当前位置：文档之家› (完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案

第四章线性方程组

1．线性方程组的基本概念

(1)线性方程组的一般形式为：

其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式：向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).

即[]

n a a ,,a 21ΛΛ???

??????n x x x M 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a ΛΛ

如下

????????????=

121111m a a a M α ，????????????=222122m a a a M α，………，????????????=mn n n n a a a M 21α, ?

???

???????=m b b b M 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21ΛΛ线性表示。矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).

????

?????=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ

M O M M Λ

122221

11211 ，????????????=n x x x X M 2

1 ????

???????=m b b b M 21β

其中A 为m n ?矩阵，则：

① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。

矩阵A 称为方程组的系数矩阵，A =（n ααα,,21ΛΛ，β），称矩阵A 为方

程组的增广矩阵。

2. 线性方程组解的性质 (1) 齐次方程组AX =0 如果η1, η2,…,ηs 是齐次方程组AX =0的一组解,则它们的任何线性组合

c 1η1+ c 2η2+? + c s ηs 也都是解. (2) 非齐次方程组AX =β 性质1：非齐次线性方程组的两个解之差是它的导出组的解。

性质2：非齐次线性方程组的一个解和其导出组的一个解的和仍然是非齐次线

性方程组的一个解。

3.线性方程组解的情况的判别

（1）对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ).

若有非零解? r(A

)

)=n (若矩阵A 是n 阶矩阵，则0≠A )

（2）对于方程组AX =β,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A ),r(A |β).

① 无解?r(A

)

)=r(A |β)=n.(当A 是方阵时,就推出克莱姆法则.) ③ 有无穷多解?r(A

)=r(A |β)

方程的个数m 虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A )和r(A |β)的上界,因此当r(A )=m 时, AX =β一定有解. 当m

??????

?=+++=+++=+++m

n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2211222221

211

1212111

补充1：当A 列满秩(或A 可逆时, A

在矩阵乘法中有左消去律

AB =0?B =0；AB =AC ?B =C .

证明设B =(β1,β2,…,βt ),则AB =0?A βi =0,i=1,2,…,s. ?β1,β2,…,βt 都是AX =0

的解. 而A

列满秩, AX =0只有零解, βi =0,i=1,2,…,s,即B =0. 同理当B 行满秩（或B 可逆时），

0000=?=?=?=A A A B AB T T T C A CB AB =?=

补充2 如果A 列满秩（或A 可逆）,则r(AB )=r(B ).

分析: 只用证明齐次方程组ABX =0和BX =0同解.(此时矩阵AB 和B 的列向量组有相同的线性关系,从而秩相等.)

证明：η是ABX =0的解?AB η=0?B η=0(用推论1)?η是BX =0的解.

于是ABX =0和BX =0确实同解.

同理当B 行满秩（或B 可逆）时，r(AB )=r(A ).

例题

一. 填空题

1.设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充要条件是______. 解：0=Ax 有非零解，()m A r <

2.设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充要条件是解：()0=-C B A ，B , C 不相等，0=Ax 有非零解，()n A r <

3.若n 元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当______时, 方程组有唯一解; 当______时, 方程组有无穷多解.

解：假设该方程组为A m ×n x = b, 矩阵的秩r A r =)(.

当n r =, 方程组有惟一解; 当n r <, 方程组有无穷多解.

4. 在齐次线性方程组A m ×n x = 0中, 若秩(A) = k 且η1, η2, …, ηr 是它的一个基础解系, 则r = _____; 当k = ______时, 此方程组只有零解。

解：k n r -=, 当n k =时, 方程组只有零解。

5. 齐次线性方程组??

??=+=++=++03020

32321321x kx x x x x kx x 只有零解, 则k 应满足的条件是______.

解： 03

0112

1≠k k , 5

,0623≠≠--+k k k k 时, 方程组只有零解。

6. 设α1, α2, …αs 是非齐次线性方程组A x = b 的解, 若C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs 也是A x = b 的一个解, 则C 1 + C 2 + … + C s = ______. 解：因为A b A i 且,=α(C 1α1 + C 2α2 + … + C s αs ) = b, 所以b b C C s =++)(1Λ, 11=++s C C Λ.

7. 设A, B 为三阶方阵, 其中??????????-=110121211A , ????

??????--=11202314k B , 且已知存在三阶方阵X , 使得B AX =, 则k = ___________.

解：()()2==B A r A r M

，2-=k 8. 设A 为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A *x = 0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.

解：因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r , 所以0)(*

=A r , A *x = 0的基础解系所含解向量的个数为4－0 = 4.

9. 齐次线性方程组???

??=++=++=++0

00321

3213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵记为A ，若存在非零3阶矩阵

B ，使0=AB ，求=B

解：0=AX 有非零解，所以10=?=λA

000=?=?=x B A B AB T T T 存在非零解，所以00=?=B B T

10. 设矩阵()4321,,,αααα=A ，其中432,,ααα线性无关, 3212ααα-=，又设4321ααααβ+++=，求β=Ax 的通解。

解：3212ααα-=??=+-02321ααα),,(321ααα线性相关，()3=A r 基础解系含有一个向量：()()T

k 1,1,1,10,1,2,1+-=η

11.321,,εεε都是β=Ax 的解，其中1ε=(1,2,3,4), 32εε+=(0,1,2,3), r(A )=3。

求通解。

解：因为r(A )=3，是四元方程组，所以基础解系含有1个向量，

()02132=-+εεεA ，()15,4,3,2εη+=T

12. 设A 是n 阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，

（1）如A 中每行元素之和均为0，且r （A ）=n-1，则方程组的通解为____

(2) 如果每个n 维向量都是方程组的解，则r （A ）=____

(3) 如r （A ）=n-1，且代数余子式A 11≠0，则Ax=0的通解是____, A *x=0的通解是____ (A *)*x=0的通解是______ 解：（1）因为r （A ）=n-1，所以基础解系中含有1个向量。

??????

??????=?????????????????????

???00011121

2222111211M M ΛM M M M ΛΛnn n n n n a a a a a a a a a ()T k 1,1,1Λ=η （2）因为基础解系的向量个数为：()n A r n =-，()0=A r

（3）因为r （A ）=n-1，所以基础解系含有1个向量。 r （A ）=n-10=?A ，

0==??E A A A ，所以?A 的每一列都是0=Ax 的解。

r （A ）=n-1()1=??

r ，又因为A

≠0，所以?

A 的第一列是0=Ax 的解，

Ax=0的通解是()T

n A A A A k 1131211,,Λ=η

因为()1=?

r ，所以基础解系含有1-n 个向量，0==??

E A A

所以要从A 的n 列中找出1-n 列是线性无关的。

????????????nn n n n n a a a a a a a a a ΛM M M M ΛΛ21

2222111211，因为A 11≠0，所以A 的后1-n 列是线性无关的，所以A *x=0的通解是矩阵A 的后1-n 列。因为()

??=n A

A A

，当2=n 时，()

A A =?

(A *)*x=0的通解是[]T

A A k 1211,，??

??22211211

a a a a 2211a A = 2112a A -= 3≥n 时，(A *)*=0，(A *)*x=0的通解含有n 个线性无关的向量，可选n 个单位向量。

二. 单项选择题

1. 要使ξ1 = (1, 0, 1)T , ξ2 = (－2, 0, 1)T 都是线性方程组0=Ax 的解, 则系数矩阵A 为 (A) ?????

?????112213321 (B) ??

??-211

121 (C) ????

?????123020010 (D) ??

???-020010 解：因为21,ξξ的对应分量不成比例, 所以21,ξξ线性无关. 所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.

(A) 3)(=A r . (B) 2)(=A r . (C) 2)(=A r (D) 1)(=A r 2. 设A 是m ×n 矩阵，r(A )=r ．则方程组AX = β

(A) 在r=m 时有解 (B) 在m=n 时有唯一解

3. 设21,εε是非齐次方程组AX =β的两个不同的解,21,ηη为它的导出组AX =0的一个基础解系，则它的通解为( )

(A) k 1η1+k 2η2+(ξ1-ξ2)/2 (B) k 1η1+k 2(η1-η2)+(ξ1+ξ2)/2 (C) k 1η1+k 2(ξ1-ξ2)+(ξ1-ξ2)/2 (D) k 1η1+k 2(ξ1-ξ2)+(ξ1+ξ2)/2 4. 设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成

(A) 321,,ξξξ的一个等价向量组 (B) 321,,ξξξ的一个等秩向量组 (C) 321211,,ξξξξξξ+++ (D) 133221,,ξξξξξξ---

5. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A , 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax = 的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 ( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量

( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量

解：因为 ??

???-<-===1

)(,01)(,

1)(,

*)(n A r n A r n

A r n A r ，因为 0*≠A , 所以 1)(-≥n A r ，由已知得b Ax =的解不唯一, 所以 1)(-≤n A r , 所以 1)(-=n A r . 于是基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (

B )为答案。 6. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是

(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任一列向量都是非零向量

n x x x ),,(1Λ= (D) 是答案当0≠x 时, 0≠Ax , 说明0=Ax 只有零解. 7. 设A 为n 阶实矩阵，T

A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组

()0:=I Ax 和()0=∏Ax x T ，必有

解：?=?=00Ax x Ax T

1的解都是2的解。

()

()()0000=?=?=?=Ax Ax Ax x A A x Ax x T

T T T ，2的解也都是1的解。

证明：0)(0=?=x A A Ax T

，因为()()

A A r A r T

=，同解方程组。

()()

()()0

000)(00=?=?=?=?=?=Ax Ax Ax x A A x x A A Ax A Ax T

T T T T

三、解方程组

1. 4元方程组Ax=b 中，系数矩阵的秩r(A)=3, 321,,ξξξ是方程组的3个解，若

1ξ=（1，1，1，1）T ，32ξξ+=（2，3，4，5）T ，则方程组的通解为_____

解：因为r(A)=3，所以基础解系只含有1个向量。b A =1εb A =2εb A =3ε

()02132=-+εεεA ，所以()13,2,1,0εη+=T

2. 3元方程组A x = 0以T

T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系

数矩阵为_____。

解：方程组A x = 0的基础解系为T T )1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη, 所以, )(A r = 1. 设????

?????=22111αααk k A 假设),,(1312111

a a a =α.

由 01=ηA , 得02201),,(1311131211=+=????

?????a a a a a

由02

=ηA , 得0110),,(1312131211=-=????

?????-a a a a a

取2,1,0111213-===a a a 得. 所以)1,1,2(1-=α,

????

?????=22111αααk k A (其中2,

1k k 为任意常数).

3. ??

??=+++=++++=+-+0

236903254602235421543214321x x x x x x x x x x x x x ，求此齐次方程组的基础解系和通解. 解：????

?????-→??????????-010001000300223230321069546223，()2=A r ，基础解系含有3个向量

0,0035353==?=+x x x x

2.1,0023421421-===?=++x x x x x x ，或者5.1,1421-===x x x

3.0,1421-===x x x

4. 问λ为何值时，线性方程组?????+=+++=++=+3246224321

32131λλλ

x x x x x x x x 有解, 并求出解一般形式.

解：????

??????---→??????????++λλλλλλ1320002101

01322416214101M M 当()21=??? ??==-A r A r 时，λ

基础解系有一个向量：()()T

k 1,1,01,2,1+-=η

5. 设有线性方程组???

??=++--=++=++k

mx x x x x x x x x 321

321321413230

3, 问m, k 为何值时, 方程组有惟一解?

有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解。

解： ??

??????-+-→??????????--k m k m 1017007013

11041323131M M ，1-≠m 时，k 为任意数，()3=??

??=-A r A r ，有唯一解。 1,

1≠-=k m 时，无解。

,1,

1=-=k m ()2=??

? ??=-A r A r ，有无穷多解。()()T T k 73,71,01,0,1-+-=η

6. )0,2,1(1=α, )3,2,1(2a a -+=α, )2,2,1(3b a b ++-=α及)3,3,1(-=β. (1) a, b 为何值时, β不能表示成321,,ααα的线性组合.

(2) a, b 为何值时, β有321,,ααα的惟一线性表示, 并写出该表示式. 解：假设 βααα=++332211x x x , 求解方程组, 求321,,x x x .

????? ??-+-+-→????? ??-+-++-3230140111132303222111

1M M M M M M b a a b a b a a b a ????

??+++-→0125001401111M M M b a b a

（1）12,0-≠=b a 时, 3)(2)(=<=A r A r , 方程组无解, 即β不能表示成

321,,ααα的线性组合。

,0-

==b a 时, )(2)(A r A r ==, 方程组有无穷多解, 即β有无穷多种方法可表示成321,,ααα的线性组合。

（2）0125,0≠++≠b a a 时, )(3)(A r A r ==, 方程组有惟一解, 即β能表示成

321,,ααα的线性组合, 且表示法惟一. 此时得方程组??

???=++=++=-+0

)125(1)4(1

332321x b a x b ax x x x ,

解得: a x a x x 11,1,0123-==

=, 表示式为: 32101

)11(αααβ++-=a

a 7.假设????

??????--=????

??????=??????????=1111,010,1113102112ηb c a A . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求

b Ax =的通解。

解. 将η代入b Ax =, 得到c a c a ==-+-,011.

???

???????--→??????????002121011310021120111131002112M M M M M M a a a a （1）21

==c a ????

???000001131002112M M M

于是 2)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 2)(4=-A r .

齐次方程: ??

?=++=+++0

224324321x x x x x x x ,

令 1,3,0,11243=-===x x x x 解得, 解向量为: T

)0,1,3,1(- 令 1,2,2,01243-=-===x x x x 解得, 解向量为: T

)2,0,2,1(-

所以通解为: ?????

??????--+????????????-+????

????????-20210131111121k k （2）21

≠=c a ?

????

??????--→??????????0021210113100211

20111131002112M M M M M M a a a a

于是 3)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 1)(4=-A r .

齐次方程: ???

????

=-+-=++=+++0

)21

()21(030

22324324321x a x a x x x x x x x , 令,1,123=-=x x 解得24=x 21-=x

解向量为: T

)2,1,1,2(--，所以通解为: [][]T

k 21121111--+-

8. 线性方程组的增广矩阵为

()????

?????++=1004214231121b a b a A β又已知(1,-1,1,-1)T 是它的一个解，求：

(1) 用基础解系表示的通解.(2) 写出满足x 2=x 3的全部解。解：(1,-1,1,-1)T 代入得:a b =

??????----→??????????++100101242202121011004214231121M M M M a a a a a a a a a a

()321=??

??=≠-A r A r a 时，,基础解系含有一个向量，()()T T k 1,1,1,12,1,1,2--+--=η

()221=??

??==-A r A r a 时，，基础解系含有2个向量。

()()()T

k k 1,1,1,10,1,3,12,0,2,12--+-+-=η

（2）时21=a ???=+=++???

???=++=+++040

0302

21424214324321x x x x x x x x x x x x 3,

11432=-===x x x x ()T

k 4,1,1,3-=η

()()?

?-====?=-+-≠

1.10021212

143232x x x x x a x a a ，()T

k 1,0,0,1-=η 9. 已知 ξ1=(1,1,-1,-1)T

和ξ2=(1,0,-1,0)T

是线性方程组

?????=+-+=++=+-+r

tx x tx x s qx px x x x x x 4321

432432122

的解，()T

1,1,2,2-=η是它的导出组的解,求方程组的通解：1ε代入:??

?=-++=--r t t s q p 121 2ε代入???=-=3

r p

s η代入{2=+q p

3,1,

3,1====t p r q

()2=??

??=-A r A r ，基础解系含有2个向量。

()T 1,0,1,021-=-εε，()T 1,1,2,2-=η

10. 假设????

??????---=??????????=222141

,111111B a a a A 。如果矩阵方程B AX =有解，但解不惟一，

试确定参数a 。

解： ??

??????---------→??????????---a a a a a a a a a a 42211060110411

12211211141112

M M M M M M

()()()()????

??????+--+--+---a a a a a a a 24642011)2001101

1M M M 当 2-=a 时, 对于B 的任一列向量, 都有 32)()(<==A r A r , 所以矩阵方程B AX =有解, 但解不惟一. 11. 设[][][]T

T T c c c a b b b a a a a a 32

1332

1232

1,,===，则三条直线

()

3,2,1,00,0,022*********=≠+=++=++=++i b a c y b x a c y b x a c y b x a i i

????

?????--012011000110111M M

交于一点的冲要条件是

A 321,,ααα线性相关

B 321,,ααα线性无关

C 秩=),,(321αααr 秩),(21ααr

D 321,,ααα线性相关，21,αα线性无关解：三条直线交于一点，意味着上述三个方程组成的非齐次线性方程组有唯一解：()()21321,,,αααααr r =

12. 已知平面上三条不同直线的方程分别为：

:1l 032=++c by ax ，:2l 032=++a cy bx ，:3l 032=++b ay cx .

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a 解：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组 ??

???-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax 有唯一解，故系数矩阵????

?????=a c c b b a A 222与增广矩阵??

?????---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A

]

)[(6323232222bc ac ab c b a c b a b

a c a c b

b a A ---++++=---=])()())[((3222a

c c b b a c b a -+-+-++

但根据题设 0)()()(2

≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a

充分性：由0=++c b a ，从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(

])([2)(22222b b a a b ac c

b b

a ++-=-= =0]43

)21[(222≠++-b b a ，故秩

(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2。

因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点. 13. 已知线性方程组()I

的一个基础解系为：

求线性方程组()X 的通解，并说明理由。

解：设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为A ，B 由已知可得（1）的基础解系含有n 个向量，所以()n A r =，即A 的n 个行向量线性无关，A 的基础解系的n 个向量必线性无关，所以()n B r =，说明方程组（2）0=BX 的基础解系也含有n 个向量，因为0=T

BA ，()n A r =，所以说明A 的任意一行都是B 的解。

14. 已知线性方程组???

??=++=++=++0

32221

2321321x c x b x a cx bx ax x x x

（1）c b a 、、满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）c b a 、、满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解

解：（1）()()()b c a c a b c b a c b a

A ---==2

当0≠A 时，仅有0解，即c b a ,,任何2个都不相同。（2）0=A 时，有无穷多解。

1. c b a ≠=时，???==++→????

??????--→??????????00

000011

1111332122222x x x x a c a c c a a c a a

4. c b a ==,0321=++x x x ,

43214321bx x x ax x x x x x x x x 有3个线性无关的解.

Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解证明：因为非齐次有3个线性无关的解，所以齐次方程至少有2个线性无关的

解，()()22≤=-≤A r A r n ，又因为()2≥A r ，所以()2=A r

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a

由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意. 16. 设??

?????--=??????????-----=211,2401111111εA （1）求满足13212,εεεε==A A 的所有向量.,32εε

（2）对（1）中的任意向量.,32εε证明.,,321εεε无关

解：()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------??????

? ? ?=-→→ ? ? ?

? ? ?---??????

，

()()T T k 1,0,021,12+--=ε

，

()()?

? ??-++-=0,0,211,0,00,1,1213T

k k k k k k k k k k k k k k k k k k --

--=+++----+--+

=-≠ 故123,,ξξξ 线性无关.

17. 已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵

?????=k B 63642321 （k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解。

解：AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩. 解：由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r （1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性

无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：

()()k k k x ,6,33,2,121+=，21,k k 为任意常数.

(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r

若r(A)=2，则Ax=0的通解为：()3,2,11k x =，1k 为任意常数.

若r(A)=1，则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为 ??

??-+??? ??-

=1,0,0,1,21a c k a b k x ，21,k k 为任意常数. 四、求线性方程组同解、公共解 1.求方程组 ???

??=----=+-+-=-+-17

49524311325421

43214321x x x x x x x x x x x 的通解, 并求满足方程组及条件

16354321-=-++x x x x 的全部解。

?????----→????????????----------0028110000

000072140325

11175111635409124133251M M M M ()2=A r ，基础解系含有2个向量，

a x x ax x x x x x ①与方程 12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．

0111a a a a a . 当a=1时，??????

x 1+x 2+x 3=1, 1+3x 2+ax 3=4,

(I) 3x 1+5x 2+x 3=7, (II) 2x 1+4x 2+(a-1)x 3=b+4

(1)a,b 取什么值时这两个方程组同解?此时求解。 (2)a,b 取什么值时这两个方程组有公共解? 此时求解。解：（1）解出(I)的特解代入(II)中，求出2,1==b a

b a a b a a 2,1==b a ，()2=??

解：因为方程组（2）未知数个数大于方程的个数，所以有无穷多解，所以方程（1）的行列式为0，

，

5. 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)为 x 1+x 2=0，

k k k k k k k k 2212122211,2,2,++-=+=εεη

代入(Ⅰ)得：21210k k k k -=?=+，所以公共解为：()T

k 1,1,1,1---=η

6. 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(Ⅰ)的系数矩阵为

2 3 -1 0

1 2 1 -1 ，

(Ⅱ)的一个基础解系为(2,-1,a+2,1)T

，(-1,2,4,a+8)T

。已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非

零解，求a ，并求出它们的全部公共解。

解：(Ⅱ)的解为()()()212112218,42,2,2k a k k a k k k k k ++++--，代入(Ⅰ)中得：

()()()?

?=-+=+010

1211k k a k a 若01≠+a 时，0,021==k k ，此时公共解只有0解，不合题意。21,,101k k a a -=?=+可以取任意值。即1-=a 时，非0公共解是

(Ⅱ)的全部解。

7. 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解22111ηηεc c ++，

()T 1,0,11=ε,η1=(1,1,0)T ,η2=(1,2,1)T ；(Ⅱ)有通解ξ2+c η, ξ2=(0,1,2)T ,η=(1,1,2)T

求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.

解：(Ⅰ)的通解是：()1,2,122121++++c c c c c

(Ⅱ)的通解是：()22,1,++c c c

212

211212

2121=??????+=++=+=++c c c c c c c c c ，所以公共解是T

???

??3.23,21

解：

()()0,5,4,21,2,1,1---+=T k η，()k k k k ,52,4,2---=η代入方程组2

得：m=2,n=4,t=6

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )

14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化为规范型。 ( × )

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数第四章总结

总结§4.1—§4.3 一、线性表示 1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示 ?存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ?方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ? ()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =） 2. 向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()=m R ααα ,,21 ()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =）向量组12,,l βββ 可由向量组m ααα ,,21线性表示?()12,,l R βββ≤ ()12,,m R ααα （即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,l βββ 等价?()=m R ααα ,,21 ()12,,l R βββ =()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==）二、线性相关与线性无关 1. 向量组m ααα ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得， .02211=++m m k k k ααα ?方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ?0=Ax 有非零解. ?()m R m <ααα ,,21 ?()m A R < 其中()m A ααα ,,21= 2. 向量组m ααα ,,21线性无关?如果,02211=++m m k k k ααα 则有 .021====m k k k ?方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ?0=Ax 只有零解 ?()m R m =ααα ,,21 ?()m A R = 其中()m A ααα ,,21=

线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程

第五章相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个）二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ）（A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例（B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例（C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例（D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于（ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;

三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数第五章答案

第五章相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

线性代数第五章作业参考答案(唐明)

第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求：（1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-

线性代数期末考试试卷答案

线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

上海财经大学《线性代数》课程考试卷(B)及答案

诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃。上海财经大学《线性代数》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名学号班级一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装订线…………………………………………………

8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。（A ）充分必要条件；（B ）充分条件；（C ）必要条件；（D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+

线性代数期末考试试卷

本科生2010——2011学年第一学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷）草稿区专业：年级：学号：姓名：成绩：一、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页

5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2，则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页

线性代数作业任务第四章

2. 已知三维向量空间3R 的一组基)0,1,1(1-=α，)1,0,1(2=α，)1,1,1(3-=α．试用施密特正交化方法由321,,ααα构造3R 的一组标准正交基．

3. 已知4维向量空间4R 的两个基 (I) ???????====) 0,0,1,2()0,0,2,3()3,2,0,0()4,3,0,0(4321αααα, (II) ?????? ?====) 0,1,2,1()2,1,1,2()2,2,1,0() 1,0,1,2(432 1ββββ 1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵； 2) 求)4,3,2,1(=α在基(I)下的坐标； 3) 判断是否存在在两组基下坐标相同的非零向量．

4. 已知向量空间3R 的两个基为(I)321,,ααα和(II) 321,,βββ．设3R ∈α在基(I) 与基(II)下的坐标分别为()T 321,,x x x =x ，()T 321,,y y y =y ，且满足 3211x x x y ++=，212x x y +=，13x y =． 1) 求由基(I)变为基(II)的过渡矩阵； 2) 求31ββα+=在基(I)下的坐标．