矩形定义、性质、判定
•矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
•矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
•矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。
•黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
矩形的性质和判定 矩形的性质和判定 定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。 性质： 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相互平分且相等。 3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。 4.矩形的面积为长乘宽。 判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 矩形与平行四边形的区别与联系： 相同点：
1.两组对边分别平行。 2.两组对边分别相等。 3.两组对角分别相等。 4.对角线相互平分。 区别： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相互平分且相等。 例题精讲： 考点1：矩形的性质 例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。 例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证： △ABE≌△CDF。 例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定 例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。 例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别 是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN 交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。 变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。可 以证明四边形ADCE是矩形。 变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的 中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。(1) 可以证 明△ABE≌△FCE。(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900 ； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2 1 AC ） 二、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE?⊥BD ，?垂足为E ，?∠DAE=?2?∠BAE ，?那么，?∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________． A E D C B O
练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少? 练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
矩形 中考要求 知识点睛 矩形的性质及判定 1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，?还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：对角线互相平分且相等． ④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 例题精讲 模块一矩形的概念 【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形． 【答案】有一个角是直角； 【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线； 【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角
是直角的四边形是矩形． 【答案】平行四边形；对角线相等；三个角 【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分 D ．对边相等 【解析】省略 【答案】A 【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交 BH 于点F ，当AB BC ， 满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB = 模块二 矩形的性质 【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=?， 则DAE ∠= F E D C B A 【解析】省略 【答案】15? 【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周 长为 ． 【答案】 ， 【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ?≌CDF ?. D E F C A B 【解析】省略 【答案】∵四边形ABCD 是矩形 ∴90AB AD B D =∠=∠=， . 在ABE ?和CDF ?中， 又∵BE DF =， ∴ABE ?≌CDF ?. 【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的
矩形的性质和判定【知识梳理】 一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。 二、性质： ①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相互平分且相等 ③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴 ④矩形的面积S=长×宽 三、判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 四、矩形与平行四边形的区别与联系： ①相同点 1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、两组对角分别相等 4、对角线相互平分 ②区别 1、有一个角是直角的平行四边形矩形 2、对角线相互平分且相等 【例题精讲】 考点1 矩形的性质 【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD中，,E F分别是, BC AD上的点，且BE DF =。求证：ABE ?≌CDF ?。 【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60 AOB ∠=?，2 AB=，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．43 【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 【变式2】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm，则边AD的长是。 【变式3】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60 BAF ∠=?，则DAE ∠=。 F E D C B A 考点2 矩形的判定 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 O D C B A D E F C A B
矩形的性质和判定 ※知识回顾 一、矩形的性质 1、矩形的定义：有一个内角是的平行四边形是矩形. 注意：（1）矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；（2）根据定义能判定一个四边形是否是矩形：先证明它是平行四边形，再证明它有一个内角是直角. 2、矩形的性质： （1）对称性：矩形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点，矩形还是轴对称图形，它的对称轴是 . （2）边：矩形的对边 . （3）角：矩形的四个内角都是 . （4）对角线：矩形的对角线 . 3、矩形的面积与周长 （1）矩形的面积 = 长×宽. （2）矩形的周长 =（长+宽）×2. 二、矩形的判定 1、定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2、判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 3、判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 4、推论：对角线相等且互相平分的四边形是矩形. ※典例剖析 【例1】：如图，□ABCD的四个内角的平分线别交于点E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形. 【例2】求证：顺次连结矩形四条边的中点，所得的四边形的四条边相等. 【例3】如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，B C D A H E G F
PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，求EF 的最小值. ※培优训练 1、（2011?绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分 2．（2011?临沂）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于 点D 、F ，B E ⊥D F 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ， 则四边形BCDE 的面积是（ ） A.32 B.33 C.4 D.34 3．（2013?河北区）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边 形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4．在四边形ABCD 中，∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=2cm ，求四边形ABCD 的周长（ ） A.3210+ B.528+ C.538+ D. 5210+ 5．下列命题错误的是（ ） A ．平行四边形的对边相等 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．矩形的对角线相等 6．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC=10，D 为边AC 上一动点， DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则EF 的最小值为（ ） A ．2.4 B ．3 C ．4.8 D ．5 7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 的 长是（ ） A ．7.5 B ．7 C ．6.5 D ．5.5 8．（2012?塘沽区）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．D 是AC 的中点，
数学矩形知识点归纳 矩形 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质； ⑵ 矩形的四个角都是直角； ⑶ 矩形的对角线平分且相等；（AC=BD） ⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。 提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等； ⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。 3、矩形判定方法： ⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。 ⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。 初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。 平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的`两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。 初中数学知识点：点的坐标的性质 下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。 点的坐标的性质 建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C 的坐标。 一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
〖知识梳理〗 知识点1：矩形的概念与性质 1.概念：有一个角是的平行四边形叫做矩形。 2.矩形的性质 （1）矩形是特殊的平行四边形，所以具有平行四边形的一切性质 （2）矩形性质定理1：矩形的四个角都是。 （3）矩形性质定理2：矩形的对角线。 (如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO=BO=CO=DO= 2 1 AC= 2 1 BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．) 3.矩形的性质也可以从边、角、线及对称性来分析（如右图分析） 边： 角： 线： 对称性： 【例1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长． 【例2】已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．学习目标 1、掌握矩形的概念与性质，应用矩形的性质计算和证明。 2、理解矩形的判定定理，能够有理有据地推理证明及精准的书写表达．
知识点2：矩形的判定 1、（定义）矩形判定定理1：有一个角是直角的平行四边形式矩形。 2、矩形判定定理2：有三个角是的四边形是矩形。 3、矩形判定定理3：对角线的平行四边形是矩形。 【例3】已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数． 【例4】如图，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形 【例5】如图，在ABCD中，DE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证 （1）△ADE≌△CBF （2）四边形BFDE为矩形
矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日 【知识要点】 1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形． 2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 . 3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。 2.对角线 的平行四边形是矩形。 3.有三个角是 的四边形是矩形。 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 . 5.矩形的面积等于底乘以高. 6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形. 【例题精讲】 例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A ．对角相等 B ．对边相等 C ． 对角线相等 D ．对角线互相平分 例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、 AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ） A ．7cm B ．8cm C ．9cm D ．12cm 例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ． 例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与 点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形； （2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积； A C B D
【巩固练习】 一、选择题。 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（） A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD 2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB， EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（） A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE 3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判 定四边形ABCD为矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90° C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD 4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（） A．17 B．18 C．19 D．20 5．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm， 则这个矩形的一条较短边的长度为（） A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm 6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O， 过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（） A．B．C．1 D．1.5 7．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C 作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（） A．1 B．C．D． 8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个 动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（） A．10 B．4.8 C．6 D．5
6.2矩形的性质与判定 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 性质：（1）矩形具有平行四边形的一切性质. （2）四个角都是直角. （3）对角线相等. （4）是轴对称图形，有4条对称轴. 定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半. 判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 基础闯关 矩形的定义与性质 1.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（）。 A．对角相等 B. 对边相等 C．对角线相等 D. 对角线互相平分 2.矩形具有而菱形不具有的性质是（） A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 3.矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（） A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm 4.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（） A．对角线互相平分且相等 B．四个角相等 C．是轴对称图形 D．对角线互相垂直平分 5.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 . 6.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为，短边长为 . 7.已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。 8.如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF，求AE的长．
9.已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ． 求证：AD=2AB ． 10.如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B 、∠D ，使BC 、AD 恰好落在AC 上。设F 、H 分别是B 、D 落在AC 上的两点，E 、G 分别是折痕CE 、AG 与AB 、CD 的交点。 （1）求证：四边形AECG 是平行四边形； （2）若AB ＝4cm ，BC ＝3cm ，求线段EF 的长。 直角三角形斜边上的中线的性质 11. 如图，△ABC 中，∠C=900，D 是AB 边的中点，AC=3，BC=4，则CD= . （11题图） （12题图） （13题图） 12. 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，点M 是AD 的中点.若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为 . 13. 如图，BE ，CF 分别是△ABC 的高，点M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 . 14. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是AB 边上的中线，将△ADC 沿AC 边所在的直线翻折，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE.求证：EC//AB. 矩形的判定 15.判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线垂直 A B E C D
精心整理 矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对 称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA= 2 1 AC ） 二、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________． 练习 1：矩形ABCD 中, ,对角线AC 与BD 相交于点O,BC 的长为6,△OBC 的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，E 为垂足，∠DCE ∶∠ECB ＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线长是13cm ，那么矩形的周长是多少? 练习1：矩形ABCD 中, ,对角线AC 与BD 相交于点O,已知矩形ABCD 的面积是12cm 2 ，AB=4cm ，求矩形的对角线长。 例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ， 内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半． 点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 一、矩形的判定 【例1】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ） A ．对角线相等 B ．对角相等 C ．对角线互相平分 D ．对边相等 【例2】 如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒， 则DAE ∠= F E D C B A 矩形的性质 及判定
【例3】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【例4】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形． C D B A 【例5】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四 边形EFGH 是矩形． H G O F E D C B A 【例6】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =， 求证：四边形ABCD 是矩形． M C D B A 【例7】 设凸四边形ABCD 的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等．试判断这个 四边形是什么四边形?请证明你的结论。
矩形的性质和判定 一、根底知识 〔一〕矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 〔二〕矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900 ； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 〔三〕矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 〔四〕直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 〔如图：OB=OC=OA=2 1 AC 〕 二、例题讲解 考点一：矩形的根本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，假设EO=1，那么OD=______，AB=________，AD=________．
A E D C B O 练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?
练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。 例3：如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度． 练习1：如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．
矩形的性质和判定 【知识梳理】 1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2. 矩形的性质： 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： ①边的性质：对边平行且相等． ②角的性质：四个角都是直角． ③对角线性质：对角线互相平分且相等． ④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半． 这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 【诊断自测】 1．下列语句正确的是（） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．矩形的对角线相等 D．平行四边形是轴对称图形 2．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（） A．4 B．8 C．10 D．12 3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．
4．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=． 【考点突破】 类型一：矩形的性质 例1、如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB=6，AD=8，则四边形ABPE的周长为． 例2、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，点E为BC上一点，连接EO，并延长交AD于点F，则图中全等三角形共有对. A．3对B．4对C．5对D．6对