围． 【解】 (1)因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1． ①因为a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2a 3＋1＝9． ②因为a 2＝1，a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ≥1，
数列的找规律： 一、基本方法——看增幅 （一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为：a+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b 为第一位数到第n位的总增幅.然后再简化代数式a+(n-1)b. 例：4、10、16、22、28……,求第n位数. 分析：第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅相都是6,所以,第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2 （二）如增幅不相等,但是,增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列）.如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加.此种数列第n位的数也有一种通用求法. 基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅； 2、求出第1位到第第n位的总增幅； 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数. 举例说明：2、5、10、17……,求第n位数. 分析：数列的增幅分别为：3、5、7,增幅以同等幅度增加.那么,数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1,总增幅为： ［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1 所以,第n位数是：2+ n2-1= n2+1 此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察凑的方法求出,方法就简单的多了. （三）增幅不相等,但是,增幅同比增加,即增幅为等比数列,如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. （三）增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）.此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧. 二、基本技巧 （一）标出序列号：找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律.找出的规律,通常包序列号.所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘. 例如,观察下列各式数：0,3,8,15,24,…….试按此规律写出的第100个数是. 解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个规律,计算出第100个数.我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0,3,8,15,24,……. 序列号：1,2,3, 4, 5,……. 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1.因此,第n项是n2-1,第100项是1002-1. （二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n2、n3,或2n、3n,或2n、3n有关. 例如：1,9,25,49,（）,（）,的第n为（2n-1）2 （三）看例题： A：2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18 答案与3有关且.即：n3+1
第2讲 数列求和及数列的综合应用 自主学习导引 真题感悟 1．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列??? ? ? ? 1a n a n ＋1的前100项和为 A. 100101 B.99101 C.99100 D.101 100 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴? ???? a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－1 2d ＝15，， ∴???? ? a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1 a n a n ＋1＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列{1 a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…1100－1101＝1－1101＝100101 . 答案 A 2．(2012·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N ＋，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N ＋. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1. 所以a n ＝4n －1，n ∈N ＋. 由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知a n b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N ＋，
第二讲数列与数表 例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项? 例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。 例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。这本书共有多少页？ 例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？ A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 B 6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？ 9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个？ 10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次? C 11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？ 12.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒? 13.有一些锁的钥匙搞乱了,已知至多要试28次,就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了? 14.学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？ 15.在一次元旦晚会上，一共有48位同学和5位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？
公务员考试行政能力测验解题心得 数列篇 第一步：整体观察，若有线性趋势则走思路A，若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。 注：线性趋势是指数列总体上往一个方向发展，即数值越来越大，或越来越小，且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联（别觉得太玄乎，其实大家做过一些题后都能有这个直觉） 第二步思路A：分析趋势 1，增幅（包括减幅）一般做加减。 基本方法是做差，但如果做差超过三级仍找不到规律，立即转换思路，因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。 例1：-8，15，39，65，94，128，170，（） A．180 B.210 C. 225 D 256 解：观察呈线性规律，数值逐渐增大，且增幅一般，考虑做差，得出差23,24,26,29,34,42，再度形成一个增幅很小的线性数列，再做差得出1，2，3，5，8，很明显的一个和递推数列，下一项是5+8=13，因而二级差数列的下一项是42+13=55，因此一级数列的下一项是170+55=225，选C。 总结：做差不会超过三级；一些典型的数列要熟记在心 2，增幅较大做乘除 例2：0.25，0.25，0.5，2，16，（） A．32 B. 64 C.128 D.256 解：观察呈线性规律，从0.25增到16，增幅较大考虑做乘除，后项除以前项得出1，2，4，8，典型的等比数列，二级数列下一项是8*2=16，因此原数列下一项是16*16=256 总结：做商也不会超过三级 3，增幅很大考虑幂次数列 例3：2，5，28，257，（） A．2006 B。1342 C。3503 D。3126 解：观察呈线性规律，增幅很大，考虑幂次数列，最大数规律较明显是该题的突破口，注意到257附近有幂次数256，同理28附近有27、25，5附近有4、8，2附近有1、4。而数列的每一项必与其项数有关，所以与原数列相关的幂次数列应是1，4，27，256（原数列各项加1所得）即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5，即3125，所以选D 总结：对幂次数要熟悉 第二步思路B：寻找视觉冲击点 注：视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象，这些现象往往是解题思路的导引 视觉冲击点1：长数列，项数在6项以上。基本解题思路是分组或隔项。 例4：1，2，7，13，49，24，343，（）
第2讲 数列专题 【知识梳理】 一、等差数列 1.相关概念 按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。最后一个数叫末项。 通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 2．等差数列的定义： 如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。 3．计算等差数列的相关公式： 通项公式：1 (1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式: 1()2n n a a +（n 为正整数） 4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。 一、 求首项、末项 1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？ （2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？ n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？ （2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？ 3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按 照这个规律，第101层有多少块砖？ 二、求公差 4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？ （2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
题型突破9 赏析探究题——盯准方向，巧抓落实 一、(2019·南宁三模)阅读下面的文字，完成1～3题。 一个人的名字 刘亮程 人的名字是一块生铁，别人叫一声，就会擦亮一次。一个名字若两三天没人叫，名字上会落一层土。若两三年没人叫，这个名字就算被埋掉了。上面的土有一铁锨厚。这样的名字已经很难被叫出来，名字和属于他的人有了距离。名字早寂寞地睡着了，或朽掉了。名字下的人还在瞎忙碌，早出晚归，做着莫名的事。 冯三的名字被人忘记五十年了。人们扔下他的真名不叫，都叫他冯三。 冯三一出世，父亲冯七就给他起了大名：冯得财。等冯三长到十五岁，父亲冯七把村里的亲朋好友召集来，摆了两桌酒席。 冯七说，我的儿子已经长成大人，我给起了大名，求你们别再叫他的小名了。我知道我起多大的名字也没用——只要你们不叫，他就永远没有大名。当初我父亲冯五给我起的名字多好：冯富贵。可是，你们硬是一声不叫。我现在都六十岁了，还被你们叫小名。我这辈子就不指望听到别人叫一声我的大名了。我的两个大儿子，你们叫他们冯大、冯二，叫就叫去吧，我知道你们改不了口了。可是我的三儿子，就求你们饶了他吧。你们这些当爷爷奶奶、叔叔大妈、哥哥姐姐的，只要稍稍改个口，我的三儿子就能大大方方做人了。 可是，没有一个人改口，都说叫习惯了，改不了了。或者当着冯七的面满口答应，背后还是冯三冯三的叫个不停。 冯三一直在心中默念着自己的大名。他像珍藏一件宝贝一样珍藏着这个名字。 自从父亲冯七摆了酒席后，冯三坚决再不认这个小名，别人叫冯三他硬不答应。冯三两个字飘进耳朵时，他的大名会一蹦子跳起来，把它打出去。后来冯三接连不断灌进耳朵，他从村子一头走到另一头，见了人就张着嘴笑，希望能听见一个人叫他冯得财。 可是，没有一个人叫他冯得财。 冯三就这样蛮横地踩在他的大名上面，堂而皇之地成了他的名字。夜深人静时，冯三会悄悄地望一眼像几根枯柴一样朽掉的那三个字。有时四下无人，冯三会突然张口，叫出自己的大名。很久，没有人答应。冯得财就像早已陌生的一个人，五十年前就已离开村子，越走越远，跟他，跟这个村庄，都彻底的没关系了。 为啥村里人都不叫你的大名冯得财，一句都不叫。王五爷说，因为一个村庄的财是有限的，你得多了别人就少得，你全得了别人就没了。当年你爷爷给你父亲起名冯富贵时，我们就知道，你们冯家太想出人头地了。谁不想富贵呀。可是村子就这么大，财富就这么多，你们家富贵了别人家就得贫穷。所以我们谁也不叫他的大名，一口冯七把他叫到老。 虚土庄没有几个人有正经名字，像冯七、王五、刘二这些有头面的人物，也都一个姓，加上兄弟排行数，胡乱地活了一辈子。他们的大名只记在两个地方：户口簿和墓碑上。
（江苏专用）高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求解与 综合创新学案文苏教版 第2讲数列的求解与综合创新 [2019考向导航] 考点扫描 三年考情 考向预测 201920182017 1．数列求通项、 求和及求参数的 范围(值) 第14题 以解答题的形式考查，主要是等差、 等比数列的定义、通项公式、前n项和公 式及其性质等知识交汇综合命题，考查用 数列知识分析问题、解决问题的能力，属 高档题． 2．数列的综合与 创新 第20题第20题第19题 1．必记的概念与定理 (1)等差数列{a n}的前n项和公式： S n＝ n（a1＋a n） 2 ＝na1＋ n（n－1） 2 d； (2)等比数列{a n}的前n项和公式： q≠1时，S n＝ a1（1－q n） 1－q ＝ a1－a n q 1－q ；q＝1时，S n＝na1； (3)数列求和的方法技巧 ①分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列的通项公式拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． ②错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列． ③倒序相加法 若求和式中到首尾距离相等的两项和相等或者求和式中到首尾距离相等的两项具有某种对称性，则可以考虑使用倒序相加的求和方法．
在使用倒序相加法求和时要注意相加后求出的和是所求和的二倍，得出解题结果后不要忽视了除以2． ④裂项相消法 利用通项公式变形，将通项公式分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和． 2．记住几个常用的公式与结论 常见的拆项公式： (1)1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1； (2) 1n （n ＋k ）＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (3)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ????12n －1－12n ＋1； (4) 1 n ＋n ＋k ＝1 k (n ＋k －n )． 3．需要关注的易错易混点 在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 数列求通项、求和及求参数的范围(值) [典型例题] (2019·南京高三模拟)已知常数p ＞0，数列{a n }满足a n ＋1＝|p －a n |＋2a n ＋p ，n ∈N * ． (1)若a 1＝－1，p ＝1， ①求a 4的值； ②求数列{a n }的前n 项和S n ． (2)若数列{a n }中存在三项a r ，a s ，a t (r ，s ，t ∈N * ，r ＜s ＜t )依次成等差数列，求a 1 p 的取值范围． 【解】 (1)因为p ＝1，所以a n ＋1＝|1－a n |＋2a n ＋1． ①因为a 1＝－1，所以a 2＝|1－a 1|＋2a 1＋1＝1， a 3＝|1－a 2|＋2a 2＋1＝3，a 4＝|1－a 3|＋2a 3＋1＝9．
课题：第二讲数列的排列规律
所以空白处填16×2＝32。 第（5）题由于5－4＝1，7－5＝2，11－7＝4，19－11＝8，观察1，2，4，8这列数，一个数的2倍便是它后面的数，所以8后面应是16，而19＋16＝35，所以应填35。 3、试一试：观察分析下面各列数的变化规律，然后填空。 （1）5，9，13，17，（）；（2）10，12，16，22，（）； （3）1，4，9，16，（）；（4）2，4，8，16，（）； 4、例2 观察下面各数列的变化规律，然后进行填空：（隔着看、分开看） （1）7，14，10，12，14，9，19，5，（），（）； （2）7，8，10，（），22，38； （3）5，14，41，122，（）； （4）1，2，3，5，8，13，21，（）； （5）1，2，2，4，8，32，（）。 分析与解 （1）表面上看这列数规律不明显，那是因为我们的眼光只局限于“相邻的两个数”之间，仅对这两个数依次进行计算、比较结果。现在我们隔着看，将这列数分成两列数，即7，10，14，19，（）；14，12，9，5（）。第一列数7，10，14，19，它们相邻两数之差依次为3，4，5，所以下一个数应为：19＋6＝25；而第二列数14，12，9，5，相邻两个数的差（大数减小数）依次为2，3，4，所以第二列数中下一个数应为：5－5＝0。因此，两个空格中的数依次为25、0； （2）“空项”出现在一列数的中间比出现在这列数的最后分析规律要困难一些，因为这列数在“空项”处断开，则我们分析这列数的变化规律时，往往也在此断开，不易往下进行。解这类题的步骤一般是将“空项”两边的几个数的规律先各自找出来，然后再在“空项”处试验填数，看看此数填进去后，能否使前后两边数的规律统一起来。在这列数中，前面三个数中相邻的两数之差为1，2，后面的两数之差为16，如果插进去一个数，将会又产生两个差，即1，2，（），（），16，不难看出这两个空分别填4，8，就使差所构成的这列数1，2，4，8，16规律统一，而10＋4＝14，14＋8＝22，所以应填14； （3）观察相邻两数，发现5×3－1＝14，14×3－1＝41，41×3－1＝122，也就是说前一个数的3倍比后一个数多1。所以应填365； （4）前面两个数之和等于相邻后面的数，如1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8，5＋8＝13，8＋13＝21，所以应填34；这是数学上有名的斐波那契数列，它来源于一个有趣的问题：如果一对成熟的兔子一个月能生一对小兔，小兔一个月后就长成了大兔子，于是，下一个月也能生一对小兔子，这样下去，假定一切情况均理想的话，每一对兔子都是一公一母，兔子的数目将按一定的规律迅速增长，按顺序记录每个月中所有兔子的数目（以对为单位，一月记一次），就得到了一个数列，这个数列就是数列⑤的原型，因此，数列⑤又称为兔子数列，这些在高年级递推方法中我们还要作详细介绍。 （5）前面两个数之积等于相邻后面的数，如1×2＝2，2×2＝4，2×4＝8，4×8＝
1、1，98，91，84，77，（），（），56。 2、2，1，2，4，7，11，（） 3、有一列由三个数组成的数组，它们依次是： （1，5，10） （2，10，20） （3，15，30） ...... 问：第99个数组内三个数的和是多少？ 4、有一列数按1，1，3，5，8，13，21，34......的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？ 5、5，2，2，4，6，10，16，（），（）。 6、34，21，13，8，5，（），2，（）。 7、3，6，5，6，7，6，9，（），（），6，13. 8、6，1，8，3，10，5，12，7，（），（）。 9、3，4，5，8，7，16，9，32，（），（）。 10、1，5，25，125，（）。 11、1296，216，（），6，1。 12、1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。 13、2+5，3+7，6+11，11+17，18+25，（）。 14、4+2，5+8，6+14，7+20......按这样的规律排的第10个加法算式是什么？它的结果是多少？ 15、下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17......第2012个算式是（）+（）。 16、观察下面各题中的排列规律，然后填上所缺的数。 17、下面三个正方形内的数有相同的规律，请你找到它们的规律并填出B、C然后确定A是( )。
18、一次智力测验，主持人量出如图所示的四块三角形牌子，在第四块牌子中“？”表示的数是( )。 19、 1，3，7，15，31，（）。 20、计算出下面数列中从左往右数的第10个数是（）。 1 7 13 19 25...... 21、1+1，2+3，3+5，1+7，2+9，3+11，1+13，2+15，3+17......第20个算式 是多少？ 22、数列1，5，14，30，55，91......中的第9个数是多少？
暑期课堂讲义 第2讲初等数列 2.1引入 小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？ 高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是： 1+2+3+···+98+99+100=? 老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。小朋友你可知道他是如何算出来的吗？ 高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说： 1+2+3+···+98+99+100 100+99+98+···+3+2+1 =101+101+101+···+101+101+101 共100项 ,结果就是5050。 共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于10100 2 在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。 2.2数列找规律 1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等） 1,3,5,...,2n?1,2n+1, (1) 10,8,6,...,12?2n,10?2n, (2) 2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。 8,15,10,13,12,11,14,9, (3) 这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。 想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？ 3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。 什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 2,3,5,7,11,13,17,19, (4)