第二十讲容斥原理第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下

點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。現在首先從一個點算問題說起。例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選

第31讲容斥原理例题与方法例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？例4 在1～143这143个自然数

30、容斥原理问题例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋1

第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。在计数时，为了

集合与容斥原理

3 140 3 1 (8 3) (4 2) 4 7A3 1 42 1 2 84参考答案 [解(续)] 2 1 (8 4) (4 1) 3 7A

第二十讲容斥原理（2）[知识提要]前面讲述过简单的容斥原理，“容”就是相容，相加，而“斥”就是相斥，相减，容斥原理作为一种计数方法，说简单点，就是从多的往下减，减过头了在加回来，加多了再减，减多了再加……最终得到正确结果。对于计数中容易出现重复的题目，我们常常采用容斥原理，去掉重复的情况。应用于计数集合划分有重叠，无法简单应用加法原理的情况下。在计数时，为了

第一讲集合与容斥原理数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。它的概念与方法已经有效地渗透到所有的现代数学。可以认

容斥原理在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。例、一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少

推广到n个集合情形 推广到 个集合情形包含排斥原理推论 为有限集合， 设A1,A2,…,An为有限集合，则A U A2 ULU An 1 = ∑| Ai | i =1 n 1≤i

30、容斥原理问题例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋1

第二十六章 容斥原理概念容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。例题 1. 五年级96名学生都订了报纸，有6

120-(50+45+40-15-10-8+4)=14(人)6.分母是1001的最简分数一共有多少个？ 解：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001 的数

第11讲容斥原理知识要点：一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B=+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文

原理，得： (人)4．【分析】每隔 厘米做一个记号，记号有 (个)，每隔 厘米做一个记号，记号有(个)，因为 ，所以其中重合的记号有 (个)，绳子上共有 (个)记号，绳子被剪成 (

14*夫妻围坐问题：n对夫妻围坐在一圆桌边， 圆桌边有2n个座位，则满足男女相间，夫妻 不相邻的入座方法数为：2n T (n) (n 1)! ( 1) C (2n k , k

iAjAk | ... ( 1) |A1nA2...i 1An |证明：可以利用数学归纳法证明。或用组合分析方法如下： 为证明等式成立，只需证明等式右端不具有性质pi (i=1

学科：奥数教学内容：第四讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比

容斥原理（一）【例题分析】例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？分析与解：阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米）方法一：（平方厘米）方法二：（平方厘米）方法三：（平方厘米）答：盖住桌面的面积是67平方厘米。例2. 六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无