第四章 线性方程组
一 综述
线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.
作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.
线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求
掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.
4.1 消元法
一 教学思考
本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求
主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程
1．引例：解方程组???
?
?
????=++=++=++25342333513121
321321321x x x x x x x x x （1）
定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据
TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）
3．转引
在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因
精品字里行间
此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：
4．矩阵及其初等变换 1）概念
定义 1 由t s ?个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表??
?
?
?
?
?
??st s s t t c c c c c c c c c 2122221
112
11叫做一个s 行t 列（或
t s ?）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ?矩阵记为t s A ?或()t s ij c A ?=.
定义补 由线性方程组???
????
???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数作成的矩阵 ??
?
?
?
?
?
??mn m m n n a a a a a a a a a 2
12222111211
叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵
????
??
?
??m mn
m n
n b a a b a a b a a 1
22211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换
定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）
（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系
显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.
4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵 TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：
=A ??
?
?
?
?
?
??mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：
??????????
?
??****
****
**+000
00000000010001011
rr b ； 进而化为以下形式：
?
?
????
?
??
?
?
??+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组
对线性方程组：???
???????????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵=A ??
??
?
?
?
??mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
可经过行初等变换和列换法变换化为 ?
?
????
?
??
?
?
??+++000000000000100000100001121211
1 rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵
精品字里行间
A 作同样的初等变换可化为??????
???
?
?
?=+++m r r rn rr n
r d d d c c d c c B 0
0000000100
001111111
,从而方程组（1）与B 所对应的方程组?
?
?
??
?
?????===+++=+++=++++++++++m r r n rn r rr r n n r r n n r r d d d y c y c y d
y c y c y d y c y c y 00111221122
1
11111 （2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21 是n x x x ,,,21 的
一个重新排序）.
下面讨论（2）的解的情况：
情形1：当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解. 情形2：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）
??
????
?=+++=+++=+++++++++r
n rn r rr r n n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y 112211221
11111 同解. 当n r =时,（3）即为???????===n
n d y d y d y 2
21
1有唯一解；
当n r =<时,（3）即为
??
????
?---=---=---=++++++n
rn r rr r r n n r r n
n r r y c y c d y y c y c d y y c y c d y 11211222111111,于是任给n r y y ,,1 +一组值n r k k ,,1 +,可得（3）的一个解：
?
?
?
??
??????==---=---=---=++++++++n n r r n rn r rr r r n n r r n n r r k y k y k c k c d y k
c k c
d y k c k c d y 1111211222
111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1 +的任意性（1）有无穷多解. 例1 解线性方程组???????-=--+=++---=-+=+++21
59282523425
32432143214
214321x x x x x x x x x x x x x x x .
解：对增广矩阵作行初等变换：
????
???
?
??--→??????? ??-------=00
00
0000061321100
23210212159218252131042
51321A 所原方程组与方程组??
??
?
=
+-=-+613
212321243421
x x x x x 同解,故原方程组的一般解为??
???-=+--=4
3421
2161321223x x x x x .
4.2 矩阵的秩 线性方程组可解判别法
一 教学思考
1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.
2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.
3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳. 二 内容要求
1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理
2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程
1．矩阵的秩 （1）定义
精品字里行间
1）在矩阵s t A ?中,任取k 行k 列（,k s t ≤）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.
2）矩阵s t A ?中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .
2．矩阵的秩的初等变换不变性
TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 3．一般线性方程组解的理论
对线性方程组：???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由上节知,对（1）的系数矩阵=A ??
?
?
?
?
?
??mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211
可经过行初等变换和列换法变换化为
?
??????????
??+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c ； 则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为??????????
??=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 00000000
0010000
111
1111
.则（1）与B 相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,即()()r A r A =时（1）
有解；当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,即()()r A r A <时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ?=,且在（1）有解时：当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.
此即
TH4.2.2-3线性方程组（1）有解()()()r A r A r ?==；当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.
例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.
1234512345
2345123451
3233226654331
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=-??
+++=??+++-=-? 例2 对λ进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.
1231232
12
31x x x x x x x x x λλλλλ++=??
++=??++=? 4.3 线性方程组的公式解
一 教学思考
1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.
2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）. 二 内容要求
1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解
2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程
1．线性方程组的公式解
本节讨论当方程组???????=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2211222221211
1212111 （1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.
为此看例,考察12311232123
322,()233,()47,()
x x x G x x x G x x x G +-=??
-+=??+-=? （2）
显然123,,G G G 间有关系3122G G G =+,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组
（2）与???=+-=-+)(332)
(222321
1321G x x x G x x x 同解.
同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的
()r A r =,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样
TH4.3.1设方程组（1）有解,()()(0)r A r A r ==≠,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r -个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.
下看如何解方程组：
精品字里行间
此时原方程组与111122111111112211r r r r n n r r rr r rr r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b ++++++++++=????
????
????++++++=??
同解. 当r n =时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）. 当r n <时有无穷多解,取12,,,r r n x x x ++ 为自由未知量,将这些项移至等号右端得：
111122111111112211r r r r n n r r rr r r rr r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x +++++++=---??
??????????+++=---??
视12,,,r r n x x x ++ 为任意数,由克拉姆法则可得
11,,r r D D
x x D D
=
= ； （其中11111111111r r n n r
J r r rr r rn n rr
a b a x a x a D a b a x a x a ++++---=---
）
其展开为12,,,r r n x x x ++ 的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.
2．齐次线性方程组的解的理论
齐次线性方程组1
111110
n n m mn n a x a x a x a x ?++=?
??++=? （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由
解的个数定理易得：
TH4.3.2（2）有非零解()r A n ?<.
Cor1：若（2）中m n <,则有非零解.（因()r A m n ≤<）
Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1 20V V = 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x
数学系《高等代数》课程教学大纲 学时：153学时学分：9 适用专业：数学与应用数学 执笔人：储茂权审定人：殷晓斌 说明： 1、课程的性质、地位和任务 本课程是高等师范院校以及综合性大学数学和应用数学专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生初步掌握基本的、系统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，以加深对初等数学的理解，并为进一步学习打下基础，要求学生掌握数域上一元多项式的因式分解理论以及多元多项式和对称多项式的基本知识；掌握行列式，矩阵和线性方程组中的基本理论和方法，掌握实二次型、线性空间、线性变换的基本理论和常用的数学方法。 2、课程教学的基本要求 （1）掌握数域和一元多项式的概念、整除的概念。对数域上一元多项式的因式分解及唯一定理及证明的思想有较深刻的认识。熟练掌握一元多项 式的带余除法和辗转相除法；多项式函数和重因式的基本知识；掌握有 关复数域、实数域和有理数域上的一元多项式的基本结果和基本方法； 掌握多元多项式的基本知识并能将对称多项式表为初等对称多项式的多 项式。 （2）掌握行列式的基本性质和计算；线性方程组的基本理论；矩阵的概念、运算、分块矩阵的初等变换和初等矩阵；二次型和标准形、规范形和正定性，掌握 -矩阵的基本知识，矩阵相似的条件，矩阵的Jordan标准形的基本知识；线性空间中向量的线性相关性，线性空间的维数、基和向量的坐标，基变换和坐标变换，线性子空间的基本知识；掌握欧氏空间的基本知识；熟练掌握线性变换的定义、运算和线性变换的矩阵；掌握线性变换的特征值和特征向量，值域和核、不变子空间等基本知识。 3、课程教学改革 （1）注重能力的培养 本课程教学中，在讲授有关内容的基本概念、基本理论和基本方法的同时，应注重培养学生的运算能力，运用获取的基本知识和基本技能去分析问题和解决问题的能力，同时注意培养抽象思维能力和逻辑推理能力，逐步提高自学和创新能力。 （2）注重本课程与其它课程的联系 《高等代数》是数学系的重要基础课程之一，它的基础地位不仅表现在它
第 7章 线性变换 7.1知识点归纳与要点解析 一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义 数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。 注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。 2.线性变换的判别 设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么： σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈ 3.线性变换的性质 设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈。 性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,, ,ααα线性相关，那么()()()12s ,, ,σασασα也线性相关。 性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,, ,ααα线性无关，那么()()()12s ,, ,σασασα 也线性无关。 注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组， 如果： 11111221221122221122s s s s m m m ms s c c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=++ + 记：
()()112111222 2121212,,,,, ,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ?? ? ? = ? ??? 于是，若()dim V n =，12,, ,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,, ,m βββ是 V 中任意一组向量，如果： ()()()11111221221122221122n n n n m m m mn n b b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=++ + 记： ()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ= 那么： ()()1121 112222121212,,,,, ,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα?? ? ? = ? ??? 设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ?? ? ? = ? ??? ，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是 12,, ,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()() 12 ,r i i i σβσβσβ就是 ()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的 秩等于秩()B 。 4. 线性变换举例 （1）设V 是数域P 上的任一线性空间。 零变换： ()00,V αα=?∈； 恒等变换：(),V εααα=?∈。 幂零线性变换：设σ是数域P 上的线性空间V 的线性变换，如果存在正整数m ，使 得σ =m 0，就称σ为幂零变换。
高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷(1) 1 ?设 f (x) = x 4 +x ? +4x - 9 ,贝H f (一3) = 69 .. 2?当 t = _2,-2 . 时，f(x)=x 3 —3x+t 有重因式。 3.令f(x),g(x)是两个多项式，且f(x 3) xg(x 3)被x 2 x 1整除，则 f(1)=_0_^ g(1)= 0 . 0 6 2 =23 。 1 1 — -2 0 1 x , 2x 2 2x 3 x 4 二 0 7. 2x 1 x 2 -2x 3 -2x 4 二 0 的一般解为 x( ~'X 2 _'4x 3 ~3x 4 = 0 题号 -一- -二二 -三 四 五 六 七 总分 得分 、填空(共35分，每题5 分) 得分 4.行列式 1 -3 5. ■’4 10" 1 0 3 -1、 -1 1 3 '9 -2 -1 2 1 0 2」 2 0 1 < 9 9 11 <1 3 4 丿 6. z 5 0 0 1 -1 <0 2 1； 0-2 3 矩阵的积
c 亠5 刘=2x3 X4 4 x3, x4任意取值。X2 二-2x^ --x4
、(10分)令f(x),g(x)是两个多项式。求证 当且仅当(f(x) g(x), f(x)g(x))=1。 证：必要性.设(f(x) g(x), f (x)g(x)) =1。(1% 令 p(x)为 f (x) g (x), f (x)g(x)的不可约公因式,(1% 则由 p(x) | f (x)g (x)知 p(x)| f (x)或 p(x) |g(x) o (1%) 不妨设 p(x) | f (x)，再由 p(x)|(f(x) g (x))得 p(x) | g(x)。故 p(x) |1 矛盾。(2%) 充分性.由(f (x) g(x), f (x)g(x)^1知存在多项式u(x), v(x)使 u(x)(f(x) g(x)) v(x)f(x)g(x)=1,(2%) 从而 u(x)f(x) g(x)(u(x) v(x) f(x)) =1,(2%) 故(f (x), g(x)) =1 o (1%) ax 「bx 2 2x 3 =1 ax 1 (2 b -1)x 2 3x 3 =1 ax 1 bx 2 - (b 3)X 3 = 2b _1 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： a b 2 1 a b 2 1 a 2b -1 3 1 T 0 b —1 1 0 b J* b+3 2b-1 , b+1 2b-2 ‘ (5%) a 2 - b 0 1 0 b -1 1 0 L 0 0 b+1 2b —2 当b =1时，有无穷解：X 3 = 0, X 2 = 1 - a%,人任意取值; 当a =0,b =5时，有无穷解：x 1 = k,x^ --3,x^ 4 ，k 任意取值；(3%) 当b = T 或a =0且b =二1且b = 5时，无解。(4%) 三、(16分)a,b 取何值时，线性方程组 当a(b 2 T) = 0时，有唯一解: 5-b a(b 1) X 2 2 b+1 x3 = 2b -2 b 1 ；4%) (f(x),g(x)) =1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------第三章 线性方程组 §1消元法 一 授课内容：§1消元法 二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组. 三 教学重难点：用消元法解线性方程组. 四 教学过程： 所谓的一般线性方程组是指形式为 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项. 所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数 组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ） ，当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合. 解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵
10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。
第四章 线性方程组 一 综述 线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的. 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）. 线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求 掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法. 4.1 消元法 一 教学思考 本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求 主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程 1．引例：解方程组???? ?????=++=++=++2534233351 3121321321321x x x x x x x x x （1） 定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引 在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/c66442976.html, 高等代数教学改革研究 作者：陈林 来源：《科技视界》2012年第26期 【摘要】高等代数是高等院校数学专业的主干课程，该门课程的教学改革对整个数学专业学生的教学质量的提高以及培养目标的完成都起着主导作用。本文在分析目前高等代数课程教与学的基础上，为高等代数的课程内容、教学方法、指导思想和教育观念进行改革。 【关键词】高等代数；教学内容；教学方法；改革 0 引言 高等代数这门课程是各高等院校数学专业学生的必修课，它不仅仅是中学数学理论的延续，而且还是整个现代数学大厦的基石。通过对这门课程的系统的学习，有助于学生养成严谨的处事习惯，增强学生逻辑推理能力，培养学生的数学抽象思维能力。绝大多数大中专院校将高等代数课程列为研究生入学考试的必考科目之一。 但是，目前高等代数的主要内容，在文革之前就已经确定了，还基本上是沿用前苏联的高等代数内容体系。近年来，国内许多学者对高代的内容进行大量的革新尝试，但其中几道丝线基本内容变动不大，仍然难以适应日新月异的科学技术发展的趋势，难以发挥高等代数作为自然科学原动力的作用，不能适应目前教学、科研的诸多需求。况且，近30年来，数学的理论分支发展迅猛，新思想、新知识、新研究方法不断涌现，更加强调理论的适应性，即如何提高生产力和更多的创造经济价值。但现行的高等代数教材的内容过分强调数学的纯理论性，往往是直接突兀的给出一个定义或一个定理，而没有关于这个定义或定理形成过程的介绍，同时缺乏讨论这些数学理论的发展和应用。在传统的高等代数课程教学中，往往只注重向学生灌输知识，课堂教学基本上还是“教材+粉笔+黑板”模式。从而难以提高学生的学习积极性，学生很难在认识上有所突破。 总之，为了应对数学理论日益迅猛的发展形势，为了紧跟时代发展的脚步，为了遵循我国教育发展的规律，为了提高办学质量、培养新时代的创新型人才，必须对高等代数课程的指导思想、内容以及教学方法进行改革。 1 指导原则 1.1 突出师范特色 大部分师范院校学生毕业后是进中学和小学参加教书。许多师范院校的毕业生工作以后感到大学里学到的东西在中学里用不到。因此，作为师范院校高等代数课程的内容要坚持师范性与学术性的统一，重点要突出师范性。必须将该课程的教学内容由学术型向教育学术型转化，
第四章 线性变换 习题精解 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ= 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α. 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α 故A 是P 3 上的线性变换. 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换. 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ) A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 7)不是.例如取a=1,k=I,则
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ）
沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 一、 填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当
(()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明 证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时
线性变换自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．σ是22?F 上的线性变换，若??? ? ??=100 71 )(A σ，则=-)3(A σ ． 2．σ：22R R →，)0,2(),(y x y x +-=σ；τ：22R R →，) ,3(),(y x y y x + -=τ， 则=+),)((y x τσ ．=),)((y x τσ ．=-),)(2(y x σ ． 3．设???? ? ?=2231 A ，则向量???? ??11是A 的属于特征值 的特征向量． 4．若???? ? ??--=10 0001 011 A 与???? ? ? ?--10101 01k k B 相似，则k = ． 5．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(2 3 +--=λλλλf ，则=||A ． 6．n 阶方阵A 满足A A =2，则A 的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ． 2．已知1 -=PBP A ，其中P 为n 阶可逆矩阵，B 为一个对角矩阵．则A 的特 征向量与P 有关． 3．σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关． 4．α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则} )(|{)(1 αησηασ==-是 V 的子空间． 三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设??? ? ? ? ?----=a A 3 3242 111 与??? ? ? ??=b B 0 0020 002 相似． （1）求b a ,的值； （2）求可逆矩阵，使B AP P =-1．
第三章 线性方程组 §1消元法 一 授课内容：§1消元法 二 教学目的：理解和掌握线性方程组的初等变换，同解变换，会用消元法解线性方程组. 三 教学重难点：用消元法解线性方程组. 四 教学过程： 所谓的一般线性方程组是指形式为 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ....................................................22112222212111212111 （1） 的方程组，其中n x x x ,,,21Λ代表n 个未知量，s 是方程的个数，ij a （s i ,,2,1Λ=，n j ,,2,1Λ=）称为方程组的系数，j b （s j ,,2,1Λ=）称为常数项. 所谓方程组（1）的的一个解就是指由n 个数 组成的有序数组（n k k k ,,,21Λ） ，当 n x x x ,,,21Λ分别用 n k k k ,,,21Λ 代入后，（1）中每个等式变为恒等式，方程组（1）的解的全体称为它的解集合. 解方程组实际上就是找出它的全部解，或则说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用如下的矩阵 ?????? ? ??s sn s s n n b b b a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ21212222111211 来表示. 在中学代数里，我们学习过用加减消元法和代入消元法解二元，三元
第三章 线性方程组 自我检测题 一．判断题 1.含零向量的向量组线性相关. 2.若一向量组的一个部分组线性相关,则它也线性相关. 3.线性无关向量组的任何一个部分组均线性无关. 4. 任一向量组都有极大线性无关向量组. 5. 一向量组的极大线性无关组是唯一的. 6.方程个数小于未知数个数的齐次线性方程组必有非零解. 7. 向量组线性相关的充要条件是该向量组的秩小于它所含向量的个数. 8.若向量组123,,ααα线性相关,则3α可由12,αα线性表出. 9. 若向量12,αα线性相关, 12,ββ线性相关, 1122,αβαβ++线性相关. 10. 若向量组123,,ααα线性无关,则12αα+,23αα+,31αα+也线性无关. 11. 如果向量组12,,,n ααα 线性相关，则12αα+，23αα+，...…， 1n n αα-+，1n αα+线性相关。 12.若向量12,αα线性无关, 3α不能由12,αα线性表出，则向量组123,,ααα线性无关. 13.若n 阶矩阵A 的秩r 线性方程组的矩阵求法 摘要： 关键词： 第一章引言 矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容, 用矩阵 方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本 技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法，通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变换得到其解，并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。 第二章用矩阵消元法解线性方程组 第一节预备知识 定义1：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。定理1：初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。 定义2：定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件： （1）B的任一非零行向量的第一个非零分量（称为的 一个主元）为1； （2）B中每一主元是其所在列的唯一非零元。 则称矩阵为行最简形矩阵。 第二节 1．对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩 阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，因此，我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。这样做不但讨论起来比较方便，而且能给我们一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次都把未知量写出来。 下面以一般的线性方程组为例，给出其解法： （1） 11112211 21122222 1122 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++= +++= +++ = 根据方程组可知其系数矩阵为： （2） 11121 21222 12 n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ??? 其增广矩阵为： （3） 111211 212222 12 n n m m mn m a a a b a a a b a a a b ?? ? ? ? ? ??? 根据（2）及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组，并很容易得到其解。 定理2：设A是一个m行n列矩阵 高等代数(1）复习题 一、判断题 1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。（ ) 2、设D 为六阶行列式,则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。( ) 3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。( ） ４、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。（ ） ５、排列()3211 -n n 为偶排列。（ ） 6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。( ） ７、若22B A =，则B A =或B A -=。（ ) ８、若AC AB =，0≠A ，则C B =。( ) 9、若矩阵A 满足A A =2,则0=A 或E A =。( ) 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。（ ) 1１、若矩阵A 满足02=A ,则0=A 。( ） 12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠,则0B =。( ） 1３、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111 ---=B A AB 。( ) 1４、对n 阶可逆方阵A ，B ,必有()111 ---+=+B A B A 。（ ） 1５、设A ,B 为n 阶方阵,则必有B A B A +=+。( ） １6、设A ，B 为n 阶方阵,则必有BA AB =。（ ) 17、若矩阵A 与B 等价,则B A =。（ ) 1８、若A 与B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵。（ ) 1９、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。（ ） ２0、设n m A ?,n m B ?为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。( ) 21、设A =0,则()0=A R 。( ) 22、线性方程组0=?X A n n 只有零解,则0≠A 。（ ) 2３、若b AX =有无穷多解,则0=AX 有非零解。( )线性方程组的矩阵求法.
高等代数(上)期末复习题
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