南京工程学院(10/11)高等数学AII 试卷
(A)
一、单项选择题 (本大题共5小题, 每题3分, 共15分)
1. 已知两点M 12M 2 (1, 3, 0), 则向量12M M
与x , y , z 轴三个方向余弦依次为
( )
A -1/2, -1/2, 2；
B -1/2, 1/2, 2；
C 1/2, -1/2, 2；
D 1/2, -1/2, 2．
2. 设f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 处的偏导数存在, 则00000(2,)(,)
lim h f x h y f x h y h
→+--= ( )
A f x (x 0, y 0)；
B 2 f x (x 0, y 0)；
C 2 f y (x 0, y 0)；
D 3 f x (x 0, y 0) . 3. 设f (x , y ) 在D : x 2 + (y -2)2 ≤ 4上连续, 则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 ( )
A.4sin 0
0d (cos ,sin )d f r r r r πθ
θθθ??
; B.
24sin 00d (cos ,sin )d f r r r r π
θ
θθθ??
; C.4cos 0
d (cos ,sin )d f r r r r π
θ
θθθ??
; D. 24cos 0
d (cos ,sin )d f r r r r π
θ
θθθ??
.
4. 级数1
1
sin
n n n
∞=∑的敛散性是
( )
A 绝对收敛； B. 条件收敛； C 发散；
D 无法判断．
5. 设∑是锥面22z x y +x 2 + y 2 = 2所割下的有限部分, 则2()xy yz z dS ∑
++=??
( )
A. 2 ; 2 ; 2 ; 2.
二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 共21分)
1. 两平面x -ky +2z -6 = 0与2 x +y +4z -6 = 0相互垂直，则k = .
2. 已知曲面x = y 2 + z 2, 则在点 (2,-1, 1) 处的法线方程为 .
3. 已知方程x 2 + y 2 + z 2 -4 = 0，则z
y ?=? . 4. 幂级数21(1)5
n n
n n x ∞
=-∑的收敛半径R = .
5. 设 Γ 为曲线x = t , y = t 2 , z = t 3从点A (0, 0, 0)到B (1, 1, 1)的一段弧，则d d y x z y Γ
-=? __________ .
6. 设 Ω 是由 |x | = 1, |y | = 1/2, |z | = 1/3所围的闭区域，则(1)d d d x x y z Ω
+???= .
7. 设函数,01
()1,1x x f x x π
≤
=∑的和函数为s (x ), 则 ()2s π
-= ______________.
三、解答题 (本大题共5小题, 每小题8分, 共40分)
1. 设(,)y
z f x x =，求d z 和2z x y ???.
2. 求过点M (1, 2, 1)且与直线L 1: 20
0x y z x y z -+=??-+=?
和L 2:
210
10x y z x y z +-+=??
-+-=?
平行的平面方程. 3. 确定常数A , 使得sin()d d 1D
A x y x y +=??，其中D 是由直线y = x , y = 2x , x = π/2所围的闭区域.
4. 将函数()2x x
e e
f x --=展开成x 的幂级数，并求11(21)!
n n ∞
=+∑的值.
5. 计算2222(2)d (2)d L
x xy y x x xy y y +-+--?，其中L 是由点O 沿曲线y=sin x 到点A (π, 0)的弧段.
四、综合应用题(本大题共3小题, 满分24分)
1. (8分) 求二元函数2249z x y =++在区域224x y +≤上的最大值、最小值.
2. (10分) 计算2d d d d d d I y y z x z x z x y ∑
=-+??, 其中∑为锥面22z x y +z = 1, 2z =所截部分的外侧.
3. (6分) 设正项级数1
n n u ∞
=∑收敛, 证明级数11n
n n
u u ∞
=+∑
收敛.
A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
（会计学）专业培养方案 专业代码：110203学科二级类：工商管理类授予学位：管理学学士 一、有关说明 （一）业务培养目标 本专业培养具有较为深厚的管理学、经济学等相关学科的理论基础，具备良好的职业意识和扎实的会计学专业基础知识和专业能力，能在企业、事业及政府部门从事会计工作的高素质应用型高级专门人才。 （二）基本规格和要求 本专业学生主要学习会计、审计、管理学、法律、计算机等方面的基本理论和基本知识，受到会计方法和技能方面的基本训练，着重培养学生的会计实际工作能力和分析解决会计问题的基本能力。 毕业生应获得以下几方面的知识和能力：其一，掌握管理学、经济学和会计学的基本理论、基本知识；其二，掌握会计学的定性、定量分析方法和计算机的基本知识，具有较强的信息技术能力；其三，具有较强的语言与文字表达、人际沟通、信息获取能力及分析和解决会计问题的基本能力；其四，熟悉国内外与会计相关的方针、政策、法规及国际会计惯例；其五，了解本学科的理论前沿和发展动态；其六，掌握文献检索、资料查询的基本方法，具有一定的科学研究能力和实际工作能力。 （三）主干学科 管理学、经济学。 （四）主要课程 管理学、微观经济学、宏观经济学、统计学、会计学基础、管理信息系统、中级财务会计、高级财务会计、财务管理、管理会计、成本会计、审计学、会计信息化、市场营销学、经济法等。 （五）主要实践环节 军训、课程实习、专业实习、毕业实习、毕业论文等，共计27周。 （六）专业特色 本专业注重对学生专业理论知识、技能和综合应用能力的培养，强调专业知识的系统性与实际工作能力的训练，要求学生通晓国内外会计准则、经济法规和税收法规制度，熟练运用各种会计软件，具备分析和解决企业、公司财务会计实际问题的初步能力，具有良好的职业适应能力和专业拓展能力。
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
2019上海理工大学动力工程考研经验分享 时不时在梦境中还会因为考研试卷而惊醒，醒来却格外的安心，毕竟上岸了，毕竟所有的付出都是值得的…… 高考的失利让我选择了复读，复读的失利让我来到了唐山学院，当所有人都在讨论自己同学复读提升了一两百分的时候，我这个复读后降低二十分的奇闻逸事成了酒后必拿来吹牛x的段子。 浑浑噩噩的大学生活就这样开始了，恋爱，打游戏，游山玩水，放纵的享受着难得的自由，挂了三门课，但也过了四六级，计算机二级，在大四也光荣的加入了党组织（因挂科延期两年）。 回归正题，起初并没有考研的打算，但是面对高中同学各种出国留学与保送，心中那份不甘又在不断膨胀，似乎很久没有什么能证明自己的东西，似乎我的学生生涯就要在这所排名640的高校中画上句号！最终决定考研，而且在决定之初就已经下定必须上岸的决心。在大三上学期报了视频课，但因为各种职务的原因，基本划水而过，真正开始复习大该是大三下学期四月份（三月又参加了学院杯足球赛）。 一、院校选择 首先我想谈一谈选学校的问题，似乎网上充斥着各种本三本二冲击985并顺利上岸的例子，我相信这些是真的，但是我还是仔细审视了一下自己的状况：挂了三科，绩点2.7，本科院校排名600+，专业课基本划水，数学一塌糊涂（毕竟高考第一次99分，第二次90分）。所以我一开始定了四所高校：太原理工，河北工业，上海理工，北京建筑。但是我极其向往大都市的生活，所以很喜欢上海和北京。 参照前一年的招生简章，我发现上海理工的动力工程专业招收人数很多，达到130人，而且复试线连续三年国家线，每年报考人数在300人左右（2019年报考人数436人，历史新高）。所以心中基本上选择了上海理工大学动力工程专硕。而且上海理工大学的动力工程专业属于王牌专业，全国排名前15，远超部分名校。当时也琢磨着上海理工不是985，211应该压力小一点……如果自己选择不好，可以直接添加微信xxxedu520咨询新祥旭徐老师，他刚好负责工科考研，对学校这一块比较了解。 二、初试 在选择院校的同时，我也在紧张的复习备考。 数学方面：数学可以说是我的头号难题，上文中也提到过高考时的惨痛教训，所以在四月至九月所有大块的时间都交给了数学，四月到六月，两个多月的时间看完了高数以及现代课本并做了一遍课后习题。进入暑假后，一边看视频一边做李永乐的660题和配套练习册，在这期间进度极慢，经常是一上午或下午只能做三至四题（暑假期间，我把每天的上午和下午都交给了数学），这样的进度让我十分恐慌，但是我还是坚持了下来，告诉自己要弄懂每
南京工程学院(10/11)高等数学AII 试卷 (A) 一、单项选择题 (本大题共5小题, 每题3分, 共15分) 1. 已知两点M 12M 2 (1, 3, 0), 则向量12M M 与x , y , z 轴三个方向余弦依次为 ( ) A -1/2, -1/2, 2； B -1/2, 1/2, 2； C 1/2, -1/2, 2； D 1/2, -1/2, 2． 2. 设f (x , y ) 在点 (x 0, y 0) 处的偏导数存在, 则00000(2,)(,) lim h f x h y f x h y h →+--= ( ) A f x (x 0, y 0)； B 2 f x (x 0, y 0)； C 2 f y (x 0, y 0)； D 3 f x (x 0, y 0) . 3. 设f (x , y ) 在D : x 2 + (y -2)2 ≤ 4上连续, 则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 ( ) A.4sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r r πθ θθθ?? ; B. 24sin 00d (cos ,sin )d f r r r r π θ θθθ?? ; C.4cos 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θ θθθ?? ; D. 24cos 0 d (cos ,sin )d f r r r r π θ θθθ?? . 4. 级数1 1 sin n n n ∞=∑的敛散性是 ( ) A 绝对收敛； B. 条件收敛； C 发散； D 无法判断． 5. 设∑是锥面22z x y +x 2 + y 2 = 2所割下的有限部分, 则2()xy yz z dS ∑ ++=?? ( ) A. 2 ; 2 ; 2 ; 2. 二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 共21分) 1. 两平面x -ky +2z -6 = 0与2 x +y +4z -6 = 0相互垂直，则k = . 2. 已知曲面x = y 2 + z 2, 则在点 (2,-1, 1) 处的法线方程为 . 3. 已知方程x 2 + y 2 + z 2 -4 = 0，则z y ?=? . 4. 幂级数21(1)5 n n n n x ∞ =-∑的收敛半径R = . 5. 设 Γ 为曲线x = t , y = t 2 , z = t 3从点A (0, 0, 0)到B (1, 1, 1)的一段弧，则d d y x z y Γ -=? __________ . 6. 设 Ω 是由 |x | = 1, |y | = 1/2, |z | = 1/3所围的闭区域，则(1)d d d x x y z Ω +???= . 7. 设函数,01 ()1,1x x f x x π ≤
2009上海理工大学专升本入学考试《高等数学》试题 考生类别（文、理） 一、选择题（每题3分，共15分）1.=?? ? ??-++∞→x x x x 121lim ____C_____。A.0 B.∞+ C.不存在 D.21 e 2.两个无穷大的和一定是___D____。 A.无穷大量 B.常数 C.没有极限 D.上述都不对3.在抛物线2x y =上过____D_______点的切线与抛物线上横坐标为11=x 和32=x 的两 点连线平行。 A.)1,1( B.)9,3( C.)0,0( D.) 4,2(4.在下列函数中，在]1,1[-上满足罗尔定理条件的是____C______。 A.x e B.||ln x C.21x - D.2 11 x -5.0=x 是x x x f 1sin )(=的_____A ____。A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D.震荡间断点二、填空题（每空3分，共15分） 1.=-?2 0|1|dx x ___1____2.)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的____充分_____条件。 3.方程x y y x y x y x sin 24 32=''+'+'''是_____三_____阶微分方程。4.平行于向量}6,7,6{=m 的单位向量是_??????116,117,116和? ?????---116,117,116________。
5.若直线b x y +=是抛物线2x y =在某点处的法线，则=b _____4 3______。三、计算题（每题6分，共36分）1.x dt t x x cos 1)1ln(lim 200-+?→原式=422lim )21ln(2lim 00=?=+→→x x x x 2.设2ln 93 arcsin 2+-+=x x x y ，求dy dx x x x x x dy ????????????? ?--??? ??-+=2293113arcsin 3.设)sin ,(22y e y x xf u x +=，且),(v u f 有二阶连续偏导数，求y u 和xy u [] )cos (221y e f y f x y u x +?=??++=???=???2122cos 2yf e yf x y u y x u x [])sin 2(cos cos sin 222222121211y e f x f y e yf e y e yf x yf x x x x x ?+?++?+?化简略。 4.设y x e y x -=+2)(，求 dx dy 设y x e y x y x F --+=2)(),(y x y x y x e y x e y x F F dx dy --++-+-=-=)(2)(25.?+xdx x x ln 1原式=()C x x x x x xd dx x x xdx x ++-=+-=??? ??+???2ln 2 1ln ln ln ln ln 11
高等数学A2 课程教学大纲 课程编号：10009B6 学时：90 学分：5 适用对象：理学类、工科类本科专业 先修课程：高等数学A1 考核要求：闭卷考试，总成绩=平时成绩20%+期末成绩80% 使用教材及主要参考书： 同济大学数学系主编，《高等数学》（下册），高等教育出版社，2002 年, 第五版 黄立宏主编，《高等数学》（上下册），复旦大学出版社，2006 年陈兰祥主编，《高等数学典型题精解》，学苑出版社，2001 年陈文灯主编，《考研数学复习指南（理工类）》，世界图书版公司2006年李远东、刘庆珍编，《高等数学的基本理论与方法》，重庆大学出版社，1995年 钱吉林主编，《高等数学辞典》，华中师范大学出版社，1999 年一、课程的性质和任务 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，为学习后继课程（如大学物理等）奠定必要的基础，是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。二、教学目的与要求 通过本课程的学习，使学生获得向量代数和空间解析几何、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数（包括傅立叶级数）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问 题的能力。 三、学时分配
第八章多元函数微分法及其应用18 第九章重积分16 第十章曲线积分与曲面积分16 第十一章无穷级数18 总复习 6 四、教学中应注意的问题 1. 考虑学生的差异性，注意因材施教； 2. 考虑数学学科的抽象性，注意数形结合； 3. 考虑数学与现实生活的关系，注意在教学中多讲身边的数学, 使学生树立“学数学是为了用数学”的观点，培养学生“用数学”的好习惯。 五、教学内容 第七章：空间解析几何与向量代数 1 ?基本内容： 向量及其线性运算，数量积，向量积，曲面及其方程，空间曲线及其方程，平面及其方程，空间直线及其方程。 2 ?教学基本要求： (1)理解空间直角坐标系、理解向量的概念及其表示； (2)掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法、)了解两个向量垂直、平行的条件； (3)掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法； (4)平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 (5)理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； (6)了解空间曲线的参数方程和一般方程； (7)了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 3 ?教学重点与难点: 教学重点：向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法），两个向量垂直、平行的条件，向量方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算，平面的方程和直线的方程及其求法，曲面方程的
A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=
（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-
2020上海理工大学动力工程考研经验分享 时不时在梦境中还会因为考研试卷而惊醒，醒来却格外的安心，毕竟上岸了，毕竟所有的付出都是值得的…… 高考的失利让我选择了复读，复读的失利让我来到了唐山学院，当所有人都在讨论自己同学复读提升了一两百分的时候，我这个复读后降低二十分的奇闻逸事成了酒后必拿来吹牛x的段子。 浑浑噩噩的大学生活就这样开始了，恋爱，打游戏，游山玩水，放纵的享受着难得的自由，挂了三门课，但也过了四六级，计算机二级，在大四也光荣的加入了党组织（因挂科延期两年）。 回归正题，起初并没有考研的打算，但是面对高中同学各种出国留学与保送，心中那份不甘又在不断膨胀，似乎很久没有什么能证明自己的东西，似乎我的学生生涯就要在这所排名640的高校中画上句号！最终决定考研，而且在决定之初就已经下定必须上岸的决心。在大三上学期报了视频课，但因为各种职务的原因，基本划水而过，真正开始复习大该是大三下学期四月份（三月又参加了学院杯足球赛）。高分辅导丽丽老师V信：要三三刘刘刘散散就零三 一、院校选择 首先我想谈一谈选学校的问题，似乎网上充斥着各种本三本二冲击985并顺利上岸的例子，我相信这些是真的，但是我还是仔细审视了一下自己的状况：挂了三科，绩点2.7，本科院校排名600+，专业课基本划水，数学一塌糊涂（毕竟高考第一次99分，第二次90分）。所以我一开始定了四所高校：太原理工，河北工业，上海理工，北京建筑。但是我极其向往大都市的生活，所以很喜欢上海和北京。 参照前一年的招生简章，我发现上海理工的动力工程专业招收人数很多，达到130人，而且复试线连续三年国家线，每年报考人数在300人左右（2019年报考人数436人，历史新高）。所以心中基本上选择了上海理工大学动力工程专硕。而且上海理工大学的动力工程专业属于王牌专业，全国排名前15，远超部分名校。当时也琢磨着上海理工不是985，211应该压力小一点。 二、初试 在选择院校的同时，我也在紧张的复习备考。 数学方面：数学可以说是我的头号难题，上文中也提到过高考时的惨痛教训，所以在四月至九月所有大块的时间都交给了数学，四月到六月，两个多月的时间看完了高数以及现代课本并做了一遍课后习题。进入暑假后，一边看视频一边做李永乐的660题和配套练习册，在这期间进度极慢，经常是一上午或下午只能做三至四题（暑假期间，我把每天的上午和下午都交给了数学），这样的进度让我十分恐慌，但是我还是坚持了下来，告诉自己要弄懂每
高等数学习题解答 习题一 一.单项选择题 1、A 2、D ３、Ｃ 二.填空题 1、 2、(－9,1) 三.计算题 1、(１)解 函数要有意义,必须满足 即 定义域为 (２)解 函数要有意义,必须满足 解得或 3。(1)解 由 得 交换、ｙ得反函数为 (２)解 由 得 交换、y 得反函数为 ４。(1)解 只有ｔ=０时,能;t 取其它值时,因为 ,无定义 (２)解 不能,因为,此时无意义 5.解(１)12arccos 2 -====x w w v v u e y u (2) 令 则 x w e m m x v v u e y w u 2) sin(3 2==+=== 6、解 7。解 设 所以 解得 习题二 一。单项选择题 1、Ａ ２、Ｂ 3、Ｄ 二、填空题 1、〉1 2、单调增加 三.计算题 1、(1)解 因为 所以函数就是偶函数 (2)解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222 x f x x x x x x x f -=-+-=-+=++=- 所以函数就是奇函数 (３)解 所以函数就是奇函数 2、解 因为 而得周期为,所以就是周期函数,周期为 3.解 由 得 表面积: )0(919221226224222 222≥++=++=+?+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ 四 证明 习题三 一.单项选择题 1、C 2、C 3、B ４、C 二。填空题
1、１ 2、a ３、 4、２,0 ５、１ 三。判断正误 1、对; ２、对; 3、错 四.(1) 证明 令 只要,取 当时,恒有 所以 (2)证明 因为,对取定得,存在M 〉0,当x 〉M 时,有 故当x 〉M 时, 习题四 一、单项选择题 1、B 2、B 3、B 4、D 二。填空题 1、 2、0,6 3、 4、2,—2 三。判断正误 1、错; ２、错; ３、错; 四、计算题 1、原式＝ 2、原式＝ 3、原式= 4、原式＝ 5、原式＝ 6、、原式= ７、因为 所以 习题五 一、1.B, 2.A, ３。 B 二、1。 2.0 三、1、 (1) (２) (3) (４)0 0sin 1 lim lim sin 1()x x x x x x + + →→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2. (1)2222222 2222 lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n ?+→∞→∞→∞=+=++==原式 (２) (3)223 22 (3) 33 3 2 23 3lim(1)lim(1)2 2x x x x e x x -++-?-- -→∞ →∞??- =-=??++??? ? 原式＝ (４)(中间思维过程同前)
A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在
北京林业大学2014--2015学年第一学期模拟试卷（A ） 试卷名称： 高等数学上（理工类) 课程所在院系： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明： 1. 本次考试为 闭 卷考试。本试卷共计4页，共8大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 本试卷所有试题答案直接写在试卷上；（特殊要求请详细说明） 5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外交回，不得带出考场； 考试中心提示：请你遵守考场纪律，参与公平竞争！ 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知 2211 ()6f x x x x +=++，则()f x =24x +. 2． =++→x x x 2 )]1ln(1[lim ____e 2________。 3．设2 3sin ,0()(1),0 x a x x f x x x +≤?? =??+>?在0x =处连续,则a =2e . 4．设函数2 20 ()ln(3)x f x t dt = +? ，则()f x '= 2x ln(3+x 4) 。 5、函数32)3()12()(+-=x x x x f ，则=)()6(x f 2880 。 6．21cos 1cos 2x dx x ++? =1(tan )2 x x c ++. 7．2 52 2 sin ||2x x dx x -+=+? ln3 。 8．)(x f 为连续函数，且)(x f 为奇函数，则[]2 22 ()1 f x x dx -+? = 163 ． 9．已知2arcsin )(),2323( x x f x x f y ='+-=，则==0 x dx dy 32 π 。
高等数学下模拟试卷一 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 微分方程 x y dy e dx +=的通解是（ ） A 、y x e e C -+= B 、y x e e C -+= C 、y x e e C --= D 、y x e e C --= 2. 函数2u xy z =在点(1,1,2)处沿l =（ A ）的方向导数最大 A. (2,4,1) B. (4,2,1) C. (2,4,1)- D. (2,4,1)- 3. z x y z e ++=，则 z z x y ??-=??（ C ） A. 2 B. 1- C. 0 D. 2 4. 原点到平面326140x y z -++=的距离d = ( D ) A. 14 B. C. 7 D. 2 5. 曲线212x y z y ?-+=?=? 在xoz 面上的投影曲线为( A ) A. 直线 B. 抛物线 C. 圆 D. 点 6. 若级数 1 n n u ∞ =∑收敛(0,1,2,)n u n ≠=，则级数11 n n u ∞ =∑ （ B ） A 、收敛 B 、发散 C 、收敛且 1 1 1 1 n n n n u u ∞ ∞ === ∑∑ D 、可能收敛可能发散 7. L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分 L xdy ?为（ C ） A 、1/2 B 、3/2 C 、2/3 D 、1 8. D 为环形域：()() 2 222222 1214,,,D D x y I x y d I x y d σσ≤+≤=+=+????，则（ D ） A ．11/2I < B ．21I < C ．12I I > D. 12I I < 9. 设∑是平面4x y z ++=被柱面221x y +=截出的有限部分，则yds ∑ =??（ B ） A 、π B 、0 C 、
A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=
上海理工大学插班生《高等数学》考试大纲 一.函数、极限、连续 1. 准确掌握基本初等函数的性质及其图形; 2. 会建立简单问题的函数关系,并确定其定义域; 3. 理解极限的定义及其性质; 4. 理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则 ,并能利用它们证明简单的极限问题; 5. 会利用等价无穷小替代、络必塔法则等方法求极限; 6. 理解函数在一点处连续的三种等价定义方式; 7. 会求函数的连续区间,判断函数间断点的类型; 8. 理解并掌握闭区间上连续函数的主要性质. 二.一元函数微分学 1. 清楚导数和微分的概念及函数可导、可微、连续之间的关系; 2. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握隐函数和由参数方程确定函数的二阶导数、特殊函数的高阶导数、幂指函数导数的计算方法; 3. 理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor 定理(公式的内容和意义,能利用这些定理证明一些特殊点的存在性,或证明恒等式及不等式; 4. 能利用导数解决函数的单调性和极值、曲线的凹凸性和拐点、方程根的存在性、函数的最值等问题. 三.一元函数积分学
1. 理解原函数与不定积分的概念; 2. 会用第一换元(凑微分法求不定积分,能灵活运用第二换元法求不定积分; 3. 熟练掌握分部积分方法,能利用递推或循环运算等方法求不定积分; 4. 会求简单有理函数和简单无理函数的不定积分; 5. 理解定积分的定义;清楚定积分的性质(线性性质、保号性质、积分区间的可加性、积分中值定理等; 6. 理解变上限积分的定义、性质及求导方法,清楚连续函数原函数的存在性; 7. 熟练运用Newton-Leibniz公式计算定积分; 8. 会利用定积分的换元法、分部积分法计算积分,计算简单的反常(广义积分,讨论简单反常积分的敛散性; 9. 会求平面图形的面积、平面曲线的弧长、绕坐标轴旋转的旋转体体积、变力作功、液体的压力; 10. 能利用定积分的性质、积分中值定理、原函数存在定理证明有关问题. 四.常微分方程 1. 会求解变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、Bernoulli 方程和全微分方程; 2. 清楚高阶线性微方程解的结构; 3. 掌握高阶常系数线性微分方程的解法; 4. 能用微分方程求解一些较为简单的应用问题. 五.空间解析几何与向量代数
概率论与数理统计B （卷A ） 第 1 页 共 8 页 考试方式： 闭卷 太原理工大学 概率论与数理统计B 试卷A 适用专业：14级各专业 考试日期：2016.1.16 时间： 120 分钟 共 8 页 一、选择题（每题3分，共15分） 1、已知2.0)(8.0)(,4.0)(===AB P B P A P ，则)(B A P -为 ( ) （A ） 0； （B ） 4.0； （C ） 2.0 ； （D ） 6.0. 2、设随机变量X 与Y 都服从标准正态分布，则一定正确的结论为 （ ） )(A Y X +服从正态分布; )(B 22Y X +服从2χ分布; )(C 2X 和2Y 都服从2χ分布; )(D 22Y X 服从F 分布. 3、10021,,,X X X 独立同分布，若)100,2,1(1)(,1)( ===i X D X E i i ，则由中心 极限定理可知)90(1001≥∑=i i X P 约为 ( ) （A ）)1(Φ； （B ） )1(-Φ； （C ）)5.0(Φ ； （D ） 无法计算. 4、设随机变量X 的概率密度为?? ?? ?? ???≤≤≤≤=其它 ,063,9210,31)(x x x f , 若k 使32)(=≥k X P 则k 的取值范围为 （ ） )(A []3,1-； )(B []3,1； )(C []6,0； )(D []6,1． 5、总体),(~2σμN X ，2σ未知，提出假设为1:,1:10>=μμH H ，取显著水平05 .0=α则其拒绝域为 （ ）
概率论与数理统计B （卷A ） 第 2 页 共 8 页 （A ）0.0251(X t n ->-; （B ）0.0251(1)X t n ->-; （C ）n S n t X )1(105.0--<； （D ）n S n t X )1(105.0-+>. 二、填空题（每题3分，共15分） 1、设随机变量X 的分布函数为?????<≥+=-000,)(22 x x Be A x F x ，，则=),(B A ； 2、设总体X 以等概率θ 1取值为：θ,,2,1 ，则参数θ的矩估计量为 ____________； 3、已知X 与Y 相互独立，具有相同的分布2 1)1()0(= ===X P X P ，则变量),max(Y X Z = 的分布列为____________； 4、设随机变量X 的概率密度为???<<=其它 ，010,,2)(x x x f ，则X Y 2=的密度函数为 __________ ； 5、欲检验假设220,),,(~:σμσμN X H 未知，若选取100个样本，分成八组进行 ∑=-=81 22?)?(i i i i p n p n n χ的拟合优度检验，则该统计量服从的分布为__________. （注明分布类型及自由度）.