矩形（基础）
撰稿：康红梅责编：吴婷婷
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角
看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的
直角边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是
BC、AD上的点，且BE＝DF．
求证△ABE≌△CDF．
【思路点拨】：由矩形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，然后用它们作条件证明△ABE ≌△CDF．
【答案与解析】
证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴ AB＝CD，∠B＝∠D＝90°
在△ABE和△CDF中
90
AB CD
B D
BE DF
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
°
∴△ABE≌△CDF(SAS)
【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．
举一反三：
【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）例7】
【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是_________ ．
【答案】；
提示：因为ECFP为矩形，所以有EF＝PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.
类型二、矩形的判定
2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是
AB、CD的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝1
2
AB，DF＝
1
2
CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
（2）四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝1
2
AB，DF＝
1
2
CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.
求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD
∵D为BC的中点，
∴CD＝BD
∴CD∥AE，CD＝AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AB＝AC
∴AC＝DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
3、如图所示，Y ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形．
【思路点拨】AE、BE分别为∠BAD、∠ABC的角平分线，由于在Y ABCD中，∠BAD+∠ABC＝180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．【答案与解析】
证明：在Y ABCD中，AD∥BC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴∠BAE＋∠ABE＝1
2
∠BAD＋
1
2
∠ABC＝90°．
∴∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴四边形EFGH是矩形．
【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB＝
AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE 的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
【答案】C；
【解析】
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥B C，CD＝BD＝1
2
BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝1
2
AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．
【答案】
解：连接OP．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝1
2
AC，OP＝
1
2
BD，
∴ AC＝BD．
∴四边形ABCD是矩形．
矩形（提高） 撰稿：康红梅责编：吴婷婷 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的 直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩 形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．
B 一、复习回顾基础知识 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。 矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 巩固练习 (1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 (2)矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则AB ＝___________cm ，BC ＝___________cm ． (3)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________． (4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________． (5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________． (6).矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________ 二、经典例题、针对训练、延伸训练 例1．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED ＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF ⊥AD 于F ， 且OF ＝2，求BD 的长． 例2．已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与 BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．
矩形（基础） 撰稿：康红梅责编：吴婷婷 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的 直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题 学习目标 1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系． 2．掌握矩形的性质及识别方法． 3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明． 学法指导 矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性． 基础知识讲解 1．矩形的概念 有一个角为直角的平行四边形叫矩形． 由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件． 2．矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质． （2）矩形的四个内角是直角． （3）矩形的对角线相等且互相平分． （4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形． 3．矩形的识别方法 （1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形． 4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点 （1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形． （2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形． 重点难点 重点：矩形的定义，性质及识别方法． 难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用． 易错误区分析 运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件 例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？ 错解：这个结论正确 正解：这个结论不正确 分析：对角线相等的平行四边形才是矩形． 典型例题 例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．
矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900 ； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2 1 AC ） 二、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________． A E D C B O
练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少? 练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
矩形（基础） 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理 . 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角 一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件 . 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1. 矩形具有平行四边形的所有性质； 2. 矩形的对角线相等； 3. 矩形的四个角都是直角； 4. 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 . 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形 可将矩形分成完全全等的两部分 . （2） 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线） 称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心） . （3） 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质， 从而矩形 的性质可以归结为从三个方面看： 从边看，矩形对边平行且相等； 从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等 . 要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 2. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 3. 有三个角是直角的四边形是矩形 . 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判 定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半 . 要点诠释：（1） .即矩形首先是 .过中心的任意直线 直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论 三角形，对一般三角形不可使用 . 学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三 角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中 30°所对的 直角边等于斜边的一半. 性质可以用来解决有关线段倍分的问题 . •性质的前提是直角 (2)
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1．对边 且； 2．对角； 邻角； 3．对角线 ; 1．对边 且； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ; 1．对边且四 条边都 ; 2．对角 ; 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角且四个 角都是； 3．对角线 且每条对角 线； 面积 2。识别方法小结： (1）识别平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 识别矩形的方法: ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②对角线相等的平行四边形是矩形; ③有三个角是直角的四边形是矩形；
④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （3) 识别菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相垂直的平行四边形是菱形; ③四边都相等的四边形是菱形； ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （4) 识别正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； ③有一组邻边相等的矩形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形； ⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 小结:把以上识别方法的编号分别填入下图中的每一条带方向的线上：（如平行四边形的第一种识别方法的编号为（1）①，其他方法类似) 3.基础达标训练： 3。1填空： （1）两条对角线的四边形是平行四边形； （2）两条对角线的四边形是矩形； （3)两条对角线的四边形是菱形; （4）两条对角线的四边形是正方形；
人教版《矩形》教学设计(第1课时)人教版《矩形》教学设计（第1课时） 简介 本教学设计针对人教版《矩形》第1课时进行设计，旨在帮助 学生掌握矩形的基本概念、特征以及计算矩形的面积和周长的方法。通过多种教学手段，激发学生的研究兴趣，提高他们的研究效果。 教学目标 - 掌握矩形的定义和基本特征； - 理解如何计算矩形的面积和周长； - 能够应用所学知识解决实际问题； - 培养学生的观察力、思维能力和团队合作精神。 教学内容 1. 矩形的定义和基本特征； 2. 矩形的面积计算方法； 3. 矩形的周长计算方法； 4. 实际问题应用：矩形的应用场景。
教学过程 1. 导入（5分钟） - 引入矩形的概念，通过展示实物或图片让学生熟悉矩形的形状； - 引发学生的思考，让他们讨论和描述矩形的特征。 2. 知识讲解（15分钟） - 讲解矩形的定义和基本特征，并通过示例加深学生对矩形的理解； - 介绍如何计算矩形的面积和周长，给予具体计算步骤。 3. 计算练（15分钟） - 分发练题，让学生在课堂上进行矩形的面积和周长计算练； - 督促学生互相合作，解决计算中遇到的问题，并及时给予指导。 4. 实际应用（15分钟） - 引入一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题； - 开展小组讨论，鼓励学生合作思考并分享解决方案；
- 部分学生代表就解决方案进行展示和讲解，促进学生之间的 交流。 5. 总结归纳（5分钟） - 对本节课的内容进行总结和归纳，重点强调所学知识的应用； - 激发学生对矩形研究的兴趣，鼓励他们继续探索矩形的更多 特性。 6. 作业布置（5分钟） - 布置作业，要求学生在家继续进行矩形的面积和周长计算； - 提供相关练题和参考答案，以便学生复和检查自己的答案。 教学评估 - 在计算练环节中，及时观察学生的解题能力和合作程度； - 在实际应用环节中，评估学生的解决问题的能力和创造力； - 随堂小测、作业评分等方式进行教学效果评估。 参考资料 - 人教版《矩形》教材 - 矩形面积和周长计算方法参考讲义
初中数学矩形知识点 初中数学矩形知识点 初中数学知识点总结之矩形 大家都要知道：矩形是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，接下来为大家整合的是初中数学矩形知识点总结。 矩形 矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 矩形性质定理2 矩形的对角线相等 矩形断定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形断定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 知识拓展：面积：S=ab(注:a为长,b为宽)，周长： C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
程度的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度一样；实际有时也可不同，但同一数轴上必须一样。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于程度位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。程度的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或
初中数学矩形知识点总结 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如演讲稿、总结报告、合同协议、方案大全、工作计划、学习计划、条据书信、致辞讲话、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as speech drafts, summary reports, contract agreements, project plans, work plans, study plans, letter letters, speeches, teaching materials, essays, other sample essays, etc. Want to know the format and writing of different sample essays, so stay tuned!
（一）计算唸 解析：依题设画出示意图，由矩形性质: 又.-.S I 5? - ■.② •••由—一有…d —"- % 二如-1) 评述1矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°,稍加连结, 则会出现Rt△，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算. 评述2此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算-N - 而去解方程组. 2 .在矩形ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, BE=1 , EF=2 ,求矩形面积転 解析：依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=1 , BD = 4宀连结AC交BD于0, 则易知：0A=0B=2，又有BE=0E=1 又 AE丄B0,可知△ AB0为正三角形，二AB=0B=2 , BC = 2^/5矚葩逊—玄忑 3.在矩形ABCD中，两条对角线小于0, DE平分/ ADC , E点在BC上，/ ED0=15 ° .鬲求/ C0B,/ A0E的度数. 解析：依题设，画出示意图 由DE 平分/ ADC，知/ EDC=45。，又ED0=15 又由矩形ABCD知0D=0C .△ 0DC为正三角形，即0C=0D=CD / D0C=60 ° ,. / C0B=120 / EDC=45 °，/ DCE=90 CE=CD 1两条相邻边之和为m,求矩形的面积.血
••• CO=CE 进而可知/ COE=75 • / AOE=105 ° 评述：学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法. (二)特殊关系论证茲 ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE,若F 是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系匮 解析：结合图示可以猜想AF丄CF. 证明两线垂直，我们都有过什么想法？盘点盘点： 趣_ 4—zK …一 法一：连结BF，因/ BFE=90 °，证/ AFC= / BFE 进而考虑证△ AFC◎△ BFE 提示：因CF为Rt△ DCE斜边上中线，故CF=EF=FD 易证△ FAD◎△ FBC，有FB=FA 进而可证明△ AFC◎△ BFE (SSS) 又由BF为等腰△ BED底边上中线有BF丄DE .所以AF丄CF 法二：“倍长中线” 延长AF交BC延长线于G, 连结AC ,易证△ADF ◎△ GEF , AD=GE , BC+CE=GE + CE,即BE = CG, 易证△ CAG为等腰三角形CA=CG , F为底边AG中点.CF为AG边上的高• 另：对称地 思考，同法可延长CF交AD延长线于H 证厶A CH为等腰三角形，利用另一方向的三线合一. 法三：利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半，则该三角形为Rt △” . 连结AC，设AC交BD于O,连结FO,易知FO DEB中位线 •已知：如图，矩形
初二数学矩形、菱形知识精讲 人教义务几何 【学习目标】 1．熟练掌握矩形、菱形的概念、性质定理和判定定理． 2．能运用矩形、菱形的定义、性质定理和判定定理进行有关计算和证明． 【主体知识归纳】 1．矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 矩形的性质：矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有： （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线相等． 矩形的判定 （1）根据矩形的定义； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形． 2．菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 菱形的性质：菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有： （1）菱形的四条边都相等； （2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的判定 （1）根据菱形的定义； （2）四条边都相等的四边形是菱形； （3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．若菱形的两条对角线长分别为a 、b ，则菱形的面积为S ＝2 1ab ． 4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【基础知识精讲】 1．应用矩形、菱形的判定方法时，一定要注意各自的前提条件，既要防止条件不足的判断，又要防止多余条件的判断．如“两条对角线相等的四边形是矩形”这是条件不足的错误判断；再如已知（或已证）四边形ABCD 是平行四边形，而又证四条边都相等才判定为菱形，那是多余的，只要证有一组邻边相等就可以了． 2．在计算菱形面积时应注意：除应用平行四边形面积的一般计算方法外，还可以根据菱形的对角线来计算面积．应用时可以根据已知条件灵活选用计算方法． 【例题精讲】 ［例1］水泊宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种红色地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图4－34，则购买地毯至少需要_____元．
一、矩形、菱形、正方形的性质 1.矩形的性质 ①具有平行四边形的一切性质； ②矩形的四个角都是直角； ③矩形的对角线相等； ④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴； ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2.菱形的性质 ①具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴； ⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。 3.正方形的性质 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质 ①边：四边相等，对边平行； ②角：四个角都是直角； ③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度； ④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（） A．36° B．9° C．27° D．18° 例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD 相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。 例3如图，O是矩形ABCD 对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数。
例 4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。 例5如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由． 答案：1：D 2：12cm 3：30° 4:10cm 5：AF=BF+EF
湘教版八年级数学下册《2-5矩形》知识点分类训练（附答案） 一．矩形的性质 1．一次数学课上,老师请同学们在一张长为18厘米,宽为16厘米的长方形纸板上,剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其它两个顶点在长方形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为（）平方厘米． A．50或60B．40或50或80C．30或40或50D．30或50或80 2．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC：∠EDA＝1：2,且AC＝8,则EC的长度为（） A．2B．2C．4D． 3．如图,在矩形ABCD中,点F为边AD上一点,过F作EF∥AB交边BC于点E,P为边AB上一点,PH⊥DE交线段DE于H,交线段EF于Q,连接DQ．当AF＝AB时,要求阴影部分的面积,只需知道下列某条线段的长,该线段是（） A．EF B．DE C．PH D．PE 4．如图,E、F分别是矩形ABCD边上的两点,设∠ADE＝α,∠EDF＝β,∠FDC＝γ,若∠AED＝α+β,下列结论正确的是（） A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90° 5．在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F．若AD＝,AB＝1,则AF2＝（）
A．8﹣4B．10﹣4C．8+4D．10+4 6．如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝6,点F是AB的中点,E为BC边上一点,且EF⊥ED,连接DF,M为DF的中点,连接MA,ME．若AM⊥ME,则AE的长为（） A．5B．C．D． 7．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠BAD的平分线交BC于E,若∠EAC＝15°,则∠COE＝（） A．45°B．60°C．75°D．30° 8．已知点P是矩形ABCD内一点,连接AP、BP、CP、DP,若S△ABP+S△CDP＝S△ADP+S△BCP,则关于点P的位置,正确的说法是（） A．一定是对角线交点B．一定在对角线上 C．一定在对边中点的连线上D．可以是任意位置 9．如图是一块矩形ABCD的场地,长AB＝102,宽AD＝51,从A、B两处入口的中路宽都为1,两小路汇合处路宽为2,其余部分种植草坪,则草坪面积为（） A．5050B．4900C．5000D．4998 10．如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是边AB上一点,且OE⊥AC．设∠AOD ＝α,∠AEO＝β,则α与β间的关系正确的是（）
第二讲 矩形的性质与判定 【学习目标】 1.理解并掌握矩形的判定方法. 2.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。 3.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。 4.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; 【基础知识】 1、矩形的性质 矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性 1）.内角为90° 2）.对角线相等 3）.以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、矩形的判定方法分为两种途径： 1）.在四边形基础上证明三个角等于，即三个角等于 的四边形是矩形； 在平行四边形基础上+矩形特性： 2）.对角线相等的平行四边形是矩形； 3）.有一个角是 的平行四边形是矩形； 【考点剖析】 考点一：应用矩形的性质进行计算、求解 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF EC ⊥，且EF EC =． （1）求证：AEF DCE △≌△． （2）若5cm DE =，矩形ABCD 的周长为38cm ，求AE 的长． 【答案】（1）见解析；（2）7cm
【详解】 解：（1）证明：∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°， ∴∠AEF=∠EC D． 在Rt△AEF和Rt△DEC中， ∠F AE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=E C． ∴△AEF≌△DCE（AAS）． （2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE． ∴AE=C D． ∴AD=AE+5． 又∵矩形ABCD的周长为38cm， ∴2（AE+AE+5）=38cm． ∴AE=7cm． 答：AE的长为7cm． 考点二：矩形的判定 例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）若BC=8，AO=5 2 ，求四边形AEBC的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18 【详解】 （1）∵AE∥BC，BE∥AD， ∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB=AC，AD是BC边的中线，
专题45 以矩形为基础的图形的旋转变换问题 【例题精讲】 两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度． （1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）． （2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形． 证明：（1）如图②，②由题意知，AD=GD，ED=CD，②ADC=②GDE=90°， ②②ADC+②CDE=②GDE+②CDE，即②ADE=②GDC，在②AED与②GCD中， AD GD ADE GDC ED CD ⎪ ∠ ⎪ ⎩ ∠ ⎧ ⎨ ＝ ＝ ＝ ， ②②AED②②GCD（SAS）； （2）如图②，②α=45°，BC②EH，②②NCE=②NEC=45°，CN=NE，②②CNE=90°， ②②DNH=90°，②②D=②H=90°，②四边形MHND是矩形，②CN=NE，②DN=NH，②矩形MHND是正方形．【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决. 【针对训练】 1、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′， 折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．
（1）求的值； （2）四边形EFDB′的面积为； （3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离． 解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′， ∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°， ∴四边形ABEB'为正方形， ∴△AB'E为等腰直角三角形， ∵AB＝6，AD＝8， ∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2， ∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠， ∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°， ∴A'D＝DF＝6﹣2＝4， ∵CD＝AB＝6， ∴CF＝6﹣4＝2， ∴． （2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，