矩形的认识与属性
矩形是我们数学中常见的一个几何形状，它有着独特的属性和特点。在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及与其他图形的关系。
一、矩形的定义
矩形是一种四边形，具有以下几个基本特征：
1. 所有四条边都是直线段。
2. 所有内角都是直角（即90度）。
3. 对角线相等且相交于中点。
二、矩形的性质
矩形具有以下性质，可以从多个角度对其进行认识：
1. 对称性：矩形具有两条互相平行且相等的边。这种对称性使得矩
形在图形中具有特殊的地位，能够用于建筑物、设计和几何推导等领域。
2. 周长和面积：矩形的周长等于所有边长之和乘2，即P = 2 * (a +
b)；而面积等于矩形的长乘以宽，即A = a * b。这两个公式是矩形的基本计算方式。
3. 矩形的对角线：矩形的对角线相等，且相交于中点。这一性质可
以通过勾股定理来证明，即对角线长的平方等于长半边平方与宽半边
平方之和。
4. 相关角度关系：矩形中的四个内角均为直角（90度）。由此可以
推导出，任一内角与其相邻的内角之和为180度，并且相对的内角互补。
三、矩形与其他图形的关系
矩形与其他几何图形之间有着一些重要的联系和区别。
1. 平行四边形：矩形是一种特殊的平行四边形，其具备所有平行四
边形的性质，如对边平行、对边相等等。然而，矩形额外具有直角和
对角线相等的特点。
2. 方形：方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且都是直角。因此，方形是矩形的一种特殊情况。
3. 长方形：长方形也是一种矩形，它的长度和宽度不相等。可以说，长方形是矩形的一种一般情况。
总结：
矩形是一个常见而重要的几何形状，具有对称性、直角、对角线相
等等特点。矩形的周长、面积和对角线等属性在我们的日常生活以及
数学研究中扮演着重要的角色。同时，矩形与其他几何图形之间有一
些联系和区别，例如与平行四边形、方形和长方形的关系。通过对矩
形的认识和理解，我们可以进一步拓展数学的知识领域，应用于实际
问题的解决和几何推导的研究中。
矩形的性质和判定 矩形的性质和判定 定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。 性质： 1.矩形的四个角都是直角。 2.矩形的对角线相互平分且相等。 3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。 4.矩形的面积为长乘宽。 判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.有三个角是直角的四边形是矩形。 3.对角线相等的平行四边形是矩形。 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 矩形与平行四边形的区别与联系： 相同点：
1.两组对边分别平行。 2.两组对边分别相等。 3.两组对角分别相等。 4.对角线相互平分。 区别： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相互平分且相等。 例题精讲： 考点1：矩形的性质 例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。 例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证： △ABE≌△CDF。 例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定 例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。 例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别 是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN 交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。 变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。可 以证明四边形ADCE是矩形。 变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的 中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。(1) 可以证 明△ABE≌△FCE。(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
矩形、菱形的性质与判定 教学目的：1、知识目标：掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。掌握矩形的性质定理 2、能力目标：使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计 算题。 3、情感目标：进一步培养学生独立思考和分析问题的能力 教学重点：矩形的性质及其推论．矩形的判定 教学难点：矩形的本质属性及性质定理的综合应用．矩形的判定及性质的综合应用． 节前预习： 1：矩形的四个角都是． 2：矩形的对角线． 3：直角三角形等于斜边的一半． 4：的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形． 5：的四边形是矩形． 教学过程 一．复习提问：1.什么叫平行四边形？它和四边形有什么区别？ 二、引入新课：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四 边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形 来说，也有特殊情况即特殊的平行四边形，堂课我们就来研究一种特 殊的平行四边形——矩形． 讲解新课：制一个活动的平行四边形教具，堂上进行演示图，使学生注 意观察四边形角的变化，当变到一个角是直角时，指出这时平行四边形 是矩形，使学生明确矩形是特殊的平行四边形（特殊之处就在于一个角 是直角，深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别）． 矩形的性质：既然矩形是一种特殊的平行四边形，就应具有平行四 边形性质，同时矩形又是特殊的平行四边形，比平行四边形多了一个角 是直角的条件，因而它就增加了一些特殊性质． （1）、矩形性质 1：矩形的四个角都是直角． 2：矩形对角线相等． （2）、矩形的判定． 矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩 形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直 角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义 备注 由平行四边形到矩 形，便于学生理解 图形。 设问：如何用理论 推理的方法来证明 矩形的对角线相等 呢？（让学生思考 并提问回答，再让
第四中学集体备课教案 主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学 课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日 教 学 目 标 知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。掌握矩形的性质定理。 过程与方法 能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质 进行简单的计算和证明。 情感态度与价 值观 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。 教学重点矩形的性质及其推论． 教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用． 教具准备教具（一个活动的平行四边形）， 教学过程设计个性修改四、教学过程及设计： （一）矩形的定义 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架 等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 平行四边形的性质： ①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边 形的对角线互相平分. 2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还 是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图） 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)． （二）矩形的性质 1.一般性质：具备平行四边形所有的性质 2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点 上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状． ①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？ ②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它 的两条对角线的 长度有什么关 系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质． 猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略） 猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略） 练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？ BD=? OC=? 解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB2 +BC2 =AC2 解得：AC=10 又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5 （四）例题探究 例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？ 解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB ∵∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形 ∴ OA=AB=4(㎝) ∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结： 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 作业 1． P53 练习第2题 2． P60 习题18.2 第4题。 板 书 设 计 教 学 反 思
矩形的认识与属性 矩形是我们数学中常见的一个几何形状，它有着独特的属性和特点。在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质以及与其他图形的关系。 一、矩形的定义 矩形是一种四边形，具有以下几个基本特征： 1. 所有四条边都是直线段。 2. 所有内角都是直角（即90度）。 3. 对角线相等且相交于中点。 二、矩形的性质 矩形具有以下性质，可以从多个角度对其进行认识： 1. 对称性：矩形具有两条互相平行且相等的边。这种对称性使得矩 形在图形中具有特殊的地位，能够用于建筑物、设计和几何推导等领域。 2. 周长和面积：矩形的周长等于所有边长之和乘2，即P = 2 * (a + b)；而面积等于矩形的长乘以宽，即A = a * b。这两个公式是矩形的基本计算方式。 3. 矩形的对角线：矩形的对角线相等，且相交于中点。这一性质可 以通过勾股定理来证明，即对角线长的平方等于长半边平方与宽半边 平方之和。
4. 相关角度关系：矩形中的四个内角均为直角（90度）。由此可以 推导出，任一内角与其相邻的内角之和为180度，并且相对的内角互补。 三、矩形与其他图形的关系 矩形与其他几何图形之间有着一些重要的联系和区别。 1. 平行四边形：矩形是一种特殊的平行四边形，其具备所有平行四 边形的性质，如对边平行、对边相等等。然而，矩形额外具有直角和 对角线相等的特点。 2. 方形：方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等且都是直角。因此，方形是矩形的一种特殊情况。 3. 长方形：长方形也是一种矩形，它的长度和宽度不相等。可以说，长方形是矩形的一种一般情况。 总结： 矩形是一个常见而重要的几何形状，具有对称性、直角、对角线相 等等特点。矩形的周长、面积和对角线等属性在我们的日常生活以及 数学研究中扮演着重要的角色。同时，矩形与其他几何图形之间有一 些联系和区别，例如与平行四边形、方形和长方形的关系。通过对矩 形的认识和理解，我们可以进一步拓展数学的知识领域，应用于实际 问题的解决和几何推导的研究中。
《矩形的性质》教学设计
对角线：对角线互相平分 对称性：中心对称图形 2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。 活动：（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果； （2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？ （3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？ 结论：矩形性质1：矩形的四个角都是直角； 矩形性质2：矩形的对角线相等． 活动：请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。 ①矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？ ②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条? 结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 3.请你总结一下矩形有哪些性质？ 归纳概括矩形的性质： 从边来说，矩形的对边平行且相等； 从角来说，矩形的四个角都是直角； 从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分； 从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 4.问题：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( C ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分形的特性，还可提醒学生，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”，学生通过动手测量,动脑思考,动口讨论,自主发现矩形的性质。 学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。 第三环节：层层递进，推理论证 提问：怎样证明你的猜想？ 已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路，写出证明过程后互相订正交流。 该环节重在训练学生规范写出推理过程。
矩形的性质和判定 一、基础知识 （一）矩形的定义 有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。 （二）矩形的性质： 1.矩形具有平行四边形的一切性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是900 ； 4.矩形是轴对称图形； 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称 （三）矩形的判定： 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形； 2.对角线相等的平行四边形是矩形； 3.有三个角是直角的四边形是矩形； 4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 （四）直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 （如图：OB=OC=OA=2 1 AC ） 二、例题讲解 考点一：矩形的基本性质 例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________． A E D C B O
练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度. 练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD. 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少? 练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
矩形的基本认识与绘制 矩形是数学和几何学中的基本形状之一，它具有许多重要的特性和 应用。本文将介绍矩形的定义、性质以及如何绘制矩形。 一、矩形的定义 矩形是一个由四条边和四个顶点组成的四边形。它的四条边两两平行，相邻两条边长度相等，且四个顶点两两相连的线段也相等。因为 四条边都是直线段，所以矩形的内角都是直角。 二、矩形的性质 1. 边长性质：矩形的相邻两条边长度相等。 2. 对角线性质：矩形的对角线相等且互相平分，即两条对角线的中 点重合，并且每条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形。 3. 内角性质：矩形的每个内角都是直角（90度角）。 4. 对边平行性质：矩形的两对相对边互相平行。 5. 对边垂直性质：矩形的两对相对边互相垂直。 三、矩形的绘制 在绘制矩形时，需要确定矩形的位置和大小，以及绘制各个边和角。下面是一些常用的方法：
1. 使用直尺和铅笔绘制：首先使用直尺确定两条平行的边，再确定另外两条边的位置，最后使用直尺连接每个角的对边，形成完整的矩形。确保边与角的连接线条直线平滑。 2. 使用绘图工具：数学绘图工具包括直尺、圆规等，在绘图时可以使用这些工具来帮助画出精确的矩形。如使用圆规来确定矩形的角和圆弧。 3. 使用计算机绘图软件：现代科技的发展使得计算机绘图软件成为一种绘制矩形的常用方法。利用计算机绘图软件，可以更加方便、快捷地绘制各种形状的矩形。 四、矩形的应用 矩形在日常生活和工作中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景： 1. 建筑设计：矩形是建筑物中常见的形状，如房屋的窗户、门、屋顶等都可以使用矩形来设计。 2. 艺术设计：矩形在平面设计中有着广泛的应用，它可以作为界面元素、插画形状等。 3. 数学学科：矩形是数学学科中的基本形状，它在数学计算、几何证明等方面有着重要的应用。 4. 工程测量：矩形的性质使得它在工程测量中有着广泛的应用，如用于建筑工地的测量、土地面积的测算等。
【典例精析】 例题1如图, 在△ABC 中, AB ＝6, AC ＝8, BC ＝10, P 为边BC 上一动点（且点P 不与点B 、C 重合）, PE ⊥AB 于点E, PF ⊥AC 于点F, M 为EF 中点.设AM 的长为x , 试求x 的最小值. 思路导航：根据勾股定理的逆定理求出△ABC 是直角三角形, 得出四边形AEPF 是矩形, 所以AM ＝12EF ＝12 AP, 在Rt △ABC 中利用AP 求出x 的最小值. 谜底：解：连接AP, ∵AB ＝6, AC ＝8, BC ＝10, ∴AB 2＋AC 2＝36＋64＝100, BC 2＝100, ∴AB 2＋AC 2＝BC 2, ∴∠BAC ＝90°, ∵ PE ⊥AB, PF ⊥AC, ∴∠AEP ＝∠AFP ＝∠BAC ＝90°, ∴四边形AEPF 是矩形, ∴AP ＝EF, ∵∠BAC ＝90°, M 为EF 中点, ∴AM ＝12 EF ＝12AP, 当AP ⊥BC 时, AP 值最小, 此时S △BAC ＝12×6×8＝12×10×AP, AP ＝4.8, 即x 的最小值为. 点评：本题考查了垂线段最短, 三角形面积, 勾股定理的逆定理, 矩形的判定等的应用, 关键是求出AP 的最小值和得出AM 与AP 的数量关系. 例题2 请看下面小明同学完成的一道证明题的思路： 如图1, 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 垂足是D, P 是BC 边上任意一点, PE ⊥AB, PF ⊥AC, 垂足分别是E 、F.求证：PE ＋PF ＝CD. 证明思路：如图2, 过点P 作PG ∥AB 交CD 于点G, 则四边形PGDE 为矩形, PE ＝GD ；又可证△PGC ≌△CFP, 则PF ＝CG ；所以PE ＋PF ＝DG ＋GC ＝DC. 如图3, 若P 是BC 延长线上任意一点, 其他条件不变, 则PE 、PF 与CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程. 思路导航：采纳与题目相同的思路, 过点C 作CG ⊥PE, 利用矩形的性质和全等三角形的性质确定PE 、PF 、CD 之间的关系.
矩形的性质和判定 1.定义： 有一个角是直角的叫做矩形（通常也叫长方形）。2.性质： 矩形的特有性质： （1）矩形的四个角都是；（2）矩形的对角线。 规律总结： 矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）
（1）对边平行且相等； （2）每个角都是直角； （3）对角线相等且互相平分。 矩形是轴对称图形，它有对称轴。 3.判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 （2）有三个角都是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等的平行四边形是矩形。 (也可以表述成“对角线互相平分且的四边形是矩形”)。
4、直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．逆定理：如果一个三角形的一条边上的中线等于它的一半，那么这个三角形是直角三角形， 且这条边所对的角为直角。（会证明吗？） 例：如图,在△ABC中，∠C=90°，D是AB边的中点，AC=3，BC=4，则CD=__________. 在直角三角形中还有一个涉及“一半”的定理是： 例1．已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所成锐角的度数为（）
A．50° B．60° C．70° D．80° 例2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )． A.3.6cm B.7.2cm C.1.8cm D.14.4cm 例3．如图,矩形ABCD中，M是CD的中点. 求证：（1）△ADM≌△BCM；（2）∠MAB=∠MBA. 例4．四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判别它是矩形的是（） A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°
判断矩形和正方形 矩形和正方形是我们常见的几何图形，它们在数学和几何学中有着 重要的地位。对于很多人来说，矩形和正方形可能很容易混淆，因为 它们的形状非常相似。但实际上，通过一些特定的属性可以很容易地 判断一个图形是矩形还是正方形。 一、概念介绍 矩形和正方形都属于四边形的一种，四边形是具有四条直线边和四 个顶点的图形。具体来说，矩形是一种具有四个直角的四边形，四条 边分别相互平行，且相邻两边长度相等；而正方形则是一种特殊的矩形，它不仅满足上述条件，而且它的四条边长度都相等。 二、判断矩形的方法 在几何学中，我们可以通过对矩形的属性进行判断来确定一个图形 是否为矩形。以下是判断矩形的两个基本方法： 1. 角度判断法 矩形的最基本特征是具有四个直角，即四个内角都是90度。因此，如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它就是一个矩形。 2. 边长判断法 另一个判断矩形的方法是通过四边的长度关系来确定。在矩形中， 相对的两条边长度相等，即对边平行且相等。因此，如果一个四边形 的对边都相等且平行，那么它也是一个矩形。
三、判断正方形的方法 正方形是矩形的一种特殊情况，具有矩形的所有特性，并且它的四条边长度都相等。对于判断一个图形是否为正方形，我们只需要判断它是否同时满足矩形的两个判断方法： 1. 角度判断法 正方形的四个内角都是直角，因此，如果一个四边形的四个内角都是直角，那么它有可能是一个正方形。但需要进一步判断它是否同时满足边长判断法。 2. 边长判断法 正方形的四条边长度都相等，对边平行且相等。因此，如果一个四边形的对边都相等且平行，那么它有可能是一个正方形。但需要进一步判断它是否同时满足角度判断法。 如果一个四边形同时满足矩形的角度判断法和边长判断法，那么它就是一个正方形。 四、举例说明 为了更好地理解和应用上述方法，我们来看几个例子： 例一： 给定一个四边形，四个内角都是直角，且两对相对边都相等，那么这个四边形既满足矩形的角度判断法，也满足矩形的边长判断法，因
矩形的性质 教学目标 1．掌握矩形的概念和性质； 2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 教学重难点 1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；(重点) 2．会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．(难点) 教学过程 一、情境导入 1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么(动画演示拉动过程如图)? 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形． 有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质． 二、合作探究 探究点一：矩形的性质 【类型一】矩形的四个角都是直角如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为( ) A．15 B．30 C．45 D．60 解析：如图，过E作EF⊥AC，垂足为F. ∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，BE⊥AB，∴EF ＝BE＝4， ∴S△AEC＝AC·EF＝×15×4＝30.故选B. 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件． 【类型二】矩形的对角线相等如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是( ) A．2 B．4 C．23 D．43 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD2为等边三角形，即可求出AC的长．故选B.
2.5 矩形 2．5.1 矩形的性质 基础题 知识点1 矩形的定义 1．四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：答案不唯一，如∠A＝90°，可使它成为矩形． 2．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB＝CD，EF＝GH； (2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是平行四边形，根据数学道理是两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是矩形，根据的数学道理是有一个角是直角的平行四边形是矩形．知识点2矩形的性质 3．(重庆中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120° 4．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD 5．(邵阳中考)如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是(A) A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC 6．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AD的长为(D) A．2 3 B．4 C．4 2 D．4 3
7．矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴． 8．(桂林中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是4个． 9．(遵义中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则△AEF 的周长为9cm. 10．(岳阳中考)已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF ，求证：BF ＝CD. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∵EF ⊥DF ， ∴∠EFD ＝90°. ∴∠EFB ＋∠CFD ＝90°. ∵∠EFB ＋∠BEF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CFD. 在△BEF 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪ ⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ， ∠B ＝∠C ， ∴△BEF ≌△CFD(ASA)． ∴BF ＝CD. 中档题 11．(呼和浩特中考)已知矩形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交两边AD ，BC 于点E ，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE 与△ABF 判断完全正确的一项为(B) A ．△CDE 与△ABF 的周长都等于10 cm ，但面积不一定相等 B ．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为10 cm C ．△CDE 与△ABF 全等，且周长都为5 cm D ．△CD E 与△AB F 全等，但它们的周长和面积都不能确定 12．(黔东南中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为(D) A ．6 B ．12 C ．2 5 D ．4 5