(★★★)
计算：
20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1
(★★★)
计算：
12－22＋32－42＋52－62＋72－82＋92－102＋112
(★★★★)
(22＋42＋62＋...＋1002)－(12＋32＋52＋ (992)
⑴(★★★)
利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。 ⑴98×102 ⑵2×29×3×31
⑵(★★★★)计算：
11×19＋12×18＋13×17＋14×16
(★★★★)
已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212
(★★★★)
计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
在线测试题
温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。
1．(★★★)计算：100×100－99×99＋98×98－97×97＋…＋2×2－1×1 A ．4950 B ．5050 C ．5051 D ．6050
2．(★★★)计算：22222221234200520062007-+-++-+ A ．2013021 B ．2014024 C ．2015028 D ．2016033
3．(★★★★) 计算：222222(46100)(3599)++???+-++???+ A ．5047 B ．5050 C ．10100 D ．10094
4．(★★★)利用“平方差公式”， 下面计算结果正确的是( ) 6773? A ．4893； B ．4900； C ．4891； D ．4901；
5．(★★★★)计算：1＋4＋9＋16＋…＋1089 A ．12526 B ．12527 C ．12528 D ．12529
6．(★★★★★)计算52＋62＋72＋…＋1002 A ．338280 B ．338320 C ．338350 D ．338380
第56炼 数列中的整数问题 一、基础知识： 1、整数的基本性质： （1）整数的和，差，积仍为整数 （2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈，则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律： ① 奇数±奇数=偶数 ② 奇数±偶数=奇数 ③ 偶数±偶数=偶数 ④ 奇数?偶数=偶数 ⑤ 偶数?偶数=偶数 ⑥ 奇数?奇数=奇数 （3）若,a b Z ∈，且a b <，则1a b ≤- （4）已知,,a b R a b ∈<，若n Z ∈，且(),n a b ∈，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解） （5）若 a Z b ∈，称a 能被b 整除，则有： ① b a ≤ ② b 为a 的一个因数 （6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数 2、整数性质的应用： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ∈∈，则n 的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。 （2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： ① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方
三年级学而思 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
第一讲带符号搬家 秘籍导航 在做计算时学会运用带符号搬家的方法，调整运算顺序惊醒凑整数或抵消从而达到巧算的目的。 秘籍1加数互补要带符号搬家 例1（1）计算238+147+62 分析观察算式发现238和62的尾数是“好朋友”，正好能凑成整百，我们把“+62”一起搬到238的后面， 原式=238+124-89 =300+147 =447 （2）计算376-89+124 分析观察算式发现376和124的尾数是“好朋友”，正好能凑成真白，我们把“+124”一起报到376的后面，-89的前面，计算就简便了。 原式=376+124-89 =500-89 =441 （3）计算128+136+72+64 分析观察算式发现128和72的尾数是“好朋友”，136和64的尾数是“好朋友”，正好能凑成整百，所以带着符号搬家进行凑整。 原式=（128+72）+（126+64） =200+200 =400 秘籍2减号同尾要带符号搬家 例2（1）计算363-78-63 分析观察算式发现363和63的个位、十位都相同，而63前面的符号是“-”所以可以把“-63”搬到363的后面，先算363减63等于300，再减去78，使计算更简便。 原式=363-63-78 =300-78 =222 （2）计算637+95-37 分析观察算式发现637和37的个位、十位数都相同，而37后面的符号是“-”，所以可以把“-37”搬到637的后面。 原式=637-37+95 =600+95 =695 （3）计算572+156-172+144 分析观察算式发现156和144尾数是好朋友，正好能凑成整百；572和172的个位、十位数都相同，而172的符号是“-”，所以可以把“-172”移到572的后面。 原式=（426-116）+（228-168）
专题：数列中的存在性问题 一、单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{ n a }的前n 项和为 n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b +-=0，问是 否存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ， ∵n S =235n n +， ∴当n =1时，则 1a = 1 S =8， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +， 当n =1适合， ∴ n a =62 n +， 又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164， ∴数列{n b }是首项为8，公比为1 64的等比数列， ∴n b = 118( )64n -=962n -， 则 log n c n a b += 9662log 2n c n -++= 62(96)log 2a n n ++-= 6(1log 2)29log 2 a a n -++， 又∵对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∴ 6(1log 2) a -=0，解得c =2， ∴M = 29log 2 a +=11， ∴存在常数c =2使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M =11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进
学而思选拔考试答案(二年级数学) 一、基础题（80分） 1.（共20分）计算 (1)23+65=88 (2)51+12=63 (3)11+36=47 (4)50-11=39 (5)12-8=4 (6)44-22=22 (7)8+19=27 (8)43+10=53 (9)27+39=66 (10)12+33=45 (11)47-19=28 (12)87-25=62 (13)40-23=17 (14)6×9=54 (15)7×3=21 (16)5×7=35 (17)8×4=32 (18)56÷7=8 (19)25÷5=5 (20)16÷4=4 2.（10分）在一条笔直的马路一侧种着很多小树苗，其中梧桐树的左边有12棵树，梧桐树的右边有10棵树，那么马路这一侧总共有________棵树．【解析】考查的排队问题，不仅要将左右相加，还得将梧桐树本身加进去，12+10+1=23（棵）．【答案】23． 3.（10分）小丽在出门前想挑一套自己喜欢的衣服，她一共有2件不同的上衣，3条不同的裤子，请问小丽一共可以搭配出 ________套不一样的衣服． 【解析】衣服的搭配问题，将三件上衣记为A、B、C，两条裤子记为①、②，那么可以是A①、A②、B①、B②、C①、C②，一共有六种不同的搭配． 【答案】6． 4.（共10分）在一根拉直的绳子上剪3刀，可以把这根绳子分成________段；要剪成10段，剪________刀． 【解析】考查间隔问题．剪1刀，分成了两段；剪2刀，分成了三段；那么剪3刀，分成了4段，总结一下规律，段数比刀数多1，所以要剪成10段，只需要剪9刀． 【答案】4；9． 5.（共10分）找规律填数： （1）31，35，39，43，47，________，________． （2）5，7，10，14，19，________，________． （3）2，40，5，35，8，30，11，25，________，________． （4）5，8，13，21，34，________，________． （5）______，_____． 【解析】考查数列和图形的规律． （1）从第二个数开始，每个数都比前面一个数大4，所以接下来应该是51，55． （2）第二个数比第一个数大2，第三个数比第二个数大3，第四个数比第三个数大4，所以这是一个二次等差，接下来应该是25，32． （3）这是一个双重数列，一个隔一个的去看才会发现规律，2，5，8，11……和40，35，30，25……,分别是两个等差数列，因此接下来应该是14，20．
数列中的奇偶项问题
数列中的奇偶项问题 例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足： 111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数 为数* n N ∈，设21 n n b a -=. （1）求2 3 ,,b b 并证明：1 22; n n b b +=+ （2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122 ,,9k k k a a a +++成 等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2 3 21=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10, b a a a ==+= 1 21221=22(1)2(1)22, n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为11 1 1 22(2)1,20,2,22n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{} 2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322 n n n n b a ---=?-=?-即，则 12211321 n n n a a --=+=?-， 因为22122 ,,9k k k a a a +++成等比数列，所以 21(322)(321)(328) k k k -?-=?-?+，令2=k t ，得 23 (32)(1)(38) 2t t t ?-=-+，解得243 t =或，得2k =.
例2、（14宁波二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 且2 48,40 a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且 230 n n T b -+=，n N * ∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设???=为偶数 为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意， 118 4640 a d a d +=?? +=?，得 14 ,44n a a n d =?∴=?=? ． …………3分 230 n n T b -+=，1 13n b ∴==当时，， 112230 n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2) n n b b n -=≥ 数 列 {} n b 为等 比 数 列， 1 32n n b -∴=?． …………7分 （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=???为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()() n n n P a a a b b b -=++ ++++ + = 2 12(444)6(14)222 2 14 n n n n n ++-? -+=+--． (10) 分 当n 为奇数时，
第二讲 加加减减我会算 一、运算顺序 1、从左→右 2、有括号先算括号里的数 二、递等式：两步及两步以上计算时 1、等号在前 2、上下对齐 三、加减巧算 核心：凑整法（看个位） 1、加法：找好朋友 1+9,2+8,3+7,4+6,5+5 2、减法：找相同 ——王莉老师
例1： 解析：一般顺序是从左到右，有括号先算括号里的数。现在算式中不但有加有减还有括号，括号比较高级所以我们先算括号里面的，然后再按照从左到右的顺序计算。 7+（9-3）= 13 19-（4+6）=9 9-（15-8）=2 19-（17-8）=10 18-（9+8）=1 例2： 解析：两步及两步以上计算时，写递等式。等号在前，上下对齐。 现在的算式有加、有减还有括号，算式变长了，所以一下子我们可能不能算出结果，所以我们把我们的等号搬一下家，搬到算式的左下方。在计算的时候一次算一步，原来没有算的把它们全部抄下来，并且等号要对齐。
8-（15-7）+18 7+6-（15-2）6+（17-9）-10 =8-8+18 =7+6-13 =6+8-10 =0+18 =13-13 =14-10 =18 =0 =4 例3：请在下面的四个数中，给每个算式找到正确答案。 29 15 29 28 解析：加法巧算——找好朋友（看个位）。 让小朋友来算的时候，一般小朋友会从左往右来算，但还有其他更快的方式来计算，以8+5+2为例，发现8+2=10，然后再计算10+5=15，我们会发现有整十的数出现的时候，计算会来比较快、比较简单。像8和2加起来结果是10的两个数字我们称为一对好朋友，那我们还知不知道别的加起来也是10的好朋友呢？1和9、3和7、4和6、5和5。所以以后我们只要看到有好朋友我们就画一个彩虹桥把它们连起来。然后再看7+9+13这时候我们可以找到好朋友吗？小朋友会发现3和7，1和9是好朋友，但是我们不能把1和9连起来，我们在找的时候只能看个位来找。在找的时候一定要连线。 7+9+13=29；12+9+8=29；4+8+16=28
分数基本计算与比例初步 内容提要： 分数 比例 分数 分数的概念 把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如2 5 表示把整体平均分成5份，占其中的2份 分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0 分数的种类 真分数：分子比分母小的分数，如2 3 假分数：分子比分母大的分数，如3 2 带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如3 2＝1＋ 2 １ ＝11 2 1 / 16
分数的性质 1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变 如2463 6 9 ＝＝， 842100 5025 ＝＝ 2．约分与通分 42 50 25 ＝ 最简分数 通分：把多个分数的分母变成一样，如 2248 3412 ??＝＝ 比较大小 33394 43 12 ??＝＝ 注意：有时通分也可把分子变成一样
1．加减法 同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数 异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减 如： 347 888＋＝ 23342761 917153153153 +=+= 2．乘除法 乘法：分子乘分子，分母乘分母 如 331231188882243?4?4=?====1?1 33123 8884010 443?4?=?=== 55?5 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数 如331218 8 824 2 343?4÷=?===4 3 ?3 注意： 分数的乘除法运算过程中可以先约分 分数的四则混合运算的规律与整数一样
整体约分 连锁约分：44 33 22 1???=122?33?4 4?1= 整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)????+??+?????++??+??+?????++＝＝33 (123)?++13?335(123)??++2 5 ＝ 我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549?＝；315711 ÷＝。 例2 先看看分数的加减法吧 ！ 计算下列各式：2747111111 +＝；127 35 28 - ＝。 例1
专题：数列中的存在性问题 学大苏分教研中心 周坤 一、单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{ n a }的前n 项和为 n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b +-=0， 问是否存在常数c 使得对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不 存在说明理由. 解析：假设存在常数c 使得对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∵ n S =2 35n n +， ∴当n =1时，则 1a =1 S =8， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +， 当n =1适合， ∴ n a =62n +， 又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=1 64， ∴数列{n b }是首项为8，公比为1 64的等比数列， ∴n b = 118( )64n -=962n -， 则 log n c n a b += 9662log 2n c n -++= 62(96)log 2 a n n ++-= 6(1log 2)29log 2 a a n -++， 又∵对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∴ 6(1log 2) a -=0，解得c =2，
∴M = 29log 2 a +=11， ∴存在常数c =2使得对任意n ，log n c n a b +恒为常数M =11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进行检验。 例2、【2010南通一模】 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，． （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为n n n a b a t = +，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d. 由已知得 51323439a a a +=?? =?，， ………………2分 即118173a d a d +=?? +=?，，解得112.a d =??=?， ……………………………………………………………4分. 故 2 21n n a n S n =-=，.…………………………………………………………………6分 （2）由（1）知 21 21n n b n t -= -+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即 312123121m t t m t -? =+ ++-+，………………………………………………………………8分.
数列中的整数问题 一、基础知识：1、整数的基本性质： （1）整数的和，差，积仍为整数 （2）整数的奇偶性：若()21n k k Z =+∈，则称n 为奇数；若()2n k k Z =∈，则称n 为偶数，在加，减，乘法运算中，其结果有以下规律：①奇数±奇数=偶数②奇数±偶数=奇数③偶数±偶数=偶数④奇数?偶数=偶数⑤偶数?偶数=偶数 ⑥奇数?奇数=奇数 （3）若,a b Z ∈，且a b <，则1 a b ≤-（4）已知,,a b R a b ∈<，若n Z ∈，且(),n a b ∈，则n 只能取到有限多个整数（也有可能无解）（5）若 a Z ∈，称a 能被b 整除，则有：①b a ≤②b 为a 的一个因数 （6）最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数2、整数性质的应用： （1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散性求出变量的值（即性质（4）），例如：若(),2,5n N n ∈∈，则n 的取值只能是3,4。所以在涉及求整数的值时，思路不要局限于寻找等量关系，构造不等关系依然可以求解。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。 （3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个： ①通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量 ②将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值 （4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：①所解得变量非整数，或不符合已知范围②等式两侧为一奇一偶 3、整数问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n 项和的项数，均为正整数。二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，若 1 2 m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =____
“I’m 小算手”计算大赛笔算样卷 一、口算（每题0.5分，共50分） 1、44－12＝ 2、30－27＝ 3、46－31＝ 4、63－27＝ 5、69－37＝ 6、16÷2＝ 7、24－12＝ 8、92－55＝ 9、33－11＝10、9×8＝11、14＋36＝12、83＋87＝13、76－39＝14、35－27＝15、69－27＝16、80＋14＝17、4×5＝18、69＋83＝19、47＋70＝20、34＋60＝21、85＋25＝22、22－14＝23、30－11＝24、60－37＝25、60－37＝26、15－14＝27、76－52＝28、81÷9＝29、32＋36＝30、66＋26＝31、47＋19＝32、49＋47＝33、3×9＝34、54－37＝35、24－19＝36、11－11＝37、84－68＝38、96－87＝39、63－23＝40、18－15＝41、29－12＝42、90－14＝43、12＋81＝44、5×5＝45、63＋84＝46、79＋74＝47、88＋43＝48、21＋57＝49、37＋40＝50、28＋46＝51、36＋34＝52、98－68＝53、13－11＝54、89－41＝55、6×6＝56、73－68＝57、92－66＝58、23＋81＝59、76＋24＝60、38＋21＝61、53－16＝62、62－46＝63、12÷3＝64、28＋29＝65、68＋44＝66、73＋17＝67、18＋64＝68、64＋21＝69、51＋51＝70、96＋57＝71、8×4＝72、97＋14＝73、84－24＝74、76－69＝75、98－23＝76、15－12＝77、94－76＝78、40－21＝79、48－47＝80、18－15＝81、11－11＝82、79＋93＝83、77＋45＝84、40＋43＝85、36＋28＝86、44＋78＝87、3×6＝88、32＋72＝89、86＋35＝90、12＋65＝91、4×5+17＝92、7×8-25＝93、4+3×9＝94、100-2×6＝95、27+18÷6＝96、27÷9-1＝97、7×5+45＝98、87-3×3＝99、36-9×4＝100、45-72÷8＝
例1、（12宁波一模）已知数列{}n a 满足：111,1,2n n n a n a a a n ++?==??奇，，偶为数 为数 *n N ∈，设21n n b a -=. （1）求23,,b b 并证明：122;n n b b +=+ （2）①证明：数列{}2n b +等比数列；②若22122,,9k k k a a a +++成等比数列，求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b a a a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+= 121221=22(1)2(1)22,n n n n n n b a a a b b ++-==+=+=+ （2）①因为111122(2) 1,20,2,22 n n n n b b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2n b +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2n b +可得，1121322,322n n n n b a ---=?-=?-即，则1 2211321n n n a a --=+=?-， 因为22122,,9k k k a a a +++成等比数列，所以21 (322)(321)(328)k k k -?-=?-?+，令2=k t ， 得2 3 (32)(1)(38)2t t t ?-=-+，解得2 43 t = 或，得2k =. 例2、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为n S ，且248,40a S ==．数列{}n b 的前n 项和为n T ， 且230n n T b -+=，n N *∈． （I ）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式； （II ）设?? ?=为偶数为奇数 n b n a c n n n ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ． 解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=?? +=?，得14 ,44 n a a n d =?∴=?=?． …………3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，， 112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥ 数列{}n b 为等比数列，1 32n n b -∴=?． …………7分 （Ⅱ）1 4 32n n n n c n -?=? ??为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时， 13124()() n n n P a a a b b b -=+++++++L L
专题16 数列中项数问题 数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决，常用到分类讨论思想． 类型一 整数解问题 典例1. 已知集合 ， , ．对于数列 ， ，且对于任意 ， ，有 ．记 为数列 的前 项和. (Ⅰ)写出 ， 的值； (Ⅱ)数列 中，对于任意 ，存在 ，使 ，求数列 的通项公式； (Ⅲ)数列 中，对于任意 ，存在 ，有 .求使得 成立的 的最小值． 类型二 存在性问题 典例2已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1() 2 n n n a a S -=． （1）求a 1； （2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1 lg 3n n n a b += ，试问是否存在正整数p ，q (其中1
1.公差d≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2＋2，S 3＝12＋32． （1）求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n ； （2）记c n ＝S n n ，试问：在数列{c n }中是否存在三项c r ，c s ，c t (r ＜s ＜t ，r ,s ,t ∈N *)恰好成等比数列？若存在， 求出此三项；若不存在，请说明理由. 2.已知各项均为正数的等比数列的公比为，且.在数列中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； 3.设n n c 2=，试问数列{}n c 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在， 说明理由． 4.已知数列{}n a 满足：111 3(1)2(1) 1,211n n n n a a a a a ++++= =--，10(1)n n a a n +<≥，数列{}n b 满足：22 1(1)n n n b a a n +=-≥． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列． 5.已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为2，等差数列{}n b 的首项是1，公差为1，把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列}{n c ：1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ，……，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2013c =____________. 6.设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问：是否存在正整数t ，使得 成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 7. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前项和，且 222223457,7a a a a S +=+=． {}n a q 1 02 q << {}n a {}n a n n S ，5133349a a S +==，{}n a n {}n b n n n a b a t = +12m b b b ，，(3)m m ≥∈N ，n
学而思六年级数学 测试1·计算篇 1． 计算=?+++++++ 128)288122411681120180148124181( 2． =++?++++-+++?+++ )1119171()131111917151()1311119171()111917151( 3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数： 1111,,,251017 ……第2008个数是________ . 5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143
第1讲 小升初专项训练·计算 ? 四五年级经典难题回顾 例1、求下列算式计算结果的各位数字之和：2006200566 6666725?? 例2、求数1 111110111219++++的整数部分是几？ ? 小升初重点题型精讲 例1、=÷+÷+÷5 95491474371353251 . 例2、=+??÷+--+)19956.15.019954.01993(22.550 276951922.510939519 例3、=++÷++)251 18100412200811()25138100432200831( .
巩固、计算：=+?+?+ ?+?41602434014321 4016940146 . 例4、计算：222 212350133557 99101++++=???? . 拓展计算： 57191232348910 +++=?????? . 例5 、1?2+2?3+3?4+4?5+5?6+6?7+7?8+8?9+9?10= . 巩固：2?3+3?4+4?5+ +100?101= . 拓展、计算：1?2?3+2?3?4+3?4?5+ +9?10?11= . 例6、［2007 –（8.5?8.5-1.5?1.5）÷10］÷160-0.3= .
学而思三年级奥数 第十三讲巧算乘法 一、乘11，101，1001的速算法 一个数乘以11，101，1001时，因为11，101，1001分别比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得 a×11=a×(10＋1)=10a＋a， a×101=a×(101＋1)=100a＋a， a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。 例如：38×101=38×100＋38=3838。 二、乘9，99，999的速算法 一个数乘以9，99，999时，因为9，99，999分别比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得 a×9=a×(10-1)=10a-a， a×99=a×(100-1)=100a- a， a×999=a×(1000-1)=1000a-a。 例如：18×99=18×100-18=1782。 上面讲的两类速算法，实际就是乘法的凑整速算。凑整速算是当乘数接近整十、整百、整千……的数时，将乘数表示成上述整十、整百、整千……与一个较小的自然数的和或差的形式，然后利用乘法分配律进行速算的方法。 例1 计算： (1) 356×1001 练习：38×102 ＝356×(1000＋1) ＝356×1000＋356 ＝356000＋356 ＝356356； (2) 526×99 1234×9998 ＝526×(100-1) ＝526×100-526 ＝52600-526 ＝52074；
三、乘5，25，125的速算法 一个数乘以5，25，125时，因为5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一个数再除以同一个数，数值不变”及乘法结合律，得到例如，76×25＝7600÷4＝1900。 上面的方法也是一种“凑整”，只不过不是用加减法“凑整”，而是利用乘法“凑整”。当一个乘数乘以一个较小的自然数就能得到整十、整百、整千……的数时，将乘数先乘上这个较小的自然数，再除以这个较小的自然数，然后利用乘法结合律就可达到速算的目的。 例2 计算： (1) 186×5 练习：96×125 =186×(5×2)÷2 =1860÷2 =930； 有时题目不是上面讲的“标准形式”，比如乘数不是25而是75，此时就需要灵活运用上面的方法及乘法运算律进行速算了。 例3 计算： (1) 84×75 练习：56×625 =(21×4)×(25×3) =(21×3)×(4×25) =63×100=6300； (3) 33×125 39×75 =32×125+1×125 =4000+125 =4125； 四、个位是5的两个相同的两位数相乘的速算法 个位是5的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位是25，25前面的数是这个两位数的首位数与首位数加1之积。例如：
速算与巧算 1．计算集中营． ⑴26+75+174+25+58 ⑵198-56-44 ⑶137-（46+37） ⑷38+39+41+43+44+46 ⑸31+29+32+33+26+28 【答案】⑴358；⑵98；⑶54；⑷251；⑸179． 2．加减一长串，分组更简便． ⑴20-19+18-17+16-15+14-13+12-11 ⑵1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15 ⑶（22+24+26+28+20）-（21+23+25+27+19) ⑷38+37-36-35+34+33-32-31+30+29-28-27+26 【答案】⑴5；⑵8；⑶5；⑷38． 3．看谁算得快！ 第4级下·超常班
第4级下·超常班 【答案】⑴7749?=；⑵3030900?=；⑶1010432190?- +++=（）． 4． 等差数列来求和． 【答案】⑴7749?=；⑵ 422102130+?÷=（）；⑶54082180+?÷=（）． 5． 在下面的□中填上5个连续的数，使等式成立． 【答案】67891040++++=． ⑴ 1+3+5+7+9+11+13 ⑵ 4+6+8+10+12+14+16+18+20+22 ⑶ 5+10+15+20+25+30+35+40 ⑴ 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 ⑵ 1+2+3+4+…+29+30+29+…+4+3+2+1 ⑶ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
第4级下·超常班 6． 下面的题你会算吗？ 【答案】135959799++++++ 20003692730------ 199502 1005022500 =+?÷=?÷=（） 或 50502500=?= 200036927302000330102 2000165 1835 =-+++++=-+?÷=-= （） （） ⑴ 1+3+5+ +95+97+99 ⑵ 2000-3-6-9- -27-30 豆豆家里来了四位客人，爸爸买了一个大西瓜回来招待客人．但爸爸要求豆豆只许切4刀，切完必须给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、豆豆和四位客人每人一块，而且吃完西瓜后必须有10块瓜皮．请你帮豆豆想一想，该怎样切才合适?
2013高考数学常见难题大盘点：数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x )的导数；设11a =，1 ()'() n n n n f a a a f a +=- (n ＝1，2，……) (1)求,αβ的值； (2)证明：对任意的正整数n ，都有n a ＞a ； 解析：(1)∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )＝0的两个根()αβ>， ∴22α β== ； (2)'()21f x x =+，21 1 1 5(21)(21)12 44 21 21 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++ +- +-=- =-++ ＝ 5 114(21)4 21 2 n n a a ++ - +，∵11a =， ∴有基本不等式可知2 2a ≥ >( 当且仅当1 2 a = 时取等号) ，∴2 02 a > > 同，样32 a > ，……，2 n a α >=(n ＝1，2，……)， 2. 已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），2422 1+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由a 的不同而要分类讨论。 解：（1）∵2 n a b n n += ∴2 2211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222 =+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+， ∵1a ≠-，∴ 20b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列。 （2）1 (44)(2 1) 34(22)221 n n n a S a a a -+-=+=--++- 当n ≥2时， 1 1 1 (22)234 342(22)2 34 (1)2 34 n n n n n S a a a S a a a a ---+--+= =+ +--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1 -n n S S (n ≥2)是常数， ∴3a+4=0，即43 a =- 。
数列中公共项问题的研究
专题：数列中公共项问题的研究 一、问题提出 问题1：（1）两个集合{}1003,0,3,6,,A a =-L 和{}100 15,19,23,27,,B b =L 都各有100个元素，且每个集合中元素从小到大都组成等差数列，则集合A B I 中元素的最大值是多少？ （2）若将A B I 中元素按从小到大的顺序排列成数列{}n c ，试求数列{}n c 的通项公式.312+=n c n 问题2：若数列{}n a 的通项公式为23 2n n a +=-，数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--． 设集合*{|2,}n A x x a n N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈I 是A B I 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式． 对任意* n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A ?，∴A B B =I ∵1c 是A B I 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差 为d ，则 ∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4n b 是一个以12-为公差等差数列，
∴* 12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724n c n =-． 二、思考探究 探究1：已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+，数列{n b }的通项公式为2n b n =．若将数列{n a }，{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c }， （1）求9 c 的值；961 （2）求数列{}n c 的通项公式. 解：设2 27m n =+，考察m 模7的余数问题； 若k k k k k k k m 7,17,27,37,47,57,67------=时经验证可得： 当37,47--=k k m 时，存在满足条件的n 存在 故{n c }中的项目依次为：ΛΛ3125241817111043,,,,,,,,b b b b b b b b b 可求得数列{n c }的通项公式为：?????????? ? ?-??? ??-=为偶数，为奇数，n n n n C n 22267217 探究2：已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-，2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c .
第1讲 计算综合（一） 繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母． 2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数． 3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]． 1．计算：7 1 1 4 71826213581333416 ?+ ?-÷ 【分析与解】原式=7 1 23 72317 461224 1488128131233 +?=?=- 2．计算： 【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199 ．于是，我们想 到改变运算顺序，如果分子与分母在519 9 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数 的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被 除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：
原式= 5919 (3 5.22) 19930.4 1.6910( )52719950.5 1995 19(6 5.22) 950 +-?÷+ ?-+ =519 1.32 19930.440.40.59()5 19950.4 19950.5 19 1.32 9 -???÷+ ??- =199320.41()19950.5+÷?=0.410.5÷ =114 3．计算：1111111987 - + - 【分析与解】原式=11198711986 -+ =198613973 -=19873973 4．计算：已知= 18111 1+ 12+1x+ 4= ，则x 等于多少? 【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7 11 1+ 11148x 6 2+ 214x 1 x+ 4 +=== = +++ + ++ + 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有111 3 11188 21x 4 + ==++ + ，所以1822213 3 x 4 +==++ ；所以13x 4 2 +=，那么 x =1.25． 5．求94 4,43,443,...,44...43 个这10个数的和． 【分析与解】方法一：