第四章 线性方程组
一、本章知识串讲
线性方程组是线性代数的基础内容之一，首先应当会解方程组，主要方法是高斯消元法，特殊情况可考虑用克莱姆法则.特别地，当方程组中有参数时，讨论解的各种情况时不要遗漏；其次，齐次方程组0A x =总是有解的，我们关心的问题是它何时有非零解？有多少非零解？如何表示每个解？这就有解空间，解空间的基（即基础解系）等概念，要掌握基础解系的求法；再其次，对于非齐次线性方程组,Ax b =要理解解的结构，有解的判定等问题；最后应注意方程组与向量组线性表示及秩之间的联系，要了解方程组与空间平面的关系.
二、大纲考查要点诠释 1．线性方程组的各种表达形式
1111
22112112
222211
22,,n n n n m m m n n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
+++=??
+++=???
?+++=? （4.1）
可用矩阵乘法表示为：.A x b = （4.2）
如果对系数矩阵A 按列分块，方程组有向量形式
1122
.n n x x x b ααα+++= （4.3） 2．齐次方程组0A x =恒有解（必有零解）
当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0A x =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间.解空间的维数是(),n r A -解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系.
3．如12,,,t ηηη 是0A x =的基础解系，即12,,,t ηηη 是0A x =的解，12,,,t ηηη 线性无关，且
().t n r A =- （4.4）
1122t t k k k ηηη+++ 是0A x =的通解.
基础解系中解向量的个数是(),()n r A n r A --也是方程组自由变量的个数.
求基础解系时，可对A 作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非0系数所代表的未知数是主元（共有()r A 个主元），那么剩余的其它未知数就是自由变量（共有()n r A -个），对自由变量按阶梯形适当赋值后，再代入求解就可得到基础解系. 【例4.1】若某齐次方程组经高斯消元，化为
1
2131
542
3-?? ?→
- ? ?-?
?
则()532,n r A -=-=基础解系由2个向量组成.此时134,,x x x 是主元，25,x x 是自变量，因而可赋值为 12(,
1
,,,0),
(,
0,,,2).T
T
ηη==
由下往上代入求解，得
12(0,1,0,0,0),
(3,0,3,3,2).T
T
ηη==-
【注】因为(1,0),(0,2)线性无关，延伸后12,ηη必线性无关，在2η中令52,x =是考虑4x 的系数是2，为回避分数运算而设定的，通常是令5 1.x =要理解基础解系，能正确迅速求解.
4．齐次方程组有非零解的判定
【定理4.1】设A 是m n ?矩阵，齐次方程组0A x =有非零解的充要条件是(),r A n <亦即A 的列向量线性相关.
特别地，
【定理4.2】如A 是n 阶矩阵，0A x =有非零解的充要条件是0.A =
【定理4.3】0A x =有非零解的充分条件是m n <（即方程个数<未知数个数）.
【注意】如0,AB =则B 的每一列都是0A x =的解，当0B ≠时，蕴涵0A x =有非零解，进而有
()().r A r B n +≤齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（亦是系数矩阵中列
向量的个数），【定理4.2】用行列式是有条件的，不要混淆，而【定理4.3】反映的是任意1n +个n 维向量必定线性相关，亦说明n 维向量的集合至多有n 个向量线性无关.
5．非齐次线性方程组有解的判定
【定理4.4】设A 是m n ?矩阵，线性方程组A x b =有解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩等于增广矩阵A 的秩，即()()r r A =A （或者说，b 可由A 的列向量12,,,n ααα 线性表出，亦等价于12,,,n ααα 与
是等价向量组）.
【定理4.5】设A 是m n ?矩阵，方程组.A x b =
（1）有唯一解()().r r n ?A =A = （4.5） （2）有无穷多解()().r r n ?A =A < （4.6） （3）无解()1().r r ?A +=A （4.7） 6．非齐次线性方程组解的结构
【定理4.6】如n 元线性方程组x b A =有解，设12,,,t ηηη 是相应齐次方程组0x A =的基础解系，ξ是x b A =的一个解，则1122t t k k k ηηηξ++++ 是x b A =的通解.
【注意】
（1）如12,ξξ是x b A =的解，则12ξξ-是0x A =的解.
（2）如ξ是x b A =的解，是0x A =的解，则k ξη+仍是x b A =的解.
（3）如x b A =有唯一解，则0x A =只有零解；反之，当0x A =只有零解时，x b A =没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚）.
7．克莱姆（Cramer ）法则
线性方程组111122112112222211
22.,,
n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
+++=??
+++=????+++=?
如果系数行列式0,D =A ≠则方程组有唯一解，即 1212,
,
,
,n n D D D x x x D C D
=
=
=
（4.8）
其中j D 是把D 中j x 的系数换成常数项. 三．典型题型分析及解题方法与技巧
题型（一）线性方程组解的基本概念
【例4.2】设A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，则线性方程组()0x AB = （A ）当m n >时仅有零解 （B ）当m n >时必有非零解
（C ）当n m >时仅有零解 （D ）当n m >时必有非零解（02年数3） 【分析】矩阵乘积的秩不超过每个因子矩阵的秩。
【答案】AB 是m m ?矩阵，因而线性方程组()0x AB =的未知数个数为m 。
另一方面，由()n m r ,min )(≤A 秩，()n m r ,min )(≤B ，()(B)A AB r r r ),(min )(≤及（D ）中的条件n m >得
()n n m r <≤,min )(AB
于是，由有解判别定理得知线性方程组()0x AB =必有非零解，即（D ）正确，同时得知（C ）是错误的。
同样的推理可知：
（A ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r <)(AB 时就有非零解； （B ）是错误的，因为此时m r ≤)(AB ，当m r =)(AB 时就只有零解。
【例 4.3】设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的
解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系
(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ]）（04年数3） 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且
??
???-<-===.
1)(,0,1)(,
1,)(,
)(*
n A r n A r n A r n A r 根据已知条件,0*
≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解,
即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).
【例4.4】A 是n 阶矩阵，对于齐次线性方程组0.x A =
（1）如A 中每行元素之和均为0，且()1,r n A =-则方程组的通解是 . （2）如每个n 维向量都是方程组的解，则()______.r A =
（3）如()1,r n A =-，且代数余子式110,A ≠则0x A =的通解是 ，*0x A =的通解是 ，
**
()0x A =的通解是 .
【分析】（1）从()1,r n A =-知0x A =的基础解系由1个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系.因为每行元素之和都为0，有
12121110,i i in i i in a a a a a a +++=+++=
所以，(1,1,,1)T 满足每一个方程，是0x A =的解，故通解是(1,1,,1).T k
（2）每个n 维向量都是解，因而有n 个线性无关的解，那么解空间的维数是n ，又因解空间维数是
(),n r -A 故(),n n r =-A 即()0.r A =
（3）对0x A =，从()1,r n A =-知解空间是1维的.因为**0,AA =A 的每一列都是0x A =的解.现
已知110,A ≠故11121(,,,)T
n A A A 是0x A =的非零解，即是基，所以通解是
对*0,x A =从()1r n A =-知*()1r A =（参看【例2.28】），那么*0x A =的解空间是*()1
n r n -A =-维，从*0A A =知A 的每一列都是*
0x A =的解，由于代数余子式110,A ≠知1n -维向量
122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)T T T
n n n n nn a a a a a a a a a
线性无关，那么延伸为n 维向量
122221323323(,,,),(,,,),,(,,,)T
T
T
n n n n nn a a a a a a a a a
仍线性无关，即是*
0x A =的基础解系，通解略.
对**()0x A =，同上知*()1,r A =由于当3n ≥时，**
(())0,r A =那么任意n 个线性无关的向量都可
构成基础解系.例如，取
12(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)T
T
T
n e e e ===
得通解1122.n n k e k e k e +++
如2,n =对于11
122122,a a a a ??A =
???有2212*
2111.a a a a -??
A = ?-??
于是1112**
21
22(),
a a a a ??A ==A
???那么**
()0x A =的通解是2221a k a ?? ?-??
（注：*11220,0,()1a r AA =A =≠A =）. 【例4.5 】选择题
（1）对于n 元方程组，下列命题正确的是（ ）. （A ）如0x A =只有零解，则x b A =有唯一解 （B ）如0x A =有非零解，则x b A =有无穷多解 （C ）如x b A =有两个不同的解，则0x A =有无穷多解 （D ）如x b A =有唯一解的充要条件是()r n A =
（2）已知1234,,,ηηηη是0x A =的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（ ）. （A ）12233441,,,ηηηηηηηη++++ （B ）1234,,,ηηηη的等价向量组1234,,,αααα （C ）1234,,,ηηηη的等秩向量组1234,,,αααα （D ）12233441,,,ηηηηηηηη++--
（3）已知12,ββ是x b A =的两个不同的解，12,αα是相应齐次方程组0x A =的基础解系，12,k k 是任意常数，则x b A =的通解是（ ）.
（A ）1211212()2
k k ββααα-+++ （B ）12
11212()2
k k ββααα++-+
（C ）12
11212()2
k k ββαββ-+++
（D ）12
11212()2
k k ββαββ++-+
【例4.6】已知123(9,1,2,11),(1,5,13,0),(7,9,24,11)T T T
ξξξ=-=-=--是方程组
11223344112234421
23443,32,94.
a x a x a x a x d x
b x x b x d x x x
c x
d +++=??
+++=??+++=? 的三个解，求此方程组的通解.
【分析】求x b A =的通解关键是求0x A =的基础解系，1223,ξξξξ--都是0x A =的解，现在就要判断秩()r A ，以确定基础解系中向量的个数.
【解】A 是34?矩阵，()3,r A ≤由于A 中第二、三两行不成比例，故()2,r A ≥又因
是0x A =的两个线性无关的解，所以4()2,r -A ≥因此()2r A =，所以11122k k ξηη++是通解.
【注意】不要花时间去求出方程组，那是烦琐的；由于1213,ξξξξ--或3132,ξξξξ--等都可构成解空间的基，123,,ξξξ都是特解，本题答案不唯一.
【例4.7】设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为
??
?=-++=-+0
20
324321321x x x x x x x 且已知另一四元齐次线性方程组（Ⅱ）的一个基础解系为
()T
a 1,2,1,2+-=1
α
，()T
a 8,4,2,12
+-=α
（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；
（2）当a 为何值时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解。 （02年数4）
【分析】求解可按常规方法进行，两个方程组的公共解，可以在一个方程组的通解中寻找满足另一方程组的那一部分解（解法1）；也可由两个方程组的解相同，寻求任意常数应满足的条件，从而在通解中找出公共解（解法2）。
【答案—解法1】（1）对方程组（Ⅰ）的系数矩阵作行初等变换，有
???
?
?
?--→???? ?
?--=23
1
0350111
2
1
0132
A 。 得方程组（Ⅰ）的同解方程组
??
?+-=-=432
4
312335x x x x x x 由此可得方程组（Ⅰ）的一个基础解系为
()T
0,1,3,51
-=β
，()T
1,0,2,32
-=β
（2）由题设条件，方程组（Ⅱ）的全部解为
??????
?
??+++++--=+=????
??
? ??21
212121214
321
)8(4)2(22k
a k k k a k k k k k k x x x x 2
1
α
α 其中1k ，2k 为任意常数，将上式代入方程组（Ⅰ），得
?
?
?=+-+=+0)1()10
)1(211k a k a k a 要使方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）有非零公共解，只需关于1k ，2k 的上述方程组有非零解。因为
2
)1()
1(1
01+-=+-++a a a a ，
所以，当1-≠a 时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）无非零公共解。
当1-=a 时，关于1k ，2k 的上述方程组有非零解。1k ，2k 为不全为零的任意常数。此时可以解得方
程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的全部非零公共解为
??
????? ??-+??????? ??-=?
?????
? ??74211112214
321k k x x x x 。 其中，1k ，2k 为不全为零的任意常数。
【答案—解法2】（1）对方程组（Ⅰ）的系数矩阵作行初等变换，有
???
?
?
?----→???? ?
?--=10
5
3013211
2
1
0132
A 。 得方程组（Ⅰ）的同解方程组
??
?+=+=2
142
135332x x x x x x 由此可得方程组（Ⅰ）的一个基础解系为
()T
3,2,0,11
=β
，()T
4,3,1,02
=β
（2）设方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解为η，则有数1k ，2k ，3k ，4k ，使得
2432
21ααβ
β
11
k k k k +=+=η
由此得线性方程组
（Ⅲ）???
???
?=+++--=+++--=+--
=-+-0
)8(5304)2(320
20243214321432431k a k k k k k a k k k k k k k k
对方程组（Ⅲ）的系数矩阵作行初等变换，有
????
??
?
?
?++--→???????
?
?+--+------10
001002110
1201
81
5
3423221101201a a a a 由此可知，当1-≠a 时，方程组（Ⅲ）仅有零解，故方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）无非零公共解，而当1-=a 时，
方程组（Ⅲ）的同解方程组为
??
?+-=-=432
4
3122k k k k k k 令13c k =，24c k =，得方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的非零公共为
??????
? ??-+??????? ??-=7421111221c c η。
其中，1c ，2c 为不全为零的任意常数。
【例4.8】已知12(0,0,1,0),(1,1,0,1)T T ξξ==-是齐次线性方程组（Ⅰ）的基础解系，1(0,1,1,0)T
η=，
2(1,2,2,1)T
η=-是齐次线性方程组（Ⅱ）的基础解系，求齐次线性方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解. 【解法一】方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的通解分别是
1122k k ξξ+与1122.l l ηη+
若有不全为0的常数1212,,,,c c d d 使
11221122.c c d d ξξηη+=+
则1122c c ξξ+就是方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）的非零公共解.由于
10110120112
1
0110121
10
1
10---????
? ?--- ?
?→→ ?
?-- ? ?-???
?
通解为(1,1,1,1),T t -即
1212
,,.c c t d t d t ===-= 有非零公共解12()(1,1,1,1).T
t t ξξ+=-
【解法二】若1122212122(,2,2,)T
l l l l l l l l ηη+=-++是公共解，则它可由12,ξξ线性表出.
2
1212
2
121220110201211020
1
0l l l l l l l l l l l --+????
?
?+ ?
?→ ? ?
++ ? ??
?
?? 可见12l l =-时，12112212(,,)(,) 2.r l l r ξξηηξξ+==
故公共解是12()(1,1,1,1).T
l l ηη-=---
题型（二） 线性方程组的求解
【例4.9】解齐次方程组12341234123424270,36430,5104250.
x x x x x x x x x x x x -++=??
-++=??-++=?
【例4.10】解方程组123412
41
346223,
1,23 2.x x x x x x x x x x -++=??
-+=??++=? 【解】对增广矩阵高斯消元化为阶梯形
6
2213110111
1011201322013262
213--????
? ?A =-→ ?
? ? ?-???
? 110111
101121102
1
10.4
25
37
3--????
? ?→→ ? ? ? ?--?
??
?
由()()3,r r A =A =方程组有解，()1n r -A =有1个自由变量.
先求相应齐次线性方程组的基础解系，令32,x =解出4210,1,1,x x x ==-=-所以齐次方程组通解是
(1,1,2,0).T
k --
再求非齐次线性方程组的特解，令30,x =解出421335,,,7
14
14
x x x ==
=
特解为533(
,,0,
)14
14
7
T
-
.所
以，方程组的通解是：533(
,,0,
)(1,1,2,0).14147
T
T
k -
+--
【注意】阶梯形矩阵描述的同解方程组是：
12
423
441,20,7 3.
x x x x x x x -+=??
++=??=?
由于()3,r A =可将124,,x x x 留在等号的左端，把3x 移至等号右边，得
12424341,2,7 3.x x x x x x x -+=??
+=
-??=?
3x 是自由变量，令30x =可得非齐次线性方程组的特解.令31,x =可得导出组的基础解系.
用高斯消元化阶梯形时，必须仔细计算，否则下面的计算都是徒劳的，求基础解系时，不要把方程组
的常数项混进去作运算.
题型（三） 含有参数的方程组解的讨论
【例4.11】讨论,a b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解.
134********
234226,230,3618,4913.
x x x x x x ax x ax x x x
x x b ++=?
+++= ++= -++=?
【例4.12】设有齐次线性方程组
123412341
2341
234(1)0,
2(2)220,
33(3)30,444(4)0,
a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??
++++=??
++++=??++++=? 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. （04年数2）
【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的非零解.
【详解1】对方程组的系数矩阵A 作初等行变换, 有
1111
11112222200
333330044
4
440
a a a a
a B a a a a a a ++????
? ?+- ?
?→= ? ?+- ? ? ? ?+-?
???
当0a =时, ()14r A =<, 故方程组有非零解, 其同解方程组为 12340x x x x +++=. 由此得基础解系为
1(1,1,0,0)T η=-, 2(1,0,1,0)T η=-, 3(1,0,0,1)T
η=-,
于是所求方程组的通解为
112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. 当0a ≠时,
111110000210021003010301040
140
1a a B ++????
? ?-- ?
?→
→ ? ?-- ? ? ? ?--?
??
?
当10a =-时, ()34r A =<, 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 121314
20,
30,40,x x x x x x -+=??
-+=??-+=?
由此得基础解系为
(1,2,3,4)T η=, 所以所求方程组的通解为
x k η=, 其中k 为任意常数.
【详解2】方程组的系数行列式
31111
2222
(10)333344
4
4a a A a a a a +?? ?+ ?=
=+ ?
+ ? ?+?
?. 当0A =, 即0a =或10a =-时, 方程组有非零解. 当0a =时, 对系数矩阵A 作初等行变换, 有
故方程组的同解方程组为 .
其基础解系为
3(1,0,0,1)T
η=-,
于是所求方程组的通解为
112233x k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数.
,
, 有
9
11191112822201000
33733001004446400010A --????
? ?-- ?
?=→ ? ?-- ? ? ? ?--?
???
911100002
100210030103010400
140
1-????
? ?--
?
?→→ ? ?-- ? ? ? ?--?
??
?
故方程组的同解方程组为
213141
2,3,4,x x x x x x =??
=??=?
其基础解系为(1,2,3,4)T η=,
所以所求方程组的通解为x k η=, 其中k 为任意常数
【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应的方
程组求解.
【例4.13】设有齐次线性方程组 )2(,0)(,02)2(2,0)1(212121≥??
?
??
?
?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （04年数1）
【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可。
【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有
.0
021*******
1
111B a na a a
a a n n
n
n
a a A =?????
?
???
???--+→?????????
???+++=
当a=0时， r(A)=1 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中 为任意常数. 当时，对矩阵B 作初等行变换，有 可知时，，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ?? ? ?=+-,0131n x nx 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为 ，其中k 为任意常数. 【详解2】 方程组的系数行列式为 当0=A ，即a=0或2 ) 1(+- =n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ????? ? ??? ???→????????? ???=00 00011112222 1111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为 ,)1,,0,0,1(,1T n -=-η 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中 为任意常数. 当 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ????? ? ??? ???--+→????????????+++= a na a a a a n n n n a a A 0002111122221 111 ????? ???? ???--→????????? ???--+→10 0120000100 0012 1111 n n a ， 故方程组的同解方程组为 ?? ? ?=+-,0131n x nx 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为 ，其中k 为任意常数. 【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算： =aE + ，矩阵????? ???????n n n n 2 2221111的特征值为2 ) 1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2 ) 1(,++n n a , 故行列式 题型（四） 有关线性方程组命题的证明 【例4.14】已知线性方程组 （Ⅰ）11112212221122222211 22220,0, 0. n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=?? +++=????+++=? 的一个基础解系为 试写出线性方程组 （Ⅱ） 的通解，并说明理由. 【分析】为简明，方程组（Ⅰ），（Ⅱ）分别表示为 由于B 的每一行都是（Ⅰ）的解，有0,T AB =于是 ()0,T T T BA AB == 可见A 的行向量是方程组（Ⅱ）的解. 由于B 的行向量是（Ⅰ）的基础解系，知B 的行向量线性无关(),r n B =且2(),n r n -A =那么 (),r n A =A 的行向量线性无关.并且（Ⅱ）的解空间是维，因此A 的行向量是（Ⅱ）解空 间的一组基. 【解】（Ⅱ）的通解为 其中 . 理由同前略. 【注意】要证 是0x A =的基础解系，应证明三点：（1） 是0x A =的解；（2） 线性无关；（3）()t n r =-A 或 可表示0x A =的任一解.而（3）提供了证明基础 解系的两种基本方法. 【例4.15】A 是m n ?矩阵，m n <，且A 的行向量线性无关，B 是()n n m ?-矩阵，B 的列向量线性无关，且0,AB =证明如η是齐次方程组0x A =的解，则有唯一解. 【证明】由于行秩、列秩都等于矩阵的秩，故 所以12(,,,)n m βββ-B = 的每一列都是齐次方程组0x A =的解，且是n m -个线性无 关的解. 又因0x A =解空间的维数是(),n r n m -A =-于是12,,,n m βββ- 是解空间的一组基，那么η可由12,,,n m βββ- 线性表出且表示法唯一.设 1122n m n m c c c ηβββ--=+++ 1 12 212(,,,),n m n m n m c c c c c c βββ---???? ? ? ? ?==B ? ? ? ????? 即x ηB =有唯一解12(,,,).T n m c c c - 【例4.16】设()ij a A =是m n ?矩阵，12(,,,)n b b b β= 是n 维行向量，如果方程组（Ⅰ）0x A =的解全是方程（Ⅱ）11220n n b x b x b x +++= 的解，证明β可用A 的行向量12,,,m ααα 线性表出. 【证明】构造一个联立方程组 （Ⅲ） 简记为，显然，（Ⅲ）的解必是（Ⅰ）的解全是（Ⅱ）的解，于是（Ⅰ）的解也必全是（Ⅲ）的解，所以（Ⅰ），（Ⅲ）是同解方程组，它们有相同的解空间，从而 得到()(),r r C A =即 因此极大线性无关组所含向量个数相等，这样12,,,m ααα 的极大线性无关组也必是1,,,m a a β 的极大线性无关组，从而β可由12,,,m a a a 线性表出. 【例4.17】已知方程组 （Ⅰ）111122112112222211 22, , . n n n n m m m n n m a y a y a y b a y a y a y b a y a y a y b +++=?? +++=??? ?+++=? 有解，证明方程组 （Ⅱ）1112121121222211 20, 0, 20. m m m m n m n m a x a x a x a x a x a x a x a nx a x +++=?? +++=??? ?+++=? 的任意一组解必是方程（Ⅲ）11220m m b x b x b x +++= 的解. 【证法一】记方程组（Ⅰ）的系数矩阵为A ，增广矩阵是，由于（Ⅰ）有解，故 那 么 可用A 的列向量线性表出. 联立（Ⅱ）、（Ⅲ），得方程组 （Ⅳ） 显然，系数矩阵是 由于 可见方程组（Ⅳ）中最后一个方程是多余的，即（Ⅱ）与（Ⅳ）是同解方程组，这就是（Ⅱ）的任一解必是（Ⅲ）的解. 【证法二】记 由于（Ⅰ）有解，故存在y 使y b A =，那么.T T T b y =A 设x 是方程组（Ⅱ）0T x A =的任一解，于是00,T T T T b x y x y =A == 即11220,m m b x b x b x +++= 即（Ⅱ）的解必是（Ⅲ）的解. 【例 4.18】设矩阵22 21212n n a a a A a a ??? ? ?= ? ??? ，现矩阵A 满足方程A X B =，其中()1,,T n X x x = ， ()1,0,,0T B = ， （1 ）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解（08考研） 解：① ②方程组有唯一解 由A x B =，知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠。 记n n A A ?=，由克莱姆法则知， 2 2 (1)(1) 112 2 2 110 212122121212n n n n a a a A A a a x a A A a a a a a a -?-?= = = 2 2 2 (1)(1) 2 2 2 21212122121212n n a a a a a a a a a a a a a a -?- = 1 (1)(1)n n na n n a n a - = = ++ ③方程组有无穷多解 由0A =，有0a =，则()0110 10|0 100A B ?? ? ? ?= ? ? ?? ? ，故()()|1r A B r A n ==- 0A x =的同解方程组为230 00n x x x =?? =????=? ，则基础解系为()1,0,0,,0T k ，k 为任意常数。 又 01010 1100 000 1000?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ，故可取特解为0100η?? ? ? ?= ? ? ??? 所以A x B = 的通解为为任意常数。 课程设计 题目十进制数加减计算器学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 班级计算机0808班 姓名何爽 指导教师袁小玲 2010 年12 月31 日 课程设计任务书 学生姓名：何爽专业班级：计算机0808班 指导教师：袁小玲工作单位：计算机科学与技术学院 题目: 十进制数加减计算器的设计 初始条件： 理论：学完“汇编语言程序设计”、“课程计算机概论”、“高级语言程序设计”和“数字逻辑”。 实践：计算机学院科学系实验中心提供计算机和软件平台。如果自己有计算机可以在其上进行设计。 要求完成的主要任务:（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） （1）十进制数加减计算器的设计。 （2）程序应有操作提示、输入和输出，界面追求友好，最好是菜单式的界面。 （3）设计若干用例（测试数据），上机测试程序并分析（评价）所设计的程序。 （4）设计报告格式按附件要求书写。课程设计报告书正文的内容应包括： 在正文第一行写课程设计题目； 1.需求说明（要求、功能简述）或问题描述； 2.设计说明（简要的分析与概要设计）； 3.详细的算法描述； 4.源程序与执行结果（含测试方法和测试结果）； 5.使用说明； 6.总结，包括设计心得（设计的特点、不足、收获与体会）和展望（该 程序进一步改进扩展的设想）。 时间安排： 设计时间一周：周1：查阅相关资料。 周2：系统分析,设计。 周3~4：编程并上机调试。 周5：撰写课程设计报告。 设计验收安排：20周星期五8:00起到计算机学院科学系实验中心进行上机验收。 设计报告书收取时间：20周的星期五下午5:00之前。 指导教师签名： 2010年12月31日 系主任（或责任教师）签名： 2010年12月31日 第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法 例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。 除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换： ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。 下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组： ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二 步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=，叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列 直接读出，无需写出对应的方程组。 第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1 的线性方程组，写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。 习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为 洛阳理工学院 十 进 制 4 位 加 法 计 数 器 系别：电气工程与自动化系 姓名：李奇杰学号：B10041016 十进制4位加法计数器设计 设计要求： 设计一个十进制4位加法计数器设计 设计目的： 1.掌握EDA设计流程 2.熟练VHDL语法 3.理解层次化设计的内在含义和实现 设计原理 通过数电知识了解到十进制异步加法器的逻辑电路图如下 Q3 则可以通过对JK触发器以及与门的例化连接实现十进制异步加法器的设计 设计内容 JK JK触发器的VHDL文本描述实现： --JK触发器描述 library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; entity jk_ff is port( j,k,clk: in std_logic; q,qn:out std_logic ); end jk_ff; architecture one of jk_ff is signal q_s: std_logic; begin process(j,k,clk) begin if clk'event and clk='0' then if j='0' and k='0' then q_s <= q_s; elsif j='0' and k='1' then q_s <= '0'; elsif j='1' and k='0' then q_s <= '1'; elsif j='1' and k='1' then q_s <= not q_s; end if; end if; end process; q <= q_s; qn <= not q_s; end one; 元件门级电路： 与门VHDL文本描述实现： --与门描述library ieee; use ieee.std_logic_1164.all; 线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A = 第四章 线性方程组 1．线性方程组的基本概念 (1)线性方程组的一般形式为： 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0). 即[] n a a ,,a 21ΛΛ??? ?? ? ??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ 如下 ????????????= 121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ? ? ??? ???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。 矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0). ? ? ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ M O M M Λ Λ 2 122221 11211 ，????????????=n x x x X M 2 1 ???? ? ???????=m b b b M 21β 其中A 为m n ?矩阵，则： ① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。 矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方 程组的增广矩阵。 2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合 c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。 性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线 性方程组的一个解。 3.线性方程组解的情况的判别 （1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ). 若有非零解? r(A ) 求解线性方程组的直接解法 5.2LU分解 ① Gauss消去法实现了LU分解 顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。 将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU, 这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的 历史得到这一点.因为从消元的历史有 u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n m ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,n a ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n 从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下 三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分 解,同时还求出了g, Lg=b的解. ②直接LU分解 上段我们得到(l ij=m ij> u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n 2 诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很 容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>: for k=1:n-1 for j=k:n u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j end for i=k+1:n l ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk end end 这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步 计算存储. 第四章 线性方程组 1．设齐次方程组12312312 30030 x ax x ax x x x x x ++=?? ++=??-+=? 有非零解，求a 及其通解. 解：因为此方程组有非零解，故系数矩阵的行列式为零. 2211 ||1 131******** a a a a a a ==-+--+=-=-A 所以，2 1a =，即1a =± （1）当1a =时，对此方程组的系数矩阵进行行变换 111111120111000011113022000?????? ? ? ?=→→- ? ? ? ? ? ?--?????? A 原方程组等价于1223200x x x x +=??-=?, 即 12322x x x x =-??=?. 取21x =，得1211-?? ? = ? ? ?? ξ为方程组的基 础解系. 则方程组的通解为1(2,1,1),k k k ==-∈X ξT R . （2）当1a =-时， 111111110111001001113000000---?????? ? ? ?=-→→ ? ? ? ? ? ?-??????A 原方程组等价于123 0x x x -=??=? 取21x =，得()T 21,1,0=ξ为方程组的基础解系. 故通解为2(1,1,0), T R k k k ==∈X ξ. 2．解齐次方程组 （1）1234123412 3420222020x x x x x x x x x x x x ++-=??+++=??++-=? （2）12341234 12 3412342350 327043602470 x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=??+-+=??-+-=? 实验1 十进制加减法计数器 实验地点：电子楼218 实验时间：2012年10月19日指导老师：黄秋萍、陈虞苏 实验要求：设计十进制加减法计数器，保留测试程序、设计程序、仿真结果 1.设计程序： module count(EN,CLK,DOUT,F,RST); input EN,CLK,F,RST; output [3:0]DOUT; reg [3:0]DOUT; always@(posedge CLK) begin :abc if(EN) if(!RST) if(F) begin :a DOUT=DOUT+1; if(DOUT==10) DOUT=0; end //END A else begin :b DOUT=DOUT-1; if(DOUT==15) DOUT=9; end else DOUT=0; else DOUT=DOUT; end endmodule 2.测试程序 `timescale 10ns/1ns module test_count; wire [3:0] DOUT; reg EN,F,RST,CLK; count M(EN,CLK,DOUT,F,RST); initial begin :ABC CLK=0; EN=0; RST=1; F=1; #100 EN=1; #200 RST=0; #1500 F=0; #3000 $stop; end always #50 CLK=~CLK; initial $monitor("EN=%b,F=%b,RST=%b,DOUT%D",EN,F,RST,DOUT); endmodule 3.测试结果 # EN=0,F=1,RST=1,DOUT x # EN=1,F=1,RST=1,DOUT x # EN=1,F=1,RST=1,DOUT 0 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 0 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 1 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 2 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 3 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 4 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 5 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 6 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 7 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 8 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 9 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 0 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 1 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 2 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 3 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 4 # EN=1,F=1,RST=0,DOUT 5 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 5 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 4 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 3 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 2 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 1 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 0 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 9 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 8 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 7 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 6 # EN=1,F=0,RST=0,DOUT 5 线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105 摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。 Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution. 本科毕业论文 （ 2010 届） 题目线性方程组的直接解法及matlab的实现 学院数学与信息工程学院 专业数学与应用数学 班级2006级数学1 班 学号0604010127 学生姓名胡婷婷 指导教师王洁 完成日期2010年5月 摘要 随着科技技术的发展及人类对自然界的不断探索模拟.在自然科学和工程问题中的很多问题的解决常常归结为线性代数问题！ 本文的主要内容是对线性方程组求解方法的探讨,主要介绍了四种求解线性方程组的方法,第一种是教科书上常见的消元法,我们称之为基本法.第二种方法是标准上三角形求解法,即将增广矩阵经过初等变换后化成标准上三角形,然后求解.它改进了一般教科书上的常见方法,与常见方法比较有如下优点:1)规范了自由未知量的选取;2)只用矩阵运算;3)减少了计算量.第三种方法是对特定的方程组（系数矩阵A为n阶对称正定矩阵,且A的顺序主子式均不为零.）的求解方法进行描述,并且为这种线性方程的求解提供了固定的公式化的方法.第四种方法是对现在实际问题中常常会遇到的系数矩阵为三对角矩阵的方程组的求解方法.同时给出这几种方法的数值解法（matlab程序）,由于运用电脑软件求解,所以必须考虑计算方法的时间、空间上的效率以及算法的数值稳定性问题,所以针对不同类型的线性方程组有不同的解法.但是,基本的方法可以归结为两大类,即直接法和迭代法. 关键词 高斯消去法;三角分解法;乔莱斯基分解法;追赶法 Abstract Systems of linear equations are associated with many problems in engineering and scinence ,as well as with applications of mathematics to the social sciences and the quantitative study of business and economic problems. The main content of this article is the method for solving linear equations, we introduce four methods for solving linear equations in this paper. The first is the elimination method which is commonly found in textbooks, and we call the Basic Law. The second method is Standard on the triangle Solution, that first change Augmented matrix into standards in primary triangle, and then solving. It improves the general textbook on common methods, compared with the common method has the following advantages:1) Specification of the free choice of unknowns; 2)Only matrix operations;3) Reduce the computation. The third method describes a way to solve a Specific equations(N coefficient matrix A is symmetric positive definite matrix, and A are not zero-order principal minor), And for this linear equation provides a fixed formulaic approach. The fourth method is to present practical problems often encountered in the coefficient matrix is tridiagonal matrix method for solving the equations. These methods are given numerical solution of (matlab program), As the use of computer software to solve, it is necessary to consider ways of computing time and space efficiency and numerical stability of algorithms, Therefore, different types of linear equations have a different solution. However, the basic method can be classified into two categories, namely direct methods and iterative methods. Key words Gaussian elimination; Triangular decomposition; Cholesky decomposition method; Thomas algorithm 西北师范大学知行学院 数字电子实践论文 课题：74ls161组成的十进制加法计数器 （置数法） 班级：14电本 学号：14040101114 姓名：于能海 指导老师：崔用明 目录 第1章前言 (1) 1.1 摘要 (1) 1.2 设计目的 (2) 1.3 设计内容及要求 (2) 第2章设计方案 (3) ....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 2．1主要芯片功能介绍 (3) 2.2.1 四位二进制计数器74161介绍 (3) ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 2.2 工作原理 (4) 第3章硬件设计 (4) 3.1 单元电路设计 (4) 3.2 总硬件电路图 (5) 第4章仿真与试验 (6) 4.1 仿真结果 (6) 4.2 调试中遇到的问题 (7) 第5章结论和体会 (8) 第1章前言 1.1 摘要在数字电路技术的课程中，计数器的功能是记忆脉冲的个数,它是数字系统中应用最广泛的基本时序逻辑构件。计数器在微型计算机系统中的主要作用就是为CPU和I/O设备提供实时时钟，以实现定时中断、定时检测、定时扫描、定时显示等定时控制，或者对外部事件进行计数。一般的微机系统和微机应用系统中均配置了定时器/计数器电路，它既可当作计数器作用，又可当作定时器使用，其基本的工作原理就是"减1"计数。计数器：CLK输入脉冲是一个非周期事件计数脉冲，当计算单元为零时，OUT输出一个脉冲信号，以示计数完毕。 本十进制加法计数器是基于74161芯片而设计的， 该十进制加法计数器设计理念是用于工厂流水线上产品计数，自动计数，方便简单。 关键词：74ls161计数器 Introduction In the course of digital circuit technology, the counter memory function is the number of pulses, it is a digital system, the most widely used basic sequential logic components. The main role of the counter in the micro-computer system is to provide real-time clock for the CPU and I / O devices to achieve the timer interrupt, timing detection, scheduled scanning, the timing display timing control, or to count external events. General computer systems and computer application systems are equipped with a timer / counter circuit, it can as a counter action, but also as a timer, the basic working principle is "minus 1" count. Counter: CLK input pulse is a non-periodic event count pulses to zero when calculating unit, OUT outputs a pulse signal, to show the count is completed. The decimal addition counter is designed based on the 74161 chip, the low potential sensor senses when to rely on external signals, sensors in an object within the sensing range, otherwise it is a high potential. Within the sensing range of the sensor when an object is moved out of date, sensor potential from high to low and then high, appears on the edge. Counter is automatically incremented and displayed on a digital control. The decimal addition counters have two seven-segment LED. It can count from 0 to 99 objects, and easy to expand. The design concept of decimal addition counter is used to count on a factory assembly line products, automatic counting, convenient and simple. Keywords:74ls161counter 第4章解线性方程组的迭代法 用迭代法求解线性方程组与第4章非线性方程求根的方法相似，对方程组进行等价变换，构造同解方程组(对可构造各种等价方程组， 如分解，可逆，则由得到)，以此构造迭代关系式 （4.1） 任取初始向量，代入迭代式中，经计算得到迭代序列。 若迭代序列收敛，设的极限为，对迭代式两边取极限 即是方程组的解，此时称迭代法收敛，否则称迭代法发散。我们将看到，不同于非线性方程的迭代方法，解线性方程组的迭代收敛与否完全决定于迭代矩阵的性质，与迭代初始值的选取无关。迭代法的优点是占有存储空间少，程序实现简单，尤其适用于大型稀疏矩阵；不尽人意之处是要面对判断迭代是否收敛和收敛速度的问题。 可以证明迭代矩阵的与谱半径是迭代收敛的充分必要条件，其中是矩阵的特征根。事实上，若为方程组的解，则有 再由迭代式可得到 由线性代数定理，的充分必要条件。 因此对迭代法(4.1)的收敛性有以下两个定理成立。 定理4.1迭代法收敛的充要条件是。 定理4.2迭代法收敛的充要条件是迭代矩阵的谱半径 因此，称谱半径小于1的矩阵为收敛矩阵。计算矩阵的谱半径，需要求解矩阵的特征值才能得到，通常这是较为繁重的工作。但是可以通过计算矩阵的范数等方法简化判断收敛的 工作。前面已经提到过，若||A||p矩阵的范数，则总有。因此，若，则必为收敛矩阵。计算矩阵的1范数和范数的方法比较简单，其中 于是，只要迭代矩阵满足或，就可以判断迭代序列 是收敛的。 要注意的是，当或时，可以有，因此不能判断迭代序列发散。 在计算中当相邻两次的向量误差的某种范数小于给定精度时，则停止迭代计算，视为方程组的近似解（有关范数的详细定义请看3.3节。） 4.1雅可比（Jacobi）迭代法 4.1.1 雅可比迭代格式 雅可比迭代计算 元线性方程组 （4.2） 写成矩阵形式为。若将式（4.2）中每个方程的留在方程左边，其余各项移到方程右边；方程两边除以则得到下列同解方程组： 记，构造迭代形式 解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法 调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b 习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-. 习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =. 3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-= 常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次 方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1 +n R 空间 不能 与x 轴相交． 2．方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的 图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(2 1 x x ??，在区间),(b a 上线性相关， 则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ． 6．函数组? ? ?==x y x y cos sin 2 1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= 7．二阶方程 2=+'+''y x y x y 的等价方程组是 ?????--='='y x xy y y y 2111 ． 8．若)(1 x y ?=和) (2 x y ? =是二阶线性齐次方程的 基本解组，则它们 没有 共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解 ) (1x y ?=, ) (2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个汇编语言实现十进制加减计算器
第三章 线性方程组
线性代数第3章_线性方程组习题解答
十进制4位加法计数器设计
线性方程组的解法
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
求解线性方程组的直接解法
第四章 线性方程组习题及答案
实验十进制加减法计数器
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的直接解法及matlab的实现
10进制加法计数器课程设计
数值计算_第4章 解线性方程组的迭代法
解线性方程组的直接解法
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版
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