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第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组

1．设齐次方程组12312312

30030

x ax x ax x x x x x ++=??

++=??-+=? 有非零解，求a 及其通解.

解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零.

2211

||1

131********

a a

a a a a ==-+--+=-=-A

所以，2

1a =，即1a =±

（1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换

111111120111000011113022000??????

? ? ?=→→- ? ? ? ? ? ?--??????

A

原方程组等价于1223200x x x x +=??-=?, 即 12322x x x x =-??=?. 取21x =，得1211-?? ?

= ? ?

??

ξ为方程组的基

础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξT

R .

（2）当1a =-时，

111111110111001001113000000---?????? ? ? ?=-→→ ? ? ? ? ? ?-??????A

原方程组等价于123

0x x x -=??=?

取21x =，得()T

21,1,0=ξ为方程组的基础解系.

故通解为2(1,1,0),

T

R k k k ==∈X ξ.

2．解齐次方程组

（1）1234123412

3420222020x x x x x x x x x x x x ++-=??+++=??++-=? （2）12341234

12

3412342350

327043602470

x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??+-+=??-+-=?

（3）123412341

23420510503630x x x x x x x x x x x x ++-=??++-=??+--=? （4）12341234

1

234123434570

41113160723023320

x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+-+=??-++=??-+-=?

（1）解：对此线性方程组的系数矩阵进行初等行变换

211111211010221201310103112100340034---??????

? ? ?=→--→ ? ? ? ? ? ?---??????

A

原方程组等价于 13243

4030340

x x x x x x -=??

+=??-=?

即 1323439434

x x x x x x ?

?=?

?

=-??

?=??

取34x =，得()T

4,9,4,3=-ξ为原方程组的基础解系. 故通解为 ,

R k k =∈X ξ.

（2）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换

2

315231531271231241361051312471247--???? ? ?--- ? ?

=→ ? ?-- ? ?----????A 1231212312077290117460282500150

1

5000327----????

? ?-- ? ?

→→ ? ?- ? ?????

故 ||0≠A ，所以此方程组只有零解,

即 T

(0,0,0,0)=X .

（3）解：对线性方程组的系数矩阵进行初等行变换

1211120151015001036130000--???? ? ?=-→ ? ? ? ?--????

A

原方程组等价于

142

3

20x x x x =-??

=? 取 2410,.01x x ??????

= ? ? ?????

??

得 ()()T

T

122,1,0,0,

1,0,0,1=-=ξξ为方程组的基础解系.

所以，原方程组的通解为 1122

12(,)R k k k k =+∈X ξξ.

（4）解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，

34571789411131617897213017192023322332--???? ? ?--

? ?=→ ? ?--- ? ?----????A 1789017192000000000-?? ?-- ?→ ? ???

原方程组等价于

12342347890

1719200

x x x x x x x +-+=??

-+-=? 即 134

23

4313171719201717x x x x x x ?=-????=-??

取 34170,017x x ??????

= ? ? ?????

??

得 ()()T

T

123,19,17,0,13,20,0,17==--ξξ为方程组的基础解系.

故通解为 112212,

,k k k k =+∈X ξξR .

3．解非齐次方程组

（1）1231231232104221138x x x x x x x x -+=??+-=??+=? （2）123123

1231

23234

38213496

245x x x x x x x x x x x x ++=??+-=??-+=-??-+=-? （3）123412341

2342133344352x x x x x x x x x x x x +-+=??-+-=??+-+=-?

（1）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换

3121031210()4

2121338113081332--???? ? ?=-→-- ? ? ? ?--????A b 133801011340006--??

?

→- ? ?-??

因为 ()23()r r =≠=A A b

所以，此方程组无解.

（2）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换

231

412453821307714()41960141428124507714--????

? ?-- ? ?

=→

? ?--- ? ?---????

A b 12451021011201120000000000000000---???? ? ?--

? ?→→ ? ? ? ?????

原方程组等价于 132321

2

x x x x +=-??-=?

此方程组对应的导出组的基础解系为

()T

2,1,1=-ξ

此方程组的特解为 ()T

01,2,0=-η 故方程组的通解为 0

k k =+∈X ξηR .

（3）解：对此方程组的增广矩阵进行初等行变换

2111114352()3313407

59514352015101810---???? ? ?

=--→-- ? ? ? ?----????A b 143520759501000--?? ?→-- ? ?-??10352010

0000595--?? ?

→ ? ?-??

原方程组等价于 1342343520595x x x x x x -+=-??

=?

?-=?

即 1423421509

1

5x x x x x ?=+??

=???=+?

此方程组对应导出组的基础解系为 ()T

2,0,9,5=ξ

特解为 ()T

01,0,1,0=η 故通解为 0k k =+∈X ξηR .

4．求解非齐次方程组

（1）1234523451234512345226323054332x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x ++++=??+++=??+++-=??+++-=? （2）12341234

12341234230264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t

+-+=??+-+=-??+++=-??---=?

（1）解：对此非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等行变换

11111111110

122

6

0122

6

321130

0122635433120122625a a

b b a a ????

?

?

? ?

→ ? ?------ ? ? ? ?------???? 1111111

1110

12260122600000300

000300000

2500

00

01a a b b b a b b a a ????

? ?

? ?

→→ ? ?-- ? ?

? ?+--?

???

①当1a ≠，或3b ≠时，方程组无解; ②当1a =且3b =，方程组有无穷多解; 此时方程组等价于 12345234512263

x x x x x x x x x ++++=??

+++=?

即 13452

34552

2263x x x x x x x x =++-??=---+?

取 3451000,1,0001x x x ???????? ? ? ? ?

= ? ? ? ? ? ? ? ?????????

得对应的导出组的基础解系

()T 11,2,1,0,0=-ξ，()T 21,2,0,1,0=-ξ，()T

35,6,0,0,1=-ξ，

()T

02,3,0,0,0=-η为特解.

故通解为1122330k k k =+++X ξξξη， 123,,k k k ∈R . （2）解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换

1123011

230216410122132710162111610244P P t t --???? ? ?------

? ?→ ? ?--+-- ? ? ? ?------????1123

00122100800000

02P t -??

? ?

→ ?+ ? ?+??

①当2t ≠-时，方程组无解.

②当2t =-，8P =-时，方程组有无穷多解.

此时，原方程组等价于1234234230

221x x x x x x x +-+=??++=?

即 1342

3441

221x x x x x x =--??=--+?

则 ()T

14,2,1,0=-ξ，()T

21,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系()T

01,1,0,0=-η为方程组的一个特解，故通解为1122012,,k k k k =++∈X ξξηR .

③ 2t =-，8P ≠-时，方程组有无穷多解此时，原方程组等价于

12342343230

220(8)0x x x x x x x P x +-+=??

++=?

?+=?

即 14243

1210x x x x x =--??

=-+??=?

则 ()T

1,2,0,1=--ξ为导出组的基础解系, ()T

01,1,0,0=-η为方程组的一个特解. 故方程组的通解为0

k k =+∈X ξηR .

5．讨论方程组的解，并求解

123123123(3)2(1)23(1)(3)3

a x x x a ax a x x a

a x ax a x +++=-??

+-+=??++++=?

解：线性方程组的系数矩阵的行列式为

3

12132132

||111

1

12323(1)3

333333

a a a a a a a

a a a a

a a

a a a a a +++=

-=-=-----++++++A

21

320

033

a a

a a a +=----+22

1120

(1)03

a a a a a a a +=-=---+

令||0=A ，则0a =或1a =

（1）0a =时. 线性方程组的增广矩阵为

31203120()01

10011030330113????

? ?=-→- ? ? ? ?-?

???A b 312001100003??

?→- ? ???

因为()23()r r =≠=A A

b

所以，此时方程组无解;

（2）当1a =时, 4121101

2()1012012961430000-???? ? ?

=→-- ? ? ? ?????

A b

方程组等价于1323229

x x x x =-+??=-?，()T

1,2,1=-ξ为导出组的基础解系,

()T

02,9,0=-η为方程组的一个特解. 故通解为0

k k =+∈X ξηR .

（3）当0a ≠且1a ≠时，方程组有唯一解.

2129a x a +=-，222339a a x a ++=，3

239

a x a +=. 6．设T T

11012,,0,,2180??

???? ?

? ? ?===== ? ? ? ? ?

???????

αβγA αβB βα，其中T β是β的转置，求

解方程2

2

4

4

2=++B A x A x B x γ. 解：将T

T T ,

,

2===A αβB βαβα代入下式得

2

2T T

T

T

4

T

222=?B A x βαβααβαβx αβx = 4T

T

T

T

3

T

2=???=A x αβαβαβαβx αβx 44

2=B x x 由 2244

2=++B A x A x B x γ 得

4T 3T 4

222=++x x x γαβαβ

3T T

32(22)--=αβαβE x γ 3T

32(2)-=αβE x γ

又 T

1101212(10)2102111

02?? ??? ? ?== ? ? ? ??? ???

αβ

所以 3110222101

122??- ? ?

-= ? ?- ???

x γ

即 12384

001680084168-?????? ??? ?

-= ??? ? ??? ?-??????

x x x

对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换

84

0021002022168

00012201228416800000000----?????? ? ? ?

-→-→- ? ? ? ? ? ?-??????

方程组等价于 1323122+=-??-=?x x x x ，即1323122x x x x =--??=+?，121-??

?

= ? ?

??

ξ为导出组的基础解系.

0120-?? ?= ? ???

η为方程组的一个特解. 故通解为 0R k k =+∈X ξη. 7．已知向量组12301,2,1110a b ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????βββ与向量组1231392,0,6317?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?--??????

ααα具有相同的秩，且3β可由123,,ααα线性表示，求,a b 的值. 解：因为3β可以由123,,ααα线性表示所以，1233(,,)=X αααβ有解.

即 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ

1233(,,)αααβ13913

920610612123170010203b b b b ???? ? ?

=→--- ? ? ? ?--????

13921012

6500030b b b ?? ? ?

- ?→ ? ?- ? ?

?

? 因为 1231233(,,)(,,)r r =ααααααβ

所以 1231233(,,)(,,)2r r ==ααααααβ 故

50,530

b

b -==

又 123(,,)βββ011011

01210310311100003a b a b a b ??

?--???? ? ? ?=→→ ? ? ?

? ? ?-????- ?

?

? 因为 123123(,,)(,,)r r =αααβββ

所以 03

a

b -= 315a b ==.

8．设向量组

12311111,1,1,11111λλλ+???????? ? ? ? ?

==+== ? ? ? ? ? ? ? ?+????????

αααβ

讨论λ取可值时，β不能由123,,ααα线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα唯一线性表示. λ取何值时，β可由123,,ααα线性表示，且有无穷多种表示形式.

解：β是否能由123,,ααα线性表示，也即是非齐次线性方程组123(,,)=αααX β是否有解.

321(,,)αααβ2111111

11111100111101(1)λλλλλλλλλ++???? ? ?=+??→- ? ? ? ?+--+-????

行

211

1100003λλλλλλ+?? ???

→- ? ?---??

行

（1）当0λ=时，123123(,,)(,,)2r r ==ααααααβ，则123(,,)=αααX β有无穷多

解. 也即β可由123,,ααα线性表示，并且有无穷多表示方法. 1211223

12(1),k k k k k k =--++∈βαααR ;

（2）3λ=-时，123123(,,)23(,,)r r =≠=ααααααβ，故方程组123(,,)=αααX β无解，也即β不能由123,,ααα线性表示;

（3）0,3λλ≠≠-时，123123(,,)(,,)r r =ααααααβ，则方程组123(,,)=αααX β有唯一解. 即β可由123,,ααα唯一线性表示.

1

3

λ=

+β123(,,)ααα. 9．设四阶方阵A 的秩为2，且(1,2,3,4)i i ==A ηb ，其中

122334112112,,012002?????? ? ? ?- ? ? ?+=+=+= ? ? ? ? ? ? ? ? ???????

ηηηηηη 求非齐次方程组=AX b 的通解.

解：因为()2r =A ，故非齐次线性方程组=AX b 的导出组的基础解系含有2个向量

又 1231202()()10?? ?- ?=+-+= ? ? ???ξηηηη，2342313

()()12?? ? ?=+-+= ? ? ???

ξηηηη

为=AX b 对应导出组的2个线性无关的解向量，即12,ξξ是=AX b 导出组的基础解

系0121

()2

=+ηηη是=AX b 的一个解.

故=AX b 的通解为11220

12,k k k k =++∈X ξξηR . 10．已知方程组（I ）的通解为

1212(0,1,1,0)(1,2,2,1),k k k k =+-∈X T T

R

设方程组（II ）为 1224

00x x x x +=??

-=?

问方程组（I ）、（II ）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解. 解：由题意，（I ）的通解为

212121212201212,21201R k k k k k k k k k k --?????? ? ? ?+ ? ? ?=+=∈ ?

? ?+ ? ? ???????

X

将X 的表达式代入方程组（II ）得

21212220

20

k k k k k k -++=??

+-=? 即 12k k =-

所以（I ）和（II ）有公共解，并且公共解为

()()

11,,,1,1,1,1k k k k k k =---=---∈X T T

R .

11．设四元齐次方程组（I ）为

1231234230

20

x x x x x x x +-=??

++-=? 且已知另一四元齐次方程组（II ）的一个基础解系为T

1(2,1,2,1)a =-+α，

T 2(1,2,4,8)a =-+α，

（1）求方程组（I ）的一个基础解系

（2）当a 为何值时，方程组（I ）与（II ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解.

解：（1）方程组（I ）123

1

23423020x x x x x x x +-=??++-=?

显然，系数矩阵的秩为2. 对（I ）的系数阵进行初等行变换

2310231012113501--????→ ? ?--????

故方程组（I ）与123

124

2335x x x x x x +=??+=?等价

取 1210,01x x ??????

= ? ? ?????

??

得 ()()T

T

121,0,2,3,0,1,3,5==ββ为（I ）的一个基础解系.

（2）若（I ）、（II ）有非零公共解，即存在不全为0的数1234,,,x x x x ，使

11223142x x x x +=+ββαα （*）

即 12121234(,,,)0x x x x ??

? ?--= ? ???

ββαα有非零解故 1212(,,,)4r --<ββαα. 1212(,,,)ββαα

102

11021

1120

11223240326351805511a a a a --???? ?

?--

? ?=??→

? ?----+- ? ? ? ?-----?

??

?行1

02

10

11200100001a a -??

?

- ?

??→

?

+ ?

?+?

?

行

所以 1a =-时，方程组有非零解

此时 13423

420

20x x x x x x -+=??+-=?

即 134

234

22x x x x x x =-??=-+?

所以 ()()T T

122,1,1,0,1,2,0,1=-=-ξξ为（*）的基础解系.

将12,ξξ表示式代入（*）得（I ）、（II ）的全部解为()()T

T

122,1,1,11,2,4,7k k =-+-X （12,k k 为不同时为0的常数）.

12．设112224336??

?

= ? ???

A ，求一秩为2的矩阵

B ，使.=AB 0

解：先求=AX 0的基础解系

112112224000336000????

? ?=→ ? ? ? ?????

A

故齐次线性方程组=AX 0等价于

12320x x x ++= 1232x x x =--

得 ()()T

T

121,1,0,2,0,1=-=-ξξ为=AX 0的一个基础解系

令 121

001--??

?

= ? ???

B ，()2r =B 并且 =AB 0.

13．设T 2122(),(,,

,)ij n n n a x x x ?==A X ，方程组=AX 0的一个基础解系为

T 12,2(,,

,),1,2,

,i i i n b b b i n =，求方程组 1111221,222112222,221122,22000

n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y ++

+=??

+++=???

?+++=

?

的通解.

解：将题中所求通解的线性方程组记为=BY 0

由题意 11121211

21121222212

22212

2122220n n n n n n n n n n n n a a a b b b a a a b b b a a a b b b ????

??? ???

= ???

??????? 两边取转置

11121211

21121222212

22212

2122220n n n n n n n n n

n

n n b b b a a a b b b a a a b b b a a a ????

??? ???

= ???

???????

故T A 的每一列为=BY 0的解向量.

又 =AX 0的基础解系含有n 个向量，所以，()2r n n n =-=A ，则A 的行向量组线性无关. 又 ()r n =B ，所以，A 的行向量组为=BY 0的基础解系.

14．已知4阶方阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，1232=-ααα，如果1234=+++βαααα，求线性方程组=AB β的通解.

解：因为234,,ααα线性无关，又123420=-+?αααα, 则 ()3r =A . 所以，=AX 0的基础解系只含有1个向量.

又 1234200+-+?=αααα

所以 123412(,,,)

100?? ? ?= ?- ???

αααα 故 ()T

1,2,1,0=-ξ为=AX 0的一个基础解系. 又 1234+++=ααααβ

则 123411(,,,)11?? ? ?= ? ? ???

ααααβ 所以 ()T

01,1,1,1=η为=AB β的一个特解故 =AB β的通解为0

R k k =+∈X ξη.

15．设()ij m n a ?=A 的行向量组是某个齐次线性方程组的基础解系. 证明()ij m n b ?=B 的行向量组也是该方程组的基础解系?存在可逆阵()ij m m p ?=P ，使

1

,1,2,

,,1,2,,m

ij ik kj k b p a i m j n ====∑.

解：设m n ?A 的行向量组是=CX 0的基础解系，若m n ?B 的行向量组也是=CX 0的基础解系, 则A 的行向量组与B 的行向量组等价故存在可逆阵P ，使得 =B PA , 所以 1

m

ij ik kj

k b P a

==

∑ 1,2,,i m =，1,2,,j n =.

反之，若存在可逆阵,()ij m m P ?=P P ，使得

1

,1,2,

,;1,2,,m

ij ik kj k b P a i m j n ====∑

则=B PA ，故A 的行向量组与B 的行向量组等价.

又因为A 的行向量组是=CX 0的基础解系. 所以，B 的行向量组也是=CX 0的基础解系.

16.设=AX 0的解都是=BX 0的解，则=AX 0与=BX 0同解()()r r ?=A B . 证：必要性.

若=AX 0与=BX 0同解，则=AX 0与=BX 0具有相同的解空间, 即

()()=N A N B 故 ()()n r n r -=-A B , 所以()()r r =A B .

充分性.

设1,,n r -ξξ是=AX 0的基础解系，()r r =A ，因为=AX 0的解都是=BX 0的解. 所以，1,

,n r -ξξ是=BX 0的n r -个线性无关的解向量.

又()()r r =A B ，所以，=BX 0的基础解系所含向量的个数为 ()()n r n r n r -=-=-B A

因此，1,

,n r -ξξ为=BX 0的一个基础解系. 故=AX 0与=BX 0同解.

17．设A 为m p ?阵，B 为p n ?阵，证明

=ABX 0与=BX 0同解()()r r ?=AB B

证：必要性.

因为=ABX 0与=BX 0同解，所以，=ABX 0与=BX 0有相同的解空间, 即

()()=N AB N B 因此()()n r n r -=-AB B , 故()()r r =AB B . 充分性.

设1X 是=BX 0的解，1=BX 0. 则1==ABX A 00. 所以，=BX 0的解都是

=ABX 0的解.

设1,,n r -ξξ是=BX 0的基础解系，()r r =B ，则1,

,n r -ξξ也是=ABX 0的线性

无关解向量. 并且，=ABX 0的基础解系所含向量的个数为

()()n r n r n r -=-=-AB B

所以 1,,n r -ξξ为=ABX 0的基础解系，故=ABX 0与=BX 0同解.

18．设A 为m n ?阵，B 为m p ?阵，证明

=AX B 有解()()r r ?=A B A

证：必要性.

A 为m n ?阵，

B 为m p ?阵，=AX B ，则X 为n p ?阵令 1(,,)p =X X X ，1(,,)p =B b b

因为 =AX B 所以 1122,,,p p ===AX b AX b AX b 故 12()()

()()p r r r r ===A b A b A b A

即矩阵B 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示所以 ()()r r =A B A 充分性.

若 ()()r r =A B A ，又由1(,,)p =B b b

有 ()()()()1,,i r r r r i p ≤≤==A A b A B A

所以 ()()1,

,i r r i p ==A b A

故 12,,,p ===AX b AX b AX b 有解. 设解分别为12,,

,p X X X 1212(,,

,)(,,

,)p p =A X X X b b b

即 =AX B 有解.

19．设A 为m n ?阵，B 为l n ?阵，则

=AX 0与=BX 0同解?()()r r r ??

== ???

A A

B B

证：若=AX 0与=BX 0同解，则??

= ???

A X

B 0与=AX 0同解.

又 ??

= ???

A X

B 0的解一定是=AX 0的解.

由题16， ()r r ??

= ???A A B

同理， ()r r ??

= ???A B B

故 ()()r r r ??

== ???A A B B .

反之，若 ()()r r r ??

== ???

A A

B B .

因为，??=

???A X B 0的解都是=AX 0的解. 所以，由题16，??

= ???

A X

B 0与=AX 0同解. 又因为??= ???A X B 0的解都是=BX 0的解，所以 ??

= ???

A X

B 0与=BX 0同解，故，

=AX 0与=BX 0同解.

20．设T (),0ij n n a ???

==

???

A

b A B b ，其中T 12(,,,)n =b b b b ，若()()r r =A B ，则

=AX b 有解.

证：因为 ()()()()r r r r ≤≤=A A b B A 所以， ()()r r =A b A

故 =AX b 有解.

21．设A 为(1)n n ?-阵，,()n

∈=b R B A b ，若b =AX 有解，则||=B 0. 又当

()1r n =-A 时，b =AX 有解||?=B 0.

证：（1）因为A 为(1)n n ?-阵，所以()1n ≤-R A .故

()()1r r n n =≤-

又 ()=B A b 为n n ?阵，故 ||=B 0.

（2）若()1r n =-A ，=AX b 有解，则

()()1r r n ==-A b A

反之，若||,()1r n ==-B A 0. 故 ()1r n =-B

即 ()()()1r r r n ===-A A b B 所以=AX b 有解.

22．若方阵A 的行列式为0，则A 的伴随阵*

A 各行成比例. 证：因为||0=A ，所以()1r n ≤-A . （1）若()1r n =-A ，则*

A 的行向量组的秩为1，不妨设第一行1α为行向量的极大无关组，则剩余行向量均可以由1α线性表示，故各行成比例.

（2）若()1r n <-A ，则*()0r =A ，即*

=A 0，显然各行成比例.

23．设(1)(),()ij n n a r n ?+==A A ，则方程组0=AX 的任意两解成比例. 证：因为A 为(1)n n ?+阵，()r n =A

所以，=AX 0的基础解系所含向量个数为(1)1n n +-=. 设ξ为=AX 0的一个基础解系. 则任意解,

R k k =∈X ξ. 所以，任意两解成比例.

24．设()ij n n a ?=A ，且1

i n ===∑，则A 不可逆.

故 111?? ? ?= ? ? ???

A 0. 所以，()T

,1=X 是=AX 0的解.

即齐次线性方程组=AX 0有非零解，故||0=A .

25．设A 为n n ?实矩阵，若对任意n 维非零列向量X ，均有T

0>X AX ，则||0.≠A 证：反证，若||0=A

则 =AX 0有非零解

设1X 是=AX 0的一个非零解，则1=AX 0

T T 11100=?=X AX X

此与对任意 ≠X 0，T

26．设A 为（实）反对称阵，D 为对角元全大于0的对角阵，则||0+≠A D ，且还有||0.+>A D

证：（1）反证，若||0.+=A D 则 ()+=A D X 0有非零解，设为1X

T T 11110+=X AX X DX

因为A 为反对称阵，所以 T

但 1diag(,,),0n i a a a =>D

110>X DX ，此为矛盾

所以, ||0+≠A D . （2）令()||

[0,1]f x x x =+∈A D

因为 (0)||0f =>D ，(1)||0f =+

00()||0f x x =+=A D

0001||||0x x x +=

x D 为对角元全大于0的对角阵. 但由第（1）步 0

A 矛盾. 故||0+>A D . 27．求出平面上n 点(,)(1,2,,(3))i i x y i n n =≥位于一条直线上的充要条件.

证：设n 点所共直线为y kx b =+，则关于,k b 的方程组i i y kx b =+ (1,

解，从而矩阵12111n x x x ?? ? ? ? ? ???与1122111n n x y x y x y ?? ? ? ? ? ???的秩相等，故11221131n

n x y x y r x y ?? ? ?< ? ? ?

反之，若 11221131n

n x y x y r x y ?? ? ?< ? ? ?

?? （1）若12n x x x ==，则此n 点共线.

（2）否则，121121n x x r x ?? ? ?= ? ? ???，但11221131n

n x y x y r x y ?? ? ?< ? ? ?

?? 故 11221121n

n x y x y r x y ?? ? ?= ? ? ?

??，从而 12111n x x x ?? ? ? ? ? ??? 与 1122111n

n x y x y x y ?? ? ? ? ? ?

??的秩相等. 方程组（未知量为,k b ）

kx b y kx b y kx b y +=??+=??

??+=? 有解，于是n 点共线，故平面上n 点(,)1,,;1,

,i i x y i n y n ==

共线的充要条件是 11221131n

n x y x y r x y ?? ? ?< ? ? ?

?? 即 11221131n n x y x y r x y ?? ? ?< ? ? ?

. 28．求出平面内n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充分必要条件. 证：若平面内n 条直线0i i i a x b y c ++=(1,2,,)i n =共点，则线性方程组 111222

n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=??++=??

??++=? 有解，故矩阵1122n n a b a b a b ?? ? ? ? ? ??? 与 111222n n n a b c a b c a b c ?? ? ? ? ? ???

的秩相等. 反之，若矩阵1122n n a b a b a b ?? ? ? ? ? ???与111222n n n a b c a b c a b c ?? ? ? ? ? ???

秩相等，则线性方程组 111222

n n n a x b y c a x b y c a x b y c ++=??++=??

??++=? 有解，即n 条直线共点.

故n 条直线0(1,2,,)i i i a x b y c i n ++==共点的充要条件是矩阵112

n a b a b a b ?? ?

? ? ? ???与111222n n n a b c a b c a b c ?? ? ?

的秩相等. 29．设T

12(,,,)(1,2,,;)i i i in a a a i r r n ==<α是n 维实向量，且12,,

性无关，已知T 12(,,

,)n b b b ==β是线性方程组

11112212122221122000

r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??

??+++=? 的非零解向量，试判断向量组12,,,r ααα，β的线性相关性. 解：设有一组数12,,,,r k k k k 使得

11220r r k k k k ++++=αααβ

成立，因为T 12(,,

,)n b b b ==β是线性方程组

111122121122221122000

n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=????++

的解，且0≠β，故有

(1,2,,)i i r ==βα

1122T T T T 0r r k k k k ++

++=βαβαβαββ

0k =ββ，但T

0≠ββ，故0k =.

从而 11220r r k k k +++=ααα

由于向量组12,,,r ααα线性无关，所以有

因此，向量组12,,

,,r αααβ线性无关.

30．已知向量()()()T

1231,1,0,2,2,1,1,4,4,5,3,11=-=-=-ηηη，是方程组

1123344112234421223443

24335a x x a x a x d x b x x b x d x c x x c x d ?+++=?

+++=? 的三个解. 求该方程组的通解.

解：由已知有()()T

21311,2,1,2,3,6,3,9-=--=-ηηηη是相应的齐次方程组的两个线性无关解.

所以，系数矩阵的秩2≤，（因为4()2r -≥A ）.

浅析线性方程组的解法及应用

目录摘要 ........................................................................ I Abstract.................................................................... II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 第二章行列式与线性方程组求解 (1) 2.1 标准形式的二元线性方程组 (1) 2.2 标准形式的三元线性方程组 (2) 2.3 克莱姆法则 (3) 2.3.1逆序数 (3) 2.3.2 克莱姆法则 (4) 第三章线性方程组的理论求解 (6) 3.1 高斯消元法 (6) 3.2 线性方程组解的情况 (7) 3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8) 第四章求解线性方程组的新方法 (9) 第五章线性方程组的应用 (11) 5.1 投入产出数学模型 (11) 5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14) 第六章结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)

浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解：（1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ，即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量），令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数．（2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?，与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ，即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量），令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ，所以，方程组的通解为

线性方程组典型习题及解答

线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

浅谈矩阵计算

浅谈矩阵计算一丶引言矩阵是高等代数学中的常见的工具。在应用数学，物理学，计算机科学中都有很大的作用。研究矩阵的计算，可以简化运算，并深入理解矩阵的性质。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，发展也是历久弥新，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius）于1898年给出的。1854年时法国数学家埃尔米特（C.Hermite）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具。二、矩阵的介绍与基本运算由m×n个数a ij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m ×n矩阵。只有一行的矩阵A=(a1,a2…a n)称为行矩阵或行向量，只有一列的矩阵称为列矩阵或列向量。矩阵计算的合适出发点是矩阵与矩阵的乘法。这一问题在数学上虽然简单，但从计算上来看却是十分丰富的。矩阵相乘可以有好几种不同的形式，还将引入矩阵划分的概念，并将其用来刻画计

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳题型一线性方程组解的基本概念【例题1】如果α1、α2是方程组1231312332312104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两个不同的解向量，则a 的取值如何？解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ? -→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3，故知a=-2。【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成，又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解，故Ax=b 的通解是()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 1223441 1223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。总结：不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。

线性方程组解决实际问题项目

线性方程组解决实际问题项目 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

项目名称应用线性方程组解决实际问题项目【项目内容】营养食谱问题高考前期一个饮食专家给即将踏入高考大门的学子准备了一份膳食计划，以此来帮助同学们提高和调节身体所摄入的大量营养，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出【相关知识点】 1.线性方程组间的代数运算； 2.线性相关性之间的关系； 3.矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； 4.其次线性方程组与非齐次线性方程组的解法； 5.向量组的线性组合以及线性相关性；【模型假设与分析】

【解】设X1、X2、X3分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1：1= 食物2：2= 食物3：3=食物4：4= 需求：【模型建立】则X11、X22、X33、X44分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为 X11+X22+X33+X4 4 = 则有= 【模型求解】利用矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； = ~

则线性相关 R（A）=4=R（A，b）该线性方程组有唯一解。【结论及分析】解此方程组得到： X1= X2= X3= X4=-5 因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。个单位的食物4。由此可得合理的膳食与线性方程组息息相关，由方程可知合理膳食的特解，即在一定的条件下，食物的摄入量是相对稳定的，过多或过少都不利于生理所需，唯有达到一个特解时，营养与体能的搭配才是最完美的。【心得与体会】通过生活中的这个小例子，我们小组总结以下发现，线性方程组在生活中的运用是普遍而广泛的，通过学习和查阅资料，让我们更真切的理解和体会到线性方程在身边的实用性，如果合理的运用，不仅对我们身体健康有所帮助，而且有益于我们全面的理解数学世界观，对我们人生有重大的指导和参考意义，线性方程组在科学研究等诸多方面有更广泛深入的应用。希望通过这次的实践和应用，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。【参考文献】【1】刘振兴，浅谈线性代数在生活中的应用【2】Loveyuehappy，浅析线性方程组的解法及应用【3】

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别（1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A )

浅谈线性代数的心得体会

浅谈线性代数的心得体会线性代数是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。线性代数主要处理的是线性关系的问题，通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。没有应用到的内容很容易忘，我现在高数还基本记得。因为高数在很多课程中都有广泛的应用，比如在国贸专业中的会计课中。线性代数被不少同学称为“天书”，足见这门课给同学们造成的困难。线代是一门比较费脑子的课，如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。适当多做些题对学习是有帮助的。线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。做完题后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出来的，尤其对于自己不会做的题或某个题答案给出的解法非常好且较难想到，然后将这种思路“存档”，即“做完题后要总线性代数作为一门数学，体现了数学的思想。数学上的方法是相通的。比如，考虑特殊情况这种思路。线性代数中行列式按行或列展开

第四章线性方程组习题及答案

第四章线性方程组 1．设齐次方程组12312312 30030 x ax x ax x x x x x ++=?? ++=??-+=? 有非零解，求a 及其通解. 解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零. 2211 ||1 131******** a a a a a a ==-+--+=-=-A 所以，2 1a =，即1a =± （1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换 111111120111000011113022000?????? ? ? ?=→→- ? ? ? ? ? ?--?????? A 原方程组等价于1223200x x x x +=??-=?, 即 12322x x x x =-??=?. 取21x =，得1211-?? ? = ? ? ?? ξ为方程组的基础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξT R . （2）当1a =-时， 111111110111001001113000000---?????? ? ? ?=-→→ ? ? ? ? ? ?-??????A 原方程组等价于123 0x x x -=??=? 取21x =，得()T 21,1,0=ξ为方程组的基础解系. 故通解为2(1,1,0), T R k k k ==∈X ξ. 2．解齐次方程组（1）1234123412 3420222020x x x x x x x x x x x x ++-=??+++=??++-=? （2）12341234 12 3412342350 327043602470 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??+-+=??-+-=?

线性方程组测试题

课程名称：工程数学考试章节：线性方程组考生姓名：一、单选（每题3分，共30分） 1. 1、向量组，，线性相关，且秩为，则（） A.s r = B ．s r ≤ C.r s ≤ D ．r s < 2. 已知向量T T )0,3,4, 1(23,)1,2,2,1(2--=β+α---=β+α，则=β+α（） A ．T )1,1,2,0(-- B ．T )1,1,0,2(-- C ．T )0,2,1,1(-- D ．T )1,5,6,2(--- 3. 下列命题中错误的是（） A.只含有一个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由一个非零向量组成的向量组线性相关 D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关 4. 设α1、α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，β是对应齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b 必有一个解是（） A. 21α+α B. 21α-α C. 21α+α+β D. 213 231α+α+β 5. 对于同一矩阵,关于非齐次线性方程组 ()和齐次线性方程组, 下列说法中正确的是( ) A. 无非零解时, 无解 B.有无穷多解时,有无穷多解 C.无解时, 无非零解 D. 有唯一解时, 只有零解 6. 设21,αα是? ? ?=-=-+021 21321x x x x x 的二个解，则__________。 A. 21αα-是???=-=-+02021321x x x x x 的解 B. 21αα+是???=-=-+0 20 21321x x x x x 的解 C. 12α是?? ?=-=-+02121321x x x x x 的解 D. 22α是? ??=-=-+021 21321x x x x x 的解二、填空(35分) 1.设()0,2,11 =α,()3,0,12-=α,()4,3,23=α，则32132ααα-+=______________ 2. 设 ()0,0,11=α,()0,1,12=α,()1,1,13=α,()3,2,1=β，且有 332211αααβx x x ++=，则=1x ______，=2x ______，=3x ______ 3. 对于m 个方程n 个未知量的方程组0=AX ，若有r A r =)(，则方程组的基础解系中有 ________个解向量。 4. 已知A 是4×3矩阵，且线性方程组B AX =有唯一解，则增广矩阵A 的秩是_________。三. 计算(20分) 1.(10分) 已知向量组[][][] 123= 1 01,=035,=237T T T ααα，则求该向量组的秩和一个极大线性无关组。 2. (5分) 设1α=（1，2，4），2α=(-1,-2,y)且1α与2α线性相关，则求y 的值 A =Ax b ≠0b =0Ax =0Ax =Ax b =0Ax =Ax b =Ax b =0Ax =Ax b =0Ax

消元法解线性方程组

消元法解线性方程组学校：青海师范大学院系：数学系专业：数学与应用数学班级：10B 指导教师：邓红梅学号：20101611218 姓名：梅增旺

摘要：线性方程组在数学的各个分支，在自然科学，工程技术，生产实际中经常遇到，而且未知元的个数及方程的个数可达成百上千，因此它的理论是很重要的，其应用也很广泛。本篇将就解线性方程组在此做一浅谈，以消元法为主要方法。消元法是解一般线性方程组行之有效的方法，早在中学大家都已经有接触，消元法的基本思想是通消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组进行求解。关键字：线性方程组消元法求解 Abstract: linear equations in various branches of mathematics, natural science,engineering technology, often encountered in actual production, and the unknown element number and the number of equations can be hundreds, so itis important in the theory, its application is very extensive. This article on thesolution of linear equations based on a discussion, mainly by means ofelimination method. Elimination method is the general linear equations ofeffective early in high school, everyone has a contact, the basic idea ofelimination method is through the elimination of the equations of deformationinto easy to solve with the solution of equations. Keywords:elimination method for solving linear equations

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； $ 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤（1）?? →A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

浅谈线性方程组和矩阵方程

鞍山师范学院数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：浅谈线性方程组和矩阵方程学生姓名：田鸽专业：数学与应用数学班级：10级1班学号：10号指导教师：裴银淑 2013年12月24日

一、选题意义 1、理论意义：基于线性方程组和矩阵在线性代数以及在各个领域的广泛应用，再加上计算机和计算方法的普及发展,为矩阵的应用开辟了广阔的前景.通过矩阵来解线性方程组大大简化了计算过程,为解决许多数学问题提供了一种研究途径.研究该课题的意义是为了对矩阵在解线性方程组中的广泛应用有一个更深的了解与掌握.。求线性方程组的一般解则是所有学习线性代数的人们必须掌握的基本技能。通过矩阵可以使许多抽象的数学对象得到具体的表示，并把相关的运算转化为矩阵的简单运算，使代数学的研究在一定程度上化复杂为简单，变抽象为具体，变散乱为整齐有序，矩阵是线性代数中不可或缺的处理工具，它在其它的数学理论中也有着重要的作用。 2、现实意义；大学数学是自然科学的基本语言，是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅是学习一种专业的工具而已随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，因为各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而科学研究中的非线性模型通常也可以被近似为线性模型，，作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用，抛体运动的数学建模及其应用，最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用，逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用，网络流模型及其应用，人口迁移模型及其应用，常用概率模型及其应用，等等.另外由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，所以，线性代数因成为了解决这些问题的有力工具而被广泛应用。如量子化学（量子力学）是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有线性代数的基础，不可能掌握量子化学。而量子化学（和分子力学）的计算在今天的化学和新药的研发中是不可缺少的。而矩阵是一种非常常见的数学现象，例如学校课表、成绩

浅析线性方程组的解法

目录摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。

线性方程组的求解方法学生：指导教师：摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法

线性方程组-练习

1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关；（B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是（ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r ααα，，，线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，，也线性无关；（3）设}{21r ααα，，，线性无关，则}{121-r ααα，，，也线性无关；（4）}{21r ααα，，，线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:

数值计算_第4章解线性方程组的迭代法

第4章解线性方程组的迭代法用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组，如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式（4.1）任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有再由迭代式可得到

由线性代数定理，的充分必要条件。因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。定理4.1迭代法收敛的充要条件是。定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列是收敛的。要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。

在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式雅可比迭代计算元线性方程组（4.2）写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组：记，构造迭代形式

线性方程组练习题

线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关：（1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311；（2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。（1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？（2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？（3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？（2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问：（1）1a 能否由32,a a 线性表示；（2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一

解线性方程组

课程设计阶段性报告班级：学号：姓名：申报等级：题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include #include #include //在列向量中寻找绝对值最大的项，并返回该项的标号 int FindMax(int p,int N,double *A) { int i=0,j=0; double max=0.0; for(i=p;imax) { j=i; max=fabs(A[i*(N+1)+p]); } } return j;

//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i

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