2021年高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及应用练习理
一、选择题
1.已知数列112，314，518，71
16，…，则其前n 项和S n 为( )
A.n 2＋1－1
2n
B.n 2＋2－1
2n
C.n 2
＋1－12
n －1
D.n 2
＋2－
12
n －1 解析 a n ＝(2n －1)＋1
2
n ，
∴S n ＝n （1＋2n －1）2＋12? ?
??
?1－12n 1－
12＝n 2＋1－12
n .
答案 A
2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( ) A.20 B.40 C.60 D.80 解析 由a n ＋1＝
a n a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，可得a 3＝3，a 4＝1，a 5＝13，a 6＝1
3
，a 7＝1，a 8＝3，…，这是一个周期为6的数列，一个周期内的6项之和为26
3
，又40＝6×6＋4，
所以S 40＝6×26
3＋1＋3＋3＋1＝60.
答案 C 3.
122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1
的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）
B.34－n ＋1
2（n ＋2）
C.34－12? ??
??1n ＋1＋1n ＋2
D.32－1n ＋1＋1n ＋2
解析 ∵1（n ＋1）2
－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12? ????1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1 ＝12? ????1－13＋12－14＋13－1
5＋…＋1n －1n ＋2
＝12? ????32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12? ????1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C
4.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑n
k ＝1
a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）
2 B.3n （n ＋1）
2 C.
n （5n ＋1）
2
D.
（n ＋3）（n ＋5）
2
解析 当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，
当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1).∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，
∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑n
k ＝1
a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）
2×3＝3n （n ＋1）
2
，选B.
答案 B
5.数列{a n }的通项a n ＝n 2?
??
??
cos 2
n π
3
－sin 2
n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A.470 B.490 C.495
D.510
解析 因为a n ＝n 2
?
????cos
2
n π
3
－sin 2
n π3＝n 2cos 2n π
3
， 由于cos 2n π3以3为周期，且cos 2π3＝－12，cos 4π3＝－1
2，
cos 6π
3
＝1，
所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)
＝? ????－12＋222＋32＋? ????－42＋522＋62＋…＋? ????－282＋292
2＋302
＝∑k ＝1
10
??????
－（3k －2）2
＋（3k －1）2
2＋（3k ）2
＝∑k ＝110
? ?
???9k －52＝470.
答案 A
二、填空题
6.在数列{a n }中， a n ＝
1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，若b n ＝2
a n a n ＋1
，则数列{b n }的前n 项和S n 为________.
解析 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n （n ＋1）
2
n ＋1
＝n
2
. ∴b n ＝
2
a n a n ＋1
＝
2n （n ＋1）4
＝8n （n ＋1）＝8? ??
??1
n －1n ＋1，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝8? ??
??1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1
＝8?
?
???1－1n ＋1＝8n
n ＋1
. 答案
8n n ＋1
7.(xx·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列?
???
??????1a n 前10项
的和为________.
解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）
2，
令b n ＝1
a n
，
故b n ＝
2n （n ＋1）＝2? ??
??1
n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10
＝2? ????1－12＋12－1
3＋…＋110－111＝2011.
答案
20
11
8.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －1
2n ，n ∈N *，则
(1)a 3＝________；
(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.
解析 (1)当n ＝1时，S 1＝(－1)a 1－12，得a 1＝－1
4.当n ≥2时，S n ＝(－1)n (S n －S n －1)
－12n .当n 为偶数时，S n －1＝－12n ，当n 为奇数时，S n ＝12S n －1－12n ＋1，从而S 1＝－1
4，S 3＝－116，又由S 3＝12S 2－124＝－116，得S 2＝0，则S 3＝S 2＋a 3＝a 3＝－116. (2)由(1)得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 99＝－122－124－126－…－12100，S 101＝－12102，
又S 2＋S 4＋S 6＋…＋S 100＝2S 3＋123＋2S 5＋125＋2S 7＋127＋…＋2S 101＋1
2101＝0，
故S 1＋S 2＋…＋S 100＝13? ????
12100－1.
答案 (1)－116 (2)13? ????
12100－1
三、解答题
9.(xx·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记数列?
????????
?1a n 的前
n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜
1
1 000
成立的n 的最小值. 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2.
从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，
所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，
所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n .
(2)由(1)得1a n ＝1
2
n ，
所以T n ＝12＋122＋…＋1
2n ＝
12??????1－? ????12n 1－
1
2
＝1－1
2
n .
由|T n －1|＜11 000，得??????
1－12n －1＜11 000，
即2n ＞1 000，
因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，
于是，使|T n －1|＜1
1 000
成立的n 的最小值为10.
10.(xx·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2
n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和.
解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知
a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.
两式相减可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即
2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ).
由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.
又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3.
所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知
b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12? ????1
2n ＋1－12n ＋3.
设数列{b n }的前n 项和为T n ，则
T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝12??????? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3
＝n
3（2n ＋3）
. 11.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝?
????1＋cos 2
n π2a n ＋sin 2n π
2
，n ＝1，2，3，…. (1)求a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝
a 2n －1a 2n ，S n ＝
b 1＋b 2＋…＋b n .证明：当n ≥6时，|S n －2|＜1
n
. (1)解 ∵a 1＝1，a 2＝2， ∴a 3＝?
????1＋cos
2
π2a 1＋sin 2π2
＝a 1＋1＝2， a 4＝(1＋cos 2π)a 2＋sin 2π＝2a 2＝4，
当n ＝2k －1时，a 2k ＋1＝?
??
?
??
1＋cos
2
（2k －1）π2a 2k －1＋
sin 2（2k －1）π
2
＝a 2k －1＋1，即a 2k ＋1－a 2k －1＝1，
所以数列{a 2k －1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a 2k －1＝1＋(k －1)＝k ， 当n ＝2k 时，a 2k ＋2＝? ????
1＋cos 22k π2a 2k ＋sin 22k π2＝2a 2k ， 所以数列{a 2k }是首项为2，公比为2的等比数列，因此a 2k ＝2k .
故数列{a n
}的通项公式为a n
＝?????n ＋1
2，n ＝2k －1，
2n 2，n ＝2k .
(2)证明 由(1)知，b n ＝
a 2n －1a 2n ＝n 2n
， S n ＝12
＋22
2＋32
3＋…＋n
2
n ，①
12S n ＝122＋223＋324＋…＋n
2
n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1
＝12??????
1－? ????12n 1－
12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1.
所以S n ＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋2
2
n .
要证明当n ≥6时，|S n －2|＜1
n
成立，
只需证明当n ≥6时，n （n ＋2）
2n
＜1成立.
法一 令C n ＝n （n ＋2）
2n (n ≥6)，则C n ＋1－C n ＝（n ＋1）（n ＋3）2n ＋1－n （n ＋2）2n ＝3－n 2
2
n ＋1＜
0.
所以当n ≥6时，C n ＋1＜C n ，因此当n ≥6时，C n ≤C 6＝6×864＝3
4
＜1.于是当n ≥6时，
n （n ＋2）
2n
＜1.
综上所述，当n ≥6时，|S n －2|＜1
n
.
法二 ①当n ＝6时，6×（6＋2）26＝4864＝3
4＜1成立.
②假设当n ＝k (k ≥6)时不等式成立，即k （k ＋1）
2k
＜1.
则当n ＝k ＋1时，
（k ＋1）（k ＋3）2k ＋1＝k （k ＋2）2k ×（k ＋1）（k ＋3）
2k （k ＋2）
＜（k ＋1）（k ＋3）
（k ＋2）·2k ＜1.
由①②所述，当n ≥6时，
n （n ＋1）
2n
＜1.
即当n ≥6时，|S n －2|＜.