初中数学矩形的性质与判定
矩形是平面几何中最基本的图形之一，它是一个由四条直线构成的平行四边形，两个对角
线相等，对角线分别叫做矩形的两个直角边。由以上定义可知，矩形是一种特殊的平行四
边形，所以，矩形的性质有如下一些：
一、矩形的四边相等
矩形的四条边是相等的，不管你横向测量，还是纵向测量，都得到相同的长度。
二、矩形的两个对角线相等
即矩形对角线是相等的，并且垂直于矩形的四边。
三、矩形有四个顶点
矩形有四个定点，分布在矩形的每个角，两个对角上。
判定矩形：
我们可以根据以上性质来判定一个图形是否是矩形：
1、检查四边，如果四边相等，则可以推断它可能是矩形；
2、测量对角线的长度，如果两条对角线长度相等，且垂直于矩形的四边，则可以确认它
是矩形；
3、查看顶点，如果有四个顶点，则它就是矩形。
综上所述，矩形是一种平行四边形，有四边相等，两个对角线相等，且垂直于矩形的四边，有四个顶点的特殊图形。我们可以根据矩形的性质和判定规则，很容易判断出一个平行四
边形是否是矩形。
矩形的性质和判定 矩形的性质和判定 定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。 性质： 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相互平分且相等。 3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。 4.矩形的面积为长乘宽。 判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 矩形与平行四边形的区别与联系： 相同点：
1.两组对边分别平行。 2.两组对边分别相等。 3.两组对角分别相等。 4.对角线相互平分。 区别： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相互平分且相等。 例题精讲： 考点1：矩形的性质 例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。 例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证： △ABE≌△CDF。 例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定 例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。 例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别 是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN 交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。 变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。可 以证明四边形ADCE是矩形。 变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的 中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。(1) 可以证 明△ABE≌△FCE。(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
矩形 中考要求 知识点睛 矩形的性质及判定 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：对角线互相平分且相等． ④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 例题精讲 模块一矩形的概念 【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形． 【答案】有一个角是直角； 【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线； 【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角
是直角的四边形是矩形． 【答案】平行四边形；对角线相等；三个角 【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分 D ．对边相等 【解析】省略 【答案】A 【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交 BH 于点F ，当AB BC ， 满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB = 模块二 矩形的性质 【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=?， 则DAE ∠= F E D C B A 【解析】省略 【答案】15? 【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周 长为 ． 【答案】 ， 【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ?≌CDF ?. D E F C A B 【解析】省略 【答案】∵四边形ABCD 是矩形 ∴90AB AD B D =∠=∠=， . 在ABE ?和CDF ?中， 又∵BE DF =， ∴ABE ?≌CDF ?. 【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的
矩形的性质和判定【知识梳理】 一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。 二、性质： ①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相互平分且相等 ③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴 ④矩形的面积S=长×宽 三、判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 四、矩形与平行四边形的区别与联系： ①相同点 1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、两组对角分别相等 4、对角线相互平分 ②区别 1、有一个角是直角的平行四边形矩形 2、对角线相互平分且相等 【例题精讲】 考点1 矩形的性质 【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD中，,E F分别是, BC AD上的点，且BE DF =。求证：ABE ?≌CDF ?。 【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60 AOB ∠=?，2 AB=，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．43 【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 【变式2】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm，则边AD的长是。 【变式3】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60 BAF ∠=?，则DAE ∠=。 F E D C B A 考点2 矩形的判定 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 O D C B A D E F C A B
数学矩形知识点归纳 矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质； ⑵ 矩形的四个角都是直角； ⑶ 矩形的对角线平分且相等；（AC=BD） ⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。 提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等； ⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。 3、矩形判定方法： ⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。 ⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的`两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C 的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
6.2矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质. （2）四个角都是直角. （3）对角线相等. （4）是轴对称图形，有4条对称轴. 定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 基础闯关 矩形的定义与性质 1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。 A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分 2.矩形具有而菱形不具有的性质是（） A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（） A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 . 6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 . 7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。 8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．
9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ． 求证：AD=2AB ． 10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。 （1）求证：四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，求线段EF 的长。 直角三角形斜边上的中线的性质 11. 如图，△ABC 中，∠C=900，D 是AB 边的中点，AC=3，BC=4，则CD= . （11题图） （12题图） （13题图） 12. 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，点M 是AD 的中点.若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为 . 13. 如图，BE ，CF 分别是△ABC 的高，点M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 . 14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是AB 边上的中线，将△ADC 沿AC 边所在的直线翻折，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE.求证：EC//AB. 矩形的判定 15.判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线垂直 A B E C D
《矩形的性质与判定(一)》教材分析 1.教材的地位和作用 《矩形的性质与判定》是鲁教版八年级下册第六章《特殊的平行四边形》第二节的内容，本节安排了3课时，本节课是第一课时，主要探究矩形的性质定理，第二课时是矩形判定定理的探索与证明，第三课时是矩形的性质定理和判定定理的综合应用。《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。这节课学习矩形的性质，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定以及具备了初步的观察、操作、基本的推理能力的基础上安排的，它既是全等三角形和平行四边形，菱形有关知识的回顾和延伸，又是是学习正方形的基础，也是将来学习空间立体几何的基础。同时它还进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力，起着承前启后的作用，本节课不论从知识技能还是思想方法上，都是一节十分难得的素材，它对培养学生的探索精神、动手能力、应用意识和抽象建模能力都有很好的作用。2、【不同教材版本对教学内容的处理】 （一）北师大版 在各个版本的教材中，北师大版一 般会更加接近于我们所用的鲁教版的教 材。唯一有点区别在于对称性的处理， 它在一开始就提出来了，再就是最后的 练习题比鲁教版的少了几个。 （二）人教版
人教版并没有将特殊的平行四边形独立成一个章节，而是作为四边形的一个小节，平行四边形之后的一节内容，特殊的平行四边形都在这一小节之中，包括菱形和正方形，这样处理显然是为了让学生更好地经历由平行四边形到特殊平行四边形的探究过程，也能更好地帮助学生形成流畅的知识体系。 人教版特殊的平行四边形这节 内容并没有将矩形的性质和判定放 在第二节课，而是将其放在本节第一 课时，首先引导学生探究比较熟悉的 矩形，然后让学生探究不熟悉的菱 形。这和我们的教材安排正好相反。 2.教学目标分析 (1) 理解矩形的概念，了解矩形 与平行四边形的关系。 (2)经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展演绎推理能力。理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;探索并掌握直角三角形斜边上的中线定理。 (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力。 3.教学重难点 教学重点：理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推
矩形的性质和判定 【知识梳理】 1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2. 矩形的性质： 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：对角线互相平分且相等． ④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半． 这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 【诊断自测】 1．下列语句正确的是（） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．矩形的对角线相等 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（） A．4 B．8 C．10 D．12 3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．
4．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=． 【考点突破】 类型一：矩形的性质 例1、如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为． 例2、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有对. A．3对B．4对C．5对D．6对
初中数学矩形知识点总结 多则价谦，万物皆然，唯独知识例外。知识越丰富，则价值就越昂贵。下面给大家分享一些关于初中数学矩形知识点，希望对大家有所帮助。 一.矩形、菱形、正方形的性质 1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等;④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴;⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质;②菱形的四条边都相等;③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角;④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴;⑤菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. 3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质 ①边：四边相等，对边平行;②角：四个角都是直角;③对角线：互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度;④正方形是轴对称图形，有四条对称轴. 二.矩形、菱形、正方形的判定 1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形;④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;②对角线互相垂直的平行四边形是菱形;③四条边都相等四边形是菱形;④对角线垂直平分的四边形是菱形. 3.正方形的判定①菱形+矩形的一条特征;②菱形+矩形的一条特征;③平行四边形+一个直角+一组邻边相等. 说明一个四边形是正方形的一般思路是：先判断它是矩形，在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形，再判断这个菱形也是矩形. 三.例题 1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则
矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900 ； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2 1 AC ） 二、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________． A E D C B O
练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少? 练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
初二数学矩形的知识点总结 初二数学矩形的知识点总结 初二数学矩形知识点总结 初二数学知识大放送：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，矩形也是四边形的一种。那么接下来的矩形知识请同学认真记忆了。 矩形的性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 上面内容是初中数学知识点大全之矩形，想必大家已经熟知矩形判定定理了吧，接下来还有更多的数学知识点营养大餐等着同学们来汲取吸收呢。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三
象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的'数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。 希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。 初中数学知识点：因式分解的一般步骤 关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。 因式分解的一般步骤 如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑
一、平行四边形的判定: 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形; 5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; 6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。 二、平行四边形的性质: 1. 平行四边形对边平行且相等; 2. 平行四边形两条对角线互相平分; 3. 平行四边形的对角相等,邻角互补; 4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点; 5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形; 6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形; 7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。三、菱形的判定: 1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形; 2. 四条边都相等的四边形是菱形;
3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形; 4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。四、菱形的性质: 1. 菱形具备平行四边形的一切性质; 2. 对角线互相垂直且平分; 3. 四条边都相等; 4. 每条对角线平分一组对角; 5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。五、矩形的判定: 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 2. 有三个角是直角的四边形是矩形; 3. 四个角相等的四边形是矩形 4. 对角线相等的平行四边形是矩形; 5. 一组对角互补的平行四边形是矩形; 6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。六、矩形的性质: 1. 矩形具备平行四边形的一切性质; 2. 矩形对角线相等; 3. 矩形的四个内角都是90°; 4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。七、正方形的判定:
矩形的性质和判定 1.定义： 有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。2.性质： 矩形的特有性质： （1）矩形的四个角都是；（2）矩形的对角线。 规律总结： 矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）
（1）对边平行且相等； （2）每个角都是直角； （3）对角线相等且互相平分。 矩形是轴对称图形，它有对称轴。 3.判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）有三个角都是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 (也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。
4、直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形， 且这条边所对的角为直角。（会证明吗？） 例：如图,在△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________. 在直角三角形中还有一个涉及“一半”的定理是： 例1．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为（）
A．50° B．60° C．70° D．80° 例2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )． A.3.6cm B.7.2cm C.1.8cm D.14.4cm 例3．如图,矩形ABCD中，M是CD的中点. 求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA. 例4．四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°
【典例精析】 例题1如图, 在△ABC 中, AB ＝6, AC ＝8, BC ＝10, P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合）, PE ⊥AB 于点E, PF ⊥AC 于点F, M 为EF 中点.设AM 的长为x , 试求x 的最小值. 思路导航：根据勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形, 得出四边形AEPF 是矩形, 所以AM ＝12EF ＝12 AP, 在Rt △ABC 中利用AP 求出x 的最小值. 谜底：解：连接AP, ∵AB ＝6, AC ＝8, BC ＝10, ∴AB 2＋AC 2＝36＋64＝100, BC 2＝100, ∴AB 2＋AC 2＝BC 2, ∴∠BAC ＝90°, ∵ PE ⊥AB, PF ⊥AC, ∴∠AEP ＝∠AFP ＝∠BAC ＝90°, ∴四边形AEPF 是矩形, ∴AP ＝EF, ∵∠BAC ＝90°, M 为EF 中点, ∴AM ＝12 EF ＝12AP, 当AP ⊥BC 时, AP 值最小, 此时S △BAC ＝12×6×8＝12×10×AP, AP ＝4.8, 即x 的最小值为. 点评：本题考查了垂线段最短, 三角形面积, 勾股定理的逆定理, 矩形的判定等的应用, 关键是求出AP 的最小值和得出AM 与AP 的数量关系. 例题2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路： 如图1, 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 垂足是D, P 是BC 边上任意一点, PE ⊥AB, PF ⊥AC, 垂足分别是E 、F.求证：PE ＋PF ＝CD. 证明思路：如图2, 过点P 作PG ∥AB 交CD 于点G, 则四边形PGDE 为矩形, PE ＝GD ；又可证△PGC ≌△CFP, 则PF ＝CG ；所以PE ＋PF ＝DG ＋GC ＝DC. 如图3, 若P 是BC 延长线上任意一点, 其他条件不变, 则PE 、PF 与CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程. 思路导航：采纳与题目相同的思路, 过点C 作CG ⊥PE, 利用矩形的性质和全等三角形的性质确定PE 、PF 、CD 之间的关系.
一、什么是矩形？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 如图平行四边形ABCD ,∠A=90°，四边形ABCD 为矩形 ． C A B D 二、什么是菱形？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 如图平行四边形ABCD ,AD=AB ，四边形ABCD 为菱形． A C 1．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 矩形、菱形的性质与判定 知识回顾 知识讲解
2．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 3．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且四边相等． ②角的性质：邻角互补，对角相等． ③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形． 菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 4．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 5．三角形的中位线 中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线． 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质． 中点中点平行 中点
矩形的性质与判定 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可． 二、矩形的性质 ①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）． 三、矩形的判定 ①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等 四、矩形判定解题思路 ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． 五、矩形的面积 设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab． 1．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论： ①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE， 其中正确结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD， ∴OA=OD=OC=OB， ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°， ∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°， ∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90° ∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB， ∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误； ∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°， ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，