第一讲集合与容斥原理李宁本讲主要内容有：集合的有关概念、运算和容斥原理。学习这一讲，要注意深刻理解集合的概念，掌握集合的思想方法和容斥原理，善于运用集合的语言和方法表示数量关系，并会用集合分拆、容斥原理等方面的知识和方法解决有关的数学问题1集合1.1集合与集合的关系若A中元素都是B中元素，则称A为B的子集，记作A⊆B，若A⊆B，且B 中至少有一元素b/∈A，

點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。現在首先從一個點算問題說起。例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選

第八讲 组合数学组合数学是中学数学竞赛的“重头戏”，具有形式多样，内容广泛的特点.本讲主要围绕组合计数，组合恒等式及组合最值展开例1．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1,2,…,800它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：若第k 号点染成了红色，则可依顺时针方向转过k 个间隙，将所到达的点染成红色，试求

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．

第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入?文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家Venn发明的．维恩（公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国着名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更

四年级名校第四讲容斥原理教学目标：1掌握容斥原理的基本解题方法。2能简单的画出容斥原理的图。3培养学生的逻辑思维能力。教学重点用画图的方法去解容斥原理。教学难点在做较复杂的容斥原理的题的时，如何用画图的方法去解答。教学过程：导入：在我们日常生活中经常会碰到重复的时候，比如我们的爱好。像老师既喜欢做数学题也喜欢看小说。但是可能有些人就只喜欢做数学题，也可能只喜

第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认

专题七容斥原理姓名：例1、五年级二班40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了一个小组的学生有多少人？例2、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加。有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了。请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少

推广到n个集合情形 推广到 个集合情形包含排斥原理推论 为有限集合， 设A1,A2,…,An为有限集合，则A U A2 ULU An 1 = ∑| Ai | i =1 n 1≤i

=|A|+|B|+|C|-|AB|-|AC|-|BC|+|ABC|这10个数字所有的排法构成全集U, |U|=10! 第1个数字不大于1的排法构成子集A(即

第八讲容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。包

120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人)6.分母是1001的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001 的数

1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。 容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A

原理，得： (人)4．【分析】每隔 厘米做一个记号，记号有 (个)，每隔 厘米做一个记号，记号有(个)，因为 ，所以其中重合的记号有 (个)，绳子上共有 (个)记号，绳子被剪成 (

139913+9+9=31（人）或： 22+18－9=31（人）只参加绘画 22－9=13两样都参加只参加舞蹈 18－9=9பைடு நூலகம்6、四一班

14*夫妻围坐问题：n对夫妻围坐在一圆桌边， 圆桌边有2n个座位，则满足男女相间，夫妻 不相邻的入座方法数为：2n T (n) (n 1)! ( 1) C (2n k , k

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．

杯赛重难点之三大原理（三）【精讲专区】例1 某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么有多少人两个小组都不参加? 【解析】： 圈内的人：18+15-10=23人 圈外的人：40-23=17人例2 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后

第八讲：容斥原理之重叠问题一、导入?文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国着名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图