习题十九 不定积分总习题
一．选择题：
1．若()()df x dg x =??
，则有（ A 、B 、C ） A ．()()f x g x = B ．'()'()f x g x =
C ．()()df x dg x =
D ．'()'()d f x dx d g x dx =??
2．下列等式正确的是（ A ） A ．
?=)()(x f dx x f dx
d
B ．?=')()(x f dx x f
C ．?=)()(x f x df
D ．?
=)()(x f dx x f d 3．若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 有一个原函数为（ D ） A ．1sin x + B ．1sin x - C ．1cos x + D ．1cos x - *4．若)(x f 连续，)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（ A ）
A ．当)(x f 是奇函数时)(x F 必为偶函数
B ．当)(x f 是偶函数时)(x F 必为奇函数
C ．当)(x f 是周期函数时)(x F 必为周期函数
D ．当)(x f 是单调函数时)(x F 必为单调函数
二．填空题：
1．设3x
是()f x 的一个原函数，则
()f x dx =?
3x C +。
2．设'(ln )1f x x =+，则()f x =x
x e C ++ 3．设)(t f 连续,
()sin ()cos d
f t d t f t t dt =?
4*．2
2
2(1)ln 2x f x x -=-，且：[()]ln f g x x =，则()g x dx =?2ln 1x x C +-+
三．计算题：
1．求下列不定积分：
(1)
(2)3(1)x dx x -?
解：
2=? 解：3(1)x dx x -?311(1)(1)x d x x -+=---?
C =- 2311
(1)(1)(1)(1)d x d x x x =-----?
? 2
11112(1)C x x =-
+?+-- (3)4sin cos 1sin x x dx x
+?
(4)7
4
2
(1)x dx x +?
解：4
sin cos 1sin x x dx x
+? 解：742(1)x dx x +?44
4214(1)x dx x =+? 4
sin sin 1sin x
d x x
=+? 44421(1)1(1)4(1)x d x x +-=++? 2
411sin 21sin d x x
=
+? 444421111(1)(1)4(1)4(1)d x d x x x =+-+++?? 21
arctan(sin )2
x C =+ 44111ln(1)44(1)x C x =++
++ (5) ?xdx x 3cos 2
(6) 2
2
4x x dx x -+? 解：?xdx x 3cos 2
2
1sin 33
x d x =? 解：原式222
44x x dx dx x x =-++?? 212sin 3sin 333
x x x xdx =-? 22
2211(4)4(4)244x d x dx x x +-=+-++?? 212sin 3cos339x x xd x =+? 2214
ln(4)24x x dx x =+-++? 2122sin 3cos3cos3399x x x x xdx =+-? 2211ln(4)21()2
x x dx x =+-++?
2122sin 3cos3sin 33927x x x x x C =+++ 21ln(4)2arctan 22
x
x x C =+-++ （7）
221(1)dx x x +? （8）21
5dx x x --?
解：原式22111dx dx x x =
-+?? 解：原式211
()1212()24
d x x =---
?
1arctan x C x =--+
x C -
=
2．设2
2
'(sin )cos ,(0)1f x x f ==，求()f x 。
解：2
2
2
'(sin )cos 1sin f x x x ==- ∴()1f x x '=-
()()f x f x dx '=?2
(1)2x x dx x C =-=-+?
又(0)1f =，故1C =，即2
()12
x f x x =-+ 3*．设0)(≠x f 且有二阶连续导数，求?'-''dx x f x f x f x f 2
2
)]
([)]([)()( 解：?'-''dx x f x f x f x f 2
2
)]([)]([)()(22()()[()][()]f x f x f x dx f x '''?-=? ()(
)()f x dx f x ''=?()
()
f x C f x '=+
习题二十 定积分的概念与性质，微积分的基本公式
一、单项选择题
1、定积分
dx x f b
a
?
)(是（ D ）
A 、)(x f 的一个原函数
B 、)(x f 的全体原函数
C 、任意常数
D 、确定的常数
2、下列积分可直接使用牛顿-莱布尼兹公式的有（ B ） A 、
?
--1
1
2
x
1xdx B 、
?
+1
2
2x 1dx
x C 、?e e 1x x dx ln D 、?-40
2
2
35x dx )(
3、极限2
x
x x
tdt ?→sin lim
的值等于（ C ）
A 、0
B 、1
C 、1
2
D 、1-
4、下列等式中不正确的是（ C ）
A 、
?x a dx x f dx d ])([=)(x f B 、?)
(])([x b a dt t f dx d =)()]([x b x b f ' C 、?b a dx x f dx d ])([=)(x f D 、?'x
a
dt t F dx d ])([=)(x F '
*5、函数)(x f 在区间[a,b]上可积是函数)(x f 在区间[a,b]上有原函数的( D )
A 、充分条件
B 、充分必要条件
C 、必要条件
D 、既非充分条件也非必要条件
二、填空题
1．若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则
=-??
b
a
b
a
dt t f dx x f )()( 0
2．
2
x e dx -<< 3．
1
0 -=?
4． 设1
()2
()f x x f t dt =+?
，则()f x = 6．()()()b
a
f x dx f b f a '=-?
7
．
4
π
=?
8．比较大小1
23x dx ---? >
1
3x
dx ?
三、求解题
1．求下列函数的导数 （1）)(x φ=
dt t 12
x 0
2
?
-sin （2）)(x φ=dt t e 2x x
t 22
3cos ?
解：()2x x ?'= 解：2
3
24262()cos 2cos 3x x x e x x e x x ?'=?-? 2．求下列极限：
*(1)3
x 0
x x dt t 22
?→arcsin lim
*(2) )2(1lim
2
2
n n n n n +++∞→Λ
解：2
3
0arcsin lim
x x x →+
?
解：21
lim
n n
→∞L 20arcsin 22lim
3x x x x
→+?=
1lim n n →∞=+L 02arcsin 24lim 33x x x →+==
1
1lim n
n i n →∞==
2
3
0arcsin lim
x x x →-
?
=
?
20arcsin 22lim 3x x x x →-?= 23
= 02arcsin 24
lim
33
x x x →--==-
故极限不存在。
3．已知函数)(x f 在区间[a,b]上连续，设)(x φ=
dt t f t x x
a
2)()(?
-，],[b a x ∈
证明：)(x φ'=2
?
-x
a
dt t f t x )()(
证明：)(x φ=
dt t f t x x
a
2)()(?
-=22(2)()x a
x xt t f t dt -+?
=2
2()2()()x
x x
a
a
a
x
f t dt x tf t dt t f t dt -+?
??
222()2()()2()2()()x
x
a
a
x x f t dt x f x tf t dt x f x x f x ?'=+--+??
=2
?
-x
a
dt t f t x )()(
4．求函数=
y ?
-x
t dt 1t e )(的单调区间与极值
解：(1)x
y e x '=-，令0y '=，得1x =， 当1x <时，0y '<；当1x >时，0y '>，
所以，函数y 在(,1)-∞内单调递减，在(1,)+∞单调递增，在1x =点处取得极小值
1
(1)(1)t y e t dt =-?=e -.
习题二十一 定积分的换元积分法，分部积分法
一、计算题
1．计算下列定积分 (1)
?
--3
2
3
)1(dx x (2)?-1
2
12dt te
t
解：原式=
3
3
2
(1)(1)x d x ---?
解：原式=2
11220
1()2
t e
d t ---?
=432
1(1)4
x --=65
4
- 2112
t e -=-12
1e -=-
(3)
?
-π
3)sin 1(dx x
(4)4
1
?
解：原式30
sin dx xdx π
π
=
-?
?
解：原式4
1
=?
20
(1cos )cos x d x π
π=+-?
4
1
2=?
301(cos cos )3
x x ππ=+-
4
11)=
43π=- 32ln 2
=
(5)
?
+3
1
2
211dx x x (6)?20
xdx 2x π
sin
解：令tan x t = 解：原式20
1cos 22xd x π
=-?
原式23
4
π
π
=
? 22
001(cos 2cos 2)2x x xdx ππ
=--?
3
2
4
sec tan t dt t π
π=?324cos sin t dt t
π
π=? 2
11(sin 2)222x ππ=--- 32
41
sin sin d t t
π
π=?34
1sin t ππ
=- 4
π
=
=
(7)
?
2
30
arccos xdx (8)?e
xdx 1
ln sin
解：
原式0
arccos x =- 解：原式111sin ln cosln e e
x x x x dx x =-??
0162π=- 111sin1cosln sin ln e e e x x x x dx x =--??
1
122
=-? 1
sin1cos11sin ln e
e e xdx =-+-
?
1
122=
+ 故 1
1
sin ln (1sin1cos1)2
e
xdx e e =+-? 2．设??????
?<+≥+=0
110
11)(x e x x
x f x
, 求
?
-2
)1(dx x f
解：令1x t -=，则
?
-2
)1(dx x f 1
1
()f t dt -=?0
1101
111t dt dt e t -=+++?
? 令t
e u =，则10
11111(1)t e dt du e u u --=++??1111()1e du u u -=-+?1
1
ln 1e u u
-=+
ln 2ln(1)e =-++
1
1001ln(1)ln 21dt t t
=+=+? ?
-2
)1(dx x f ln(1)e =+
二、证明题 1．证明
()=
-?
dx x 1x 1
n
m
()
dx x 1x 1
m
n ?-
证明：令1x t =-，则
()1
1
1(1)n
m m n
x x dx t t dt -=--?
?1
(1)m n t t dt =-?
10
(1)m n x x dx =-?
2． 设)(x f 在],[b b -上连续，证明
??
---=b
b b
b
dx x f dx x f )()(
证明：令x t =-，则
()()b
b
b
b
f x dx f t dt --=--?
?
()b
b
f x dx -=-?
3．证明??+=+1
1
122
1111x x dx x dx x )0(>x 证明：令1x t =，则111222111()11x x dx dt x t
t -=-++??12111x dt t =+?12111x
dx x =+? 4．若)(t f 是连续奇函数,证明?
=x
dt t f x 0
)()(?是偶函数
证明：0
()()x
x f t dt ?--=
?
，令t u =-，
则00
()()()x
x
x f t dt f u du ?--=
=--?
? 又()f u Q 是奇函数
()x
f u du =?)x ?=（
即?
=
x
dt t f x 0
)()(?是偶函数.
习题二十二 广义积分，定积分的几何应用
一、选择题
1.下列（ B ）不是广义积分
A.
1ln e
dx x x
? B.131(1)x dx --?
C.1-?
D.3302
2(5)dx x -? 2.下列广义积分中（ C ）是收敛的 A.sin xdx +∞
-∞? B.1
11
dx x
-?
C.
-?
D.0
x e dx +∞
?
3.利用定积分可以计算下列一些特殊的立体体积，但是不总能计算（ D ） A.旋转体 B.已知平行截面的立体 C.旋转空心柱体 D.顶面是不规则曲面的柱体 二、填空题
1．定积分
?
∞
+1
1dx x
α
在α1≤时发散，α >1 时收敛，收敛于1
1α-； 定积分
?
1
1dx x α
在α1
≥时发散，α <1 时收敛，收敛于1
1α- 2.Γ
函数中，1
()2
Γ=
(4)6Γ=，()(1)(1)r r r Γ=-Γ-.
三、计算题
1．判断下列反常积分是否收敛，若收敛计算其值
(1)
dx x x 1e
2?
+∞
ln (2)()
dx x 1x 11002
?∞++ 解：原式21
ln ln e
d x x +∞
=
?
解：原式()
2
1001(1)2(1)11x x dx x +∞+-++=+?
ln e
x
+∞=-=-∞发散 ()
()
()
98
99
100
1
1
2
1
(
)(1)111d x x x x +∞
=
-
+
++++?
242979899
=
-+ (3)
?
-1
11dx x
(4)
?1
ln xdx
解：原式1
(1)x =-
-?
解：原式10(ln 1)x x =- 1120
2(1)
x =--2= 1=-
2．当k 为何值时，广义积分?
∞
+2
)(ln 1
dx x x k
收敛？k 为何值时发散？又当k 为何值时广义
积分取最小值?
解：?∞+2)(ln 1dx x x k 21ln (ln )k d x x +∞=?212ln ln 11(ln ) 11k x k x k k
+∞
-+∞?=?
=?≠?
-?
11ln 2
11
k k k k -≤??
=?>?
-?发散 令1(ln 2)()1
x
f x x -=-，则112(ln 2)ln ln 2(1)(ln 2)()(1)x x x f x x ---?--'=-
11ln ln 2x =-
为驻点，且111ln ln 2x <<-时，()0f x '<；1
1ln ln 2
x >-时，()0f x '>， 所以1
1ln ln 2
k =-时，?∞+2)(ln 1dx x x k 1(ln 2)1k k -=-取得最小值。
3.利用Γ函数计算
2
220
x x e dx +∞
-?
解：
2
2
312222220
(2)
2x x x e
dx x e d x +∞
+∞
---=
?
3()82=
Γ
=16
4．求x y 2=与2
3x y -=围成图形的面积。 解：1
23
(32)S x x dx -=
--?
32
3
=
5．求x y ln =上方, x y ln =过原点的切线的下方，y 轴右方的面积。 解：曲线x y ln =在00(,ln )x x 点处的切线为000
1
ln ()y x x x x -=
-，则过原点的切线为1ln ()y e x e e -=-，即x
y e =
故0(ln )e x S x dx e =-?2
e
=
6．求曲线2,1
=+=x x
x y 及2=y 所围成的图形面积。 解：2
1
1(2)S x dx x =
+-?
1ln 22
=-
7． 求3
,2,0y x x y ===围成的平面图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积。 解：8
1
2230
[2()]V y dy π
=-?
645
π
=
8． 求曲线23x y =和22x y -=所围平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积。 解：41
2
3
2(2)V x x dx π
=--?
5221
π
=
习题二十三 定积分及其应用总习题
一、填空题
1．函数?
=
x
tdt 2x sin )(φ，则在点4
x π=
的导数=')(4
π
φ1-
2． 设)(x f 为连续函数,则22lim ()()x
a
x a x f t dt a f a x a →=-? 3． 0
[](1)1x t
x d xe dt e x dx =+-? 4．11
[()()] 0 x f x f x dx -+-=?
5．
20
sin 1 d x π
=?
6．当0k <时，反常积分?
+∞
kx dx e 收敛
7．若
0dx 2x 2x 3k
2=+-?
)(，则k= 0
8*．=∞
→n
n n
n !
ln
lim 1- 二、计算题
1．)(x f =
dt t 1t x
1
?
+ln ，0x ≥，计算)(x f +)(x
1f 解：1
11ln ()1x
t f dt x t =+?，令1
t u
=，则 211ln
11()()11x u f du x u u
=-+
?21ln x u du u u =+? 故211ln ln ()()()1x t t
f x f dt x t t t +=+++?1ln x t dt t
=?21ln ln ln 2x x td t ==? 2．求?
-=
3
4
32.),,1max (dx x x I
解：2233 41
max(1,,) 1 11 13x x x x x x x ?-≤<-?
=-≤
3
1
1
3
2
3
2
34
4
1
1
max(1,,)1I x x dx x dx dx x dx ----==++????161
3
=
3．设连续函数)(x f 满足方程
??
++=12
2
2
)()(x x
c x dt t f t dt t f ，求)(x f 及常数c
解：方程两边对x 求导，得2()()f x x f x x =-+
故2()1x f x x
=+，代入原方程有212
220112x x t t x dt t dt c t t =++++?? 即2222
11ln(1)(1ln 2ln(1)222
x x x x c +=--+++
+ 那么1
(ln 21)2
c =
- 4*．??-=π
π0
0)(sin )(dx x f dt t t x f x 计算
解：令t u π-=，则0sin sin ()x
x t
u f x dt du t u
πππ-==--??
00sin ()x u f x dx dudx u ππππ-=-???0sin u u dxdu u πππ-=??2=
5.计算x y e -=与直线0y =之间位于第一象限内的平面图形绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积。 解：20
x V e dx π
+∞
-=?
2
π=
三、证明题
1．设函数)(x f 在[b a ,]上连续，证明 ：
?
b
a
dx x f )(=?-+b
a
dx x b a f )(
证明：令t a b x =+-，则
()()b
a
a
b
f a b x dx f t dt +-=-?
?()b
a
f t dt =?()b
a
f x dx =?
2．
?
π
n
xdx sin =2?20
n xdx π
sin ＇
证明：令2x t π
=
+，则202sin sin ()2n
n
xdx t dt π
π
ππ
-=+??22
cos n
tdt ππ-=?202cos n tdt π
=?
令2t u π
=
-，则?π
0n
xdx sin 2
2cos n
tdt π
=?0
2
2cos ()2n u du ππ
=--?
20
2sin n
udu π
=?20
2sin n xdx π
=?
*3．设)(x f 为连续函数，证明：?-x
dt t x t f ))((=??x
t
dt du u f ))((
证明：
?
?x
t 0
dt du u f ))((0
(())x x u
f u dt du =??0
()()x f u x u du =-?0
()()x
f t x t dt =-?
4．设)(x f 在[0,a ]上连续，(0,a )内可导,0)(<'x f ,?=x
dt t f x
x F 0)(1)(, 证明)(x F 在(0,a )内也单调减少 证明：0
2
()()()x
f x x f t dt
F x x
-'=
?2
()()
f x x xf x ξ-=
，其中0x a ξ<<<，（积分中值定理）
又因为0)(<'x f ，即()f x 单调递减，故()()f x f ξ<，则()0F x '<，那么)(x F 在(0,a )内单调减少。
习题二十四 微分方程的基本概念，一阶微分方程
一、单项选择题
1．是微分方程y y ='的解的是（ C ）
A ．22x y =
B ．x y 7=
C ．x e y =
D ．x y sin =
2．是微分方程0=-''y y 的解的是（ C ）
A ．x y sin =
B ．x x y cos sin +=
C ．x x e e y -+=
D ．x e y 2= 3．微分方程0)()(2222=-++dy y x dx y x 是（ D ）微分方程
A ．非线性
B ．二阶
C ．可分离变量
D ．齐次
4．微分方程0=+ydy xdx 的一个解是（ ）
A ．x y 3=
B ．1cos 7+=x y
C ．x y sin 7=
D ．x e y 7=
二、填空题
1．凡表示未知函数、未知函数的 导数或微分 与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；未知函数是一元函数的，叫做 常 微分方程。 2．微分方程0324=+'+'''y y y x 的阶数为 3 。
3．微分方程的解中含有的任意常数的个数若与微分方程的 阶 数相同，则该解叫做微分方程的通解。
4．微分方程的通解中的任意常数由 初始 条件确定以后，得到的解称为微分方程的特解。 5．已知一阶线性非齐次微分方程22x e xy y -=+'的一个特解为2
x xe -，所对应的齐次方程的一个解为2
x e -，那么该方程的通解为2
2
x x y Ce xe --=+。
*6．设方程0)8()126(2222=+++dy y ax dx xy x 是全微分方程，则a=12y 。
三、计算题
1．求下列微分方程的通解：
（1）02=-'y y x （2）2211y y x -='- 解：20y y x '-
=
=
2
2dx
x
y Ce Cx --?
==
= sin sin arc y arc x C =+ （3）
y
x y x dx dy ++-=34 （4）x xy y 62=-' 解：43
1y dy x y dx x
+=-+
解：22(6)xdx xdx y e xe dx c ---??=+?
令y u x =，则dy du u x dx dx
=+ 2
3x y Ce =-+ 即431du u
u x dx u
++=-
+ 21(2)u dx du u x
+=-+
故通解为ln(2)02x
y x C y x
++
+=+ （5）
x x y dx dy 6=- （6）22xy xy dx
dy
=- 解：1
1(6)dx
dx x
x y e
xe dx c ---??=+? 解：2
112dy x x y dx y
-= (6)y x x C =+ 令
1u y =，则21du dy dx y dx
=-
2du
xu x dx
+=-
2
11
2
x u Ce y -==-+ 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
（1）y x e y +='，00==x y
解：y x e dy e dx -=
x y e e C +=，又00==x y ，则2C =，故特解为2x y e e +=
*（2）0)(2
=-+dx dy y x ，10==y x
解：
2dx
x y dy
-=，则112()dy dy x e y e dy C ---??=+? 222y x y y Ce =---+，又10==y x ，则3C =，故特解为2223y x y y e =---+
（3）x y y x 2=+'，21==x y
解：12y y x '+=，则11(2)dx dx x x y e e dx C -??=+?，故C y x x
=+，
又21==x y ，则1C =，特解为1
y x x
=+
3．利用观察法求出下列微分方程的积分因子并求其通解
(1) 0)46()63(2
2
2
2
=+++dy y y x dx xy x (2)0)2(=-+dy y xe dx e y
y
(3)022=--dx y x xdy ydx (4)*dx y x ydy xdx )(22+=+
4．求一曲线的方程，这曲线过原点且它在),(y x 处的切线斜率等于y x +2
解：设所求曲线方程为()y f x =，那么2y x y '=+，且(0)0f =，
由2y y x '-=得11(2)dx dx
y e xe dx C ---??=+?
，即22x y x Ce =--+
又0x =时，0y =，故2C =，所以222x y x e =--+ 5.设()f x 可微且满足关系式
[2()1]()1x
f t dt f x -=-?
，求()f x .
解：方程两边同时求导，得2()1()f x f x '-=，解之，21()2
x
f x Ce =+
又0
[2()1](0)1f t dt f -=-?
，即(0)1f =故1
2
C =
，那么211()22x f x e =+
习题二十五 可降阶的二阶微分方程，二阶常系数线性微分方程
一、选择题
1．下列函数组在其定义区间内线性无关的有（ A ）
A. e x , e 2x
B. e x , 2e x
C. sin2x, sinxcosx
D. e -x , -5e -x
2．已知某二阶常系数齐次线性微分方程的两个特征根分别为1r =1, 22=r ，则该方程为（ D ）
A. 0'=+-''y y y
B. 02'3=+-''y y
C. 02'3=--''y y y
D. 02'3=+-''y y y
二、填空题
1．已知21x e y =及2
2x xe y =都是方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则该方程的通解为2
2
12x x y C e C xe =+。 2．方程x y 18='''的通解为4
212334
y x C x C x C =
+++。 3．已知方程x y y y =+'-''2的一个特解为2+x ，方程x
e y y y x
=+'-''2的一个特解为
||ln x xe x
，方程02=+'-''y y y 的通解为x
x
xe c e c 21+，则方程x
e x y y y x
+
=+'-''2的通解为122ln x x x y c e c xe x xe x =++++。
4．非齐次微分方程x xe y y y =+-''6'5，它的一个特解应设为*()x y ax b e =+ 5．非齐次微分方程x y y cos 9=+''，它的一个特解应设为*cos sin y a x b x =+
二、求解题
1．求微分方程的通解。
(1)x xe y -='' *(2) 1)(2='+''y y
解：x y dx xe dx -''=??
解：令y p '=，则y p '''=，即21p p '+=
1x x y xe e C --'=--+ 212
11x
y p C e
'==-
+ 1()x x
y dx xe e C dx --'=--+??
2211
ln 11x
y x C C e
=--++ 122x x y xe e C x C --=+++
2 求下列方程满足条件的特解 (1)(0)(0)(0)0ax y e y y y ''''''====
解：ax
y e dxdxdx =
???2
12331ax e C x C x C a
=
+++，又(0)(0)(0)0y y y '''=== 故12323111,,2C C C a a a =-=-=-，那么23231111
2ax y e x x a a a a
=---
(2)5025=+''y y ，5)0(=y ，5)0(-='y
解法一：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为2250r +=，特征根1,25r i =±， 由于0i λω±=不是特征方程的根，故设特解为*y b =，代入原非齐次方程得2b =， 于是原非齐次方程的通解为12cos5sin 52y C x C x =++，又5)0(=y ，5)0(-='y 则原非齐次方程的特解为3cos5sin 52y x x =-+ 解法二：令y p '=，则dp dy dp y p dy dx dy ''=
?=?，故2550dp
p y dy
?+=，22125(4)p y y C =-+ 又5)0(=y ，5)0(-='y ，那么1150C =
，y p '==
所以5
x C =-+，又(0)5y =，则C = 特解为arcsin
5arcsin
x =-+，可化简为3cos5sin 52y x x =-+ 3．求下列微分方程的通解：
(1)04='-''y y (2)036'12=++''y y y
解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为
240r r -=，特征根120,4r r == 212360r r ++=，特征根126r r ==-
于是通解为412x y C C e =+ 于是通解为6612x x y C e C xe --=+ (3)05'4=++''y y y (4)*0'=+'''y y
解：所给齐次方程的特征方程为 解：所给齐次方程的特征方程为
2450r r ++=，特征根1,22r i =-± 30r r +=，特征根12,30,r r i ==±
于是通解为2212cos sin x x y C e x C e x --=+ 于是通解为123cos sin y C C x C x =++ (5)133'22+=-+''x y y y (6)x e y y y 22=-'+''
解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为2230r r +-=， 特征方程为2210r r +-=， 特征根121,3r r ==- 特征根1211,2
r r =-=
于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为
312x x
y C e C e
-=+ 1
2
12x x
y C e
C e -=+
由于0λ=不是特征根， 由于1λ=不是特征根，
故设特解为2*y ax bx c =++， 故设特解为*x
y ke =
代入原非齐次方程得41
1,,39
a b c =-=
=- 代入原非齐次方程得1k = 于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为
32
124139
x x
y C e C e
x x -=+-+- 1
212x x
x y C e C e e -=++
(7)x e x y y y 3)1(96+=+'-'' (8)x x y y cos 4=+''
解：所给微分方程对应的齐次方程 解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为2690r r -+=， 特征方程为240r +=，
特征根123r r == 特征根1,22r i =±
于是对应的齐次方程通解为 于是对应的齐次方程通解为
3312x x y C e C xe =+ 12cos 2sin 2y C x C x =+
由于3λ=是二重特征根， 由于i i λω±=不是特征根，
故设特解为23*()x y x ax b e =+， 故设特解为*
()cos ()sin y ax b x cx d x =+++
代入原非齐次方程得11,62a b =
= 代入原非齐次方程得12
0,,39
b c a d ==== 于是原非齐次方程的通解为 于是原非齐次方程的通解为
33231211()62x x x y C e C xe x x e =+++ 1212
cos 2sin 2cos sin 39
y C x C x x x x =+++
(9)*x x y y y sin 223=+'+''
解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为2320r r ++=，特征根121,2r r =-=-， 由于i i λω±=不是特征方程的根，故设特解为*()cos ()sin y ax b x cx d x =+++，代入原非齐次方程得31716
,,,525525
a b c d =-=
==
， 于是原非齐次方程的通解为2123
1716
()cos ()sin 5
25525
x y C e C e x x x x --=++-+++. 4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）03'2=-+''y y y ，30==x y ，1'0==x y
解：所给齐次方程的特征方程为2230r r +-=，特征根121,3r r ==-
于是通解为312x x
y C e C e -=+，又30==x y ，1'0==x y ，代入得1251,22
C C =
=， 故特解为35122
x x
y e e -=
+ （2）x xe y y 4=-'',1)0(0
)0(='=y y
解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为210r -=，特征根121,1r r ==-， 由于1λ=是特征方程的单根，故设特解为*()x y x ax b e =+，代入原非齐次方程得
1,1a b ==-，于是原非齐次方程的通解为12(1)x x x y C e C e x x e -=++-，
又1)0(0
)0(='=y y ，代入得121,1C C ==-，故特解为(1)x x x y e e x x e -=-+-
5．试求x y =''的经过点)1,0(M 且在此点与直线12
+=
x
y 相切的积分曲线
解：y xdxdx =??3
126x C x C =++，又经过点)1,0(M ，故21C =，且在此点与直线12+=x y 相切，则1(0)2y '=，那么11
2
C =，所以31162x y x =++
6．设函数y(x)连续，且?
=
x
dt t y y 0
)(，求y 。
解：原方程两边对x 求导，得y y '=，解之得x
y Ce =，但代入后0C =，故0y =.
A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=
（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．已知过去几年产量和利润的数据如下： 解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[] 621()i i i u y ax b ==-+∑的最小值，即求解方程组 6662111661 1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y =====?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得 29834402240034026320a b a b +=??+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894, 当x =120时，y =100.186(310元). 2．求下列伯努利方程的通解： 2(1)(cos sin );y y y x x '+=- 解：令121z y y --==，则有
d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z z z x x z x x x x +-=--?-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin x x x x x z x x x c x x x c c x ----????=-+???? ??=-+=-???? 1e sin x c x y ?=- 即为原方程通解. 411(2)(12)33 y y x y '+=-. 解：令3d 21d z z y z x x -=?-=-. d d e 21e (21)e d x x x z x c x x c -????==--+-+???? ? 3(e 21)1x y c x ?--= 即为原方程通解. 3．证明：22 d d x x y y x y ++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：22x P x y =+，22 y Q x y =+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，并且． ()2 222??-==??+P Q xy y x x y ，(x ,y )∈G 因此22 d d x x y y x y ++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分． 由()()22222222d d 11ln 22d x y x x y y d x y x y x y ++??==+??++?? 知()()221ln ,2 u x y x y =+． 4．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-?x y x y x y Γ， 其中 L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界； (2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--?，其中L 为正向星形线()22 23330x y a a +=>；
A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在
A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是（A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（B ） A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=（A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是（A ） A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
第3次作业 一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分） 1. 写出级数的通项为： ______ 。 2. 级数的敛散性为 ______ 。 3. 函数的定义域为 ______ 。 4. 设平面通过点（1，3，-2），且垂直于向量 ，求该平面的方程。 5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。 6. 设，且函数f可微，则 ______ 7. 已知D由及x轴围成，则
______ 。 8. 过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。 9. 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。 10. 设，其中 具有连续的二阶偏导数， ____________。 二、计算题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 判断级数的敛散性。 2. 利用二重积分的性质估计 (其中是
矩形区域 )的值。 3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。 4. 求两平面， 的夹角。 5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7)，求三角形的面积。 6. 求微分方程满足的 特解。 7. 求的所有二阶偏导数。 8. 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)。
三、证明题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分） 1. 证明：若数列收敛于a,则级数 。 2. 设级数和收敛, 证明级数 收敛。 答案： 一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 发散 解题方案：
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数211)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32 x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2 x 8.若 c e dx e x x +=? , 则 ?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数21 1)(x x f - =的原函数是（ A ）
大学高等数学下考试题库 附答案 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. .4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b 3,π=b a .4,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --=y x y x y 的定义域是（）. (){}21,22 ≤+≤y x y x .(){} 21,22<+
重 庆 大 学 《 高等数学 》（II-1）期末试卷参考答案 2013~ 2014 学年 第 一 学期 一．单项选择题（每小题3分，共15分） （1 ）设()1f x =，则当0x →时，有（ C ） 。 （A ）()f x 与x 是等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同价无穷小，但不等价 （C ）()f x 是x 的高价无穷小 （D ）()f x 是x 的低价无穷小 （2）设()f x 为可导函数，且满足条件0(2)(2)lim 22x f x f x x →+--=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的法线的斜率为（ C ）。 （A ）2 （B ）1- （C ）1 2 （D ）2- （3）设2s ()sin x co x x F x e xdx π += ? ，则()F x （ A ）。 （A ）恒为零 （B ）为负常数 （C ）为正常数 （D ）不为常数 （4）11 lim 32x x x x →∞ ??- ???为（ B ）。 （A ）2ln 3 （B ）3 ln 2 （C ）0 （D ）不存在 （5）设函数()2 ()ln 1f x x =+，其表示的曲线的拐点个数为（ B ）。 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二．填空题（每空3分，共15分） （1）tan 01lim ()1x x x +→=。 （2）设()y x 是由方程1y y xe =-确定的可导函数，则()1y y e y x xe -'= +。 （3）1 ln tan sin cos dx x c x x =+?。 （4）设，则 -10 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
《高等数学》试卷1（下） 一 .选择题（ 3 分10） 1.点M12,3,1到点 M 2 2,7,4的距离 M1M 2（） . A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量a i2j k ,b2i j ，则有（） . A. a∥b B. a⊥b C. a,b 3D. a,b 4 3.函数y2x2y 21的定义域是（） . x 2y21 A.x, y 1 x2y 22 B.x, y 1 x 2y22 C.x, y 1 x2y 22D x, y 1 x 2y 22 4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）. A. a b 0 B. a b 0 C. a b 0 D. a b 0 5.函数z x3y 33xy 的极小值是（） . A.2 B.2 C.1 D.1 6.设z xsin y ，则 z ＝（） . y 1,4 A. 2 B. 2 C.2 D.2 22 7.若p级数1收敛，则（） . n 1 n p A. p 1 B. p1 C. p1 D. p1 8.幂级数 x n 的收敛域为（） . n 1 n A.1,1B1,1 C.1,1 D.1,1 x n 9.幂级数在收敛域内的和函数是（） . n 02
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 x x x x 1212 10.微分方程 xy y ln y0 的通解为（）. A.y ce x B. y e x C. y cxe x D. y e cx 二 .填空题（ 4 分5） 1.一平面过点A 0,0,3且垂直于直线AB ，其中点 B 2, 1,1，则此平面方程为______________________. 2.函数z sin xy 的全微分是______________________________. 3 y23xy3xy 1 ，则2 z 3.设z x_____________________________. x y 4. 1 的麦克劳林级数是 ___________________________. 2 x 三.计算题（ 5 分 6） 1.设z e u sin v ，而u xy, v x y ，求z ,z . x y 2.已知隐函数z z x, y由方程 x 2 2 y 2z2 4 x2z 5 0 确定，求z ,z . x y 3.计算sin x2y 2 d，其中 D:2x2y24 2 . D 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四 .应用题（ 10 分2） 1.要用铁板做一个体积为 2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？. 试卷 1 参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二 .填空题 1. 2x y 2 z 6 0. 2.cos xy ydx xdy . 3.6x 2 y9 y 2 1 . 4. 1 n n . 2n 1 x n 0
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4.x +21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）