常微分方程学习活动6-第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版
常微分方程学习活动6
第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习
本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．
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一、填空题
1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次
方程组Y A Y
)(d d x x
=，n
R Y ∈的任一非零解在1
+n R 空间 不能 与x 轴相交．
2．方程组n
x x x
R Y R Y F Y
∈∈=,),,(d d 的任何一个解的
图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线．
3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0．
4．线性齐次微分方程组n
x x x
R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(2
1
x x ??，在区间),(b a 上线性相关，
则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ．
6．函数组?
?
?==x
y
x y
cos sin 2
1的朗斯基行列式)(x W 是
x
x x x x W sin cos cos sin )(-=
7．二阶方程
2=+'+''y x y x y 的等价方程组是
?????--='='y
x xy y y y 2111 ．
8．若)(1
x y ?=和)
(2
x y ?
=是二阶线性齐次方程的
基本解组，则它们 没有 共同零点．
9．二阶线性齐次微分方程的两个解
)
(1x y ?=,
)
(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是
线性无关 ．
10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个
数最多为 n 个．
11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交．
12．二阶线性方程20y y y '''++=的基本解组是
e ,e x x
x -- ．
13．线性方程
y y ''+=的基本解组是
cos ,sin x x
．
14．方程0
2=+'+''y x y x y 的所有解构成一个
2 维线性空间．
15．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．
二、计算题
1．将下列方程式化为一阶方程组
（1）0)()(=++x g x x f x &&&
（2）0)()()(3
2
1
=+'+''+'''y x a y x a y x a y
1） 解
??????
?--==)()(d d d d x g y x f t
y y t x
， （2）解
????
?????---===0312212
21
1)()()(d d d d d d y x a y x a y x a x y y x y y x y
2．求解下列方程组： （1）
??????
?+=+=x y t
y x y t x
54d d 45d d （2）
??????
?+-=+=y x t
y y x t x
αββαd d d d
（1） 解 方程组的系数阵为5
4A ?=??
45???
特征方程
为：
det(A-λE)=
54
λ-
4
5λ
-=(1)(9)0λλ--=， 其特征根为 121,9
λλ==.
当1
1
λ
=时,
11t y a e z b ????
=????
????
， 其中a , b 满足
(A-λE)a b ??????
=4
4???
44?
??a b ??????
= 0,
则有a + b = 0． 取a = 1, b =-1, 则得一特解
1111t y e z ????
=????
-????
同理,当2
9
λ
=时，
29211t y e z ????
=????
????
所以方程组的解为
9129()()t t t t y t e e C C z t e e -??????
=+??????-??????
（2）解 方程组的系数阵为
A α
β
?=?
-? βα???
.
特征方程为: det(A-λ
E)=
αλ
β
-- β
αλ
-=2
2()
λαβ-+=
二阶线性常微分方程的幂级数解法 从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程 ''0y xy -=的通解 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++…… 为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 ''212312132(1)(1)n n n n y a a x n n a x n na x --+=?+?++-+++ 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到 x -∞<<∞2210a ?=，30320,a a ?-= 41430,a a ?-= 52540,a a ?-= 或一般的可推得 32356(31)3k a a k k = ?????-? ， 1 3134673(31) k a a k k += ??????+ ， 320k a += 其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得： 36347 01[1][] 2323562356(31)33434673(31) n x x x x x y a a x n n n n =+++++++++?????????-????????+ 这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。 解 设级 2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。首先，利用初值 条件，可以得到 00a =， 11a =， 因而 2323'2123''223123232(1)n n n n n n y x a x a x a x y a x a x na x y a a x n n a x --=+++++=+++++=+?++-+ 将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 21422 0,1,0,,,1 n n a a a a a n -==== - 因而 567891111 ,0,,0,,2!63!4! a a a a a = ===== 最后得 21111 (1)!! k a k k k += ?=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。 将i a (0,1,2,)i = 的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 521 3 2!! k x x y x x k +=+++++ 2 422 (1),2!! k x x x x x xe k =++++ += 这就是方程的满足所给初值条件的解。 是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的
习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为
,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生：王灿灿 指导教师：童姗姗 完成日期: 2014 年 05 月
南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：毕业设计（论文）20页 表格： 0个 插图： 0幅
南阳理工学院本科毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：王灿灿 学号： 105100140078 指导教师（职称）：童姗姗(讲师) 评阅教师： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology
常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业王灿灿 [摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the
线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常 系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是 式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 2.线性相关、线性无关的概念
设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的 两个解,且≠=x y y tan 2 1常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r , 使rx e y =满足方程(2).
线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include
//交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 第七章 一阶线性偏微分方程 研究对象 一阶线性齐次偏微分方程 0),,,(),,,() ,,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X 1基本概念 1） 一阶线性齐次偏微分方程 形如 0),,,(),,,(),,,(2122121211=??++??+??n n n n n x u x x x X x u x x x X x u x x x X （7.1） 的方程，称为一阶线性齐次偏微分方程，其中n x x x ,,,21 是自变量，u 是n x x x ,,,21 的未知函数，n X X X ,,,21 是域n R D ?内的已知函数，并设n X X X ,,,21 在域D 内不同时为零。 2） 一阶拟线性偏微分方程 形如 );,,,();,,,();,,,(21211211z x x x Z x z z x x x Y x z z x x x Y n n n n n =??++?? （7.2） 的方程，称为一阶拟线性偏微分方程，其中Z Y Y Y n ;,,,21 是1+n 个变元z x x x n ;,,,21 的已知函数。n Y Y Y ,,,21 在其定义域1+?'n R D 内不同时为零。 所谓“拟线性”是指方程仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的，以下总设n Y Y Y ,,,21 和Z 在域D '内连续可微。 3） 特征方程组 常微分方程组 n n X dx X dx X dx === 2211 （7.3） 称为一阶线性齐次偏微分方程（7.1）的特征方程组。 常微分方程组 3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断 1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=() 第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳 1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构 1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构 解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ). ,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件： 一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程 第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结 一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程 两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成 f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ① 它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。 设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。取自变量变换 ),(y x ξξ=,),(y x ηη= 其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。 = ??),(),(y x ηξy x y x ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换, ),(ηξx x =,),(ηξy y = 因为 x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)( 将代入①使其变为 F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112 经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。并可验证 222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=- 这表明，在可逆变换下2 22112 12A A A -与22112 12 a a a -保持相同的正负号。 定理 在0M 的领域内，不为常数的函数),(y x ?是偏微分方程022*******=++y y x x a a a ????之解的充分必要条件是： C y x ≡),(?是常微分方程的 0)(2)(22212211=++dx a dxdy a dy a 通解。 2 方程的类型及其标准形式 根据以上结论简化方程的问题归结为寻求其特征曲线。为此将特征方程分解成两个方程： 11 22 11 2 12 12 a a a a a dx dy -+=，11 22 11 2 12 12 a a a a a dz dy --= (1) 若在0M 的邻域内022112 12>-a a a 时，方程可以化为 线性方程组求解 习题课 一、给定方程组123211*********x x x -???????????? =? ???????????-?????? 试考察用Jacobi 迭代法和Seidel 迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi 迭代法，迭代矩阵为 -1J 00.50.5B =I-D A=1010.50.50-?? ??--?????? 因为3 5 04 J I B λλλ-=+=，得特征值 1230,,22i i λλλ===- 得( )12J B ρ=> ，由定理知 Jacobi 迭代法发散。 对Seidel 迭代法，迭代矩阵为 ()1 S B D L U -=-=1 20001100.50.511000100.50.5112000000.5---?????? ??????-=--?? ??????????--?? ???? 显然，其特征值为1230,0.5λλλ===- 故()0.51s B ρ=<，由定理知Seidel 迭代法收敛。 二、设线性方程组111211212222a a x b a a x b ?????? = ??? ??????? ，11220a a ≠， 112221120a a a a -≠。证明：解线性方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法同时收敛或不收敛。 证明： 121 1111 122221 21 22 0000 00J a a a a B a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ?-????- ??? ()2 1221 1122det J a a I B a a λλ-=-，故( )J B λ= ( )J B ρ= 。 1211111 1221 2212211122000000S a a a a B a a a a a a -??- ?-???? ?== ? ? ????? ?? ? 附录A 线性常微分方程 本课程的研究内容与常微分方程理论有非常密切的联系，因此在本附录里，我们将对线性常微分方程的知识——包括解的存在性、解的结构和求解方法做一些回顾和总结。 把包含未知函数和它的j 阶导数()j y (的方程称为常微分方程。线性常微分方程的标准形式 ()(1)110()()'()()n n n y p x y p x y p x y f x --++++=L （A.1） 其中n 称为方程的阶数，()j p x 和()f x 是给定的函数。可微函数()y y x =在区间 I 上满足方程（A.1），则称其为常微分方程（A.1）在 I 上的一个解。，()f x 称为方程（A.1）的自由项，当自由项()0f x ≡时方程（A.1）称为是齐次方程，否则称为非齐次方程。一般来说常微分方程的解是不唯一的，我们将方程的全部解构成的集合称为解集合，解集合中全部元素的一个通项表达式称为方程的通解，而某个给定的解称为方程的特解。 在本附录里，我们重点介绍一阶和二阶常微分方程的相关知识。 A.1 一阶线性常微分方程 一阶线性常微分方程表示为 '()()y p x y f x x I +=∈，. （A.2） 当()0f x ≡，方程退化为 '()0y p x y +=, （A.3） 假设()y x 不恒等于零，则上式等价于 而()'ln 'y y y =，从而（A.3）的通解为 ()d ()p x x y x Ce -?= （ A.4） 对于非齐次一阶线性常微分方程（A.2），在其两端同乘以函数()d p x x e ? 注意到上面等式的左端 因此有 两端积分 其中C 是任意常数。进一步有 综上有如下结论 定理A.1 假设()()p x f x I 和在上连续，则一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的通解具有如下形式 ()d ()d ()d ()()d p x x p x x p x x y x Ce e e f x x --? ??=+?‘ （A.5） 其中C 是任意常数。 观察（A.4）式和（A.5）式，我们发现一阶线性非齐次常微分方程（A.1）的解等于 一阶线性齐次常微分方程（ A.2）的通解()d p x x Ce -?加上函数()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -??=?。容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。这符合线性方程解的结构规律。 例1 求解一阶常微分方程 解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为 其中C 是任意常数。 A.2 二阶线性常微分方程 将具有以下形式的方程 "()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。称 "()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程. A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构 首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。 一阶偏微分方程基本知识 这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。 1一阶常微分方程组的首次积分 1.1首次积分的定义 从第三章我们知道，n 阶常微分方程 ()()() 1,,'',',-=n n y y y x f y ， （ 1.1） 在变换 ( ) 1'12,,,,n n y y y y y y -=== （ 1.2） 之下，等价于下面的一阶微分方程组 ()()()1 112221212,,,,,,,,,,,,,,. n n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ?=?? ?=???? ?=? ? （ 1.3） 在第三章中，已经介绍过方程组（ 1.3）通解的概念和求法。但是除了常 系数线性方程组外，求一般的（ 1.3）的解是极其困难的。然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合”法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合”法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分”的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组（ 1.3）的问题。先看几个例子。 例1 求解微分方程组 ()()22221,1.dx dy y x x y x y x y dt dt =-+-=--+- （ 1.4） 解：将第一式的两端同乘x ，第二式的两端同乘y ，然后相加，得到 ()() 12222-++-=+y x y x dt dy y dt dx x ， ()()()2222221 12 d x y x y x y dt +=-++-。 这个微分方程关于变量t 和()22x y +是可以分离，因此不难求得其解为 122 2221C e y x y x t =+-+， （ 1.5） 1C 为积分常数。（ 1.5）叫做（ 1.4）的首次积分。 开题报告 数学与应用数学 高阶线性常微分方程的解法和应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 常微分方程是微分方程中的其中一种, 它是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科, 是研究连续量变化规律的重要工具, 也是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁. 17世纪就有人提出了弹性问题, 这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等. 从19世纪下半叶开始, 随着微积分学的公理化与严密化, 微分方程逐渐从微积分中独立并分离开来, 形成了逐渐自己系统而严密的理论体系, 发展成为常微分和偏微分方程两大现代数学分支. 事实上, 求()y f x '=的原函数问题便是一个最简单的常微分方程. 提及常微分方程, 常常会让人不由得想起牛顿. 在历史上, 牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆, 他还解决了二体问题: 在太阳引力作用下, 一个单一的行星的运动. 他把两个物体都理想化质点, 得到3个未知函数的3个二阶方程组, 经简单计算证明, 可化为平面问题, 即两个未知函数的两个二阶微分方程组. 用现在叫做 “首次积分” 的办法, 完全解决了它的求解问题. 天文学家通过常微分方程的计算, 预见了海王星的存在. 随着工业化的进展, 常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要的作用. 在当今高新技术迅猛发展的时代, 常微分方程更加广泛地渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域, 显示着它的蓬勃生机和活力. 计算机和计算技术的发展, 使微分方程的求解冲破了经典方法的局限, 迈向数值计算和图像模拟, 这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效的手段, 也使得建立数学模型显得格外重要. 在当代, 甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程, 如人口发展模型、交通流模型……因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. 我这次的论文方向主要涉及的是微分方程中的高阶线性常微分方程的求解方法和它在实际中的应用问题. 因为常微分与经典的动力学是孪生兄弟, 一直是物理学家赖以对动态世界进行定量描述, 破解造物主在宇宙万物中设置的密码的一种主要手段, 它同时也是应用科一阶线性偏微分方程
3线性方程组典型习题解析
高阶齐次线性微分方程
二阶线性偏微分方程的分类与小结
线性方程组习题课
二阶线性微分方程解的结构
一阶偏微分方程基本知识
高阶线性常微分方程的解法和应用【开题报告】
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