第2讲 数列的求和问题
[考情考向分析] 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现了转化与化归的思想．
热点一 分组转化法求和
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
例1 (2018·北京海淀区模拟)已知等差数列{a n }满足2a n ＋1－a n ＝2n ＋3(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{}a n ＋b n 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为2a n ＋1－a n ＝2n ＋3，
所以???
??
2a 2－a 1＝5，2a 3－a 2＝7，所以?
??
??
a 1＋2d ＝5，
a 1＋3d ＝7，
所以???
??
a 1＝1，d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *
)．
(2)因为数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＋b n ＝2
n －1
，
因为a n ＝2n －1，所以b n ＝2n －1
－(2n －1)．
设数列{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝(1＋2＋4＋…＋2
n －1
)－[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]
＝1－2n
1－2－n (1＋2n －1)2
＝2n －1－n 2
， 所以数列{b n }的前n 项和为2n
－1－n 2
(n ∈N *
)．
思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．
跟踪演练1 已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2
－dx －3<0的解集为(－1,3)，
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2n a
＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)由题意，得?????
d a 1
＝2，
－3
a 1
＝－3，
解得???
??
d ＝2，a 1＝1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)， 即a n ＝2n －1(n ∈N *
)． (2)据(1)求解知a n ＝2n －1， 所以b n ＝2n
a ＋2a n ＝2
2n －1＋2(2n －1)＝4
n
2
＋4n －2，
所以S n ＝12(4＋42＋43＋ (4)
)＋(2＋6＋10＋…＋4n －2)＝12×4(1－4n
)1－4＋n (2＋4n －2)2
＝4
n ＋1
6＋2n 2－23
(n ∈N *
)． 热点二 错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．
例2 (2018·百校联盟联考)已知等比数列{a n }的公比q ≠1，前n 项和为S n (n ∈N *
)，a 1＋a 3＝S 4S 2
，a 1－1，a 2－1，a 3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n lg a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 1＋a 3＝S 4S 2
得，
a 1＋a 1q 2
＝S 2(1＋q 2)S 2
＝1＋q 2
，
所以a 1＝1，
由a 1－1，a 2－1，a 3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项， 得a 3－1－(a 1－1)＝4[(a 2－1)－(a 1－1)]， 即a 3－a 1＝4(a 2－a 1)，
即q 2
－1＝4(q －1)，即q 2
－4q ＋3＝0， 因为q ≠1，所以q ＝3，所以a n ＝3
n －1
(n ∈N *
)．
(2)b n ＝a n lg a n ＝(n －1)·3
n －1
lg 3，
所以T n ＝[0＋3＋2×32
＋3×33
＋…＋(n －1)×3
n －1
]lg 3，
3T n ＝[0＋32
＋2×33
＋3×34
＋…＋(n －1)×3n
]lg 3， 两式相减得，－2T n ＝[3＋32
＋33
＋…＋3n －1
－(n －1)×3n
]lg 3＝3(1－3n －1
)lg 31－3
－(n －1)·3n
lg
3
＝－3lg 32－? ??
??n －32·3n lg 3，
所以T n ＝3lg 34＋? ??
??n 2－34·3n lg 3(n ∈N *
)．
思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列．
(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分求等比数列的和，此时一定要查清其项数．
(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．
跟踪演练2 (2018·安庆模拟)在等差数列{a n }中a 4＝9，前三项的和为15. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列??????
a n 3n 的前n 项和S n .
解 由题意得?
??
??
a 1＋3d ＝9，
3a 1＋3d ＝15，解得?
??
??
a 1＝3，d ＝2，
∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *
)．
(2)S n ＝a 13＋a 232＋…＋a n 3n ＝33＋532＋733＋…＋2n ＋1
3
n ，①
13S n ＝33＋53＋…＋2n ＋1
3
，② ①－②得，23S n ＝1＋2? ????132＋1
33＋…＋13n －2n ＋13n ＋1，
∴S n ＝2－
n ＋2
3
(n ∈N *
)．
热点三 裂项相消法求和
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于??
??
??1a n a n ＋1或????
??
1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．
例 3 (2018·天津市十二校模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a ()S n －a n ＋1(n ∈N *
)(a 为常数，a ≠0，a ≠1)．
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n ＋S n ，若数列{b n }为等比数列，求a 的值； (3)在满足条件(2)的情形下，c n ＝
a n ＋1
()a n ＋1()
a n ＋1＋1.若数列{}c n 的前n 项和为T n ，且对任意
n ∈N *满足T n <λ2＋23
λ，求实数λ的取值范围．
解 (1)∵S n ＝a ()S n －a n ＋1， ∴n ＝1时，a 1＝a .
n ≥2时，S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，
∴S n －S n －1＝a n ＝a (S n －S n －1)－aa n ＋aa n －1， ∴a n ＝aa n －1，即
a n
a n －1
＝a 且 a ≠0，a ≠1， ∴数列{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列， ∴a n ＝a n
(n ∈N *
)．
(2)由b n ＝a n ＋S n 得，b 1＝2a ，
b 2＝2a 2＋a ， b 3＝2a 3＋a 2＋a .
∵数列{b n }为等比数列，
∴b 2
2＝b 1b 3，(2a 2
＋a )2
＝2a (2a 3
＋a 2
＋a )， 解得a ＝1
2
.
(3)由(2)知c n ＝? ??
??12n ＋1??????? ????12n ＋1????
??? ????12n ＋1＋1
＝2
n
(2n ＋1)(2n ＋1
＋1) ＝
12n
＋1－1
2n ＋1＋1
， ∴T n ＝
121＋1－122＋1＋122＋1－123＋1＋…＋12n ＋1－12n ＋1
＋1
＝13－12n ＋1＋1<13， ∴13≤λ2
＋23λ， 解得λ≥1
3
或λ≤－1.
即实数λ的取值范围是????
??13，＋∞∪(－∞，－1]． 思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *
)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件． (2)常用的裂项公式 ①若{a n }是等差数列，则1
a n a n ＋1＝1d ? ????1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ? ????1
a n －1a n ＋2； ②1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ? ????1
n －1n ＋k ；
③1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ????12n －1－12n ＋1；
④1n (n ＋1)(n ＋2)＝12????
??1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； ⑤
1
n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1
k
(n ＋k －n )．
跟踪演练3 (2018·潍坊模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0(n ∈N *
)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1212
log n a -，数列??
?
?
??
2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n .
解 (1)∵S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项， ∴2()S 6＋a 6＝S 4＋a 4＋S 5＋a 5， ∴S 6＋a 6－S 4－a 4＝S 5＋a 5－S 6－a 6， 化简得4a 6＝a 4，
设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2
＝a 6a 4＝14
，
∵a n >0(n ∈N *
)，∴q >0，∴q ＝12
，
∴a n ＝2×? ????12n －1＝? ??
??12n －2(n ∈N *
)．
(2)由(1)得，b n ＝1212log n a -＝23
121log 2n -??
?
??
＝2n －3.
设c n ＝
2
b n b n ＋1
＝
2
()2n －3(2n －1)
＝
12n －3－1
2n －1
.
∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝?
????1－1－11＋? ????11－13＋? ????13－15＋…＋? ??
??12n －3－12n －1
＝－1－12n －1＝－2n 2n －1
(n ∈N *)．
真题体验
1．(2017·全国Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n
1
S k
＝________.
答案
2n n ＋1
(n ∈N *
) 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，
由?
????
a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×3
2d ＝10，得?
??
??
a 1＝1，
d ＝1.
∴S n ＝n ×1＋n (n －1)
2
×1＝
n (n ＋1)
2
，
1S n
＝
2n (n ＋1)＝2? ??
??1
n －1n ＋1.
∴∑k ＝1
n
1S k ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
＝2? ????1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1n ＋1
＝2?
?
???1－
1n ＋1＝2n n ＋1
(n ∈N *
)． 2．(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *
)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *
)．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2
)＝12，而b 1＝2， 所以q 2
＋q －6＝0.
又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n
. 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3， 由此可得a n ＝3n －2(n ∈N *
)．
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2(n ∈N *
)，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n (n ∈N *
)．
(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1
，得a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n
，
故T n ＝2×4＋5×42
＋8×43
＋…＋(3n －1)×4n
，③ 4T n ＝2×42
＋5×43
＋8×44
＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4
n ＋1
，④
③－④，得－3T n ＝2×4＋3×42
＋3×43
＋…＋3×4n
－(3n －1)×4n ＋1
＝12×(1－4n
)1－4－4－(3n －1)×4n ＋1
＝－(3n －2)×4
n ＋1
－8，
得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83
(n ∈N *
)．
所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83(n ∈N *
)．
押题预测
1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)
(n ∈N *
)，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足
对任意的n ∈N *
，都有S n 押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循． 答案 1 解析 因为a n ＝n ＋22n n (n ＋1)＝2(n ＋1)－n 2n n (n ＋1) ＝ 1 2n －1n －12n (n ＋1) ， 所以S n ＝? ????120×1－121×2＋? ????121×2－122×3＋…＋??????1 2n －1n －12n (n ＋1)＝1－12n (n ＋1)， 由于1－1 2n (n ＋1) <1，所以M 的最小值为1. 2．数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n 2 ，数列{b n }满足： ①b 3＝14；②b n >0；③2b 2n ＋1＋b n ＋1b n －b 2 n ＝0. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用a n ，S n 的关系求a n ，也是高考出题的常见形式． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ∈N *)， 又a 1＝1满足a n ＝2n －1， ∴a n ＝2n －1(n ∈N * )． ∵2b 2 n ＋1＋b n ＋1b n －b 2 n ＝0， 且b n >0，∴2b n ＋1＝b n ， ∴q ＝12，b 3＝b 1q 2 ＝14 ， ∴b 1＝1，b n ＝? ????12n －1(n ∈N * )． (2)由(1)得c n ＝(2n －1)? ?? ??12n －1 ， T n ＝1＋3×12 ＋5×? ????122＋…＋(2n －1)? ?? ??12 n －1， 12T n ＝1×12＋3×? ????122＋…＋(2n －3)? ????12n －1＋(2n －1)×? ????12n ， 两式相减，得12T n ＝1＋2×12＋2×? ????122＋…＋2×? ????12n －1－(2n －1)×? ?? ??12n ＝1＋2??????1－? ????12n －1－(2n －1)×? ????12n ＝3－? ????12n －1? ?? ??32＋n . ∴T n ＝6－? ?? ??12n －1(2n ＋3)(n ∈N * )． A 组 专题通关 1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2 －b n x ＋2n ＝0的两根，则b 10等于( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64 答案 D 解析 由已知有a n a n ＋1＝2n ， ∴a n ＋1a n ＋2＝2 n ＋1 ，则 a n ＋2 a n ＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项均为公比为2的等比数列，可以求出a 2＝2， ∴数列{a n }的项分别为1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32，…，而b n ＝a n ＋a n ＋1， ∴b 10＝a 10＋a 11＝32＋32＝64. 2．(2018·河南省六市联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2 n ＋1 ＋m ，且a 1，a 4，a 5－2成等 差数列，b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >2 017 2 018 的最小正整数n 的 值为( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8 答案 B 解析 根据S n ＝2 n ＋1 ＋m 可以求得a n ＝? ???? m ＋4，n ＝1， 2n ，n ≥2， 所以有a 1＝m ＋4，a 4＝16，a 5＝32， 根据a 1，a 4，a 5－2成等差数列， 可得m ＋4＋32－2＝32，从而求得m ＝－2， 所以a 1＝2满足a n ＝2n ， 从而求得a n ＝2n (n ∈N * )， 所以b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)＝2 n (2n －1)(2n ＋1 －1) ＝ 12n －1－1 2n ＋1－1 ， 所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－1 2n ＋1－1， 令1－ 12n ＋1 －1>2 0172 018 ，整理得2n ＋1>2 019， 解得n ≥10. 3．(2018·山西榆社中学模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝12，n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n (n ∈N * )， 则S 100等于( ) A ．2－49 2100 B ．2－49299 C ．2－51 2100 D ．2－512 99 答案 D 解析 由n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n ，得n ＋1a n ＋1－n a n ＝2n ， 则n a n － n －1a n －1＝2n －1，n －1a n －1－n －2a n －2＝2n －2，…，2a 2－1a 1 ＝21， 将各式相加得n a n －1a 1 ＝21＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 又a 1＝12，所以a n ＝n ·12 n ， 因此S 100＝1×12＋2×122＋…＋100×1 2100， 则12S 100＝1×122＋2×123＋…＋99×12100＋100×1 2101， 两式相减得12S 100＝12＋122＋123＋…＋12100－100×12101， 所以S 100＝2－? ????1299－100·? ?? ??12100 ＝2－51299. 4．在等比数列{a n }中，a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，设b n ＝(－1)n a n ，n ∈N * ，则数列{b n }的前2 018项的和为________． 答案 4 1 008 3－1 12 解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . ∵a 2·a 3＝2a 1， ∴a 1·q 3 ＝2，即a 4＝2. ∵a 4与2a 7的等差中项为17， ∴a 4＋2a 7＝34，即a 7＝16， ∴a 1＝1 4 ，q ＝2， ∴a n ＝? ?? ??14·2n －1＝2n －3(n ∈N * )． ∵b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2 n －3 ， ∴数列{b n }的前2 018项的和为 S 2 018＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝－(2－2＋20＋22＋…＋22 014)＋(2－1＋21＋ 23 ＋…＋2 2 015 ) ＝－14(1－41 009)1－4＋12(1－41 009 )1－4＝41 0083－112 . 5．(2018·保山模拟)若数列{a n }的通项公式a n ＝n sin n π 3 (n ∈N * )，其前n 项和为S n ，则S 2 018 ＝________. 答案 2 0193 2 解析 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－33， a 7＋a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝－33， …… a 6m ＋1＋a 6m ＋2＋a 6m ＋3＋a 6m ＋4＋a 6m ＋5＋a 6m ＋6 ＝－33，m ∈N ， 所以S 2 018＝2 0193 2 . 6．(2018·山东K12联盟考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝3a n －1(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{}(2n －1)a n 的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时，2a 1＝3a 1－1，a 1＝1. 当n ≥2时，2S n ＝3a n －1，① 2S n －1＝3a n －1－1，② ①－②得，2a n ＝3a n －3a n －1，∴a n ＝3a n －1，∴ a n a n －1 ＝3， 数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3 n －1 (n ∈N * )． (2)由(1)得(2n －1)a n ＝(2n －1)3n －1 ， T n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，① 3T n ＝1×31 ＋3×32 ＋…＋(2n －3)×3 n －1 ＋(2n －1)×3n ，② ①－②，得－2T n ＝1＋2(31 ＋32 ＋33 ＋…＋3 n －1 )－(2n －1)×3n ＝1＋2×3－3n 1－3－(2n －1)×3n ＝－2(n －1)×3n －2. 所以T n ＝(n －1)×3n ＋1(n ∈N * )． 7．(2018·永州模拟)在等比数列{a n }中，首项a 1＝8，数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N * )，且 b 1＋b 2＋b 3＝15. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，又设数列???? ??1S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <3 4. (1)解 由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝15， 得log 2(a 1a 2a 3)＝15， ∴a 1a 2a 3＝215 ， 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝8，∴a n ＝8q n －1 ， ∴8·8q ·8q 2 ＝215 ，解得q ＝4， ∴a n ＝8·4 n －1 ，即a n ＝2 2n ＋1 (n ∈N * )． (2)证明 由(1)得b n ＝2n ＋1， 易知{b n }为等差数列， S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ， 则1S n ＝ 1n (n ＋2)＝12? ?? ??1 n －1n ＋2， T n ＝12???? ? ? ? ????1－13＋? ?? ?? 12－14＋…＋? ????1n －1n ＋2 ＝12? ????3 2－1n ＋1－1n ＋2， ∴T n <34 . 8．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 2 2＝a 3＋a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(－1) n n ? ????a n －12? ????a n ＋1－12(n ∈N * )，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2 2＝a 3＋a 6， ∴(a 1＋d )2 ＝a 1＋2d ＋a 1＋5d ，① ∵a 2 3＝a 1·a 11， 即(a 1＋2d )2 ＝a 1·(a 1＋10d )，② ∵d ≠0，由①②解得a 1＝2，d ＝3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1(n ∈N * )． (2)由题意知， b n ＝(－1)n n ? ????3n －32·? ?? ??3n ＋32 ＝(－1)n ·16·? ??? ??13n －32＋13n ＋32 ＝(－1)n ·19·? ?? ??12n －1＋12n ＋1 T n ＝19??? －? ????11＋13＋? ????13＋15－? ?? ??15＋17 ＋… ? ??＋(－1)n ? ????12n －1＋12n ＋1 ＝19???? ??－1＋(－1)n 12n ＋1. B 组 能力提高 9．(2018·茂名联考)记函数f (x )＝sin 2nx －cos nx 在区间[0，π]内的零点个数为a n (n ∈N * )， 则数列{a n }的前20项的和是( ) A ．430 B ．840 C ．1 250 D ．1 660 答案 A 解析 令f (x )＝sin 2nx －cos nx ＝2cos nx ? ????sin nx －12＝0， 得cos nx ＝0，① 或sin nx ＝1 2 ，② 由①得nx ＝π 2＋k π(k ∈Z )， 令0≤π 2＋k π≤n π(k ∈Z )， 得－12≤k ≤n －1 2(k ∈Z )， 故①共有n 个解， 由②得nx ＝π6＋2k π或5π 6 ＋2k π(k ∈Z )， 令0≤π6＋2k π≤n π(k ∈Z )，得－112≤k ≤n 2－1 12(k ∈Z )，③ 令0≤5π6＋2k π≤n π(k ∈Z )，得－512≤k ≤n 2－5 12(k ∈Z )，④ 当n 为偶数时，③有n 2个解，④有n 2个解， 故②有n 个解，故a n ＝2n ； 当n 为奇数时，③有 n ＋1 2 个解，④有 n ＋1 2 个解， 故②有n ＋1个解，故a n ＝2n ＋1， 令b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝2(2n －1)＋1＋2()2n ＝8n －1， 故a 1＋a 2＋…＋a 20＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝ 10×() b 1＋b 102 ＝430. 10．(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }的奇数项和偶数项均为公比为q 的等比数列，q ＝1 2， 且a 1＝2a 2＝1，则数列{}3a n ＋n －7的前n 项和的最小值为________． 答案 －105 8 解析 当n 为奇数时，设n ＝2k －1()k ∈N * ， a n ＝a 2k －1＝a 1q k －1 ＝? ????12k －1＝? ?? ??121 2 n -； 当n 为偶数时，设n ＝2k ()k ∈N * ， a n ＝a 2k ＝a 2q k －1 ＝? ????12k ＝? ?? ??122n ， 综上a n ＝ ????? ? ?? ??121 2 n -，n 为奇数， ? ?? ??122 n ，n 为偶数. 设b n ＝3a n ＋n －7. n 为偶数时， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3 ? ?? ???1－? ??? ?122 n 1－12＋12??????1－? ????122n 1－12 ＋()1＋2＋…＋n －7n ＝9???? ??1－? ????122n ＋n 2 －13n 2. 又 n 2－13n 2 ＝12? ? ???n －1322－169 8 . 当n ≥7时， 因为f (n )＝ n 2－13n 2 是关于n 的增函数， 又g (n )＝9???? ?? 1－? ????122n 也是关于n 的增函数， 所以S 8 因为S 8＝－18516，S 6＝－1058，S 4＝－454，S 2＝－13 2， 所以S 6 所以当n 为偶数时，S 6最小，S 6＝－105 8 ， n 为奇数时， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3 ? ?? ???1－? ?? ??1212 n +1－12 ＋ 12???? ??1－? ????121 2n -1－12 ＋ ()1＋2＋…＋n －7n ＝3? ?????3－2×? ????121 2n -＋n 2 －13n 2. 又 n 2－13n 2 ＝12? ? ???n －1322－169 8 . 当n ≥7时，因为f (n )＝ n 2－13n 2 是关于n 的增函数， 又g (n )＝3? ?????3－2×? ????121 2n -也是关于n 的增函数， 所以S 7 因为S 7＝－514，S 5＝－25 2，S 3＝－9，S 1＝－3， 所以S 7 所以当n 为奇数时，S 7最小，S 7＝－51 4. 又因为S 7>S 6，综上可知(S n )min ＝S 6＝－105 8 . 11．(2018·天津市滨海新区七所重点学校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N * )，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N * )，且b 1＝1， (1)证明数列?????? b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝(－1) n －1 4(n ＋1) (3＋2log 2a n )(3＋2log 2a n ＋1) ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ； (3)若d n ＝a n ·b n ，数列{}d n 的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N * ，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围． 解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)两边同除以n (n ＋1)， 得 b n ＋1n ＋1－b n n ＝1， 从而数列???? ??b n n 为首项b 1 1＝1，公差d ＝1的等差数列， 所以b n n ＝n (n ∈N * )， 数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2 . 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －1， 又a 1＝1≠0，所以 a n a n －1 ＝2， 从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列， 从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1 (n ∈N * )． (2)c n ＝(－1)n －1 ·?? ?? ? ?4(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3) ＝(－1) n －1 ? ?? ??12n ＋1＋12n ＋3， T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝13＋15－15－17＋…－14n ＋1－1 4n ＋3 ＝13－14n ＋3(n ∈N *)． (3)由(1)得d n ＝a n b n ＝n ·2 n －1 ， D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1， 2D n ＝1×2＋2×22 ＋3×23 ＋…＋(n －1)·2n －1 ＋n ·2n . 两式相减得－D n ＝1＋2＋22 ＋…＋2n －1 －n ·2n ＝1－2n 1－2 －n ·2n ， 所以D n ＝(n －1)·2n ＋1， 由(1)得S n ＝2a n －1＝2n －1， 因为对?n ∈N * ，都有D n ≤nS n －a ， 即(n －1)·2n ＋1≤n ()2n －1－a 恒成立， 所以a ≤2n －n －1恒成立， 记e n ＝2n －n －1，所以a ≤()e n min ， 因为e n ＋1－e n ＝[]2 n ＋1 －(n ＋1)－1－()2n －n －1＝2n －1>0，从而数列{}e n 为递增数列， 所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0. 12．设数列{a n }的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N * ，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且 k ∈N *)成立，则称数列{a n }为“P (k )数列”． (1)若数列{a n }为“P (1)数列”，求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在数列{a n }既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n }的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由； (3)若数列{a n }为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ，证明：T n <3. (1)解 因为数列{a n }为“P (1)数列”， 则S n ＝a n ＋1－1， 故S n ＋1＝a n ＋2－1， 两式相减得，a n ＋2＝2a n ＋1， 又n ＝1时，a 1＝S 1＝a 2－1， 所以a 2＝2， 故a n ＋1＝2a n 对任意的n ∈N * 恒成立， 即 a n ＋1 a n ＝2(常数)， 故数列{a n }为等比数列，其通项公式为a n ＝2n －1 ，n ∈N * . (2)解 假设存在这样的数列{a n }，则S n ＝a n ＋k －k ， 故S n ＋1＝a n ＋k ＋1－k ， 两式相减得，a n ＋1＝a n ＋k ＋1－a n ＋k ， 故a n ＋3＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2， 同理由{a n }是“P (k ＋2)数列”可得， a n ＋1＝a n ＋k ＋3－a n ＋k ＋2， 所以a n ＋1＝a n ＋3对任意n ∈N * 恒成立． 所以S n ＝a n ＋k －k ＝a n ＋k ＋2－k ＝S n ＋2， 即S n ＝S n ＋2， 又S n ＝a n ＋k ＋2－k －2＝S n ＋2－2， 即S n ＋2－S n ＝2， 两者矛盾，故不存在这样的数列{a n }既是“P (k )数列”， 也是“P (k ＋2)数列”． (3)证明 因为数列{a n }为“P (2)数列”， 所以S n ＝a n ＋2－2， 所以S n ＋1＝a n ＋3－2， 故有a n ＋1＝a n ＋3－a n ＋2， 又n ＝1时，a 1＝S 1＝a 3－2， 故a 3＝3，满足a 3＝a 2＋a 1， 所以a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对任意正整数n 恒成立，数列的前几项为1,2,3,5,8. 故T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ＝12＋222＋323＋524＋825＋…＋a n 2 n ， 所以12T n ＝122＋223＋324＋525＋…＋a n －12n ＋a n 2 n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋122＋123＋224＋…＋a n －22n －a n 2n ＋1＝34＋14T n －2－a n 2 n ＋1， 显然T n －2 4 T n ，即T n <3. 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式： (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________． 数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法 数列求和的方法 一、公式法[来源: 自然数方幂和公式：1 123(1)2 n n n +++???+= + 22221 123(1)(21)6n n n n +++???+=++ 333321 123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【例题1】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 {}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000 n T -<成立的n 的最小值. 【变式训练】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9 2 . (Ⅰ)求{}n a 的通项公式， (Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 二、分组法 类型一、等比数列+等差数列混合求和： 【例题2】已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22 －1,9＋23 －1,12＋24 －1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n . 【变式训练】已知数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N*)，数列{b n }是以函数 214sin 12y x π? ?=+- ?? ?的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n - b n }的 前n 项和S n . 类型二、奇数项和偶数项分别求和： 【例题3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N * )，则S 2 012= 。 【变式训练】【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知121,2a a ==，且13n n a S +=* 13,()n S n N +-+∈， （I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S . 类型三、正数项和负数项分别求和后再求和： 【例题4】在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ； （Ⅱ）若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 【变式训练】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n . 用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么 这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】 数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)． 数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式． （二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有： 等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n . 第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) 数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 ) 2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为 例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1 数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） 第四节数列求和 [备考方向要明了] 考什么怎么考 熟练掌握等差、等比数 列的前n项和公式. 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 求和问题，如2012年新课标全国T16等． 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法 等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等. [归纳·知识整合] 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： S n＝ n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d； (2)等比数列的前n项和公式： S n＝ ?? ? ??na1，q＝1， a1－a n q 1－q ＝ a1(1－q n) 1－q ，q≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消． 2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？ 提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项． 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自测·牛刀小试] 1. 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) 等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1 C ．1－1 n ＋1 D ．3－1 3n ＋1 解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1， ∴ 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) ＝13?? ? ???1－14＋????14－17＋???? 17－110＋…＋ ??????13n －2－13n ＋1＝13????1－13n ＋1＝n 3n ＋1 . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1 2n ， ∴S n ＝????1－12＋????1－122＋…＋????1－1 2n ＝n －????12＋12 2＋ (12) 考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ －１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2 +cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.高中数学数列专题大题训练
高考理科数学复习题解析 数列求和
高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案
数列求和的方法专题
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)
数列求和专题训练 方法归纳
数列求通项公式及求和9种方法
备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析
2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和
数列求和7种方法(方法全,例子多)
高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc
高中数列求和公式
专题--数列求和的基本方法和技巧
高中数学数列求和
高三数学高考数列求和(裂项及错位)
数列求和7种方法(方法全_例子多)
相关主题
文本预览